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Mostre que a equação 1 + 2x + x³+ 4x⁵ = 0 tem exatamente uma raiz real.

Cálculo I

UFMS


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

i)

Seja g definida por \(1 + 2x + x + 4{x^5} = 0\), Note que todo polinômio de grau impar com os coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real.

ii)

temos, \(g'(x) = 20{(x)^4} + 3{(x)^2} + 2\)

É importante notar que g'(x) > 0 para todo x(real) → g é estritamente crescente ,de modo que exista apenas uma raiz real .

Portanto g ,só tem uma raiz real.

i)

Seja g definida por \(1 + 2x + x + 4{x^5} = 0\), Note que todo polinômio de grau impar com os coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real.

ii)

temos, \(g'(x) = 20{(x)^4} + 3{(x)^2} + 2\)

É importante notar que g'(x) > 0 para todo x(real) → g é estritamente crescente ,de modo que exista apenas uma raiz real .

Portanto g ,só tem uma raiz real.

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Luis F7

Há mais de um mês

Se você colocar o X em evindencia , voce fica com uma expressão da seguinte forma : 

       1 + x(4x^4 + x^2 + 2) = 0

dessa forma , passando o 1 para o outro lado da igualdade , temos que x pode ser igual a -1 ou a equação pode ser igual a -1 

x = -1 ou  4x^4 + x^2 + 2 = -1 

                4x^4 + x^2 + 2 + 1 = 0 , logo temos uma equação biquadrada , que se resolvermos , encontraremos delta negativo , portanto , não existirão raizes reais!

Logo a unica raiz real admitida pela equação é x = -1 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas