Questão resolvida - Dentre todos os retângulos de perímetro 36 e lados medindo sqrt{x} e sqrt{y} (ver figura), qual é o valor de X de modo que a área seja máxima_ - maximização por meio de derivada -

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dentre todos os retângulos de perímetro 36 e lados medindo e (ver figura), x y
qual é o valor de X de modo que a área seja máxima?
 
Resolução:
 
A área desse retângulo é: A x, y = ⋅( ) x y
É preciso colocar x em função de y, ou o contrário, para possibilitar a derivada com o intuito 
de maximizar as dimensões do retângulo. Para isso vamos usar o perímetro;
P x = 2 + 2 2 + 2 = 36 2 + 2 = 100 ÷ 2 + = 18( ) x y→ x y → x y → x y
= 18 - y = 18 -→ y
2
x
2
→ x
2
 
Substituindo na equação da área :
 
A x = ⋅ A x = ⋅ 18 - A x = 18 -( ) x 18 - x
2
→ ( ) x x → ( ) x x
2
 
A x = 18 - x A x = 18x - x( ) x → ( )
1
2
 
Para encontrar as maiores dimensões para o retângulo de perímetro 36, devemos achar a
 derivada A' x , depois, fazemos A' x = 0, o x encontrado é o ponto de máximo :( ) ( )
 
 
 
A x = 18x - x A' x = ⋅ 18x - 1 A' x = 9x - 1 A' x = 9x - 1( )
1
2 → ( )
1
2
-1
1
2
→ ( )
1 - 2
2
→ ( )
-
1
2
 
A' x = - 1( )
9
x
1
2
 
A' x = 0 - 1 = 0 = 1 9 = x = 9 x = 81 u. c.( ) →
9
x
1
2
→
9
x
1
2
→
1
2 → x
2
( )2 →
 
Logo, o valor máximo se dá quando x = 81, substituindo na relação encontrada usando
o perímetro do retângulo, encontramos o valor de máximo para y;
 
y = 18 - y = 18 - y = 18 - 8 y = 9 y = 81 u. c.x
2
→ 81
2
→ ( )2 → ( )2 →
 
Assim, as dimensões do retângulo de perímetro 100 m se dá para :
 
 x = 81 u. c. e y = 81 u. c.
 
Perceba que com essas dimensões o retângulo vira um quadrado que é um (
caso particular de retângulo)
 
 
(Resposta )