Determinar k para que o vetor u = (-1, k, -7) seja combinação linear de v1 = (1, -3, 2) e v2 = ( 2, 4, -1).

para K

\[\eqalign{ & u = \alpha \cdot {v_1} + \beta \cdot {v_2} \cr & \left( { - 1,k, - 7} \right) = \alpha \cdot \left( {1, - 3,2} \right) + \beta \cdot \left( {2,4, - 1} \right) \cr & \cr & - 1 = \alpha + 2\beta \cr & k = - 3\alpha + 4\beta \cr & - 7 = 2\alpha - \beta }\]

Somando duas vezes a terceira equação com a primeira equação, vem que:

\[\eqalign{ & u = \alpha \cdot {v_1} + \beta \cdot {v_2} \cr & \left( { - 1,k, - 7} \right) = \alpha \cdot \left( {1, - 3,2} \right) + \beta \cdot \left( {2,4, - 1} \right) \cr & \cr & - 1 = \alpha + 2\beta \cr & k = - 3\alpha + 4\beta \cr & - 7 = 2\alpha - \beta \cr & \cr & - 14 - 1 = 4\alpha + \alpha - 2\beta + 2\beta \cr & - 15 = 5\alpha \cr & \alpha = \dfrac{{ - 15}}{5} \cr & \alpha = - 3 \cr & \cr & \beta = 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 7 \cr & \beta = 1 \cr & \cr & k = - 3 \cdot \left( { - 3} \right) + 4 \cdot \left( 1 \right) \cr & k = 9 + 4 \cr & k = 13 }\]

Portanto, é preciso que \(k\) seja igual a \(\boxed{13}\).