Aritmética Quinto Ano

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Aritmética
Quinto Año
Índice
ARITMÉTICA
QUINTO AÑO DE SECUNDARIA
 ● Lógica Proposicional I ..................................... 7
 ● Lógica Proposicional II .................................... 14
 ● Conjuntos I ...................................................... 21
 ● Conjuntos II ..................................................... 28
 ● Numeración I: sistema decimal ............................ 35
 ● Numeración II ................................................... 41
 ● Numeración III ................................................ 47
 ● Repaso ............................................................. 51
 ● Adición y sustracción ....................................... 55
 ● Multiplicación y división .................................. 61
 ● Progresión aritmética ........................................ 67
 ● Progresión geométrica ...................................... 73
 ● Divisibilidad I ................................................... 79
 ● Divisibilidad II ................................................. 85
 ● Números primos ............................................... 91
 ● Repaso ............................................................. 97
Nuevo texto
 ● MCM y MCD I ................................................ 99
 ● MCM y MCD II ............................................... 105
 ● Números racionales (Q) ................................... 111
 ● Razones y proporciones .................................. 118
 ● Reparto proporcional .......................................... 125
 ● Magnitudes proporcionaleS ............................ 131
 ● Regla de tres .................................................... 138
 ● Repaso ............................................................. 145
 ● Promedio .......................................................... 147
 ● Mezcla ............................................................. 154
 ● Porcentajes ....................................................... 161
 ● Interés ............................................................. 168
 ● Descuento ......................................................... 174
 ● Estadística ........................................................ 181
 ● Estadística II ..................................................... 190
 ● Repaso ............................................................. 200
7
 ARITMÉTICA
LÓGICA PROPOSICIONAL
Es una parte de la lógica que tiene como objeto de 
estudio la proposición y la relación existente entre 
ellas, así como la función que tienen las variables 
proposicionales y los conectivos lógicos.
PROPOSICIÓN LÓGICA
Es el significado de una expresión aseverativa que se 
caracteriza por tener un valor veritativo (es decir el 
significado tiene la posibilidad de ser verdadero o 
falso pero no los dos a la vez).
Las proposiciones lógicas se representaran mediante 
letras minúsculas del abecedario (…p,q,r,s,…) a los 
cuales se denominará variables proposicionales.
Ejemplos:
p: “Lima es una ciudad europea”
q: “El rio Amazonas pasa por la selva”
r: “(10-3) x 2<18
CLASES DE PROPOSICIONES
Proposición Simple o Atómica
Es aquella proposición con un solo significado. 
Carente de conjunciones gramaticales y del adverbio 
de negación “no”.
Ejemplos:
“El acero es resistente”
“6 y 7 son número consecutivo”
Proposición Compuesta Molecular
Son aquellos que tienen dos o más significados 
unidos por conjunciones gramaticales o, en todo 
caso, contienen el adverbio de negación “no”.
Ejemplos:
Hoy día es martes y estudiaremos aritmética 
“no es cierto que el perro ladre”
CONECTIVOS LÓGICOS
Símbolo Nombre Lenguaje Común
~ Negación No, no es cierto que, no es el caso que, etc.
∧ Conjunción
Y, pero, sin embargo, 
además, aunque, a la 
vez, etc.
∨ Disyunción inclusiva “o”
∆ Disyunción exclusiva “o”, “o… o…”
→ Condicional
“Si… entonces…”, 
“… si…”, 
“… dado que”, 
“…siempre que…”, 
“… porque…”, 
“... por lo tanto ...”, etc.
↔ Bicondicional “… si y solo si …”
Proposición Negación Conjunción Disyuncióninclusiva
Disyunción
exclusiva Condicional
Bicondicional
p q ~ p ~ q p ∧ q p ∨ q p ∆ q p → q p ↔ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
Lógica Proposicional I
5TO AÑO
8
Trabajando en clase
Integral
1. ¿Cuáles de los siguientes 
enunciados son proposiciones 
lógicas?
a) 7, 12 y 15 son números en-
teros
b) Si 3x < 13 entonces X es 
igual a –4
c) Richard y su hija son pe-
ruanos
d) ¿Quién es el Presidente del 
Perú?
e) Es la ciudad más bella del 
Perú.
2. Realiza la tabla de valor de 
verdad del siguiente esquema 
molecular.
~(p–q) ↔ ~[(~q) → (~p)]
 E indica si es tautológico con-
tradictorio o contingente. 
3. Simboliza las siguientes pro-
posiciones.
a) O José vendrá porque ha 
recibido la carta o no está 
interesado en el nuevo tra-
bajo.
b) Si no es el caso que Marcos 
sea comerciante y un prós-
pero industrial, entonces 
es ingeniero o no es co-
merciante.
PUCP
4. Si la proposición compuesta:
(~p ∧ q) → (q ∧ s)
 Es falsa, determina el valor de 
verdad de la siguiente proposi-
ción:
(q ↔ s) ∨ p
Resolución:
(~p ∧ q) → (q ∧ s) ≡ F
 (F) (V) (V) (F)
14243 14243
 V F
(q ↔ s) ∨ p
 V ↔ F ∨ F
1442443
 F ∨ F ≡ F
5. Si la proposición:
(~p ∨ q) ∨ (r → s)
Es falsa determina el valor de 
verdad de las siguientes pro-
posiciones:
a) (~p ∆ q) → r
b) (r ↔ q) ∧ (~q ∨ ~p)
6. Si la siguiente proposición 
lógica compuesta es falsa, de-
termina el valor de verdad de 
cada proposición. Si Orlando 
trabaja, entonces puede estu-
diar o comprarse un televisor 
nuevo.
7. Si la proposición:
~[p ∧ (q ↔ p)] es falsa. 
IMPORTANTE
Cuando los valores del operador principal 
son todos verdaderos, se dice que el esquema 
molecular es tautológico.
Se dirá que el esquema molecular es 
contradictorio si los valores del operador 
principal son todos falsos.
Si los operadores del valor principal tienen por 
lo menos una verdad y una falsedad, se dice 
que es contingente o consistente.
EVALUACIÓN DE FORMULAS POR 
LA TABLA DE VERDAD
Evaluar una fórmula por la tabla de verdad es 
obtener los valores del operador principal a partir 
de los valores de verdad de cada una de las variables 
proposicionales.
El número de valores que se asigna a cada variable es 
2n, donde “n” es el número de proposiciones que hay 
en la fórmula.
Determina el valor de verdad 
en cada caso.
a) (p → q) ∨ q
b) (q ∨ ~p) ↔ q
c) ~[p → (q ∧ p)]
UNMSM
8. Si a > 0 y b < 0, determina el 
valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I) a4 b < ab4
II) |ab3| = ab3
III) ab b a2 =-
(UNMSM 2012 – II)
Resolución:
a ⇒ 1; 2; 3; …; etc.
b ⇒ –1; –2; –3; ..; etc.
I) a4b < ab4 ….(V)
 (negativo) (positivo)
II) |ab3| = –ab3 ………(F)
 El valor absoluto siempre 
es positivo
III) ab b a2 =- ………(V)
 Porque b < 0 por lo tanto 
negativo
9. Determine el valor de verdad 
de las siguientes preposicio-
nes:
I) Si x ≤ 4, entonces x = 8
II) Caral es la ciudad más an-
tigua del Perú.
III) BID significa Banco Inter-
nacional de Desarrollo.
9
 ARITMÉTICA
10. Si p = V ; q = V y r = F
Los valores de las proposicio-
nes siguientes son:
a) [(~p → q) ∆ r] ↔ q ......( )
b) (~p ∨ q) → (~r ∧ ~q) ...( )
11. Sí “a” es par y “b” es impar, de-
termina el valor de verdad de 
las siguientes proposiciones:
I) a x b = impar
II) b + b = par
III) a – b = impar
UNI
12. Si la proposición
(p ∧ ~q) → (r → ~s), es falsa, 
El valor de p, q, r, s (en ese or-
den) es:
(UNI 2012 – I)
Resolución:
(p ∧ ~q) → (r → ~s) ≡ F
(V) (F) (V) (V)
1442443 1442443
 V F
p = V; q = F; r = V; s = V
13. Si la siguiente proposición es 
verdadera, determina el valor 
de p, q, r, s (en ese orden)
~[~(p ∧ q) ∨ (r → ~s)]
14. Indica la secuencia correcta 
después de determinar si la 
proposición es verdadera o 
falsa.
I) Si “m” y “n” son números 
no divisibles por tres, en-
tonces la suma o la dife-
rencia de elloses un múl-
tiple de tres.
II) Si “m” y “n” son múltiples 
de tres con m > n > 0; en-
tonces, el cociente m/n es 
un múltiple de tres.
III) Si “m” y “n” son múltiples 
de tres con m; n> 0 enton-
ces el MCD (m, n) es un 
múltiplo de tres. 
(UNI 2010 – I)
5TO AÑO
10
Sigo practicando
19. Si las siguientes proposiciones: (p∨~p) y (q∧ p) 
 son verdadera y falsa, respectivamente, determina
 los valores de verdad de:
 I) (q→p)∧~(q→~p)
 II) (q→~p)→(q→p)
 III) (~p∧~q)↔(p∨q)
a) FVF c) FVV e) VVV
b) FFV d) VVF
20. Si la siguiente preposición lógica compuesta es fal-
sa, determina el valor de verdad de cada proposi-
ción: Si Richard trabaja bien y no comete errores 
entonces no corregiriamos tantos errores.
a) VVF c) FVV e) VVV 
b) VFV d) FFF
21. Del resultado de la tabla de verdad del siguien-
te esquema molecular: (p↔q)→(r∨~p), se tiene 
que la diferencia entre la cantidad de verdades y 
falsedades es: 
a) 1 c) 5 e) 7 
b) 3 d) 6
16. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son propo-
siciones lógicas?
 a) El Perú cumplió 198 años de fundación.
 b) María es esposa de José y ama de casa.
 c) Él es el mejor escritor peruano.
 d) ¡El mejor equipo del mundo es el Barcelona 
 de España!
a) 0 c) 1 e) 4
b) 3 d) 2
17. Realiza la tabla de valor de verdad del siguiente 
esquema molecular.
 (p→~q)↔~(~p∆q)
e indica que tipo de proposición es.
 a) Tautológico 
 b) Contradictorio
 c) No se puede determinar
 d) Ambiguo
 e) Contingente
18. Simboliza la siguiente proposición.
 Ricardo ira a la fiesta, si solo si lo acompaña Ivet 
y Yenni.
a) p q r↔ →( ) 
b) p q r↔ ∧( ) 
c) p q r↔ ∨( )
d) p q r↔ ∨
e) p r q↔ ∧ 
11
 ARITMÉTICA
16. d
17. e
18. b
19. e
20. b
21. b
22. a
23. b
24. c
25. d
Claves
22. Los valores de verdad de las siguientes proposiciones: 
 a) (3 + 5 = 8) v (5 – 3 = 4)
 b) ( ) ( )3 5 8 1 7 6- = → - =
 c) ( ) ( )3 8 11 7 4 1+ = ∧ - >
 d) ( ) ( )4 6 9 5 2 4+ = ↔ - =
 Son respectivamente:
a) VVVV c) VVFF e) FFVF 
b) VVFV d) VFVF
23. Sean las proposiciones:
 p = 23 + 32 = 17
 q = 74 = 2401
 r = 32 + 43 > 150
 Los valores de verdad de los siguientes esquemas 
 moleculares son respectivamente. 
 • p q r∧ → 
 • ( )p r q→ ∧ 
 • p q r∧ →( ) 
a) FFV c) VVV e) FFF 
b) VVF d) FVF
24. Si r = V ; p = V y s = V los valores de las siguientes 
proposiciones son: 
 a) [(p↔~s)→r] 
 b) (p→~s)∆(r∨s)
 c) [~r∧~(s↔~p)] 
a) VVV c) VVF e) FFF 
b) VFV d) FFV
25. Si “x” es un número impar e “y” es par determina 
el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
 I. y + x = impar
 II. xy = número negativo
 III. x.y = par
a) VVF c) FVF e) VVV 
b) VFF d) VFV
5TO AÑO
12
Tarea
Integral
PUCP
1. ¿Cuántos de los siguientes 
enunciados son proposicio-
nes lógicas?
a) ¿Albert Einstein fue el 
hombre más inteligente 
del mundo?
b) 2×3+1<5
c) El éxito es la recompensa 
