Encontrar a área da região sombreada delimitada pela y=x² raiz 6x³+5 e as retas y = 0, x = 0 e x = 1?

Integral de área entre y1 = 0 e y2 = x²√( 6x³ + 5 ):

-> I = ∫ [ y2 - y1 ] dx

-> I = ∫ [ x²√( 6x³ + 5 ) - 0 ] dx

-> I = ∫ x²√( 6x³ + 5 ) dx

Pela substituição u = 6x³ + 5, tem-se du = 18x² dx. Com isso:

-> I = 1/18 ∫ 18x²√( 6x³ + 5 ) dx

-> I = 1/18 ∫ √( u ) du

-> I = 1/18 ∫ u^(1/2) du

-> I = 1/18 [ u^(1/2 + 1)/(1/2 + 1) ]

-> I = 1/18 [ u^(3/2)/(3/2) ]

-> I = 1/18 * (2/3) u^(3/2)

-> I = 1/27 u^(3/2)

-> I = 1/27 (6x³ + 5)^(3/2)

Substituindo x0 = 0 e x1 = 1, o valor de I é:

-> I = 1/27 [ (6x1³ + 5)^(3/2) - (6x0³ + 5)^(3/2) ]

-> I = 1/27 [ (6*1³ + 5)^(3/2) - (6*0³ + 5)^(3/2) ]

-> I = 1/27 [ (6 + 5)^(3/2) - (0 + 5)^(3/2) ]

-> I = 1/27 [ 11^(3/2) - 5^(3/2) ]

-> I = 1/27 [ 36,48 - 11,18 ]

-> I = 0,937

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