Cálculo Vetorial - AOL 2

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Conteúdo do exercício
Pergunta 1 -- /1
Uma função de duas variáveis associa um ponto (x, y) a um valor numérico, também chamado de escalar, z. Em 
um campo vetorial de duas variáveis, no entanto, cada ponto do espaço tem um outro conjunto de pontos 
associado, que é o que chamamos de vetor.
Com base nos seus conhecimentos acerca da representação gráfica de campos vetoriais, associe os itens a 
seguir com os seus campos vetoriais:
1) 
2)
3)
4)
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_01_v1(1).png
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_02_v1(1).png
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_03_v1(1).png
10/10
Nota final
Enviado: 19/10/21 13:41 (UTC-3)
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( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x i plus y j.
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 1 i plus 1 j.
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space sin x i plus sin y j.
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space minus y i plus x j.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_04_v1(1).png
1, 4, 3, 2.
2, 3, 1, 4.
Resposta correta2, 4, 3, 1.
4, 2, 3, 1.
3, 4, 1, 2.
Pergunta 2 -- /1
As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, existem inúmeros jeitos de 
se mensurar numericamente esses volumes. Um exemplo disso é a mudança de coordenadas, podendo ser 
cilíndrica, esférica ou cartesiana. Tenha como base a seguinte integral tripla:
V space equals space integral subscript 0 superscript 2 n end superscript integral subscript 0 superscript 3 
integral subscript r squared end subscript superscript 9 space r d z d r d 0
.
Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas coordenadas, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) r d z d r d 0 refere-se ao diferencial de volume dV.
II. ( ) A integral será efetuada primeiro com relação a z, depois com relação a r e por último com relação a 0.
III. ( ) A integral está escrita em coordenadas esféricas.
IV. ( ) Essa integral mensura a área de uma região no plano xy.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Resposta corretaV, V, F, F.
V, F, V, F.
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F, V, F, V.
F, V, V, F.
V, F, F, V.
Pergunta 3 -- /1
Quando se mensuram volumes por integrais triplas existem inúmeras manipulações algébricas que deixam os 
cálculos mais palatáveis. A mudança de coordenadas é uma manipulação algébrica que consegue, muitas vezes, 
transformar limites integrativos complexos em limites mais simples. As principais mudanças de coordenadas são 
para as polares, cilíndricas e esféricas.
Figura – Representação de um sólido.
Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus conhecimentos acerca de 
integrais triplas e mudança de coordenadas, pode se afirmar que o volume do sólido em questão pode ser 
mensurado por coordenadas cilíndricas, porque:
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão09_v1(1).png
o sólido é limitado por funções circulares.
há simetria do sólido com relação ao eixo y.
Resposta corretahá simetria do sólido com relação ao eixo z.
os parâmetros utilizados são r space comma space 0 e ᵠ.
há simetria do sólido com relação ao eixo x.
Pergunta 4 -- /1
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Comumente, trabalha-se com as coordenadas cartesianas para resoluções de integrais, porém, nem todas as 
integrais têm seus limites de integração facilmente identificados nesse sistema de coordenadas. Existem outros 
sistemas de coordenadas que auxiliam no processo integrativo, tais como as coordenadas cilíndricas e esféricas, 
que se pautam em outros parâmetros diferentes das coordenadas cartesianas.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das integrais triplas nesses sistemas de 
coordenadas, analise as afirmativas a seguir:
I. As coordenadas cilíndricas são comumente utilizadas quando há certa simetria do sólido em relação ao eixo z.
II. As coordenadas esféricas utilizam Error converting from MathML to accessible text.,0er como parâmetros.
III. As coordenadas cilíndricas utilizam 0 e r como parâmetros. O z se mantém o mesmo.
IV. As coordenadas cartesianas utilizam r e Error converting from MathML to accessible text. , como parâmetros. 
O z se mantém o mesmo.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
I e II.
 I e IV.
I, II e IV.
Resposta correta I, II e III.
Pergunta 5 -- /1
Uma das utilidades principais de integrais triplas é o cálculo do volume de uma região no espaço. Uma vez 
definido o elemento de volume d V space equals space d x d y d z , o volume de uma região R pode ser 
definido como V space equals space double integral integral subscript R space end subscript d V.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais triplas, analise as afirmativas a 
seguir:
I. A função de integração em V space equals space integral integral integral subscript R space d V é 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space 0.
II. A integral tripla V space equals space integral integral integral subscript R space d V na região 
R space equals space open curly brackets open parentheses x comma y comma z close parentheses space V 
space z squared plus y squared plus z squared less or equal than 3 close curly brackets
 é igual a 4 square root of 3 straight pi end root.