de la persistencia.
d) ¡Ella es la mujer más be-
lla del mundo!
a) 0 
b) 3
c) 1
d) 2
e) 4
2. Realiza la tabla de valor 
de verdad del siguiente es-
quema molecular. 
(-p∧q)∆(-q↔-p) 
 e indica qué tipo de propo-
sición es:
a) Tautológica
b) Contradictoria
c) No se puede determinar
d) Ambigua
e) Contingente
3. Simboliza la siguiente pro-
posición.
 No es el caso que, si Bryan 
es médico o comerciante, 
entonces es médico.
a) ∼ [( ) ]p q q∨ →
b) ∼ ∼( )p q p∨ →
c) ∼ ∼[( ) ]p q p∨ →
d) ∼ [( ) ]p q p∨ →
e) ∼ ∼[( ) ]p q p∨
4. Si p = V, q y r son dos pro-
posiciones cualesquiera. 
Determinar el valor de ver-
dad de:
I) ∼ ∼ ∼p p q→ ∨( )
II) [ ) ( )]r p q p r∨ ∧ ∧ →∼ ∼
III) [( ( ))] ( )p p q q p↔ ∨ ↔ ∧ ∼
a) VVF
b) VFF
c) FVF
d) FFF
e) VVV
5. Si la siguiente proposición 
es falsa (F) determina el va-
lor de verdad de cada pro-
posición.
 “Si hay lluvias en la sierra y 
el gobierno distribuye abo-
no, entonces la producción 
agrícola crecerá”.
a) VVV
b) VFV
c) FFV
d) FFF
e) VVF
6. Si la proposición: 
 ( ) ( )p q r s∧ → →∼ ∼
 es falsa, determina el valor 
de verdad en cada caso.
a) ∼ ∼( )p q q∧ ∨
b) [( ) ] [( ) ]r q q q r s→ ∧ ↔ ∨ ∧∼
c) ∼ ∼ ∼[( ) ] ( )p q q p q∨ ∧ → →
a) VVV
b) FVF
c) FFF
d) VFV
e) VVF
7. Del resultado de la tabla de 
verdad del siguiente esque-
ma molecular:
 , (p ∆ t) → (q → t) se tie-
ne que la diferencia entre la 
cantidad de verdades y fal-
sedades es:
a) 1 d) 6
b) 3 e) 7
c) 5
8. Realiza el esquema molecu-
lar de la siguiente proposi-
ción y determina cuántos 
valores verdaderos tiene su 
matriz principal.
 “No es el caso que si Nao-
mi y Andrea son peruanas, 
entonces Naomi no es pe-
ruana”
a) 0
b) 1
c) 4
d) 2
e) 3
13
 ARITMÉTICA
12. Determinar el valor de ver-
dad de las siguientes propo-
siciones.
a) Si Grau es peruano en-
tonces Grau es chileno.
b) Los Presidentes del Perú 
y Brasil son Ollanta Hu-
mala y Lula da Silva res-
pectivamente.
c) José Carlos Mariátegui 
fue un héroe si solo si 
José de San Martín es pe-
ruano.
a) VVV
b) VFV
c) FFV
d) FFF
e) VVF
Claves
01. d
02. e
03. d
04. a
05. e
06. d
07. c
08. e
09. d
10. d
11. b
12. c
13. d
14. c
15. a
UNI
UNMSM III) Si a y b son múltiplos 
de 7 con a; b > 0, enton-
ces el MCD (a; b) es un 
múltiplo de 7.
a) FVF
b) VVV
c) FFV
d) FFF
e) FVV
15. Dada la proposición:
 ∼ [( ) ( )]r q r p V∨ → → ≡
 Donde se sabe que “q” es 
una proposición falsa. De-
termina el valor de verdad 
de las siguientes proposi-
ciones:
I) r p q→ ∨( )∼ ∼
II) [ ( ] ( )r p q q p↔ ∧ ↔ ∧ ∼
a) VV
b) FV
c) FF
d) No se puede determinar
e) VF13. Si la proposición:
 ∼ ∼ ∼[ ( ) ( )]p q r s∨ → →
 es verdadero el valor de p, q, 
r, s (en ese orden), es:
a) FVFV
b) VVVV
c) VVFF
d) FFVV
e) FVVF
14. Indica la secuencia correcta 
después de determinar si la 
proposición es verdadera o 
falsa.
I) Si a y b son enteros di-
visibles por 7, entonces 
la suma y la diferencia 
de ellos es siempre un 
múltiplo de tres.
II) Si a y b son múltiplos de 
5 con a > b > 0, enton-
ces el cociente a/b es un 
múltiplo de cinco.
9. Si p = F ; q = V y s = F los 
valores de las siguientes 
proposiciones son:
a) [( ) ]p q s→ ∧∼
b) ( ) ( )∼ q s p q∨ ↔ ∅
c) [( ) ]∼ ∼p s q↔ ∨
a) VVV
b) VFV
c) VVF
d) FFV
e) FFF
10. Si “m” es un número natural 
par y “n” es entero positivo, 
determina el valor de ver-
dad de las siguientes propo-
siciones.
I) m x n = impar
II) nm = negativo
III) m – n < 0
a) VVF d) FFF
b) VFF e) VVV
c) FVF
11. Si
 p = Juan es entrenador.
 q = Juan es padre de familia.
 r = Juan es mayor de edad.
 Escribe la proposición ló-
gica del siguiente esquema 
molecular.
 ∼ [( ) ]p q r∧ →
a) Juan no es entrenador y pa-
dre de familia, entonces es 
mayor de edad.
b) No es el caso que Juan es en-
trenador y padre de familia, 
entonces es mayor de edad.
c) Nunca Juan fue entrenador 
ni padre de familia, enton-
ces no es mayor de edad.
d) Juan no es entrenador ni 
padre de familia, entonces 
no es mayor de edad.
e) No es el caso que Juan no 
sea entrenador y padre de 
familia, entonces es mayor 
de edad.
(p∆q)
5TO AÑO
14
PROPOSICIONES LÓGICA EQUIVA-
LENTE
Son aquellas que poseen tablas de verdad equivalentes 
(iguales) siendo posible el uso de una de ellas por la 
otra. Se denotan 
p ≡ q
Ejemplo:
: ( )
:
a p q
b q p
"
"+ +
Se puede decir también que dos proposiciones son 
lógicamente equivalentes cuando la proposición 
bicondicional que las vincula es una tautología, es 
decir si:
( ) ( )p q p q
logLey ica
& " /
1 2 344 44
LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir 
esquemas moleculares complejos y expresarlos en 
forma más sencilla. Las demostraciones de dichas 
leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en 
cada caso.
PRINCIPALES LEYES
a. Ley de idempotencia
 p p p
p p p
0
/
/
/
b. Ley conmutativa
 p q q p
p q q p
0 0
/ /
/
/
c. Ley asociativa
 ( ) ( )
( ) ( )
p q r p q r
p q r p q r
0 0 0 0
/ / / /
/
/
d. Ley distributiva
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p q r p q p r
p q r p q p r
/ 0 / 0 /
0 / 0 / 0
/
/
e. Ley de la doble negación
 ( )p p+ + /
f. Ley de identidad
 ;
;
p V V p F p
p V p p F F
0 0
/ /
/
/
=
=
g. Leyes de complemento
 p p V
p p F
0
/
+
+
=
=
h. Ley de la condicionalp q p q" 0+=
i. Ley de la bicondicional
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
P q p q q p
p q p q p q
p q p q
) " "
)
)
/
/ 0 /
T
/
/ + +
/+
j. Ley de absorción
 
