Questão

.

1. (0,5) Com relação à programação linear (PL), marque a alternativa correta:

a) Programação linear (PL) é uma técnica de maximização aplicada em sistemas de  equações lineares.

b) Trata-se de uma aplicação não matemática utilizada por profissionais para  problemas relativos à produção, por exemplo.

c) É uma programação baseada em funções lineares utilizada em problemas em que  não há restrições.

d) Quando se fala de problemas de otimização, significa que queremos  exclusivamente maximizar os lucros.

e) Nos casos de maximização e minimização, é necessário verificar a função objetivo  e as restrições apresentadas pelo sistema analisado.

2. (1,0) Marque a opção que está relacionada corretamente às restrições em programação linear (PL):

a) Em um problema de PL, ou há a função objetivo ou há as restrições. b) As restrições de igualdade são representadas por inequações.

c) Na prática, as limitações, que são denominadas restrições do problema PL, podem  ser disponibilidade de matéria prima, capacidade da produção, mão de obra e  limitações no preço.

d) O uso de sa (“sujeita a”) indica que temos uma função objetivo que está sujeita à  otimização.

e) São chamados de restrições de negatividade os termos x1, ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0.

3. (1,0) Supondo que uma indústria de implementos agrícolas produza os modelos A e B, que proporcionam lucros unitários de R$ 16,00 e R$ 30,00 respectivamente. A exigência de produção mínima mensal é de 20 unidades para o modelo A e de 120 para o modelo B. Cada tipo de implemento requer certa quantidade de tempo para a fabricação das partes que os compõem, para a montagem e para os testes de qualidade. Ou seja, uma dúzia de unidades do modelo A requer 3 horas para fabricar, 4 horas para montar e 1 hora para testar. Considerando, ainda, que uma dúzia de unidades do modelo B requer 3,5 horas para fabricar, 5 horas para montar e 1,5 hora para testar. Contudo, durante o próximo mês, a fábrica terá disponível 120 horas de tempo de fabricação, 160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. De acordo com a imagem do gráfico, assinale a alternativa correta:

a) A função objetivo é, no próximo mês, fabricar em 120 horas.

b) X1 é a quantidade de implementos do modelo A.

c) O tempo total gasto para a produção de 20 peças do modelo A é de 8 horas. d) Para o próximo mês, há somente duas restrições: 160 horas de tempo para  montagem e 48 horas para testes de qualidade

e) A função objetivo é = 120x1 + 20x2.

4. (1,0) Suponha que uma fábrica produza dois tipos de aço: normal e especial. Uma tonelada de aço normal requer 2 horas no forno de soleira aberta e 5 horas de molho; uma tonelada de aço especial requer 2 horas no forno de soleira aberta e 3 horas de molho. O forno de soleira aberta está disponível 8 horas por dia, e o molho está disponível 15 horas por dia. O lucro para 1 tonelada de aço normal é de $120,00 e para 1 tonelada de aço especial é de $100,00. A empresa precisa produzir diariamente no mínimo 2 toneladas de aço normal e 1 tonelada de aço especial. Com base nesse problema, marque a alternativa correta.

a) 1 tonelada de aço normal é uma restrição.

b) X1 é a quantidade, em toneladas, de aço especial.

c) Para maximizar os lucros, é preciso produzir 2 toneladas de aço especial. d) Produzir no mínimo 2 toneladas de aço normal é uma variável.

e) A disponibilidade diária de 8 horas para o forno de soleira e 15 horas para o forno  de molho é uma restrição do problema.

5. (1,5) Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente a oficina fábrica apenas dois tipos de mesas: mesa 1 e mesa 2 , ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, será considerado que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.

