Calculo diferencial e integral I MOD 54

As otimizações de processos envolvendo fatores como custos, quantidade de material, tempo de operação, disponibilidade de mão de obra, entre outros, são aplicações práticas muito úteis relacionadas às derivadas primeiras, e segundas, de uma função. O procedimento corresponde, basicamente, a “traduzir” as informações disponíveis como uma função dependente dos fatores que se deseja otimizar e, então, aplicar os conceitos de derivada e ponto crítico.

Suponha que você foi contratado como estagiário em uma empresa que faz instalação de dutos, tubos, canos e sistemas de bombeamento, e que sempre participa das atividades de instalação como auxiliar. Para uma determinada instalação, que será feita na zona rural, a seguinte situação surgiu:

O proprietário decidiu que seria instalado um único sistema, que iria do açude mais próximo para a plantação (irrigação) e depois abasteceria a casa (dessedentação de animais, limpeza geral e sanitários, por exemplo). Para esse caso, as informações disponíveis são:

Para esse caso, considere:

- Distância vertical entre a casa e a plantação de 400 metros, a distância vertical entre o açude e a plantação de 600 metros e a distância horizontal entre o açude e a casa de 1000 metros;

- A bomba próxima à plantação pode ser instalada mais perto do açude ou da casa, dependendo do resultado da otimização;

- As linhas em azul representam a tubulação.

Agora é com você, ajude no processo de escolha da melhor forma de instalação desse sistema, ou seja, com o menor comprimento de canos, respondendo aos seguintes questionamentos:

a) Qual a função que descreve o comprimento de tubulação que parte do açude, passa pela plantação e segue para a casa?

b) Qual a menor tamanho de tubulação necessária para se fazer a instalação segundo a decisão do proprietário? (otimizar a função da letra “a”)

c) Considerando que o metro de tubulação custa R$ 5,00, que a bomba do açude custa R$ 800,00, que a bomba posicionada próxima a irrigação custa R$ 650,00 e que a mão de obra da empresa para o procedimento de instalação foi de R$ 500,00, calcule o custo total.

Cálculo I

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UniCesumar

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Estudante PD

16/10/2020

💡 16 Respostas

Mateus Mera

17.10.2020

Achei o enunciado um pouco confuso, mas imagino que seja esta a solução:

a) Vamos chamar de x a distância HORIZONTAL da casa até a plantação, dessa forma, a distância horizontal da plantação até o açude passa é (1-x).

Agora temos dois triângulos retângulos, um de catetos x e 0,4 km e um outro de catetos 0,6km e (1-x), o comprimento da tubulação pode ser calculado simplesmente utilizando Pitágoras.

f(x)= √(0,4^2+x^2) + √[0,6^2+(1-x)^2]

Além disso, precisamos determinar o domínio de f, como a distância entre o açude e a casa é 1km, x pode variar de 0 a 1km, então:

dom(f)=[0, 1]

b) Para utilizar o menor comprimento de tubulação, devemos minimizar a função f. Como função é contínua e está definida para [0,1], o Teorema de Weierstrass garante a existência de um ponto de máximo e de um ponto de mínimo nesse intervalo.

Basta derivar e igualar a derivada a zero.

f'(x)=0. Estou cansado agora, então digitei nessa calculadora online de derivada: (Symolab é um site muito bom pra resolver problemas de cálculo :P)

https://pt.symbolab.com/solver/derivative-calculator/%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cleft(%5Csqrt%7B0%2C4%5E%7B2%7D%2Bx%5E%7B2%7D%7D%2B%5Csqrt%7B0%2C%206%5E%7B2%7D%2B%5Cleft(1-x%5Cright)%5E%7B2%7D%7D%5Cright)

Como as derivadas estão definidas apenas para o interior do intervalo, devermos verificar os pontos dos extremos de intervalo

f(0)= 1,0077 km

f(1)= 1,166 km

Termine as contas e verifique qual ponto minimiza a função.

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