( )
( )
( )
( )
p p q p
p p q p
p p q p q
p p q p q
0 /
/ 0
0 / 0
/ 0 /
+
+
=
=
=
=
k. Leyes de Morgan
 ( )
( )
p q p q
p q p q
0 /
/ 0
+ + +
+ + +
=
=
Lógica Proposicional II
15
 ARITMÉTICA
TRANSPOSICIÓN
p q q p" "+ +=
Ejemplo:
Si Pedro toca guitarra, entonces canta.
p : Pedro toca guitarra.
q : Pedro canta.
Simbología: p → q
Su equivalente: ~q → ~p
Se lee: Si Pedro no canta, entonces no toca guitarra.
TRANSITIVIDAD
:
Si p q y q r
entonces p r
" "
"
Ejemplos:
 Z Si estudias, entonces ingresarás.
 Z Si ingresas, entonces serás profesional.
p: Estudias.
q: Ingresarás.
r: Serás profesional.
Simbología: p → q
q → r
p → r
Conclusión:
Se lee: Si estudias, entonces serás profesional.
CIRCUITOS LÓGICOS
Un circuito conmutador puede estar solamente en 
dos estados estables: cerrado o abierto, así como una 
proposición puede ser verdadera o falsa, entonces 
podemos representar una proposición utilizando un 
circuito lógico:
1. Circuito serie: 
 Dos interruptores conecta dos en serie represen-
tan una conjunción.
< > p ∧ q
2. Circuito Paralelo: 
 Dos interruptores conectados en paralelo repre-
sentan una disyunción.
< > p ∨ q
Trabajando en clase
Integral
1. Simplifica el siguiente esquema.
[ ( ) ]p q p q"0 0+ + +
2. ¿A qué formula molecular equivale el siguiente 
circuito?
3. Determina el equivalente de: No es el caso que 
José es ingeniero y no haya estudiado en la uni-
versidad.
PUCP
4. Simplifica el siguiente esquema:
( ) ( )p q q p" "/+
Resolución:
• Ley del condicional
 ~( ) ( )p q q p
p q q p
"/ 0
0 0 0
+
+ +
• Ley de idempotencia
 ( ) ( )p p q q0 0 0+ +
S
 p ∨ ~q
• Ley de Morgan
 ( )p q/+ +
5. Simplifica el siguiente esquema:
[( ) ( )]p q s s q"/ / /+ + +
6. Simplifica el esquema.
[( ) ( ) ]p q q p r p"/ / / 0+
7. Realiza el circuito del siguiente esquema molecu-
lar
[( ) ]p q p q/ 0 0+ +
5TO AÑO
16
UNMSM
8. Señala el equivalente de:
Si Miguel va a la fiesta, entonces realizó su tra-
bajo.
Resolución:
p = Miguel va a la fiesta.
q = Miguel realizó su trabajo
( )p q p q" 0/+
Miguel no va a la fiesta o realizó su trabajo.
9. Señala el equivalente de:
No es el caso que Pilar no sea escritora y no sepa 
los signos de puntuación.
10. De las siguientes proposiciones:
a) Si te esfuerzas, entonces serás titular en el 
equipo de fútbol.
b) Si no eres titular en el equipo de fútbol enton-
ces no te esfuerzas.
c) No te esfuerzas o serás titular en el equipo de 
fútbol.
¿Cuáles son equivalentes entre si?
11. La negación de
“Hoy es viernes por lo tanto mañana es sábado” 
es:
UNI
12. Señala el circuito equivalente a la proposición
[(p → q) → p] ∧ [~p → (~p → q)]
Resolución:
[(p → q) → p] ∧ [~p → (~p → q)]
 14243
[(~p ∨ q) → p] ~(~p) ∨ (~p → q)]
144424443
 ~(~p ∨ q) ∨ p p ∨ (~p → q)
144424443 14243
 (p ∨ ~q) p ∨ ~(~p) ∨ q
144424443 144424443
 p p ∨ (p ∨ q)
 (p ∨ q)
 p ∧ (p ∨ q) ≡ p
 4 p 4
13. Señala el circuito equivalente a la proposición
{~(p ∩ q) ∧ [(p ∧ q) ∨ r]} ∧ ~q
14. Indique la fórmula que representa el siguiente cir-
cuito lógico:
 p 
q 
r 
s t 
 ~r 
17
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Simplifica el siguiente esquema
 [~(p→q)→~(q→p)]∧(~p∨q) 
a) p c) ~p~q e) p∨q
b) q d) p∧q
17. ¿A qué esquema molecular equivale el siguiente 
circuito?
 
