Cálculo Diferencial AOL3

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Conteúdo do exercício
1. Pergunta 1
/1
O estudo de formas geométricas e seus gráficos, como parábolas, hipérboles e 
elipses, é muito importante para a disciplina de Cálculo, já que diversos 
fenômenos naturais são descritos por equações dessas formas. Considere, 
então, a parábola f(x)=x²+8 e a hipérbole g(x)=3/x. 
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre o significado da 
taxa de variação de uma função, é correto afirmar que: 
Ocultar opções de resposta 
1.
para x=0, a taxa de variação de f(x) é nula, assim como a de g(x). 
2.
para x<0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a 
de g(x) sempre será negativa. 
3.
para x>0, a taxa de variação de f(x) será sempre positiva, e a 
de g(x) também. 
4.
para x>0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a 
de g(x) sempre será negativa. 
Resposta correta
5.
nenhuma das funções possui taxa de variação em x=0. 
2. Pergunta 2
/1
 A estudo de taxas de variação tem importantes aplicações em fenômenos 
físicos, como o do movimento de corpos, o do escoamento de líquidos, o do 
fluxo de campos magnéticos, entre outros. 
Considerando a relevância dessas informações e dos seus conhecimentos sobre
o significado das taxas de variação e sua relação com o estudo do Cálculo, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. O limite de , quando x≥h, é conhecido como a derivada da 
função f em x=a, caso a função seja diferenciável nesse ponto. 
II. Encontrando a derivada da função em um ponto P(a,f(a)), para encontrar 
uma equação da reta tangente é possível substituir as coordenadas dos pontos 
e o valor da derivada na equação da reta, que pode ser escrita 
como y−f(a)=f’(a)(x−a). 
III. É impossível entender a derivada como uma função, pois ela é apenas uma 
taxa de variação da função no ponto que representa o ângulo de inclinação da 
reta tangente à função nesse mesmo ponto. 
IV. A reta tangente a f(x), que passa pelo ponto P(a,f(a)), tem inclinação igual 
a f’(a), que é a derivada de f(x), onde x=a. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1.
 II e III. 
2.
 I, II e III. 
3.
 I, e IV. 
4.
I, II e IV. 
Resposta correta
5.
II e IV. 
3. Pergunta 3
/1
O estudo das funções polinomiais é muito importante devido a uma série de 
aplicações que possui na vida real, como em funções que modelam custos de 
mercadorias, contas de energia e água, movimento de corpos e etc. 
Dessa forma, considerando a importância dessas funções e seus conhecimentos
sobre a regra da derivada da potência de base x, analise as afirmativas a 
seguir. 
I. A derivada de uma função constante sempre é igual a zero. 
II. Dada uma função , sua derivada é . 
III. A derivada de uma função vezes uma constante é igual à derivada da função
vezes a derivada da constante. 
IV. Dada a função f(x)=5(x³+2x²+5x), f’(x)=5(3x²+4x+5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1.
 II e IV. 
2.
 I, e IV. 
3.
I e IV. 
Resposta correta
4.
II e III. 
5.
 I, II e III. 
4. Pergunta 4
/1
Em ciências exatas e áreas correlatas utilizamos constantemente as funções 
para modelar situações nas quais é possível prever o comportamento de uma 
variável em função de outras. Sendo assim, é comum uma função ser expressa 
como a multiplicação de duas ou mais funções, de forma que é interessante, 
então, dominar a técnica da regra da derivada do produto de duas funções. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a regra da 
derivada do produto de duas funções, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Em todos os casos de derivação do produto de funções é necessário utilizar
a regra da derivada do produto de duas funções. 
II. ( ) Sendo f(x)= e g(x)=x, a derivada de h(x)=f(x)g(x) é h’(x)=( )
(1+x). 
III. ( ) Sendo i(x)=sen(x) e j(x)=cos(x), a derivada de k(x)=i(x)j(x) no ponto (0,0)
é k’(0)=0. 
IV. ( ) f(x)g(x) possui derivada igual a f’(x)g(x)+f(x)g’(x). 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1.
 V, F, F, V. 
2.
 V, F, V, F. 
3.
F, V, F, V. 
Resposta correta
4.
 F, F, F, V. 
5.
 F, V, V, F. 
5. Pergunta 5
/1
O estudo do Cálculo Diferencial é repleto de interpretações geométricas acerca 
das curvas de funções. 
 
Considerando as funções e g(x)=x³−3 e com base nos seus conhecimentos 
acerca de funções compostas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em x=½ é igual 
a 3/2. 
 
II. ( ) O gráfico de 3.f(x) é alongado verticalmente em relação ao gráfico de f(x). 
 
III. ( ) A derivada de c.g(x), onde c é constante, é igual a cx². 
 
IV. ( ) f(g(x)) possui derivada igual a f’(x)g(x)+f(x)g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1.
 V, F, F, V. 
2.
 V, V, V, F. 
3.
V, V, F, F. 
Resposta correta
4.
F, F, F, V. 
5.
 V, V, V, F. 
6. Pergunta 6
/1
As aplicações da derivada de uma função são inúmeras dentro da física, sendo 
que nosso primeiro contato com esses conceitos em física ocorre no estudo das 
velocidades instantâneas e sua relação com as equações horárias do espaço, 
velocidade (que é a taxa de variação da posição) e aceleração (que é a taxa de 
variação da velocidade). 
 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da derivada pelo limite 
e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função sempre é calculável em um ponto no qual os 
limites laterais coincidirem. 
 
II. ( ) A função f(x)=tgx é diferenciável para qualquer valor real de x. 
 
III. ( ) A derivada da função g(x)=3x³+3x²+x, no ponto onde x=a, 
é g’(a)=(3a+1)². 
 
IV. ( ) Um objeto disparado ao ar tem altura dada por y=10t−5t². Assim sua 
velocidade quando t=2 é de -10m/s. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1.
V, V, F, F. 
2.
 F, F, V, V. 
Resposta correta
3.
 F, V, F, V. 
4.
 F, F, V, F. 
5.
 V, F, F, V.
7. Pergunta 7
/1
As regras de derivação permitem uma manipulação algébrica mais rápida das 
expressões, tornando-se ferramentas importantes para o estudo do Cálculo 
Diferencial. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados a respeito da regra 
de derivação da diferença entre funções, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função f(x)=x²−x−1 é f’(x)=2x−1. 
 
II. ( ) A regra é aplicável às funções algébricas e não algébricas. 
 
III. ( ) A função trigonométrica f(x)=cosx−2senx não é diferenciável pela regra 
de derivação da diferença entre funções. 
 
IV. ( ) Essa regra é representada pela relação [f(x)−g(x)]’=f’(x)–g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1.
 V, F, F, F. 
2.
 V, V, V, F. 
3.
 V, V, F, V. 
Resposta correta
4.
 V, F, V, V. 
5.
 F, F, V, V. 
8. Pergunta 8
/1
A diferenciabilidade de uma função depende de alguns fatores. Dizer isso 
significa que não podemos tomar toda e qualquer função como diferenciável 
em um ponto, pois, para isso, é necessário analisar seu comportamento geral 
na região de interesse. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções 
diferenciáveis, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. No ponto onde x=0, a derivada da função f(x)=1/x² não pode ser calculada. 
 
Porque: 
 
II. A função f(x) não é definida onde x=0, pois a reta tangente a f(x) nesse 
ponto é vertical. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1.
 As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
2.
 A asserção I é uma proposição verdadeira, ea II é uma proposição 
falsa. 
Resposta correta
3.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
4.
As asserções I e II são proposições falsas. 
5.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta da I. 
9. Pergunta 9
/1
O Cálculo Diferencial é aplicado em diversas situações do cotidiano e serve 
como ferramenta nas diferentes ciências. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das derivadas, 
analise as afirmações a seguir, referentes às suas aplicações. 
 
I. As derivadas podem ser aplicadas para interpretar a taxa de variação de 
custos de produção. 
 
II. As derivadas em pontos extremos da função são nulas, pois a reta tangente 
nesses pontos é horizontal. 
 
III. A derivada muito utilizada em problemas que envolvem movimento de 
objetos em queda livre. 
 
IV. Consegue-se mensurar a área sob a curva de uma função com base em sua 
derivada. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1.
 II e III. 
2.
 II, III e IV. 
3.
 I e IV. 
4.
 I, III e IV. 
5.
 I, II e III. 
Resposta correta
10. Pergunta 10Crédito total dado
/1
Funções trigonométricas são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e 
podem ser categorizadas entre dois grupos: aquelas que são diretas e aquelas 
que são inversas. As funções inversas referem-se ao arco seno, arco cosseno, 
arco tangente, entre outros. Cada uma dessas funções possui uma derivada 
particular, que seguem as suas propriedades específicas. 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das 
trigonométricas inversas e suas derivadas, analise as afirmações a seguir: 
I. Dada f(x)= , tem se que
II. ≠arcsenx. 
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas. 
IV. Dada f(x)= tem-se que 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1.
 I e IV. 
Resposta correta
2.
 II e III. 
3.
 I e II. 
4.
 II, III e IV. 
5.
 I e III.