Me ajudem nessa Resolução?

Resposta:

I e IV estão corretas

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos calcular a derivada primeira e depois igualar a zero.

f(x,y)=y^3+3x^2 y-6x^2-6y^2+2

f_x=6xy-12x

f_y=3y^2+3x^2-12y

Igualando a zero, temos:

f_x=0

6xy-12x=0

6xy=12x

y=12x/6x

y=2

Substituindo o valor de y na derivada com relação a y

3 .2^2+3x^2-12 .2=0

12+3x^2-24=0

3x^2=12

x^2=12/3

x=√4

x=±2

Percebemos também que se x=0, então f_x=0.

Substituindo x=0 em f_y

3y^2+3 .0^2-12y=0

3y^2-12y=0

Dividindo a equação inteira por 3 e resolvendo:

y^2-4y=0

a=1 e b=-4

y=(-b±√(b^2-4ac))/2a

y=(4±√16)/2

y^'=(4+4)/2=4

y^''=(4-4)/2=0

Logo os pontos críticos da função são: (0,0); (0,4); (2,2) e (-2,2).

Vamos calcular as segundas derivadas para descobrir se é ponto de sela, ponto de máximo local ou mínimo local.

f_xx=6y-12

f_yy=6y-12

f_xy=6x

H=f_xx .f_yy-(f_xy )^2

H=(6y-12)(6y-12)-(6x)^2

Para o ponto (0,0):

H =(6.0 -12)(6 .0 -12)-(6 .0)^2

H=(-12).(-12)-0

H=144 > 0

Logo será ponto de mínimo o u máximo local, para descobrir cálculos o valor de f_xx no ponto.

f^'' (0,0)=6 .0-12= -12 <0

Logo (0,0) é ponto de máximo local.

Para o ponto (0,4):

H=(6.4-12)(6 .4 -12)-(6 .0)^2

H=12 .12-0

H=144 >0  

Logo será ponto de mínimo o u máximo local, para descobrir cálculos o valor de f_xx no ponto.

f^'' (0,4)=6 .4-12=12 >0  

Logo (0,4) é um ponto de mínimo local.

Para (2,2):

H=(6.2-12)(6 .2 -12)-(6 .2)^2

H=0-144= -144 <0  

Logo (2,2) é ponto de sela

Para (-2,2):

H=(6.2-12)(6 .2 -12)-(6 .(-2))^2

H=0-144= -144 <0

Logo (-2,2) é ponto de sela.  

Após isso concluímos que as alternativas corretas são: I e IV.