Recurso

Mesa 1

Mesa 2

Disponibilidade

Madeira

2 m2

3 m2

12m2

Mão-de-obra

2h

1h

8h

Lucro

R$4

R$1

Conforme apresentado na tabela acima, processo de produção é tal que, para fazer uma mesa do tipo 1, a fábrica gasta 2m2de madeira e 2 horas de mão-de-obra. Para fazer uma mesa do tipo 2, a fábrica gasta 3m2de madeira e 1 hora de mão-de-obra. Além disso,

o fabricante sabe que cada mesa do tipo 1dá uma margem de contribuição para o lucro de R$4 e cada mesa do tipo 2 dá uma margem de $1. O problema do fabricante é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro. Determine um modelo de programação linear, maximizando o lucro do problema acima

R. Maximizar Z = 4 X1 + 1 X2

6. (1,0) O método simplex é formado por um grupo de critérios para escolha de sol lições básicas que melhorem o desempenho do modelo, e também de um teste de otimalidade. Para isso, o problema deve apresentar uma solução básica inicial. As soluções básicas subsequentes são calculadas com a troca de variáveis básicas por não básicas, gerando novas soluções. Os critérios para escolha de vetores e consequentemente das variáveis que entram e saem para a formação da nova base constituem o centro do simplex. Suponhamos inicialmente que o modelo apresente uma solução básica inicial. Os modelos com restrições do tipo ≤ e com termos da direita não negativos têm uma solução básica formada pelas variáveis de folga.

A seguir é apresentado uma planilha que representa o resultado de final de problema de programação linear resolvido pelo do método simplex. A partir da planilha, faça o que se pede nos itens a seguir:

Z

x1

x2

x3

x4

b

1

0

0

2,333333

1,666667

18

0

1

0

0,666667

 0,333333

4

0

0

1

-0,33333

 0,333333

2

a) (0,5) Sabendo que x1 e x2 são as variáveis de decisão; x3 e x4 são as folgas do problema, determine o valor da solução ótima.

b) (0,5) Determine os valores das variáveis básicas da planilha final dada.

7. (1,0) Com base nas informações e na tabela a seguir, marque a alternativa que está relacionada corretamente:

• A empresa fabrica dois modelos de calçados: sandálias e sapatos. • As principais matérias-primas empregadas para a fabricação dos calçados são couro e borracha.

• O sapato consome 400 g de couro e 300 g de borracha.

• A sandália consome 700 g de couro e 150 g de borracha.

• O lucro unitário referente à sandália é de R$ 12,00.

• O lucro unitário referente ao sapato é de R$ 15,00.

• A produção de sandálias não pode ultrapassar 700 unidades.

Tabela - Tabela final da Industria de Calçados

Z

x1

x2

x3

x4

x5

b

1

0

0

9

38

0

31800

0

1

0

2

-2,66

0

400

0

0

1

-1

4,66

0

1800

0

0

0

-2

2,66

1

300

a) As variáveis básicas são: X1, X2 e X3.

b) As variáveis básicas são: X1, X2 e X4.

c) As variáveis não básicas são: X1, X2 e X5.

d) As variáveis não básicas são: X1, X2 e X4.

e) A solução ótima é R$ 300

8. (1,0) Observe o problema linear abaixo:

MAX Z = 3X1 + 5X2

S.A.

X1 - 4 X2 ≤ 6

3X1 - 2X2 ≤ 18

X1, X2 ≥ 0

Marque a opção que corresponde ao dual do problema de programação linear acima é:

a) MAX Z = 3X1 + 5X2

S.A.

X1 +3 X2 ≤ 6

-4X1 - 2X2 ≤ 18

X1, X2 ≥ 0

b) MAX Z = 6X1 + 18X2

S.A.

X1 +3 X2 ≤ 3

-4X1 - 2X2 ≤ 5

X1, X2 ≥ 0

c) MIN Z = 6X1 + 18X2

S.A.

X1 +3 X2 ≤ 3

-4X1 - 2X2 ≤ 5

X1, X2 ≥ 0

d) MIN Z = 6X1 + 18X2

S.A.

X1 +3 X2 ≥ 3

4X1 + 2X2 ≥ 5

X1, X2 ≥ 0

e) MIN Z = 6X1 + 18X2

S.A.

