sel310-A24 Guia met retangular Sel310 612

Prévia do material em texto

Guia Metálico de Seção Retangular
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
� Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia de curso de engenharia de 
computação.
� Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
� solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL06/06/2012
Guiamento
�Finalidade : Conduzir energia eletromagnética
de um ponto para outro
�Modos de Propagação 
• Arranjo único de campos elétrico e magnético que
• Satisfaz todas as equações de Maxwell
• Satisfaz as condições de contorno impostas pela • Satisfaz as condições de contorno impostas pela 
geometria da estrutura
• Os vários modos correspondem às diferentes soluções 
das equações de onda
�Como obter as soluções 
• Resolvendo a equação de onda
06/06/2012 3SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Classificação dos Modos-1
Modo TEM (eletro magnético transversal)
0
z z
E H= =
Componentes de E e H diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
06/06/2012 4SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Modo TE (elétrico transversal)
0 ; 0E Hz z= ≠
Componentes de E diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
Classificação dos Modos-2
Modo TM (magnétrico transversal)
0 ; 0H Ez z= ≠
Componentes de E diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
06/06/2012 5SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Modos Híbridos HE ou EH
0 ; 0H Ez z≠ ≠
Possuem 5 ou 6 componentes de campos
Forma e Notação dos Campos-1
Suposições 
Guias sem perdas:
Dielétricos ideais (sem perdas)
Metais condutores perfeitos
exp( )j tωFator de variação temporal: 
exp( )jk z−Fator de variação espacial: 
06/06/2012 6SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Os campos são da forma
( ) ( ) ( ), , , ( , ) , zjk zx y zE x y z E x y x E x y y E x y z e− = + +  
ɵ ɵ ɵ
exp( )
z
jk z−Fator de variação espacial: 
Forma e Notação dos Campos-2
z
H
jk H j Eω ε
∂
+ =
e
z
j jk
t z
ω
∂ ∂
= = −
∂ ∂
Meio isento de fontes e com
Da equação de Maxwell H j Dω∇× =
06/06/2012 7SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
z y x
z
z x y
z x
z
jk H j E
y
H
jk H j E
x
H H
j E
x y
ω ε
ω ε
ω ε
+ =
∂
∂
− − =
∂
∂ ∂
− =
∂ ∂
Forma e Notação dos Campos-3
e
z
j jk
t z
ω
∂ ∂
= = −
∂ ∂
Meio isento de fontes e com
Da equação de Maxwell E j Bω∇× = −
z
E
jk E j Hωµ
∂
+ = −
06/06/2012 8SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
z y x
z
z x y
z x
z
E
jk E j H
y
E
jk E j H
x
E E
j H
x y
ωµ
ωµ
ωµ
∂
+ = −
∂
∂
− − = −
∂
∂ ∂
− =
∂ ∂
Guia metálico e sistema de coordenadas
y
06/06/2012 9SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
x
z
a
b
Equações de Onda
( )2 21 0
0
t z
z
k H
E
∇ + = = 
( )2 2 0k E ∇ + = 
Conjunto de soluções TE
06/06/2012 10SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )2 21 0
0
t z
z
k E
H
∇ + = = 
2 2
2
2 2t x y
∂ ∂
∇ = +
∂ ∂
nas quais
Conjunto de soluções TM
Solução via método da separação de variáveis-1
( )2 21 0t zk A∇ + =
Para cada valor de k1 corresponderá uma função Az
Solução é da forma:
( ) ( ) ( ),zA x y X x Y y=
06/06/2012 11SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( ) ( ),zA x y X x Y y=
2 2
2
12 2
d X Y
Y X k XY
dx y
∂
+ = −
∂
2 2
2
12 2
1 1d X Y
k
X Ydx y
∂
+ = −
∂
dividindo 
por (XY)
Solução via método da separação de variáveis-2
A soma é constante para qualquer valor de x e y 
2
2
2
1
x
d X
