Aula 7_séries de pagamento

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ECONOMIA FLORESTAL
Matemática financeira
Universidade Federal do Piauí
Campus Profa. Cinobelina Elvas – Bom Jesus
Profa. Andressa Ribeiro
andressa.florestal@ufpi.edu.br
2021/1
NAS AULAS PASSADAS VIMOS O CÁLCULO DOS JUROS 
INCIDENTES EM PAGAMENTOS DE QUANTIA ÚNICA, MAS SE 
DECIDIRMOS PARCELAR NOSSAS TRANSAÇÕES FINANCEIRAS?
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Exemplo: A quantia de 500 é um valor que se repete a cada mês, partindo do mês
1 até o mês 5. Supondo que cada valor deixe seja um depósito em aplicação
bancária que paga juros de 1% ao mês, como proceder para calcular o montante
após 5 meses?
0 1 2 3 4 5
500 500 500 500 500
Logo, o montante seria R$2550,47 (soma de todos os meses capitalizados).
Note que para se chegar ao valor final foi necessário aplicar a fórmula 4 vezes.
Agora imagine que o número de depósitos seja de 100, a fórmula deveria então ser
usada 99 vezes (n-1) para obter o valor final!
Assim quando há situações como essa, é necessário desenvolver fórmulas
específicas para solucionar problemas semelhantes. Tais situações recebem o
nome de séries de pagamentos.
VF = 500*(1,01)1 = 505,00
VF = 500*(1,01)2 = 510,02
VF = 500*(1,01)3 = 515,15
VF = 500*(1,01)4 = 520,30
Capitalizando!
Séries de pagamento são o conjunto de parcelas de pagamentos ou recebimentos
destinadas à constituição de capital ou amortização de uma dívida. Exemplo: salário,
aluguel e pagamento de prestações.
As séries de pagamento podem ser classificadas quanto aos seguintes fatores:
Séries de Pagamento
Periodicidade
Periódica 
(intervalos 
constantes)
Não periódica 
(intervalos 
variáveis)
Duração
Finita 
(temporária)
Infinita 
(perpétua)
Valor das 
Parcelas
Constantes
Variáveis
Vencimento
Antecipada
Postecipada
Períodos
Unitários
Múltiplos
As variáveis necessárias para 
os cálculos das séries de
pagamento são:
R = valor das parcelas;
i = taxa de juros;
t = no de períodos de 
capitalização dentro do 
período de ocorrência da
parcela;
V0 = valor inicial;
Vn = valor final;
n = número de parcelas.
Série com duração temporária (finita)
✓ Série Finita Postecipada (SFP)
Valor inicial (V0)
Realizar a leitura 
do capítulo 
disponível no 
SIGAA para 
entendimento do 
desenvolvimento 
da fórmulas de 
séries de 
pagamento!!!
Valor final (Vn)
𝑉0 =
𝑅 1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛𝑡
(1 + 𝑖)𝑡−1
ou
𝑉0 =
𝑅 1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛
𝑖
ou
Exemplos
1) Depositando US$ 1.000,00 mensalmente numa conta de poupança que
rende 2% a.m., quanto se terá ao final de 12 meses?
Exemplos
2) Quanto será necessário depositar numa oportunidade de investimento
que rende 2% a.m. para que ao final de 12 meses se tenha um montante de
R$ 13.412,09?
V0 ou R=?
Vn = 13.412,09
t = 1
i = 2% a.m = 0,02
n = 12 meses
V0 = Vn / (1+ i
n)
Será necessário depósito único de 10.575,34 ou depósito de 12
parcelas de 1.000,00 (como encontrado no exemplo anterior)
3) Uma pessoa pode comprar um trator florestal pelos seguintes planos de pagamento:
a) à vista por US$ 90.000,00;
b) dez prestações mensais de US$ 10.000,00 (postecipadas);
c) cinco prestações bimestrais de US$ 20.000,00 (postecipadas).
Determine a melhor opção de compra, sabendo que a taxa de juros é de 2% a.m. e a
capitalização é mensal.
Situação a Vo = US$ 90.000,00
Situação c 
n=5
t=2 meses
R=20.000
Situação b 
n=10 
t=1 mês
R=10.000
Melhor opção de compra é a letra c
4) A 9% a.a. de juros, uma plantação que produz R$100 de receita líquida por ha a
cada 25 anos apresenta um valor futuro de quantos reais ao final da quinta rotação?
n=5
t=25 anos
R=100
i=9% a.a.