X1 +3 X2 ≥ 3

-4X1 - 2X2 ≥ 5

X1, X2 ≥ 0

9. (2,0) Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $ 150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

Produto Recurso R3 por

Recurso R1 por unidade

Recurso R2 por unidade

2

4

3

2

100

90

unidade

P1 5 P2 3 Disponibilidade 

de recursos por mês

120

a) (1,0) Construa o modelo do sistema acima que represente maior lucro para empresa.

b) (1,0) Resolva a sistema determinado na letra a, por meio do simplex.1. (0,5) Com relação à programação linear (PL), marque a alternativa correta:

a) Programação linear (PL) é uma técnica de maximização aplicada em sistemas de  equações lineares.

b) Trata-se de uma aplicação não matemática utilizada por profissionais para  problemas relativos à produção, por exemplo.

c) É uma programação baseada em funções lineares utilizada em problemas em que  não há restrições.

d) Quando se fala de problemas de otimização, significa que queremos  exclusivamente maximizar os lucros.

e) Nos casos de maximização e minimização, é necessário verificar a função objetivo  e as restrições apresentadas pelo sistema analisado.

2. (1,0) Marque a opção que está relacionada corretamente às restrições em programação linear (PL):

a) Em um problema de PL, ou há a função objetivo ou há as restrições. b) As restrições de igualdade são representadas por inequações.

c) Na prática, as limitações, que são denominadas restrições do problema PL, podem  ser disponibilidade de matéria prima, capacidade da produção, mão de obra e  limitações no preço.

d) O uso de sa (“sujeita a”) indica que temos uma função objetivo que está sujeita à  otimização.

e) São chamados de restrições de negatividade os termos x1, ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0.

3. (1,0) Supondo que uma indústria de implementos agrícolas produza os modelos A e B, que proporcionam lucros unitários de R$ 16,00 e R$ 30,00 respectivamente. A exigência de produção mínima mensal é de 20 unidades para o modelo A e de 120 para o modelo B. Cada tipo de implemento requer certa quantidade de tempo para a fabricação das partes que os compõem, para a montagem e para os testes de qualidade. Ou seja, uma dúzia de unidades do modelo A requer 3 horas para fabricar, 4 horas para montar e 1 hora para testar. Considerando, ainda, que uma dúzia de unidades do modelo B requer 3,5 horas para fabricar, 5 horas para montar e 1,5 hora para testar. Contudo, durante o próximo mês, a fábrica terá disponível 120 horas de tempo de fabricação, 160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. De acordo com a imagem do gráfico, assinale a alternativa correta:

a) A função objetivo é, no próximo mês, fabricar em 120 horas.

b) X1 é a quantidade de implementos do modelo A.

c) O tempo total gasto para a produção de 20 peças do modelo A é de 8 horas. d) Para o próximo mês, há somente duas restrições: 160 horas de tempo para  montagem e 48 horas para testes de qualidade

e) A função objetivo é = 120x1 + 20x2.

4. (1,0) Suponha que uma fábrica produza dois tipos de aço: normal e especial. Uma tonelada de aço normal requer 2 horas no forno de soleira aberta e 5 horas de molho; uma tonelada de aço especial requer 2 horas no forno de soleira aberta e 3 horas de molho. O forno de soleira aberta está disponível 8 horas por dia, e o molho está disponível 15 horas por dia. O lucro para 1 tonelada de aço normal é de $120,00 e para 1 tonelada de aço especial é de $100,00. A empresa precisa produzir diariamente no mínimo 2 toneladas de aço normal e 1 tonelada de aço especial. Com base nesse problema, marque a alternativa correta.

a) 1 tonelada de aço normal é uma restrição.

b) X1 é a quantidade, em toneladas, de aço especial.

c) Para maximizar os lucros, é preciso produzir 2 toneladas de aço especial. d) Produzir no mínimo 2 toneladas de aço normal é uma variável.

e) A disponibilidade diária de 8 horas para o forno de soleira e 15 horas para o forno  de molho é uma restrição do problema.

5. (1,5) Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente a oficina fábrica apenas dois tipos de mesas: mesa 1 e mesa 2 , ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, será considerado que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.

Recurso

Mesa 1

Mesa 2

Disponibilidade

Madeira

2 m2

3 m2

12m2

Mão-de-obra

2h

1h

8h

Lucro

R$4

R$1

Conforme apresentado na tabela acima, processo de produção é tal que, para fazer uma mesa do tipo 1, a fábrica gasta 2m2de madeira e 2 horas de mão-de-obra. Para fazer uma mesa do tipo 2, a fábrica gasta 3m2de madeira e 1 hora de mão-de-obra. Além disso,

o fabricante sabe que cada mesa do tipo 1dá uma margem de contribuição para o lucro de R$4 e cada mesa do tipo 2 dá uma margem de $1. O problema do fabricante é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro. Determine um modelo de programação linear, maximizando o lucro do problema acima

R. Maximizar Z = 4 X1 + 1 X2

6. (1,0) O método simplex é formado por um grupo de critérios para escolha de sol lições básicas que melhorem o desempenho do modelo, e também de um teste de otimalidade. Para isso, o problema deve apresentar uma solução básica inicial. As soluções básicas subsequentes são calculadas com a troca de variáveis básicas por não básicas, gerando novas soluções. Os critérios para escolha de vetores e consequentemente das variáveis que entram e saem para a formação da nova base constituem o centro do simplex. Suponhamos inicialmente que o modelo apresente uma solução básica inicial. Os modelos com restrições do tipo ≤ e com termos da direita não negativos têm uma solução básica formada pelas variáveis de folga.

A seguir é apresentado uma planilha que representa o resultado de final de problema de programação linear resolvido pelo do método simplex. A partir da planilha, faça o que se pede nos itens a seguir:

Z

x1

x2

x3

x4

b

1

0

0

2,333333

1,666667

18

0

1

0

0,666667

 0,333333

4

0

0

1

-0,33333

 0,333333

2

a) (0,5) Sabendo que x1 e x2 são as variáveis de decisão; x3 e x4 são as folgas do problema, determine o valor da solução ótima.

b) (0,5) Determine os valores das variáveis básicas da planilha final dada.

7. (1,0) Com base nas informações e na tabela a seguir, marque a alternativa que está relacionada corretamente:

• A empresa fabrica dois modelos de calçados: sandálias e sapatos. • As principais matérias-primas empregadas para a fabricação dos calçados são couro e borracha.

• O sapato consome 400 g de couro e 300 g de borracha.

• A sandália consome 700 g de couro e 150 g de borracha.

• O lucro unitário referente à sandália é de R$ 12,00.

• O lucro unitário referente ao sapato é de R$ 15,00.

• A produção de sandálias não pode ultrapassar 700 unidades.

Tabela - Tabela final da Industria de Calçados

Z

x1

x2

x3

x4

x5

b

1

0

0

9

38

0

31800

0

1

0

2

-2,66

0

400

0

0

1

-1

4,66

0

1800

0

0

0

-2

2,66

1

300

a) As variáveis básicas são: X1, X2 e X3.

b) As variáveis básicas são: X1, X2 e X4.

c) As variáveis não básicas são: X1, X2 e X5.

d) As variáveis não básicas são: X1, X2 e X4.

e) A solução ótima é R$ 300

8. (1,0) Observe o problema linear abaixo:

MAX Z = 3X1 + 5X2

S.A.

X1 - 4 X2 ≤ 6

3X1 - 2X2 ≤ 18

X1, X2 ≥ 0

Marque a opção que corresponde ao dual do problema de programação linear acima é:

a) MAX Z = 3X1 + 5X2

S.A.

X1 +3 X2 ≤ 6

-4X1 - 2X2 ≤ 18

X1, X2 ≥ 0

b) MAX Z = 6X1 + 18X2

S.A.

X1 +3 X2 ≤ 3

-4X1 - 2X2 ≤ 5

X1, X2 ≥ 0

c) MIN Z = 6X1 + 18X2

S.A.

X1 +3 X2 ≤ 3

-4X1 - 2X2 ≤ 5

X1, X2 ≥ 0

d) MIN Z = 6X1 + 18X2

S.A.

X1 +3 X2 ≥ 3

4X1 + 2X2 ≥ 5

X1, X2 ≥ 0

e) MIN Z = 6X1 + 18X2

S.A.

X1 +3 X2 ≥ 3

-4X1 - 2X2 ≥ 5

X1, X2 ≥ 0

9. (2,0) Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $ 150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

Produto Recurso R3 por

Recurso R1 por unidade

Recurso R2 por unidade

2

4

3

2

100

90

unidade

P1 5 P2 3 Disponibilidade 

de recursos por mês

120

a) (1,0) Construa o modelo do sistema acima que represente maior lucro para empresa.

b) (1,0) Resolva a sistema determinado na letra a, por meio do simplex.