Circuitos Elétricos 05- senoides e formas de onda

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CIRCUITOS 
ELÉTRICOS
Alfred Gimpel
Moreira Pinto
 
Senoides e formas de onda
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Reconhecer as propriedades da senoide.
  Determinar as principais formas de onda.
  Relacionar as formas de onda com a frequência.
Introdução
As fontes de alimentação com sinais elétricos senoidais são utilizadas 
na excitação dos circuitos elétricos em corrente alternada. Ao contrário 
das fontes em corrente contínua, esses sinais apresentam variação de 
valores com o tempo.
As senoides apresentam comportamento característico das funções 
seno, que possuem como principal atributo o fato de serem periódicas. 
Essa particularidade possibilita que a geração e a transmissão dos sinais 
senoidais sejam facilmente implementadas. Além disso, permite que 
diversos tipos de equipamentos sejam utilizados, como transformadores 
e motores elétricos.
Neste capítulo, você vai estudar as características do sinal senoidal 
e vai determinar as principais formas de onda que são utilizadas como 
alimentação dos circuitos elétricos. Além disso, você vai aprender a de-
terminar a frequência a partir de uma senoide, para que possa aplicar os 
sinais senoidais em circuitos elétricos e analisar qualquer circuito elétrico 
em corrente alternada. 
Propriedades das senoides
Vamos estudar as propriedades das senoides, também chamadas ondas senoi-
dais ou sinais senoidais, para que possamos analisar um sinal elétrico senoidal e 
extrair todas as suas características. A Figura 1 apresenta uma onda periódica, 
na qual se baseia a onda senoidal.
Figura 1. Onda periódica.
Observe que a onda periódica é um sinal que repete o seu comportamento 
ao longo do eixo x. Vamos agora verificar algumas características envolvidas 
nas ondas senoidais na Figura 2.
Figura 2. Características da senoide, ou sinal senoidal.
Na Figura 2, você encontra os principais elementos que caracterizam esse 
tipo de sinal. É importante que você extraia essas informações dos gráficos, 
para esquematizá-las e conceituá-las: 
Senoides e formas de onda2
  Período (T) — o período é uma medida de tempo que é dada em se-
gundos. Ele representa o tempo necessário para que o sinal periódico 
complete um ciclo, ou seja, o tempo necessário para que a senoide 
volte ao valor da amplitude inicial. Essa medida pode ser feita entre 
quaisquer dois pontos.
  Frequência ( f ) — a frequência é medida em Hertz (ciclos por segundo) 
e informa quantos ciclos completos (períodos) a senoide percorre no 
tempo de um segundo.
  Amplitude de pico — é o valor máximo que a senoide alcança. Na Figura 
2, você pode verificar que a onda está variando entre valores negativos 
(mínimo) e positivos (máximo), ou seja, é um sinal que alterna entre 
esses dois valores. Por isso, a corrente alternada recebe esse nome.
Vamos, agora, verificar como é representada a equação no tempo de um 
sinal elétrico senoidal (NILSSON; RIEDEL. 2009):
Onde:
  t é o tempo dado em segundos
  Vm é o valor de pico do sinal
  ω é a frequência angular dada em radianos/segundos (rad/s)
  ϕ é fase da senoide
A frequência angular é dada por:
Agora que você já conhece uma expressão de tensão alternada, vamos ver 
como esses elementos são representados no gráfico (Figura 3).
3Senoides e formas de onda
Figura 3. Formas de representação da função v(t) = Vm sen(ωt): a) representação em função 
de ωt; b) representação em função do tempo t.
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 291).
(a)
(b)
Na Figura 3, podemos observar os valores máximos e mínimos que o sinal 
alternado alcança; ou seja, ele varia entre os valores −Vm e Vm. Na Figura 3a, 
o eixo das abcissas está em função de ωt, que representa o valor angular da 
onda, medido em radianos. Veja que a senoide sempre será nula em todos os 
múltiplos inteiros positivos de π, ou seja, para 0π, 1π, 2π, 3π, …, nπ ∀ nϵZ+, 
pois o valor da função seno é sempre nulo para esses valores. Na Figura 3b, 
a representação está em função do tempo, e a graduação do eixo está repre-
sentada em períodos. 
Na expressão da tensão em função do tempo, você deve ter observado que 
ϕ representa a defasagem da onda. Vamos ver o que esse termo representa 
no gráfico (Figura 4).
Senoides e formas de onda4
Figura 4. Senoides com defasagem.
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 292).
A Figura 4 representa duas senoides defasadas de um ângulo ϕ, sendo 
representadas pelas expressões v1 (t) = Vm sen(ωt) e v2 (t) = Vm sen(ωt + ϕ). A 
soma (ωt + ϕ) na função seno representa que o sinal v2 está adiantado de ϕ 
em relação a v1, ou seja, ele se inicia antes. Se, em vez de uma soma, for uma 
subtração, o comportamento será invertido. Assim, v2 estará atrasado de ϕ 
em relação a v1 e se iniciará depois de v1.
As senoides podem ser representadas com as funções matemáticas cosseno 
e seno (Figura 5), mas, ao realizar a análise desses sinais, temos que trabalhar 
com uma única função e com amplitudes positivas. 
Figura 5. Funções seno e cosseno.
5Senoides e formas de onda
Na Figura 5, estão representadas as funções v1 (t) = cos(ωt) e v2 (t) = sen(ωt). 
Você pode verificar que elas apresentam uma defasagem de 90°. Veja que, 
na função cosseno, o pico ocorre primeiro que na função seno. Dessa forma, 
podemos definir que a função cosseno está adiantada da função seno em 90°. 
Vamos ver as relações trigonométricas entre essas funções:
1. sen(ωt ± 180°) = − sen(ωt) 
2. sen(ωt ± 90°) = ± cos(ωt)
3. cos(ωt ± 180°) = – cos(ωt)
4. cos(ωt ± 90°) = ± sen(ωt)
Com essas relações entre as funções seno e cosseno, você pode realizar 
as transformações e comparar os sinais elétricos. Vamos ver, na sequência, 
um exemplo de aplicação.
Considere as duas tensões v1 (t) = −10 cos(ωt + 50°) e v2 (t) = 12 sen(ωt − 
10°). Veja que os dois sinais estão com valores de pico com sinais invertidos 
e representados por funções diferentes. Vamos alterar o sinal de v1, aplicando 
a relação 3:
ou
Veja que, de acordo com a relação 3, você pode somar ou subtrair 180° 
às funções cosseno para inverter o seu sinal. Agora, vamos alterar a função 
v2, de seno para cosseno, aplicando a relação 4. Como desejamos manter o 
sinal positivo da amplitude da função, vamos subtrair 90° ao argumento da 
função seno:
Agora, colocamos os dois sinais com as mesmas funções trigonométricas; 
assim, podemos compará-los:
Ao analisarmos os dois sinais, podemos verificar que v2 está adiantado 
de v1 em 30°.
Senoides e formas de onda6
Nas senoides, o termo (ωt + φ) apresenta duas unidades de medidas de ângulo di-
ferentes. O ωt é representado em radianos e o φ em graus, como em (377t + 30°). A 
representação em graus para a defasagem φ é mais intuitiva e facilita a interpretação, 
por isso é a mais utilizada. Portanto, para que você realize a soma, primeiro, deve 
converter os dois valores para a mesma unidade de medida e, depois, calcular o seno 
da soma. Veja abaixo uma forma prática de realizar essas conversões:
Principais formas de onda
Em circuitos elétricos, temos várias formas de sinais que representam parti-
cularidades de cada tipo de circuito. As formas de onda periódicas são sinais 
elétricos que possuem o mesmo comportamento ao longo tempo, como as 
senoides, os trens de pulso, as ondas quadradas, os dentes de serra e as ondas 
triangulares. Além disso, temos as ondas não periódicas, ou seja, os sinais 
que representam alguma particularidade do circuito que tem atuação em 
determinado instante de tempo. Na Figura 6, estão representadas diversas 
formas de ondas, com aplicações distintas na análise de circuitos elétricos. 
Esses modelos são muito úteis na modelagem dos comportamentos esperados 
e apresentam complexidade variável.
7Senoides e formas de onda
Figura 6. Formas de onda.
