determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores v1=(1,1,0) e v2=(2,-1,3). Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5

\[\left( {\matrix{ i & j & k \cr 1 & 1 & 0 \cr 2 & { - 1} & 3 } } \right)\]

Resolvendo o determinante, temos:

\[\eqalign{ & = i(3 - 0) + j(0 - 3) + k( - 1 - 2) \cr & = 3i - 3j - 3k \cr & = (3, - 3, - 3) }\]

Qualquer vetor que seja proporcional ao vetor encontrado acima, será ortogonal a \(v_1\)e \(v_2\). Desse modo, podemos fazer a multiplicação desse vetor por uma constante no qual chamaremos de \(t\)para se obter o vetor de módulo 5. Então, temos:

\[\eqalign{ & \left\| {t.(3, - 3, - 3)} \right\| = 5 \cr & \left| t \right|.\left\| {(3, - 3, - 3)} \right\| = 5 \cr & \left| t \right| = {5 \over {\left\| {(3, - 3, - 3)} \right\|}} }\]

Calculando o módulo de \(\left\| {(3, - 3, - 3)} \right\|\) temos:

\[\eqalign{ & \left\| {(3, - 3, - 3)} \right\| = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 3)}^2}} \cr & = 3\sqrt 3 }\]

Logo, o \(t\)será igual a:

\[\eqalign{ & \left| t \right| = {5 \over {3\sqrt 3 }} \cr & {t_1} = {5 \over {3\sqrt 3 }} \cr & {t_2} = - {5 \over {3\sqrt 3 }} }\]

Desse modo, temos dois vetores ortogonais a \(v_1\)e \(v_2\) sendo eles:

\[\eqalign{ & {t_1}(3, - 3, - 3) = {5 \over {3\sqrt 3 }}.(3, - 3, - 3) = ({5 \over {\sqrt 3 }}, - {5 \over {\sqrt 3 }}, - {5 \over {\sqrt 3 }}) \cr & {t_2}(3, - 3, - 3) = - {5 \over {3\sqrt 3 }}.(3, - 3, - 3) = ( - {5 \over {\sqrt 3 }},{5 \over {\sqrt 3 }},{5 \over {\sqrt 3 }}) }\]

Para o vetor unitário basta substituir o valor de 1 no lugar de 5, sendo assim:

\[\eqalign{ & {t_1}(3, - 3, - 3) = {1 \over {3\sqrt 3 }}.(3, - 3, - 3) = ({1 \over {\sqrt 3 }}, - {1 \over {\sqrt 3 }}, - {1 \over {\sqrt 3 }}) \cr & {t_2}(3, - 3, - 3) = - {1 \over {3\sqrt 3 }}.(3, - 3, - 3) = ( - {1 \over {\sqrt 3 }},{1 \over {\sqrt 3 }},{1 \over {\sqrt 3 }}) }\]

Logo, os vetores unitários são \(({1 \over {\sqrt 3 }}, - {1 \over {\sqrt 3 }}, - {1 \over {\sqrt 3 }})\)e \(( - {1 \over {\sqrt 3 }},{1 \over {\sqrt 3 }},{1 \over {\sqrt 3 }})\).

Primeiro, devemos achar um vetor ortogonal aos vetores V₁ e V₂

É natural acharmos o produto vetorial de V₁ e V₂:


_____________________

Qualquer vetor múltiplo do produto vetorial V₁xV₂ será ortogonal aos vetores V₁ e V₂

Então, queremos achar um vetor múltiplo de v que possui módulo 1

Sendo esse vetor w, temos que w = (x, y, z), onde:



Sendo w = αv (múltiplo de v):



Igualando o módulo de w a 1:



Podemos escolher um valor pra alfa. Vou escolher o positivo:



Então w será: