P3 Objetiva - Algebra Linear e Vetorial

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Álgebra Linear e Vetorial - Avaliação Final (Objetiva) 
 
1 A operação entre vetores chamada de Produto Interno Usual aplica-se, muitas vezes, à necessidade de observar se 
dois vetores são ortogonais ou não. A partir daí, encontramos aplicações na engenharia e na computação em geral. 
Com base nisso, considere os vetores a seguir, calcule seu Produto Interno Usual e assinale a alternativa CORRETA: 
 
B) -19. 
 
2 No estudo das matrizes, verificamos que podemos realizar uma série de operações entre elas. Contudo, os 
procedimentos a serem realizados não são tão simples assim e alguns critérios devem ser verificados antes de 
realizar os procedimentos de cálculo. Por exemplo, é muito importante na multiplicação entre matrizes saber 
realizar a análise da ordem das matrizes a serem operadas para verificar a viabilidade da realização do cálculo e 
prever a ordem da matriz resposta. Sendo assim, analise as seguintes sentenças: 
I- O produto das matrizes A(3 x 2) . B(2 x 1) é uma matriz 3 x 1. 
II- O produto das matrizes A(5 x 4) . B(5 x 2) é uma matriz 4 x 2. 
III- O produto das matrizes A(2 x 3) . B(3 x 2) é uma matriz quadrada 2 x 2 
Assinale a alternativa CORRETA: 
C) As sentenças I e III estão corretas. 
 
3 Em Álgebra Linear, é fundamental conhecermos se um vetor é uma combinação linear de outros. Existem Sistemas 
de Equações que podem ser discutidos a partir destes resultados, bem como o conceito de base de um espaço 
vetorial necessita deste procedimento para ser definido. Neste sentido, para quais valores de k os vetores (1, 2, 6) e 
(k, 8, 24) são linearmente independentes? 
A) Para k diferente de 4. 
 
4 Os vetores têm aplicação em várias áreas do conhecimento, tanto técnico quanto científico, como física, 
engenharia e economia, por exemplo. No entanto, são necessárias definições de operações e propriedades para dar 
respaldo a essas aplicações. Algumas das definições e propriedades tratam-se da soma de vetores e da multiplicação 
por escalar. Então, resolva 2u + 7v, considerando u = (-3, 2, 1, -1) e v = (-4, 8, -3, 2), e assinale a alternativa CORRETA: 
A) A soma é: (-34, 60, -19, 12). 
 
5 O estudo das matrizes e determinantes possibilita uma série de regras que permitem o cálculo simplificado de 
várias situações. As propriedades operatórias destes conceitos podem, além de serem provadas por artifícios 
matemáticos formais, serem mostradas mediante exemplos numéricos. Sendo A, B e C matrizes reais de ordem n, 
utilize exemplos numéricos para analisar as opções e classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) AB = BA. 
( ) A+B = B+A. 
( ) det (AB) = det (A) . det (B). 
( ) det (A+B) = det (A) + det (B). 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
C) F - V - V - F. 
 
6 No estudo das matrizes, o conceito de matriz transposta é tomar as linhas da matriz original e transformá-las em 
colunas. No fim das contas, uma matriz Mmxn será transposta na forma Mnxm. Baseado nisto, se A é uma matriz 
quadrada de ordem 2 e At sua transposta, analise os possíveis resultados para a construção da matriz A, de forma 
que A = 2 . At, e, em seguida, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) A única solução possível é a em que todos os termos de A são nulos. 
( ) A única solução possível é a em que todos os termos de A são iguais. 
( ) A única solução possível é a em que todos os termos de A são iguais a 1. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
C) V - F - F. 
 
7 Uma vez que um vetor é representado por uma matriz, isso também significa que ele pode ser multiplicado por 
uma matriz. Essa multiplicação permite-nos transformar um vetor que está num sistema de coordenadas qualquer 
em um vetor em outro sistema. Esse processo pode ser chamado de Transformação Linear. Visto isto, assinale a 
alternativa CORRETA: 
 
B) Somente a opção III está correta. 
 
8 Chamamos de multiplicidade algébrica de um autovalor a quantidade de vezes que ele aparece como raiz do 
polinômio característico. Já a multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do subespaço de autovetores 
associados. No estudo de Álgebra Vetorial, estes conceitos são muito importantes, pois nos dão a noção das 
dimensões que autovalores e autovetores podem assumir. Sendo assim, determine a multiplicidade algébrica e 
geométrica de todos os autovalores do operador linear representado pela matriz T a seguir, e assinale a alternativa 
CORRETA: 
 
C) Somente a opção II está correta. 
 
9 Leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
D) As coordenadas são (0, 4, 1). 
 
10 A Imagem de uma Transformação Linear é o conjunto de vetores de um espaço vetorial W, que são imagens de 
pelo menos um vetor v que pertence a V (espaço de partida). Esta imagem deve satisfazer a lei de formação da 
transformação e atingir assim um vetor de W. Analise as sentenças abaixo para a transformação: 
T(x, y, z) = (x + y, y, z + x) 
Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) O vetor v = (1, -2, 3) tem como imagem w = (-1, -2, 4). 
( ) O vetor v = (3, -1, 4) tem como imagem w = (5, -1, 1). 
( ) O vetor v = (1, 0, 1) tem como imagem w = (2, 0, 0). 
( ) O vetor v = (2, -4, 0) tem como imagem w = (0, 0, -2). 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
B) V - F - F - F. 
 
 
 
12 (ENADE, 2011) Considere o sistema de equações lineares Ax = b, com m equações e n incógnitas. Supondo que a 
solução do sistema homogêneo correspondente seja única, avalie as afirmações a seguir: 
I- As colunas da matriz A são linearmente dependentes. 
II- O sistema de equações lineares Ax = b tem infinitas soluções. 
III- Se m > n, então a matriz A tem m - n linhas que são combinações lineares de n linhas. 
IV- A quantidade de equações do sistema Ax = b é maior ou igual à quantidade de incógnitas. 
São corretas apenas as afirmações: 
D) III e IV.