Desenvolva os produtos notáveis ?

A primeira coisa que você deve saber para que você entenda essa questão; é saber os principais produtos notáveis, suas respectivas diferenças e como se desenvolvem.

Existem 7 tipos principais de produto notável:

O quadrado da Soma

Esse produto notável, é descrito da seguinte maneira:

( a + b )2 = a2 + 2 x a x b + b2

"O quadrado do primeiro ( aqui representado por 'a' ) mais 2 vezes o primeiro pelo segundo ( aqui representado por 'b' ) mais o quadrado do segundo.

Essa forma foi descoberta assim:

( a + b ) x ( a + b ) --> aplica-se o método do chuveirinho e fica:

a2 + a x b + a x b + b2 --> una os termos e obterá:

a2 + 2 x a x b + b2

A multiplicação é feita desse modo pois é o termo ( a + b ) inteiro que está elevado a dois.

O quadrado da diferença

Esse produto notável é semelhante ao descrito anteriormente, mas com uma pequena diferença:

( a - b )2 = a2 - 2 x a x b + b2

"O quadrado do primeiro ( aqui representado por 'a' ) menos 2 vezes o primeiro pelo segundo ( aqui representado por 'b' ) mais o quadrado do segundo.

Essa fórmula foi descoberta assim:

( a - b ) x ( a - b ) --> aplica-se o método do chuveirinho e fica:

a2 - a x b - a x b + b2 --> una os termos e obterá:

a2 - 2 x a x b + b2

A multiplicação é feita desse modo pois é o termo ( a - b ) inteiro que está elevado a dois.

O cubo da soma

Esse produto notável é assim:

( a + b )3 = a3 + 3 x a2 x b + 3 x a x b2 + b3

" O cubo do primeiro ( aqui representado por 'a' ) mais 3 vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo ( aqui representado por 'b' ) mais 3 vezes o primeiro pelo quadrado do segundo mais o cubo do segundo"

Essa fórmula foi descoberta assim:

( a + b ) x ( a + b ) x ( a + b ) --> pode-se aplicar o quadrado da soma:

( a2 + 2 x a x b + b2 ) x ( a + b ) --> e nisso aplica-se chuveirinho

a3 + a2 x b + 2 x a2 x b + 2 x a x b2 + a x b2 + b3 --> una os termos

a3 + 3 x a2 x b + 3 x a x b2 + b3

A multiplicação é feita desse modo pois é o termo ( a + b ) inteiro que está elevado a três.

O cubo da diferença

Esse produto notável também tem pouca mudança do visto acima:

( a - b )3 = a3 - 3 x a2 x b + 3 x a x b2 - b3

" O cubo do primeiro ( aqui representado por 'a' ) menos 3 vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo ( aqui representado por 'b' ) mais 3 vezes o primeiro pelo quadrado do segundo menos o cubo do segundo"

Essa fórmula foi descoberta assim:

( a - b ) x ( a - b ) x ( a - b ) --> pode-se aplicar o quadrado da diferença:

( a2 - 2 x a x b + b2 ) x ( a - b ) --> e nisso aplica-se chuveirinho

a3 - a2 x b - 2 x a2 x b + 2 x a x b2 + a x b2 - b3 --> una os termos

a3 - 3 x a3 x b + 3 x a x b2 - b3

A multiplicação é feita desse modo pois é o termo ( a - b ) inteiro que está elevado a três.

A diferença dos quadrados

Esse produto notável é diferente do demais pois os termos estão elevados ao quadrado de forma individual, ele se desenvolve assim:

a2 - b2 = ( a + b ) x ( a - b )

" O primeiro ( aqui representado por 'a' ) mais o segundo ( aqui representado por 'b' ) que multiplicam o primeiro menos o segundo"

Essa fórmula se prova assim:

( a + b ) x ( a - b ) --> aplica-se chuveirinho

a2 - a x b + a x b - b2 --> una os termos

a2 - b2

A soma dos cubos

Esse produto notável é diferente do quadrado da soma, pois se desenvolve da seguinte maneira:

a3 + b3 = ( a + b ) x ( a2 - a x b + b2 )

" O primeiro ( aqui representado por 'a' ) mais o segundo ( aqui representado por 'b' ) que multiplicam o quadrado do primeiro menos o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo"

Essa fórmula se prova assim:

( a + b ) x ( a2 - a x b + b2 ) --> Aplica-se chuveirinho

a3 - a2 x b + a x b + a2 x b - a x b3 + b3 --> una os termos

a3 + b3

A multiplicação é feita desse modo pois cada termo está elevado a três individualmente.

A diferença dos cubos

Esse produto notável é diferente do quadrado da soma, pois se desenvolve da seguinte maneira:

a3 + b3 = ( a + b ) x ( a2 - a x b + b2 )

" O primeiro ( aqui representado por 'a' ) mais o segundo ( aqui representado por 'b' ) que multiplicam o quadrado do primeiro menos o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo"

Essa fórmula se prova assim:

( a - b ) x ( a2 + a x b + b2 ) --> Aplica-se chuveirinho

a3 + a2 x b + a x b2 - a2 x b - a x b2 - b3 --> una os termos

a3 - b3

A multiplicação é feita desse modo pois cada termo está elevado a três individualmente.

A questão:

Depois de saber isso, basta observar em qual estrutura a questão dada se encaixa, veja:

1a questão: ( 2a + 3 )( 2a - 3 )

Com base nas explicações, é possível notar que essa questão se encaixa no produto notável ' A DIFERENÇA DOS QUADRADOS '.

Sabendo isso, use a estrutura apresentada na explicação:

( 2a + 3 )( 2a - 3 ) => ( 2a )2 - ( 3 )2 => 4a2 - 9

2a questão: ( y - 1/2)2

Com base nas explicações, é possível notar que essa questão se encaixa no produto notável ' O QUADRADO DA DIFERENÇA '.

Sabendo isso, use a estrutura apresentada na explicação:

( y - 1/2 )2 => ( y )2 - 2 x y x 1/2 + ( 1/2 )2 => y2 - y + 1/4

3a questão: ( √5 + √3 )( √5 - √3 )

Com base nas explicações, é possível notar que essa questão também se encaixa no produto notável ' A DIFERENÇA DOS QUADRADOS '.

Sabendo isso, use a estrutura apresentada na explicação:

( √5 + √3 )( √5 - √3 ) => ( √5 )2 - ( √3 )2 => 5 - 3 = 2

4a questão: ( a + b )( a - b )

Com base nas explicações, é possível notar que essa questão se encaixa no produto notável ' A DIFERENÇA DOS QUADRADOS '.

Sabendo isso, use a estrutura apresentada na explicação:

( a + b )( a - b ) => a2 - b2