 p
q
p q
~q
~p
a) [( ) ( )] ( )p q q p p q∧ ∨ ∨ ∧ ∧∼ ∼ 
b) [( ) ( )] ( )p q q p p q∨ ∧ ∧ ∧ ∧∼ ∼ 
c) [( ) ( )] ( )p q q p p q∧ ∨ ∧ ∨ ∨∼ ∼ 
d) [( ) ( )] ( )p q q p p q∨ ∧ ∨ ∨ ∧∼ ∼ 
e) [( ) ( )] ( )p q q p p q∨ ∧ ∨ ∧ ∧∼ ∼ 
18. Determina el equivalente de:
 “Es falso que si usted ve un gato negro entonces 
tendrá mala suerte”
a) Ve un gato negro y tiene mala suerte 
b) No tiene mala suerte si ve un gato negro 
c) Ve un gato negro y no tienen mala suerte 
d) Ve un gato negro si tiene mala suerte
 e) Tiene mala suerte si solo si ve un gato negro
19. Determina el equivalente del siguiente circuito 
lógico: 
 
 ~p q−
p
~q
p q–
 
a) V c) p∧q e) ~ p∨q 
b) F d) q
20. Simplifica el esquema. 
 [( ) ] [ ( )]~p q q p p q→ ∧ → → ∧
a) ~ ~p q∨ c) p q∧ e) V 
b) p q→ d) ~p q∧ 
21. Realiza el circuito del siguiente esquema molecular. 
 [( ) ] ( )~p q r p r→ ∨ → ∧
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
5TO AÑO
18
16. c
17. d
18. c
19. d
20. e
21.
22. e
23. d
24. d
25. d
Claves
22. Indica la negación de:
 “Si las gallinas son ovíparas, entonces nacen de 
un huevo”.
 a) Los ovíparos son gallinas y nacen de un huevo.
 b) Las gallinas no son ovíparos ni nacen de un 
 huevo.
 c) Las gallinas no nacen de un huevo, entonces 
 no son ovíparos.
 d) Las gallinas son ovíparos o no nacen de un 
 huevo.
 e) Las gallinas no nacen de un huevo y son 
 ovíparos.
23. Simplifica: 
 
a) p q∧ c) q e) ~q p∨ 
b) ~p d) p
24. De las siguientes proposiciones.
 a) El león no es mamífero.
 b) No es el caso que el león sea un mamífero.
 c) El león es mamífero.
 ¿Cuáles son equivalentes entre sí?
 a) a; c
 b) b; c
 c) a; b y c
 d) a; b
 e) No hay equivalencia posible
25. La negación de “Sandra ni es profesora ni es eco-
nomista”
 a) Sandra no es profesora o economista.
 b) Sandra no es profesora, entonces es econo-
 mista.
 c) Sandra es profesora y economista.
 d) Sandra es profesora o economista.
 e) Sandra es profesora y no economista.
 
