URGENTE SOCORRO
5) Até recentemente, hambúrgueres vendidos em um estádio custavam cerca de U$2 cada. Uma lanchonete em um determinado estádio vendia uma média de 10.000 hambúrgueres durante um dia de jogo. Quando o preço foi elevado para U$2,40, as vendas de hambúrgueres caíram para uma média de 8.000 por dia de jogo.
a) Assumindo uma curva de demanda linear, encontre o preço de um hambúrguer que irá maximizar o faturamento por dia de jogo.
b) Suponha que a lanchonete tenha um custo fixo de U$1.000 por dia de jogo e um custo variável de U$0,60 por hambúrguer. Encontre o preço de um hambúrguer que irá maximizar o lucro por dia de jogo.
💡 2 Respostas
Andre Smaira
\[p(n)=an+b\]
Sabemos que:
\[\begin{cases}p(10000)=2\\p(8000)=2,4\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}10000a+b=2\\8000a+b=2,4\end{cases}\]
Subtraindo:
\[2000a=-0,4\Rightarrow a=-\dfrac{1}{5000}\]
Substituindo na primeira equação:
\[-2+b=2\Rightarrow b=4\]
Logo:
\[p(n)=4-\dfrac{n}{5000}\]
O faturamento é:
\[P(n)=n\cdot p(n)=4n-\dfrac{n^2}{5000}\]
O valor de \(n\) que maximiza é a posição do vértice da parábola:
\[n_0=-\dfrac{4}{-\dfrac{2}{5000}}=10000\]
Mas já temos o preço para esse número:
\[\boxed{p(n_0)=U$2,00}\]
b) O lucro é dado pelo faturamento menos o custo:
\[L(n)=P(n)-(1000+0,6n)=3,4n-\dfrac{n^2}{5000}-1000\]
Para o vértice, temos:
\[n_0=-\dfrac{3,4}{-\dfrac2{5000}}=8500\]
Logo o preço é:
\[\boxed{p(n_0)=U$2,30}\]
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