Considere a transformação linear T:R3→R3 dada por T(x,y,z)=(3x+y,-2x-4y+3z,5x+4y-2z). Determine \(T^{-1}. a. T−1(x,y,z)=(x−2y+z,−x+7y+5z,2x−7y−5z...

Para encontrar a inversa de T, precisamos resolver a equação T(x,y,z) = (3x+y,-2x-4y+3z,5x+4y-2z) = (a,b,c), onde (a,b,c) é um vetor qualquer em R3. Podemos escrever essa equação como um sistema de três equações lineares: 3x + y = a -2x - 4y + 3z = b 5x + 4y - 2z = c Podemos resolver esse sistema usando eliminação gaussiana: 1) Escrevemos a matriz aumentada do sistema: [ 3 1 0 | a ] [-2 -4 3 | b ] [ 5 4 -2 | c ] 2) Aplicamos as operações elementares para transformar a matriz em uma matriz escalonada: R2 = R2 + (2/3)R1 R3 = R3 - (5/3)R1 [ 3 1 0 | a ] [ 0 -10/3 3 | b + (2/3)a ] [ 0 7/3 -2 | c - (5/3)a ] R3 = R3 + (7/10)R2 [ 3 1 0 | a ] [ 0 -10/3 3 | b + (2/3)a ] [ 0 0 -11/10 | (7/10)b - (1/3)a + (7/10)c ] 3) Resolvemos o sistema a partir da matriz escalonada: z = (-7/11)(b + (2/3)a) + (1/11)(a - 7c) y = (3/10)(b + (2/3)a) - (7/30)(a - 7c) x = (1/3)a - (1/3)y - (1/9)z Portanto, a inversa de T é dada por T^-1(x,y,z) = (1/3)x - (1/3)y - (1/9)z, (3/10)x - (7/30)y + (2/11)z, (-7/11)x + (1/11)y + (1/11)z. A alternativa correta é a letra c.