19
 ARITMÉTICA
Integral
PUCP
UNMSM
1. Simplifica el esquema
( ) [ ( )]p q p p q∧ ∨ → ∧
a) p q∧ ∼
b) ∼ p q∨
c) p
d) ∼ p
e) q
2. ¿A qué fórmula molecular 
equivale el siguiente cir-
cuito?
a) p q p q∧ ∧ ∨[( ) ]∼ ∼
b) p q p q∨ ∨ ∨[( ) ]∼
c) p q p q∨ ∧ ∧[( ) ]∼ ∼
d) p q p q∨ ∧ ∨[( ) ]∼
e) p q p q∨ ∧ ∨[( ) ]∼ ∼
3. Determina el equivalente de:
 “Si Richard no trabaja en-
tonces cobrará”.
a) Richard no trabaja y co-
bra.
b) Richard no trabaja.
c) Richard no cobra.
d) Richard trabaja o cobra.
e) Si trabaja y cobra.
8. Si el costo de cada llave en la 
instalación del circuito:
 Es de S/.50; ¿en cuánto se 
reducirá el costo de la ins-
talación si se reemplaza este 
circuito por su equivalente 
más simple?
a) S/.50 
b) S/.150
c) S/.200
d) S/.250
e) S/.300
9. De las siguientes proposi-
ciones:
a) Es necesario que Juan no 
estudie en la UNI para 
que Luis viva en el Rímac.
b) No es cierto que Luis viva 
en el Rímac y que Juan 
estudie en la UNI.
c) Luis no vive en el Rímac 
y Juan no estudia en la 
UNI.
 ¿Cuáles son equivalentes 
entre si?
a) a y c d) a, b y c
b) b y c e) a y d
c) a y b
4. De los siguientes esquemas 
moleculares, sus equivalen-
tes son:
• [( ) ( )]∼ ∼ ∼p q r r q∧ → ∧ ∧
• [( ) ( )] ( )∼ ∼ ∼p q p q p q→ → → ∨ ∧
a) q; ∼ p
b) p; ∼ q
c) ∼ q ; ∼ ( )p q∧ 
d) ( );r q p∧
e) ( );p q p∧
5. Simplifica:
 [( ) )]p q q p→ ∧ →∼ ∼
a) p d) F
b) ∼ p e) p q∨
c) V
6. Realiza el circuito del si-
guiente esquema molecular.
 ( ) ( )∼ p q p q∨ → ∧
7. ¿Cuál o cuáles de los si-
guientes pares de proposi-
ciones son equivalentes?
I. ( );( )∼ ∼p q q p↔ ↔
II. [( ) ( )];q p p q q∨ ∧ ∨∼ ∼
III.[( ) ]q p∨ ∧
a) I y II
b) II
c) III
d) I y III
e) II y III
Tarea
5TO AÑO
20
Claves
01. b
02. e
03. d
04. c
05. c
06.
07. d
08. d
09. a
10. d
11. c
12. e
13. d
14. a
15. a
10. La negación de “Si Frances-
ca es profesional, entonces 
es inteligente”
a) No es el caso que Frances-
ca es profesional y no es 
inteligente.
b) Francesca no es inteligen-
te o es profesional.
c) Francesca no es profesio-
nal, entonces no es inteli-
gente.
d) Francesca es profesional y 
no es inteligente.
e) Ni Francesca es profesio-
nal ni es inteligente.
11. Simplifica:
t p q q p q p→ → → ∧ ∧ →{ }[( ) ] [ ( )]∼
a) ∼ q
b) ∼ p
c)  t
d) p q∧
e) q t∧
13. Señale el circuito equivalen-
te a la proposición:
∼ ∼ ∼( ) [ ( ) ]p q p q r q∧ ∧ ∧ ∨ ∧
a) p 
b)  p 
c) q 
d)  q
e) p – q p – q 
14. Indique la fórmula que re-presenta el siguiente circuito 
lógico.
a) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∧ ∧ ∧∼ ∼ ∼
b) [( ) ( )] ( )p q p q p q∧ ∨ ∨ ∧ ∧∼
c) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∨ ∧ ∧
d) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∨ ∧ ∧
e) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∧ ∨ ∨∼
15. Simplifica e indica el equiva-
lente:
a) ∼ ∼p q∨
b) p q∧ ∼
c) p q∨
d) p q∧
e) ∼ p q∨
UNI
UNI
12. ¿Cuáles de las siguientes 
proposiciones son equiva-
lencias lógicas?
I. ∼ ( );[( ) ]p q p q q→ ∨ ∧
II. ( ); ( )∼ ∼ ∼ ∼p q p q→ ∧
III. [( ) ];( )∼ ∼ ∼p q q q p∧ ∨ ∨
a) I y II
b) I y III
c) I, II y III
d) III
e) II y III
( ) ( ) ( )∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼q p p q p q→ ∧ → ∨ →
21
 ARITMÉTICA
NOCIÓN DE CONJUNTO
Es un ente matemático, por el cual se puede tener una 
idea subjetiva de ello; como colección, agrupación 
o reunión de objetos abstractos o concretos 
denominados elementos.
Ejemplo:
 Z Los días de la semana.
 Z Los países de América del Sur.
 Z Los jugadores de un equipo de fútbol.
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Consiste en precisar correctamente que elementos 
forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos 
formas:
Por extensión (forma tabular)
Cuando se indica generalmente a todos y cada uno 
de los elementos.
Ejemplo:
A = {a, e, i, o, u}
D = {2, 4, 6, 8}
Por comprensión (forma constructiva)
Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a 
todos los elementos del conjunto, de tal manera que 
cada objeto que goza de la propiedad pertenece al 
conjunto, y todo elemento del conjunto goza de la 
propiedad mencionada.
Esquema:
G = {n/n es una vocal}
H = {los números pares menores que 13}
J = {n2 – 1/n es entero ∧ 1 ≤ n ≤ 7}
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Se establece esta relación solo de elementos a conjunto 
y expresa si el elemento indicado forma parte o no del 
conjunto considerado.
“… pertenece a…”; ∈
“… no pertenece a …” ∉
Esto quiere decir que dado un elemento y un conjunto:
elemento conjunto
"
!
RELACIÓN DE INCLUSIÓN (⊂)
Se dice que un conjunto está incluido en un segundo 
conjunto, cuando todos los elementos del primero 
forman parte del segundo conjunto.
⊂: “incluido o contenido”
A ⊂ B: “A está contenido en B”
 “A es subconjunto en B”
 “B contiene a A”
Ejemplos:
I. A = {todos los gatos}
 B = {todos los mamíferos}
 ∴ A ⊂ B
II. D = {2, 4, 6} E = {1, 2, 3, 5}
 Se observa que D no está contenido en E, en ese 
caso se denota: D ⊄ E
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Es el número de elementos que posee el conjunto 
considerado.
Notación:
|A| o n(A): Número de elementos de A
A = {a, e, i, o, u} |A| = n(A) = 5
P = {2, 2, 3, 3, 3, 6, 7} → n(P) = 4
SUBCONJUNTO
Se denomina “subconjunto de A” a cualquier conjunto 
que este incluido en el mismo “A”.
Conjuntos I
5TO AÑO
22
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula la suma de elementos del conjunto “A” si:
(2 3) /2 3 2 5A y Z y! # #= - -$ .
2. Según el conjunto
; ; ;A a b c d= #$ - .
¿Cuántos enunciados son incorrectas?
I. ;b c A1# -
II. ;b c A!# -
III. ;b c A1#$ -.
IV. c ∈ A
V. a A1" ,
VI. a A!" ,
3. Dados los conjuntos 
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {2; 3; 4; 8; 3}
Calcula el número de subconjuntos de A más los 
de B.
PUCP
4. Si el subconjunto A es unitario y es igual al con-
junto B, calcula: a × b
;A a 5 4= +# -
B b 723= +$ .
Subconjunto propio
Se denomina “subconjunto propio de A” a cualquiera 
de sus subconjuntos excepto el mismo “A”.
CONJUNTO POTENCIA
Se denomina “potencia de A”; P(A) al conjunto de los 
subconjuntos de “A”.
Además; sea “n” el número de elementos del conjunto A.
: ( )
(
[ ( )]
)
Si n A n
N desubconjuntosdeA
N desubconjuntos
propiosdeA
N deelementosdeP A
n P A
2
2 1
2
o n
o n
o
n
=
=
= -
=
f p
R
T
S
S
S
S
S
S
S
S
Ejemplo:
Si: {a; b; c} entonces:
P(A) = {∅; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}}
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Donde:
• Números naturales:
 N = {0; 1; 2; ...}
• Números enteros:
 Z = {...; –2; –1; 0; 1; 2; ...}
• Números racionales:
 Q = ..., 2
3 ; 7
4 ;0; 2
1 ; 2
4 ; ...( 2
• Números irracionales:
 I = ..., ; ; ; ; ; ...e5 3 3 ≠- -# -
• Números reales: 
R; Q ∪ I
Resolución:
“A” es un conjunto unitario; por lo tanto, los ele-
mentos son iguales
4 11a a5 &+ = =
A B &= los elementos son iguales
4b 723 + =
b + 72 = 64
b = 15
a × b = 11 × 15 = 165
5. Si los conjuntos A y B son unitarios. Calcula “xy”
;A x 3 23= +$ .
;B y 32x= % /
6. Calcula el cardinal de:
( ) /C x N x2 3 3 51! #= +# -
7. Calcula el cardinal del conjunto B si:
/B x x Z x2 2 32 1! #= + -# -
UNMSM
8. Calcula: n(A) + n(B) si:
/A x N x N x2
3 2 5/! ! # #= +c m) 3
/B y y A3
4
!= +) 3
23
 ARITMÉTICA
Resolución:
x 2 3 4 5
x
2
3+ 5/2 3 7/2 4
A = {3; 4}
 n(A) = 2y 3 4
y
3
4+ 7/3 8/3
 n(B) = 2
 2 + 2 = 4
9. Calcula: n(R) . n(P) si: 
/R x N x N x2
2 3
2
/! ! #= +e o* 4
/P y y R2
3
!= +d n* 4
10. El número de subconjuntos de un conjunto de 
n + 2 elementos excede al doble del número de 
subconjuntos de un conjunto de n – 2 elementos 
en 224. Calcula el valor de “n”.
11. Si los conjuntos son iguales, calcula 2a + 3b si a y 
b ∈ Z+
;A a b8 133 2= + +$ .
;B 7 16= # -
PUCP
12. Dados los conjuntos:
/A x N x x25 10 1 02!= + + =# -
/ /C x R x x1 4 4 1 02! #= - +# -
Calcula: n(A) + n(C)
Resolución:
/A x R x x25 10 1 02 1!= + +# -
25x2 + 10x + 1 = (5x + 1)2 < 0
x ∈ N ⇒ A = ∅
/ /C x R x x1 4 4 1 02!= - + =# -
4x2 – 4x + 1 = (5x – 1)2 = 0
x = 1/2
C = {2}
n(A) + n(C) = 0 + 1 = 1
13. Dados los siguientes conjuntos: n(B) + n(C) cal-
cula.
/9 6 1 0B x N x x2!= + + =# -
/ /C x Z x x1 16 8 1 02!= + + =# -
14. Calcula: n(A)
/ ; ; /A x s
r r s Z r y s3 0 3< 1! # #= =( 2
5TO AÑO
24
Sigo practicando
16. Calcula la suma de elementos del conjunto A
 A x x x= + ∈ ∈ − ″ ″{ }( ) / ,2 2 2 2Ν Ζ
a) 9 c) 11 e) 20
b) 17 d) 14
17. Según el conjunto
 
