Alguém pode ajudar algebra linear e geometria analítica?

1)

A equação de uma circunferência de raio r e centro C(x0,y0) é (x - x0)² + (y - y0)² = r². Substituindo C(x0,y0) = C(2,-1) e r = 3:

-> (x - x0)² + (y - y0)² = r²

-> (x - 2)² + (y + 1)² = 3²

Equação reduzida:

-> (x - 2)² + (y + 1)² = 9

Equação geral:

-> (x² - 4x + 4) + (y² + 2y + 1) = 9

-> x² - 4x + y² + 2y + 5 = 9

-> x² - 4x + y² + 2y - 4 = 0

2)

A equação de uma circunferência de raio r e centro C(x0,y0) é (x - x0)² + (y - y0)² = r². Então:

-> x² + y² - 6x + 8y + 24 = 0

-> (x² - 6x) + (y² + 8y) = - 24

-> (x² - 6x + 9) + (y² + 8y + 16) = - 24 + 9 + 16

-> (x - 3)² + (y + 4)² = 1²

Centro C(3, -4) e raio r = 1.

3)

Para achar a equação do plano, deve-se achar o vetor normal n ao plano. Para achar n, deve-se achar dois vetores contidos nesse plano.

Vetor u entre A(-2, 3, 1) e B(2, -1, 3):

-> u = B - A

-> u = (4, -4, 2)

Vetor v entre A(-2, 3, 1) e C(2, 0, 1):

-> v = C - A

-> v = (4, -3, 0)

Vetor normal n do plano que contém os pontos A, B e C:

-> n = u x v

-> n = (4, -4, 2) x (4, -3, 0)

| i j k |

-> n = | 4 -4 2 |

| 4 -3 0 |

-> n = (-4*0 + 2*3)i + (2*4 - 4*0)j + (-4*3 + 4*4)k

-> n = (6)i + (8)j + (4)k

-> n = (6, 8, 4)

Portanto, a equação do plano é:

-> 6x + 8y + 4z = k

-> 3x + 4y + 2z = K, onde k e K são constantes.

Agora, para achar o valor de K, substitui-se o ponto A, B ou C. Substituindo o ponto C(2, 0, 1), o valor de K é:

-> K = 3x + 4y + 2z

-> K = 3*2 + 4*0 + 2*1

-> K = 6 + 0 + 2

-> K = 8

Portanto, a equação do plano determinado pelos pontos A, B e C são:

-> 3x + 4y + 2z = 8

4)

Substituindo x = m + 1, y = 2m - 3 e z = - m + 3 na equação do plano 3x - 2y + 4z - 11 = 0, o valor de m é:

-> 3x - 2y + 4z - 11 = 0

-> 3(m + 1) - 2(2m - 3) + 4(- m + 3) - 11 = 0

-> 3m + 3 - 4m + 6 - 4m + 12 - 11 = 0

-> - 5m + 10 = 0

-> 5m = 10

-> m = 2

Portanto, o ponto de interseção é:

-> P(x, y, z) = P(m + 1, 2m - 3, -m + 3)

-> P(x, y, z) = P(2 + 1, 2*2 - 3, -2 + 3)

-> P(x, y, z) = P(3, 1, 1)

5)

Vetor normal de 2x - 3y + z - 5 = 0: u = (2, -3, 1)

Vetor normal de x + 2y - 3z + 7 = 0: v = (1, 2, -3)

A interseção entre dois planos é uma reta, cujo vetor diretor r é o produto vetorial u x v. Portanto, o vetor r é:

-> r = u x v

-> r = (2, -3, 1) x (1, 2, -3)

| i j k |

-> r = | 2 -3 1 |

| 1 2 -3 |

-> r = (3*3 - 1*2)i + (1*1 + 2*3)j + (2*2 + 3*1)k

-> r = (7)i + (7)j + (7)k

-> r = (7, 7, 7)

Um vetor diretor multiplicado por um escalar continua sendo um vetor diretor. Portanto, o novo vetor r é:

-> r = (7, 7, 7)*1/7

-> r = (1, 1, 1)

Ponto qualquer que passa pelos planos 2x - 3y + z - 5 = 0 e x + 2y - 3z + 7 = 0: fazendo z = 0, por exemplo, os valores de x e y são:

{ x = - 11/7

{ y = - 19/7

Portanto, um ponto qualquer dos dois planos é: P(x0, y0, z0) = P(-11/7, -19/7, 0).

Conhecendo o vetor diretor r = (rx, ry, rz) = (1, 1, 1), a equação paramétrica da reta r é:

{ x = x0 + rx*t -> { x = -11/7 + t

{ y = y0 + ry*t -> { y = -19/7 + t

{ z = z0 + rz*t -> { z = 0 + t

Se gostou, dá um joinha!