k
X
=−
Cada termo separadamente deve ser constante
2
2
2
1
y
Y
k
Y y
∂
=−
∂
e
06/06/2012 12SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2 x
k
X dx
=−
2 2 2 2 2
1x y z
k k k kω µ ε+ = − ≡
2 y
k
Y y
=−
∂
equação de separação
Substituindo a solução na equação de onda resulta em
Solução via método da separação de variáveis-3
As soluções das equações de onda 
( )2 21 , 0t z zk E H∇ + =
( ) ( ) ( ), exp( )z zA x y X x Y y jk z= −
são da forma
06/06/2012 13SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )( ) cos seny yY y C k y D k y= +
A, B, C e D : constantes a serem determinadas pelas condições de contorno
( )( ) cos senx xX x A k x B k x= +
na qual
Condições de contorno
Soluções do tipo TE
Região interior do guia: 
interface ar-metal.
componentes tangenciais 
de campos elétrico e magnético
são nulas.
y
b
y b= xE
y
E
06/06/2012 14SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0
z
E =
Soluções do tipo TE
( )0 ( ) 0x xE y E y b= = = =
( )0 ( ) 0y yE x E x a= = = =
x
z a
b
0y =
0x = x a=
Campos dos modos TE-1
2
1
z
x
H
E j
yk
ωµ ∂
= −
∂
2
z
y
H
E j
xk
ωµ ∂
=
∂
2
1
1 z z
x z
E H
E j k
x yk
ωµ
 ∂ ∂ = − + ∂ ∂  
2
1 z z
y z
E H
E j k
y x
ωµ
 ∂ ∂ = − − ∂ ∂
0
z
E =Componentes dos campos 
06/06/2012 15SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2
1
y
E j
xk
=
∂
2
1
z z
x
k H
H j
xk
∂
= −
∂
2
1
z z
y
k H
H j
yk
∂
= −
∂
2
1
y z
E j k
y xk
ωµ = − − ∂ ∂  
2
1
1 z z
x z
H E
H j k
x yk
ωµ
 ∂ ∂ = − − ∂ ∂  
2
1
1 z z
y z
H E
H j k
y xk
ωµ
 ∂ ∂ = − + ∂ ∂  
Campos dos modos TE-2
( )0 ( ) 0x xE y E y b= = = =
2
1
z
x
H
E j
yk
ωµ ∂
= −
∂
06/06/2012 16SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2
1
0
k
ωµ
≠Supondo
0,
0z
y b
H
y
=
∂
=
∂
x
z
y
a
b
x
z
y
a
b
Campos dos modos TE-3
2
1
z
y
H
E j
xk
ωµ ∂
=
∂
( )0 ( ) 0y yE x E x a= = = =
06/06/2012 17SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2
1
0
k
ωµ
≠Supondo
0,
0z
x a
H
x
=
∂
=
∂
1
x
z
y
a
b
x
z
y
a
b
Determinação das amplitudes de campo-1
( )( )co s sen co s sen zjk zz x x y yH A k x B k x C k y D k y e −= + +
( , ) ( ) ( )
z
H x y X x Y y=
( )sen cos ( )z y y y
H
k C k y D k y X x
y
∂
= − +
∂
06/06/2012 18SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )y y yy∂
0
( ) 0z
y
y
H
Dk X x
y
=
∂
= =
∂
Solução: 0D =
Determinação das amplitudes de campo-2
( , ) ( ) ( )
z
H x y X x Y y=
( )sen cos ( )z x x x
H
k A k x D k x Y y
x
∂
= − +
∂
( )( )co s sen co s sen zjk zz x x y yH A k x B k x C k y D k y e −= + +
06/06/2012 19SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
x∂
0
( ) 0z
x
x
H
Bk Y y
x
=
∂
= =
∂
Solução: 0B =
Determinação das amplitudes de campo-3
( )( )co s co s zjk zz x yH A k x C k y e −=
Reunindo as constantes: ( )( )0 co s co s zjk zz x yH H k x k y e −=
( ) ( )0 sen cosz x x y
H
H k k x k y
x
∂
= −
∂
06/06/2012 20SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )0 sen cos 0z x x y
x a
H
H k k a k y
x
=
∂
= − =
∂
Solução: ( )sen 0xk a = xk a mπ= 0,1,2m = …
x
m
k
a
π
= 0,1,2m = …e
, ,
Determinação das amplitudes de campo-4
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
co s co s exp
co s sen
co s sen 0
z x y z
z
y x y
z
H H k x k y jk z
H
H k k x k y
y
H
H k k x k b
= −
∂
= −
∂
∂
= − =
06/06/2012 21SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )
( )
0
co s sen 0
sen 0 , 0 , 1 ,
1 2
2
, 0 , ,
y
y
y x y
y b
y y
H
n
k k x k b
y
k
k
n
b k b n n
k
π
π
=
=
= − =
∂
= →
=
= = …
…
, ,
Relação de dispersão
2 2
m nπ π
       
