Como eu faço pra aprender a soma de Gauss?

Consideremos a P.A. finita de razão r:a1+a2+a3+⋯+aN−2+aN−1+aN
A soma SN de seus N termos pode ser escrita como:
onde:

∙ a1 é o primeiro termo;
∙ aN é p enésimo termo;
∙ N é o número de termos;
∙ SN é a soma dos N termos.

Logo:
SN=(a1+aN)+(a1+aN)+⋯+(a1+aN)
Como sempre somamos dois termos da P.A. de N termos, teremos N/2parcela iguais a (a1+aN), o que nos leva à fórmula da soma dos termos de uma P.A. finita:SN=(a1+aN)N2(1)

Exemplo 1: Tomemos o problema que o professor passou a Gauss e seus colegas: Encontrar a soma dos números naturais de 1 a 100 utilizando a fórmula moderna.
Neste caso, precisamos somar os termos da sequência:SN=1+2+3+⋯+98+99+100
Observando a sequência acima, temos que a1=1, aN=100 e N=100. Aplicando na fórmula do termo geral obtida em (1), obtemos:SN=(a1+aN)N2=(1+100)1002=101002=5050
Que é a mesma soma obtida por Gauss.
Exemplo 2: Calcular a soma dos primeiros N números ímpares (1,3,5,⋯,2N−1,⋯), N∈N∗.SN=(a1+aN)N2=(1+2N−1)N2=2N22=N2
Portanto, a soma dos N primeiros números ímpares é igual a N2.
Vamos calcular a soma dos 50 primeiros números ímpares dessa sequência. O primeiro termo é a1=1. Para descobrirmos o quinquagésimo termo da sequência, fazemos: aN=2N−1⇒a50=2⋅50−1=99. Assim:SN=(a1+aN)N2=(1+99)502=2500
Ou simplesmente fazemos:
SN=N2=502=2500

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