Calcule ∫ 1 0 xf ′(x) dx, sabendo que f(1) = 2 e que ∫ 1 0 f(t) dt é igual a área da região R entre o gráfico de y = −x2 e as retas y = 1, x = ...

Vamos começar usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Seja F(x) uma primitiva de f(x), então: ∫ 1 0 xf ′(x) dx = [x F(x)]1_0 - ∫ 1 0 F(x) dx Agora, precisamos encontrar F(x). Sabemos que f(1) = 2, então podemos usar a regra da cadeia para encontrar F(x): F'(x) = f(x) F'(1) = f(1) = 2 F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ 2 dx = 2x + C Para encontrar C, usamos a informação de que ∫ 1 0 f(t) dt é igual à área da região R entre o gráfico de y = −x² e as retas y = 1, x = 0 e x = 1. Podemos encontrar essa área calculando a integral dupla: ∫∫ R dA = ∫ 1 0 ∫ 1 -x² 1 dy dx = ∫ 1 0 (1 - x²) dx = [x - (x³/3)]1_0 = 2/3 Mas essa área também é igual a ∫ 1 0 f(t) dt, então: ∫ 1 0 f(t) dt = 2/3 Usando isso, podemos encontrar C: F(1) = 2 = 2(1) + C C = 0 Agora podemos voltar para a integral original: ∫ 1 0 xf ′(x) dx = [x F(x)]1_0 - ∫ 1 0 F(x) dx = [x(2x) - 0]1_0 - ∫ 1 0 (2x) dx = 2 - [x²]1_0 = 2 - 1 = 1 Portanto, ∫ 1 0 xf ′(x) dx = 1.