2 2 2 2
1x y z
k k k kω µ ε+ = − ≡equação de separação
x
m
k
a
π
= 0,1,2m = …
y
n
k
b
π
= 0,1,2n = …eTemos que
Relação 
06/06/2012 22SEL310/612Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2 2
z
m n
k
a b
π π
ω µ ε
        = − +          
 
e
Relação 
(equação)
de dispersão
Para cada conjunto de inteiros (m,n) existe uma solução (modo) da
equação de onda.
Os modos são denominados TEm,n
Abaixo da frequência de corte
2 2
2
2 2
Se
c
z zi
f f
m n
a b
k jk
m n
π π
ω µε
π π
<
      < +        
= ±
      
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 23
( ) ( )
2 2 0
Campos tornam-se proporcionais a
exp
Decaimento exponencial
Onda atenuada no sentido 
exp
zi
zi
zi
k z
m n
k
a b
j jk z
z
π π
ω µε
      = + − >        
 − − =  
+
−
Diagrama de dispersão
0.3
0.4
0.5
0.6
C
o
n
s
t
a
n
t
e
 
d
e
 
p
r
o
p
a
g
a
ç
ã
o
 
(
m
m
-
1
)
TE1,0
TE2,0
TE3,0 TE3,1
a=25,4 mm
b=12,7 mm
Modos TEM e TEm,n
06/06/2012 24SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
Freqüência (GHz)
C
o
n
s
t
a
n
t
e
 
d
e
 
p
r
o
p
a
g
a
ç
ã
o
 
(
m
m
TEM
TE1,0
2 2
2 2
z
k
m n
a b
ω µ ε
π π
= −
        +          
 
Relação de dispersão
0 0
,µ µ ε ε= =
TEM não é solução. Está no gráfico como referência.
Campos Modos TEm,n
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )0
0
02
1
02
2
1
cos sen exp( ),
cos cos exp( ),
sen cos exp( ),
cos sen exp( ),
y
x x y z
z x y z
z x
x x y z
z
x yy
y
z
k
E
H H k x k y jk z
k k
H j H k x k y jk
j H k x k y jk z
k
z
k
k k
H j H k x k y jk z
k
ωµ
= −
=
= −
−
= −
06/06/2012 25SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )
( ) ( )
0
2 2
2
1
02
1
2
1
cos sen exp( ),
sen cos exp( ),
.0
Para 0
x x y z
x
y x y
z
z
z
E j H k x k y jk z
k
k
E j H k x k y jk z
k k
m n
k
E
µ ε
ω
ω
µ
= −
=
−
−
=
=
−
=
= =0 a solução resultante
é inconsistente porque 0
x y
z
k k
H
→ =
≠
Frequência de corte
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
 
;
no corte, =0; ;
x y z
x y
z c c
k k k
m n
k k
a b
k f f
m n
ω µε
π π
ω ω
π π
+ + =
      = =        
= =
   
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 26
( )
2 2
2
2 2
2
Hz
Cada modo exibe uma frequência de
1
 
 
2
c
c
c
m n
f
a
b
b
m n
f
aµ
π π
π µ
ε
ε
 
      =
    = +        
+        
orte
Comprimento de onda de corte
( )
2 2 2 2
2 2
2
2
2
1
2
2 2 2 2
1 1
mas, 2 2 2
ainda, e 
2 2
 e 
1 /
/
x y z
f
x z
f
f
y
k k k
f f f
v f
k
f v
k k
v
ω µε
ω µε π π π
λ
π π
ω µε
µε
µε
λ
λ
λ
−
+ + =
       = = =     
=
  
=
      = + + =        
06/06/2012 27SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2
no corte, =0 e 
2
c
c
z
k
m
a
λ λ
λ
π π
λ
λ
      
≡
    =   
2
2 2
2
 m
2
c
m n
a b
n
b
λ
π
=
      +  
    +       
     
Comprimento de onda guiada
2 2
1
2 1
2 1 1
1
mas, 
2 2
g
c c
z
g
g
z
f f
f
f f
v f f
k
f
f
k
π
λ
π µε
λ λ λ
π
λ
µε
µε
π
λ
−
→
= =
      − −         
= → = → =
==
06/06/2012 28SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
1
1
0
2
mas, 
 m
com , onda TEM no meio 
1
, 
f
r r
c
r r
g
v f f
f
f
f
λ
λ
λ λ λ
µε
λ
λ µ ε
µ
µε
ε
−
−
= →
=
  −  
= → =
 
=

Constante de propagação em função de fc
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
1
2 1
2
1 1
z x y
m n
k k k
m n
f
a b
m n
f
a bf
ω µε
π π
π µε
π π
π µε
π µε
= − −
      = − −        
            = − −            
    
     


06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 29
( )
( )
2
2
2 2
2
1
2
1
2
1
m n
a
f
f b
π µ
µε
ε
        −          



= −

( )
2
2
2
1
2 1
m2 1 
c
c
z
f
f
f
f
k f
f
π µ
π ε
ε
µ −
     
    = −  
  = −   
    
Velocidade de fase em função de fc
2
2
2 1
f
z
c
v
k
f
f
f
f
ω
µ
π
π ε
=
=
  −  
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 30
1
1/2
2
1
1
2 1
m s c
f
f
v
f
f
f
µ
µ
π ε
ε
−
−
    = −
−  
  

  
⋅
 
Velocidade de grupo em função de fc
( )
( ){ }
1/2
2
1/2
2
22
2
2 1
2
g
z z z
z c
z
c
d fd df
dk dk dk
dk fd
f
df df f
d
f f f
v
dk
df
πω
π
π µε
π µε
π
= = = =
        = −            
−
     
=
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 31
( ){ }
( ){ }( )1/22
1/2
2
1
2
1
2 2
2
2 1
c
c
c
f f f
df
f f f
f
f f
f
π µε
π µε
π µε
−
−
−
−
= −
       −       
=
=
2
11 1 m sc
g
f
v
fµε
−
  = −
    
  
 
⋅
Velocidades de fase e grupo
1
2
3
v
f
 
,
 
v
g
( )
2
1 1
1 c
f
fz
f
v
k
ω
µε
= =
−
2
1
1 c
fd
v
ω   = = − 
06/06/2012 32SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
1 1.5 2 2.5 30
vf/c
vg/c
f/fc
fc: freqüência de corte do modo
f: freqüência de operação
c: velocidade da onda no meio µ, ε
1
1 c
g
z
fd
v
dk f
ω
µε
 = = −   
Velocidades de fase e grupo
The red dot moves with the phase velocity, and 
the green dots propagate with the group 
velocity
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 33
Ref.: http://en.wikipedia.org/wiki/Phase_velocity
Two-frequency beats of a non-dispersive 
transverse wave. Since the wave is non-
dispersive, phase (red) and group (green) 
velocities are equal.
Modo TE10
0
02
1
cos exp( )
sen exp( )
z z
z
x z
x
H H jk z
a
k x
H j H jk z
aak
x
π
π π
ωµπ π
  = −   
  = −   
  
06/06/2012 34SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
02
1
sen exp
ˆ ˆ
( )
0
ˆ
z
z
x
y
z y
y
x
E E H
E E y
H H x H
x
E j H jk z
aa
z
k
ωµπ π
=
  = − −  
=
=