A = { }{ }5 1 2 2 4 7 13”; ; ; ; ;/ 
 ¿cuántos enunciados son incorrectos?
I. 1 2;{ }∈A
 II. 2 ⊂ A
 III. 7; 2⊂A
 IV. 1 1{ }{ }⊂; A
 V. 7 ∈A
a) 4 c) 3 e) 1
b) 2 d) 5
18. Dados los conjuntos
 A
C a b a b b a
= { }
= { }
2 3 4 3 2 4; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
 Calcula el número de subconjuntos de A con los 
 de C.
a) 4 c) 64 e) 12
b) 8 d) 16
19. Si n(A) – n(B) = 3 y n[P(A)] + n[P(B)] = 72, 
 calcula: n(A) + n(B) = 
a) 9 c) 11 e) 8 
b) 4 d) 13
20. Calcula el cardinal del conjunto M 
 
 M x x= + ∈ − ″ ″{ }( ) /2 2 4 3Ζ
a) 10 c) 14 e) 16 
b) 13 d) 17 
 
21. Calcula el cardinal del conjunto potencia del con-
junto F si: 
 F y y y= + ∈ ∧ − ″ <{ }3 1 3 2/ Ζ
a) 32 c) 16 e) 512
b) 256 d) 64
≥ ≤ ≠
≤≤
≤≤
≤
25
 ARITMÉTICA
16. c
17. c
18. c
19. a
20. d
21. a
22. c
23. d
24. e
25. c
Claves
22. Si el conjunto Z es unitario, calcula: (x)y
 
 
Z y x= − − −{ }3 2 15 8 5 24; ;/ /
a) 15 c) 3 e) 2
b) 2/3 d) 8/5
23. Indica la verdad o falsedad de: 
 A = { }{ }3 4 5 6; ; ;
 5 6 3 5 6∈ ∉ { }{ }∈A A A; ; ; ;
a) VVV c) VFF e) FFV 
b) FVV d) FVF 
24. El número de subconjuntos de un conjunto de 
n + 3 elementos excede al cuádruple del número 
de subconjuntos de un conjunto de n – 2 elemen-
tos en 224 calcula el valor de “n”
a) 6 c) 3 e) 5
b) 2 d) 8
 
25. Si los conjuntos son iguales, calcula: x + y
 si x; y ∈ +Ζ
 
M x y= + +{ }122 43 3;( )
 
N = { }6 343;
a) 94 c) 97 e) 30
b) 54 d) 79
5TO AÑO
26
Integral
UNMSM
9. El número de subconjun-
tos de un conjunto de R + 1 
elementos excede al doble 
del número de subconjun-
tos de un conjunto de R-1 
elementos en 8. Calcula el 
valor de “R”.
a) 7
b) 6
c) 4
d) 8
e) 3
10. Si los conjuntos son iguales 
y además x; y. 
 ∈ Z+. Calcula: x2 + 3y
B y x
C
= + −{ }
= { }
8 3 1
15 35
2;
;
a) 28
b) 35
c) 20
d) 22
e) 30
Tarea
8. Si la suma del número de 
subconjuntos de A y B es 
igual a 40, calcula n(A) + 
n(B)
a) 6 d) 5
b) 7 e) 9
c) 8
1. Calcula la suma de elemen-
tos del conjunto B
B y y= + ∈ ″ − ″{ }( ) /4 2 0 2 1 3�
a) 170
b) 120
c) 70
d) 180
e) 210
2. Según el conjunto
 A = { }{ }1 1 2 3; ; ;
 Cuántos enunciados son in-
correctos.
I. 1 1 2; ;{ } ⊂ A
II. 1;3 ∈ A
III. 1 2;{ } ⊂ A
IV. 1 2 3; ;{ }{ }∈ A
a) 1
b) 2
c) 0
d) 3
e) 4
3. Dados los conjuntos
 
M a a b c c d
N
= { }
= { }
; ; ; ; ;
; ; ; ; ;0 1 3 5 1 0
 Calcula la suma del númerode subconjuntos de M con 
los de N
a) 512 d) 64
b) 128 e) 32
c) 24
≤ ≤
PUCP
4. Si el conjunto A es singleton, 
calcula:
 (a x b) + c
 A b ca= + + −{ }2 3 3 4 19 62; ; ;
a) 20 d) 25
b) 40 e) 27
c) 32
5. Calcula el cardinal de:
A x x= + ∈ − ″ <{ }( ) /2 3 2 2�
a) 0
b) 2
c) 4
d) 1
e) 3
6. Calcula el cardinal del con-
junto potencia del conjunto 
B:
B x x x= + ∈ − ″ <{ }3 2 1 3/ � 
a) 4 d) 8
b) 16 e) 32
c) 64
7. Cuántos subconjuntos pro-
pios tiene C:
C x x x= + ∈ ∈ ∧ ″{ }2 4 10� �/
a) 7 d) 3
b) 15 e) 63
c) 31
≤
≤
≤
27
 ARITMÉTICA
UNI
Claves
01. c
02. e
03. e
04. d
05. e
06. d
07. d
08. c
09. e
10. a
11. c
12. c
13. d
14. d
15. d
11. Dados los siguientes conjun-
tos:
 
A x x x
B x x A
C x x B x
= + ∈ ∧ <{ }
= ∈{ }
= + ∈ ∧ <{ }
3 2 5
4
6 1 35
/
/
/
�
 Calcula: n(C)
a) 2
b) 0
c) 3
d) 1
e) 5
12. Indica V o F:
 A = { } ϒ{ }3 5 3 5 1 5; ; ; ; ;
I. 5∈ A...( )
II. 3 5; ...( ){ }∈ A
III. 1 5; ...( ){ } ⊂ A
IV. 3 5; ...( )⊂ A
a) VFVF
b) VVFF
c) VVVF
d) FFVV
e) FVVF
15. Si para 2 conjuntos A y B se 
cumple que:
 n(A) + n(B) = 16
 n[P(A∪B)] = 4096
 ¿Cuántos subconjuntos pro-
pios tiene (A∩B)?
a) 63
b) 31
c) 127
d) 15
e) 7
13. Dados los conjuntos
A x x
B n n n
= − ∈ ″ ″{ }
= − ∈ ∧ ″ ″{ }
1
3
16 625
1 1 3
2
2
�
�
/
/
 Calcula: n(A) + n(B)
a) 8
b) 3
c) 13
d) 11
e) 15
14. Sean los conjuntos
 
