Resolver a equação pelo método das exatas: (y+2xy³)⋅dx+(1+3x²y²+x)⋅dy=0

Com (y + 2xy^3) dx + (1 + 3x^2y^2 + x) dy = 0, tem-se:

-> Fx(x,y) = y + 2xy^3 (I)

-> Fy(x,y) = 1 + 3x^2y^2 + x (II)

Então, F(x,y) é:

-> F(x,y) = ∫Fx(x,y) dx

-> F(x,y) = ∫(y + 2xy^3) dx

-> F(x,y) = xy + x^2y^3 + h(y) (III)

Sabendo que h(y) é uma função dependente unicamente de y, a derivada de F(x,y) em y é:

-> Fy(x,y) = dF(x,y)/dy

-> Fy(x,y) = d(xy + x^2y^3 + h(y))/dy

-> Fy(x,y) = x + 3x^2y^2 + h'(y) (IV)

Igualando as equações (II) e (IV), h(y) é:

-> 1 + 3x^2y^2 + x = x + 3x^2y^2 + h'(y)

-> 1 = h'(y)

-> h(y) = ∫1 dy

-> h(y) = y + c, onde c é uma constante qualquer.

Portanto, pela equação (III), F(x,y) é:

-> F(x,y) = xy + x^2y^3 + h(y)

-> F(x,y) = xy + x^2y^3 + y + c

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