+
 
= =
Freqüência de Corte do Modo TE10
Para guias metálicos de seção retangular,
a menor freqüência de corte é aquela para qual
m=1 e n=0, pois a>b.
O modo correspondente é chamado fundamental ou principal
Hz1
06/06/2012 35SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
a
b
freqüência de corte
do modo TE1,0
Hz
,(1 0)
2
c
aλ = comprimento de onda de corte do modo TE1,0
unidades
de comprimento
,10
1
2
c
f
a µε
=
Alguns Valores (modos TE)
a=25,4 mm
b=12,7 mm
a=25,4 mm
b=12,7 mm
Modo 
Frequência de corte 
(GHz)
Comprimento de onda
de corte (mm)
TE1,0 5,906 50,800
TE2,0 11,81 25,400
TE3,0 17,72 16,933
TE3,1 21,29 14,089
06/06/2012 36SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
freqüência de corte
do modo TEm,n
comprimento de onda 
de corte do modo TEm,n
0 0
,µ µ ε ε= =
2 2
2
c m n
fc a b
      = +        
( ) ( )
,( , ) 2 2
2
c m n
m a n b
λ =
+
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Freqüência (GHz)
C
o
n
s
t
a
n
t
e
 
d
e
 
p
r
o
p
a
g
a
ç
ã
o
 
(
m
m
-
1
)
TEM
TE1,0
TE2,0
TE3,0 TE3,1
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Freqüência (GHz)
C
o
n
s
t
a
n
t
e
 
d
e
 
p
r
o
p
a
g
a
ç
ã
o
 
(
m
m
-
1
)
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Freqüência (GHz)
C
o
n
s
t
a
n
t
e
 
d
e
 
p
r
o
p
a
g
a
ç
ã
o
 
(m
m
-
1
)
TEM
TE1,0
TE2,0
TE3,0 TE3,1
Freqüência de Corte para Alguns Guias
a
b
Modo TE1,0
0.3
0.4
0.5
0.6
d
e
 
p
r
o
p
a
g
a
ç
ã
o
(
m
m
-
1
)
WR 159
WR 90
WR 62 WR 28
freqüência
06/06/2012 37SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
EIA: Electronic Industries Association
WR: Waveguide Rectangular
Freqüência (GHz)
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
C
o
n
s
t
a
n
t
e
d
e
 
p
r
o
p
a
g
a
ç
ã
o
WR 510 Designação
EIA (WR)
Dimensão (a-b) 
(polegadas)
freqüência
de corte
(GHZ)
510 5,100-2,550 1,157
159 1,590-0,795 3,711
90 0,900-0,400 6,557
62 0,622-0,311 9,486
28 0,280-0,140 21,081
Campo Ey do modo TE10
z
amplitude
x
z
y
a
b
x
z
y
a
b
06/06/2012 38SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
x
F
x
a=25,4 mm; b=12,7 mm
f=9 GHz
z
Campo elétrico
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 39
TE31, 32 GHz
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Waveguide_x_EM_rect_TE31.gif
www.comsol.com/showroom/gallery/
lrgthumb/1421/4ddf41e2.jpg
Modos TMm,n
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
02
1
02
1
sen sen exp( ),
cos sen exp( ),
sen cos exp( ),
z x y z
z x
x x y z
z y
y x y z
E E k x k y jk z
k k
E j E k x k y jk z
k
k k
E j E k x k y jk z
k
= −
= − −
= − −
( ) ( )sen cos exp( ),y
k
H j E k x k y jk z
ωε
= −
06/06/2012 40SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )
( ) ( )
02
1
02
1
sen cos exp( ),
cos sen exp( ),
0.
y
x x y z
x
y x y z
z
k
H j E k x k y jk z
k
k
H j E k x k y jk z
k
H
ωε
ωε
= −
= − −
=
Se 0,=n 0
y
k =0
x
k =0,=m ou a solução é trivial
modo TM fundamental é o
11
TM
Impedância de Onda
Modos TE
( )
2
1 c
yx
y x
TE
f
f
z
EE
H H k
Z
Z
ωµ
=
−
= − = =
Modos TM
2
1yx cz
f
Z Z
E kE   = − = − = =
06/06/2012 41SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
/Z µ ε=
Modos TM 1yx cz
y x
TM
f
Z Z
E k
H H f
E
ωε
 = −   
= − = =
2z
z
TE TM
Z Z
k
Z
kωµ µ
ωε ε
= ≡=
Potência Média Transportada pela Onda
( ) ( ) ( )1, , , Re , , , ,
2
S x y z t E x y z H x y z
∗   < >= ×    
( ) ( )
0 0
1
Re , , , ,
2
b a
m
P E x y z H x y z dS
∗   = × ⋅    
∫ ∫
,dS dAn dydxn= =
⌢ ⌢
n
⌢
versor normal à área transversal 
W/m2
W
06/06/2012 42SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )
0 0
1
Re , , , ,
2
b a
m
z
P E x y z H x y z dydx
∗     = ×      
∫ ∫
( ) ( ) ( ), , , , x y y x
z
E x y z H x y z E H E H
∗
∗ ∗  × = −
  