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III. O resultado da integral tripla 
integral subscript 0 superscript 1 integral subscript x divided by 2 end subscript superscript 1 minus x divided by 
2 end superscript integral subscript 0 superscript 2 minus x minus 2 y end superscript d z d y d x
 é igual a 1 third.
IV. O resultado da integral tripla 
integral subscript 0 superscript 1 integral subscript x superscript 2 x end superscript integral subscript 0 
superscript y 2 x y z d z d y d x
 é igual a 7 over 8.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.
Resposta corretaII e III.
I, II e III.
I, III e IV.
II e IV.
Pergunta 6 -- /1
Quando se faz a integral em uma função de uma variável, é suficiente dois pontos para definir uma região de 
integração. Ao ir para duas variáveis por exemplo, para definir as regiões no plano xy utiliza-se curvas. Porém, há 
uma possibilidade que não existe no caso de uma variável, que é a integração de 
f open parentheses x comma y close parentheses ao longo de uma curva no plano xy. Isso se chama integral de 
linha.
 Acerca dos seus conhecimentos de integral de caminho, é correto afirmar que a parametrização é necessária 
porque:
a parametrização representa a variável dependente 
f open parentheses x comma y close parentheses ao longo da linha.
Resposta correta
uma curva, mesmo que no plano xy, possui apenas um parâmetro livre e para se 
integrar é necessário escrever x e y em função desse parâmetro integrável.
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representa o elemento de comprimento é d s space equals space d x space plus space d y .
sem parametrizar a curva o resultado da integral seria diferente.
não é possível derivar a função sem parametrizar.
Pergunta 7 -- /1
O resultado de uma derivada ou integral deve independer da escolha de coordenadas para representar o espaço. 
Isso faz sentido pois, dado um problema, resolvê-lo por um método ou outro não o altera.
Acerca dos seus conhecimentos de coordenadas espaciais, pode-se afirmar que é conveniente utilizar 
coordenadas cilíndricas ou esféricas em alguns problemas porque:
reduz uma integral tripla em um produto de três integrais.
reduz o número de coordenadas e integrais.
permite integrar em qualquer ordem as coordenadas.
Resposta correta
a simetria do problema, sendo cilíndrica ou esférica, torna a resolução da integral 
mais simples nessas coordenadas.
só é possível resolver algumas integrais em uma coordenada específica.
Pergunta 8 -- /1
As integrais podem representar diversos tipos de mensuração. Pode-se mensurar áreas, comprimentos e volumes 
com elas de maneira extremamente distinta. A seguinte integral dupla de uma função de duas variáveis efetua a 
mensuração de uma dessas medidas:
integral integral subscript R script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y
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Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se que a integral supracitada 
mensura o volume de uma superfície, porque:
o integrando dessa integral é uma função de duas variáveis.
o contradomínio dessa função faz parte dos reais R.
o diferencial de volume dv = dxdy.
a função que compõe o integrando é uma função par.
Resposta corretaa região integrativa é uma região R retangular.
Pergunta 9 -- /1
Muitas integrais duplas de funções de duas variáveis são definidas a partir de regiões retangulares. Porém, 
existem maneiras de se calcular essas integrais, mesmo que não estejam definidas em regiões retangulares, mas 
a região no plano xy deve ser limitada por funções. Cada tipo de limitação funcional caracteriza um certo tipo de 
região (Tipo I ou Tipo II).
De acordo com os seus conhecimentos sobre integrais duplas definidas em regiões do Tipo I e do Tipo II, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo I são definidas da seguinte forma 
integral subscript a superscript b integral subscript g subscript 1 end subscript superscript g subscript 2 end 
superscript script capital f open parentheses x comma y close parentheses d y d x
.
II. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo II são definidas da seguinte forma 
integral subscript c superscript d integral subscript h subscript 1 end subscript superscript h subscript 2 end 
superscript script capital f open parentheses x comma y close parentheses d x d y
.
III. ( ) As regiões do Tipo I são limitadas por funções em y.
IV. ( ) As regiões dos tipos I e II são casos específicos de regiões retangulares.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, V, F, V.
F, F, V, V.
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F, V, V, F.
V, V, F, F.
Resposta corretaV, V, V, F.
Pergunta 10 -- /1
As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável 
costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções de duas variáveis podem calcular volumes e 
integrais triplas também podem mensurar volumes.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de várias variáveis e 
integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir:
I. V subscript G space equals space integral integral integral subscript G d x d y d z é uma integral que mensura 
volume.
II. 
V space equals space integral integral subscript R script capital f open parentheses x comma y close 
parentheses d x d y
 , sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume.
III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: 
d V equals space d x cross times space d y cross times d z.
IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, III e IV.
II e IV.
I, II e IV.
Resposta corretaI, II e III.
I e II