Vn=? 
𝑉𝑛 =
100 (1,095.25) − 1
(1,0925) − 1
𝑉𝑛 =
100 (1,095.25) − 1
(1,0925) − 1
𝑉𝑛 =
4.767.636,47
7,62308066
= 625.421,23
5) Quanto devo depositar semestralmente num investimento que rende juros de
0,2% a.m., a fim de obter R$20.000,00 daqui 20 anos?
n=20 anos=240 meses/6 meses=40
t=1 semestre = 6 meses
Vn=20.000
i=0,2% a.m.
R=? 
20000 =
𝑅 (1,00240.6) − 1
(1,0026) − 1
𝑅 =
20000 ∗ (1,0026) − 1
(1,00240.6) − 1
𝑅 =
241,2032048
0,615299904
= 392,01
i = taxa de juros;
t = intervalo ou período 
de tempo no qual as 
parcelas se repetem;
n = número de parcelas 
da série.
t e i sempre na mesma 
unidade de tempo!
✓ Série Finita Antecipada (SFA)
Valor inicial (V0)
Valor final (Vn)
𝑉0 =
𝑅 1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛𝑡 (1 + 𝑖)𝑡
(1 + 𝑖)𝑡−1
ou
Observe que o termo 
(1 + 𝑖)𝑡 age como um fator 
de correção do efeito da 
ocorrência da primeira 
parcela no início do primeiro 
período! 
6) Um carro é vendido à vista por R$ 30.000,00. A loja também oferece a opção de
prestações mensais de R$ 3.000,00 com taxa de juros de 3% a.m., sendo a primeira
prestação dada como entrada. Calcule o número de parcelas necessárias para liquidar a
dívida.
𝑉0 =
𝑅 1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛𝑡 (1 + 𝑖)𝑡
(1 + 𝑖)𝑡−1
Vo = 30.000
R=3.000
t=1
i=3% a.m.
n=? 
Série Finita Antecipada
30000 =
3000 1 − 1/(1,03)𝑛.1 (1,03)1
(1,03)1−1
30000 ∗ 0,03
3000 ∗ 1,03
− 1 = −1/(1,03)𝑛
900
3090
− 1 = −1/(1,03)𝑛 (* -1)
1
1,03𝑛
= 0,708737864
1
0,708737864
= 1,03𝑛
𝑛 =
log(1,41095804)
log(1,03)
= 12 parcelas
Série com duração infinita
✓ Série Infinita Postecipada (SIP)
Valor inicial (V0)
Valor final (Vn) 
Aplicando limite -> ∞ na fórmula de Vn da SFP
Vn = ∞/ (1 + 𝑖)𝑡 -1 = ∞
✓ Série Infinita Antecipada (SIA)
Valor inicial (V0)
Valor final (Vn) 
Aplicando limite -> ∞ na fórmula de Vn da SFA
Vn = ∞
7) Qual deve ser o valor do arrendamento (ou aluguel) mensal da terra na
região de Bom Jesus, se um hectare de terreno rural custa R$ 2.500,00 e a taxa
de juros é de 1% a.m.?
2500 =
𝑅
0,01
𝑅 = 2500 ∗ 0,01
𝑅 = 25,00
Vo = 2500
R=?
t=1
i=1% a.m.
n= ∞ 
8) Considerando que o investimento em reflorestamento com eucalipto
proporciona uma renda líquida de US$ 700,00/ha a cada sete anos, determine
o valor atual da renda desta atividade, levando-se em conta o horizonte infinito
e a taxa de juros a 10% a.a.
𝑉𝑜 =
700
1,17 − 1
𝑉𝑜 = 737,84
Vo = ?
R=700
t=7
i=10% a.a.
n= ∞ 
Resolução da 3ª lista de exercícios
- Resolver utilizando a calculadora
- Resolver utilizando funções financeiras do Excel
Conferir se os resultados são compatíveis!
Quando deverá ser aplicado a cada 2 meses, num
investimento com taxa de 5% ao bimestre, durante 3 anos e
meio, para que se tenha um montante de R$175.000,00?
175.000 =
𝑅 (1,0521.1) − 1
(1,051) − 1
𝑅 =
175.000 ∗ 0,05
(1,0521) − 1
𝑅 =
8.750
1,78596259
= 4.899,32
Referências bibliográficas