,dS dAn dydxn= = n versor normal à área transversal 
componente na direção z do vetor de Poynting complexo 
x
z
y
a
b
x
z
y
a
b
Potência Média Transportada pelo Modo TE10
{ }
0 0
1
Re
2
b a
m y x
P E H dydx∗= −∫ ∫
2 2 2
02
1
sen
2
b a
z
m
k x
P H a dydx
a
ωµ π
π
  =    ∫ ∫
06/06/2012 43SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
02 0 0
sen
2m
P H a dydx
aπ
=    ∫ ∫
2 2
2
0 1 watt
4
c
m
c
ZabH ff
P
f f
       = −        
x
z
y
a
b
x
z
y
a
b
/Z µ ε=
Componentes
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 44
Excitação do modo TE10
y
E E y= ɵ
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 45
4
L
λ
≤
900 (até parede) + 1800 (reflexão parede)
+ 900 (retornando para a fonte) = 3600 (em fase)
Campos do modo TE10
( )
( )
( )
0
0
0
cos exp( )
sen exp( )
sen exp( )
z x z
x x x z
y y x z
H H k x jk z
H jH k x jk z
E jE k x jk z
= −
= −
= − −
06/06/2012 46SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )0
0
ˆ
ˆ ˆ
y y x z
x z y
y
x z
E E H
E E y
H H x H z
= = =
=
= +
Campo Ey
( )
( ) ( ) ( )
0
sen exp
1
exp ex
( )
mas,
p
y y x z
E jE k x j
sen k x jk x jk x
k z
 = − − 
= −

−
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 47
( ) ( ) ( )exp ex
22
ˆ ˆ ˆ
p
2
x x zz
x x x
jk x jkjk x jk z yo
y
zyo
E
sen k x jk x
E
e e
jk x
E E e
j
ey y y
− −−−
 = − − 
=

+

=
Campos Hx e Hz
( ) ( ) ( )1cos exp ex
como
resulta em
p
2x x x
k x jk x jk x = + −  
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 48
ˆ ˆ
ˆ
2
2 2
2
ˆ
x z
z
z
xx z
x
jk x jk z jk x jk zxo
jk x j
xo
jk x jk zo
z
zo
x
k
H x x
H
e e
H
e
H
e e
H
e ez zeH
− − −
− −−
= −
= +
Ondas incidente e refletida
x
1yE
z
x 1H
1k
2yE
z
x
2H
2k
x
Onda 1 Onda 2
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 49
x
z
2H
2k
x
1H1k
2yE
1yE
Polarização
Perpendicular
Ao plano
De incidência
Onda TE
Padrão onda estacionária
x
z
2k 1k
2xk
2zk
1xk
1zk
1 1 1
ˆ ˆ
x z
k k x k z= − +
2 2 2
ˆ ˆ
x z
k k x k z= +
06/06/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 50
2xk 1xk
x
yE
Polarização perpendicular ao plano de incidência: Onda TE