Fonte: Thomas, Rosa e Toussaint (2011, p. 207). 
Degrau
Exponencial Senoide amortecida Dente de serra Onda triangular
Senoide Trem de pulsos Onda quadrada
A senoide é um sinal elétrico amplamente utilizado na análise de circuitos,pois além de possuir uma vasta teoria matemática, que relaciona as suas 
variações, é a forma de onda produzida nas usinas de energia elétrica.
Vamos estudar brevemente dois sinais não periódicos, que possuem muitas 
aplicações na análise de circuitos — a função degrau unitário e a função im-
pulso unitário —, antes de voltarmos ao tema das ondas periódicas senoidais.
A função degrau unitário pode representar o chaveamento de fontes de 
corrente contínua no momento em que é acionada. Na Figura 7, você pode 
verificar que, para t < 0, a função u(t) é nula, passando para 1 no instante t = 
0, e permanecendo nesse valor para todo t ≥ 0. Portanto, em t = 0, podemos 
entender que a fonte de corrente contínua foi acionada, permanecendo nessa 
posição.
Figura 7. Função degrau unitário.
Fonte: Adaptada de Nahvi e Edminister (2014, p. 125). 
Senoides e formas de onda8
A função impulso unitário também é importante no estudo de circuitos 
elétricos. Ela pode representar um distúrbio momentâneo que ocorre no circuito 
e é conhecida como delta de Dirac de área unitária, sendo representada por 
δ(t), conforme mostra a Figura 8. 
Figura 8. Função impulso unitário.
Fonte: Adaptada de Nahvi e Edminister (2014, p. 127).
Frequência das formas de onda
Como vimos, as ondas senoidais são formas de onda periódicas representadas 
pela expressão geral
Nessa expressão, a frequência angular é dada por ω. Vamos ver alguns 
valores para essa frequência e como determinar a frequência do sinal.
Considere os sinais v1 (t) = sen(t) e v2 (t) = sen(2t), que estão representados 
na Figura 9.
Figura 9. Senoides com frequências diferentes.
9Senoides e formas de onda
Na Figura 9, estão representadas duas senoides com frequências diferentes, 
sendo que o sinal v2 apresenta o dobro da frequência do sinal v1. Você pode 
verificar essa diferença comparando o período de cada um dos sinais. Observe 
que o período de v1 ocorre em 2π e o de v2, em π.
Portanto, você pode concluir que, quando a frequência de um sinal é do-
brada, o seu período é dividido por dois. Matematicamente, temos:
Veja que o resultado matemático representa a nossa avaliação preliminar 
dos gráficos.
Na análise de circuitos elétricos, é comum que você tenha fontes senoidais 
com frequências diferentes. No entanto, ao aplicar a teoria de circuitos elétricos, 
você deve ficar atento, pois fontes com sinais senoidais e com frequências 
diferentes podem comprometer toda a sua análise.
Vamos considerar dois sinais senoidais, v1 (t) = sen(t) e v2 (t) = sen(10t), 
alimentando um circuito elétrico (Figura 10). 
Figura 10. Fontes de alimentação senoidais com frequências diferentes.
Na Figura 10, os sinais elétricos das fontes de alimentação estão represen-
tados isoladamente, mas ao ligar as duas fontes no mesmo circuito, ocorrerá 
a soma desses sinais. Agora, observe a Figura 11.
Senoides e formas de onda10
Figura 11. Fontes de alimentação senoidais com frequências diferentes.
Na Figura 11, a soma dos sinais das fontes de alimentação gera um sinal 
resultante que é periódico, mas não é senoidal. Portanto, não conseguimos 
definir a frequência do sinal resultante para que seja feita a análise do cir-
cuito. Assim, o melhor procedimento para estudar esse tipo de alimentação é 
analisar o comportamento do circuito para cada fonte individualmente e, ao 
final, somar os resultados.
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013.
NAHVI, M.; EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: Bookmann, 2014. 
(Coleção Schaum). 
THOMAS, R. E.; ROSA, A. J.; TOUSSAINT , G. J. Análise e projeto de circuitos elétricos lineares 
[recurso eletrônico]. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
11Senoides e formas de onda
 
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da Instituição, você encontra a obra na íntegra.