4.8. Determine o centro e o raio das seguintes esferas: c) 2x²+ 2y² + 2z² - 2x + 6v = 6; d) x² + y² + z² = 3; e )x² + y²+z² + 2x-y = 1.

\[(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=R^2\]

c) Dada a equação:

\[2x^2+2y^2+2z^2-2x+6v=6\]

Dividindo por \(2\), temos:

\[x^2+y^2+z^2-x+3v=3\]

\[\left(x^2-x\right)+y^2+z^2=3-3v\]

\[\left(x^2-2\cdot\dfrac12x+\dfrac14\right)+y^2+z^2=\dfrac{13}4-3v\]

Fatorando, temos:

\[\boxed{\left(x^2-\dfrac12\right)^2+y^2+z^2=\left(\sqrt{\dfrac{13}4-3v}\right)^2}\]

• Centro: \(\boxed{C=\left(\dfrac12;0;0\right)}\)
• Raio: \(\boxed{R=\sqrt{\dfrac{13}4-3v}}\)

d) Dada a equação:

\[\boxed{x^2+y^2+z^2=3=(\sqrt3)^2}\]

A equação já está no formato procurado:

• Centro: \(\boxed{C=\left(0;0;0\right)}\)
• Raio: \(\boxed{R=\sqrt3}\)

e) Dada a equação:

\[x^2+y^2+z^2+2x-y = 1\]

Rearranjando:

\[(x^2+2x+1)+\left(y^2-y+\dfrac14\right)+z^2=\dfrac94\]

Fatorando:

\[\boxed{(x+1)^2+\left(y^2-\dfrac12\right)^2+z^2=\left(\dfrac32\right)^2}\]

• Centro: \(\boxed{C=\left(-1;\dfrac12;0\right)}\)
• Raio: \(\boxed{R=\dfrac32}\)