Determine d(Q,r) para Q(1,2,3) e r:{ x - y+2z +1=0 e 2x + y - z +3=0 ? ( ) 6✓14/7 ( ) ✓14/7 ( ) 6✓14/✓35 ( ) 54/7 ( ) 6✓14/35
💡 1 Resposta
Jailson Lima
2x+y - z= -3
3x +z= -4 ou seja, Z= - 3x -4
X= t então:
Z= - 4 - 3t assim:
t - y + 2( - 4 - 3t) = - 1
t - y - 8 - 6t = - 1
- 5t - 8 - y= - 1
y= - 7 - 5t
As equações paramétrica da reta r são:
X=t
Y= - 7 - 5t
Z= -4 -3t
Os pontos da reta r são da forma
P= (t, -7-5t, -4-3t). Vamos definir o vetor PQ:
PQ= (1,2,3)-(t,-7-5t, -4-3t)
PQ= (1-t, 2+7+5t, 3+4+3t)
PQ= (1-t, 9+5t, 7+3t)
Esse vetor PQ tem que ser perpendicular ao vetor direção da reta r , ou seja, ao vetor (-1,-5,-3). Isso significa que o produto interno é igual a zero.
1.(1-t)+(-5).(9+5t)+(-3).(7+3t)=0
1- t - 45 - 25t - 21 - 9t= 0
- 35t - 65=0
35t= - 65
t= - 13
7
Assim , o ponto P é igual a:
P= (-13/7, - 7-5.(-13/7), - 4 - 3 .(-13/7)
P= (-13/7, -7+65/7, -4+39/7)
P= (-13/7, 16/7, 11/7)
Agora basta calcular a distância entre P e Q
d²= (-13/7-1)²+ (16/7-2)²+(11/7-3)²
d²= (-20/7)²+(2/7)²+(-10/7)²
d²= 400/49+4/49+100/49
d²= 504/49
d=✓504/✓49
d= √2².2.3².7/7
d= 2.3✓2.7/7
d= 6√14
7
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