Formas Quadraticas

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Universidade Federal do Amazonas
Instituto de Ciências Exatas e Tecnologias
Curso de Engenharia de Software
Formas Quadráticas
Ednilson da Silva Albuquerque Júnior
Madson Rodrigues Lemos
Itacoatiara - AM
Julho - 2021
INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objetivo apresentar o conteúdo para disciplina de
Álgebra Linear com o conteúdo de formas quadráticas. Vamos abordar as formas
cônicas e as formas quadráticas, apresentando suas definições, classificações e
representações gráficas.
FORMAS CÔNICAS
Definição: Uma cônica em é um conjunto de pontos cujas coordenadas, em𝑅²
relação à base canônica, satisfazem a equação geral:
Onde A ou B ou C é diferente de zero. é a forma quadrática da𝐴𝑥² + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦²
cônica, A forma linear e F é o termo constante.𝐷𝑥 + 𝐸𝑦
Uma cônica pode ser classificada como: circunferência, elipse, parábola ou
hipérbole.
● Circunferência: As circunferências podem ser obtidas por meio da
intersecção de um plano com um cone. A definição delas é: dado um
ponto C, chamado de centro, e um comprimento r, chamado de raio, a
circunferência é o conjunto de pontos do plano cuja distância até C é
sempre igual a r. A imagem a seguir mostra um exemplo de
circunferência com alguns de seus raios. Note que, de acordo com a
definição dada, todos os segmentos de reta cujas extremidades são o
centro e qualquer ponto da circunferência possuem a mesma medida.
Fig1. Representação gráfica de um circunferência
● Elipse: Em uma elipse, os pontos F1 e F2 são chamados de focos, e a
distância entre eles é igual a 2c. Sua definição formal é: dados os
pontos F1 e F2, a elipse é o conjunto de pontos P em que vale a
seguinte expressão:
Isso significa que a elipse é o conjunto dos pontos cuja soma das
distâncias até os focos é igual a uma constante. Em outras palavras, o
ponto P pertence a uma elipse se a soma da distância de P até F1
com a distância de P até F2 é igual a 2a.
A figura a seguir ilustra uma elipse com as medidas de segmentos
importantes encontrados nela:
Fig2. Representação gráfica de um Elipse
● Parábola: Dada uma reta r e um foco F, a parábola é a cônica na qual
todos os seus pontos têm a distância até r igual à distância até F.
A figura a seguir mostra um exemplo de parábola com o ponto P, em
que vale dPF = dPr :
Fig3. Representação gráfica de uma parábola.
● Hipérbole: Dados os pontos F1 e F2, chamados de focos da
hipérbole, e a distância 2c entre eles, uma hipérbole é o conjunto de
pontos do plano cuja diferença das distâncias até os focos é igual à
constante 2a. Assim, se P é um ponto da hipérbole, vale a expressão:
A imagem a seguir mostra um exemplo de hipérbole e alguns
segmentos importantes em sua formação:
Fig4. Representação gráfica de uma hipérbole.
Dada uma equação na forma geral, podemos classificar qual é o tipo de
cônica de modo a facilitar seu estudo e representação gráfica. Na Geometria
Analítica sabemos que esses tipos de cônicas possuem equações na forma
reduzida dadas por:
● A equação reduzida da circunferência também pode ser obtida usando a
distância entre dois pontos. Dados os pontos C (a, b), centro da
circunferência, e P (x, y) ponto qualquer pertencente a ela, a equação
reduzida da circunferência é: (𝑥 − 𝑎)² + (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟²
● A equação reduzida da elipse, com centro na origem do sistema de
coordenadas, onde e (0, ) são os vértices da elipse. Observe(± 𝑎, 0) ± 𝑏
que uma circunferência é uma elipse onde , que é o raio da𝑎 = 𝑏 = 𝑟
circunferência , conforme a equação a seguir.(𝑥² + 𝑦² = 𝑟²)
● A equação reduzida da parábola, com vértice na origem do sistema de
coordenadas, onde a primeira equação representa uma parábola com foco
, a segunda com foco , a terceira com foco , e a quarta(𝑝, 0) (− 𝑝, 0) (0, 𝑝)
uma parábola com foco , como mostra a equação a seguir.(0, − 𝑝)
● Equação reduzida da hipérbole, com centro na origem do sistema de
coordenadas, onde a primeira equação representa uma hipérbole com focos
no eixo e vértices , e a segunda uma hipérbole com focos no eixo𝑥 (± 𝑎, 0) 𝑦
e vértices (0, ), como mostra a equação a seguir.± 𝑏
As equações das cônicas representadas acima estão na forma reduzida,
onde temos , se , e se , . É possível, através𝐵 = 0 𝐴 ≠ 0 𝐷 = 0 𝐶 ≠ 0 𝐸 = 0
de uma mudança de referencial conveniente para levar a equação geral de
uma cônica até a forma reduzida, a fim de facilitar a sua classificação e
estudo.
FORMAS QUADRÁTICAS
Formas quadráticas são polinômios homogêneos de grau 2. Tais expressões
algébricas podem ter tipos e aplicações diferentes de acordo com os coeficientes do
polinômio, sendo uma função definida pela seguinte equação:
Essas formas podem ser classificadas em :
● Definida positiva : onde para todo não nulo.𝑓(𝑥, 𝑦) > 0 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅
● Definida negativa: onde para todo não nulo.𝑓(𝑥, 𝑦) < 0 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅
● Semi-definida positiva: onde para todo não nulo.𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅
● semi-definida negativa: onde para todo não nulo.𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 0 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅
● Indefinida: pode ser positivo ou negativo dependendo de .𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑥 , 𝑦 
Fig5. Representação gráfica dos tipos de formas quadráticas
Nestes gráficos, vemos cinco comportamentos distintos. A forma na Figura
(a) nunca assume um valor negativo, e o único vetor em seu kernel é o vetor zero.
Ou seja, para todos os vetores diferentes de zero. Por outro lado, a𝑓(𝑥, 𝑦) > 0
Figura (b) tem a propriedade de que para todos os vetores diferentes𝑓(𝑥, 𝑦) < 0
de zero. Dizemos que essas formas são definidas positivas e definidas
negativamente, respectivamente.
A Figura (c) mostra um formulário que assume valores positivos e negativos,
e dizemos que tal forma é indefinida. Os formulários nas Figuras (d) e (e) são
semelhantes aos da Figuras (a) e (b), respectivamente, em que seu intervalo é da
forma [0, ∞) ou (−∞, 0], a diferença, porém, é que as formas nas Figuras (d) e (e)
que possuem núcleos não triviais. Então, a forma na Figura (d) é semi-definida
positiva, o que significa que para todo , mas que existe algum𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅
vetor diferente de zero, de modo que . Da mesma forma, a forma na𝑓(𝑥, 𝑦) =≥ 0
Figura (e) é chamado de semi-definido negativo.
REFERÊNCIAS
Algebra Linear e Geometria Analítica - Autovalores e Autovetores e diagonalização:
Responde ai. Disponível em :
https://www.respondeai.com.br/aprender/topico/52/1122/teoria/1083. Acesso em 02
de julho de 2021.
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Cônicas"; Brasil Escola. Disponível em:
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conicas.htm. Acesso em 30 de junho de
2021.
O'Meara, T. (2000), Introduction to Quadratic Forms, ISBN 978-3-540-66564-9,
Berlin, New York: Springer-Verlag
VITORINO, Alfredo. “Classificação de Cônicas”; Unicamp. Disponível em
:https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/aplicacao_conicas.html. Acesso
em 01 de julho de 2021.