∧O
 Calcula: [n(A)]n(B)
a) 8
b) 16
c) 27
d) 125
e) 81
≤≤
≤≤
5TO AÑO
28
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Unión o reunión
Sean los conjuntos A y B
Se denota A ∪ B
Se define: A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Ejemplo:
Sean A = {1; 2; 3; 4} y B = {3; 4; 6; 7}
Luego: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
A B
A B�A ∪ B
2. Intersección
Sean los conjuntos A y B
Se denota A ∩ B
Se define: A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
Ejemplo:
Sean A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} y B = {5; 6; 7; 8; 9}
Luego: A ∩ B = {5; 6; 7}
A B
A B�A ∩ B
3. Diferencia
Sean los conjuntos A y B
Se denota: A – B (en ese orden)
Se define: A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
Ejemplo:
Sean A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} y B = {5; 6; 7; 8; 9}
Luego: A – B = {1; 2; 3; 4}
A B
A B�A – B
4. Diferencia simétrica
Sean los conjuntos A y B
Se denota A D B
Se define: A D B = {x/x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∉ (A ∩ B)}
Ejemplo:
Sean: A = {1; 2; 3; 4} y
 B = {3; 4; 5; 6; 7}
Luego: A D B = {1; 2; 5; 6; 7}
A B
A B = (A B) - (A B)� � �A D B
5. Complemento
Sea el conjunto A
Se denota: A; Ac; A’; CA
Se define: Ac = {x/x ∈ ∪ ∧ x ∉ A}
Ejemplo:
Sean U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y A = {1; 3 ; 5; 7}
Luego: Ac = {2; 4; 6; 8; 9}
 ∪
A
AC
�
Ac
6. Diagrama de Venn
S1 = a + b + c
S2 = e + d + f
S3 = x
S1 + S2 + S3 + g = U
Conjuntos II
29
 ARITMÉTICA
7. Diagrama de Carroll
Se utiliza para conjuntos disjuntos.
Peruanos Extranjer so
Hombres
Mujeres
a
c
b
d
a = hombres peruanos
d = mujeres extranjer so
Recuerda
Para conjuntos disjuntos utilizar 
diagrama de Carroll y para conjuntos 
desiguales diagrama de Venn
Trabajando en clase
Integral
1. Si n(A ∪ B) = 40; n(A ∩ B) = 10; n(A – B) = 10, 
determina: n(A) + n(B)
2. De un grupo de amigos, la cuarta parte habla in-
glés y de estos la cuarta parte también habla fran-
cés. De los que no hablan inglés, la tercera parte 
no habla francés y los demás sí. La parte de los 
amigos que habla francés es:
3. El club de “Rímac Lima” consta de 120 personas. 
De ellos; 62 juegan fútbol, 24 básquet y 18 vóley. 
Además 8 juegan los 3 deportes y 38 no practican 
ninguno de los deportes mencionados, ¿cuántas 
personas practican exactamente un deporte?
PUCP
4. Una persona come queso o tocino en su desayuno 
cada mañana durante el mes de enero. Si come 
tocino 25 mañanas y queso 18 mañanas, ¿cuántas 
mañanas comió queso y tocinos?
(PUCP 2013 – II)
Resolución:
queso
(18)
tocinos
(25)
18-x 25-xx
U = 31
18 – x + x + 25 – x = 31
43 – x = 31
x = 12
5. En el mes de agosto Orlando va a nadar 22 días 
y va a correr 16 días ¿cuántos días realizó ambos 
deportes si descansó 2 domingos?
6. De un grupo de 100 atletas: 54 lanzan jabalinas, 
45 lanzan bala, si 28 practican los dos deportes. 
¿Cuántos no practican bala ni jabalina?
(PUCP 2007 – I)
7. En un control de calidad sobre cierto producto se 
encontró tres defectos importantes A; B y C. Se 
analizan 90 productos y se encuentra que:
 Y 33 artículos tienen el defecto A.
 Y 44 artículos tienen el defecto B.
 Y 37 artículos tienen el defecto C.
 Y 53 artículos tienen exactamente un defecto.
 Y 7 artículos tienen exactamente tres defectos.
¿Cuántos artículos no tienen ningún defecto?
(PUCP 2000 – I)
UNMSM
8. Una empresa de transporte urbano dispone de 
cierto número de vehículos de los cuales 5 están 
en reparación.
Además:
 Y 42 circulan en la mañana.
 Y 38 circulan en las tardes.
 Y 30 circulan en las noches.
 Y 20 circulan en las mañanas y en las tardes.
 Y 14 circulan en las tardes y en las noches.
 Y 16 circulan en las mañanas y noches.
¿Cuántos son en total los vehículos; si además se 
sabe que son 5 los que trabajan todo el día?
Resolución:
U = 9 + 15 + 5 + 9 + 11 + 11 + 5 + 5
U = 70
5TO AÑO
30
9. En una encuesta realizada a cierta cantidad de 
personas sobre la página web de su preferencia; 
de las cuales 3 personas no conocen ninguna pá-
gina se sabe:
 Y 17 les gusta Youtube.
 Y 18 les gusta Twitter.
 Y 19 les gusta Facebook.
 Y 5 les gusta Youtube y Twitter.
 Y 10 les gusta Twitter y Facebook.
 Y 7 les gusta Facebook y Youtube.
¿Cuántas personas en total fueron encuestadas, si 
además se sabe que a 3 personas que les gustan las 
tres páginas web?
10. Sean los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
A = {1; 2; 3; 4}; 
B = {2; 4; 6} y 
C = {2; 3; 4} 
hallar el cardinal de R, si:
( ) ’ ( ) ’R A B C B A B, + + ,= -# #- -
11. En una reunión de doctores, de 54 participantes 
35 dominan inglés y física, 21 inglés y química y 
16 física y química. Si todos dominan por lo me-
nos 2 cursos. ¿Cuántos dominan los tres cursos?
UNI
12. En un colegio el 60% aprobó aritmética, el 32% 
aprobó álgebra y los que aprobaron aritmética y 
álgebra representan el 60% de los que no aproba-
ron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron 
aritmética y álgebra, calcula el número de alum-
nos del colegio.
Resolución:
42 = 60% (8%N + 42)
N = 350
13. En un colegio el 58% aprobo Química, el 30% 
aprobó Física y los que aprobaron Química y Fí-
sica representan el 40% de los que no aprobaron 
ninguno de los dos cursos. Si 12 aprobaron en 
Química y Física, calcula el número de alumnos 
del colegio.
14. En una encuesta realizada se observó:
 Y 55 mujeres tienen casacas.
 Y 90 personas no tienen guantes ni casacas.
 Y 40 hombres tienen guantes.
 Y 35 personas con guantes tienen casaca.
 Y 75 mujeres no tienen guantes.
 Y 25 hombres con guantes no tienen casaca.
¿Cuántos hombres que no tienen casaca no tie-
nen guantes?
31
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Si n(A)’= 15; n(A∩B)=8 y n(ADB)=13 
determina n(B)
a) 18 c) 15 e) 12
b) 7 d) 10
17. De un grupo de atletas los 4/9 juegan fútbol y de 
estos la cuarta parte también practica básquet. De 
los que no practican fútbol, los 13/20 no juegan 
básquet ¿cuál es la parte de personas que solo jue-
gan básquet?
a) 1/4 c) 15/14 e) 7/36
b) 3/2 d) 7/15
18. En una fiesta infantil a l cual asistieron 76 niños. 
A 28 les gusta el rojo, a 37 les gusta el verde y a 
30 les gusta el blanco. Además a 5 les gusta los 
tres colores y a 11 no les gusta ninguno de ellos ¿a 
cuántos niños les gusta exactamente un color?
a) 35 c) 48 e) 52
b) 40 d) 27
19. En un campamento hay 40 personas, de las cuales 
25 prefieren nadar y 20 prefieren correr, ¿cuántos 
prefieren una actividad solamente? 
a) 25 c) 35 e) 10
b) 30 d) 20
20. En una empresa textil al realizar la inspección 
de 110 prendas de vestir se encontraron 3 fallas 
importantes y se encontró que:
 • 65 prendas tienen la falla A.
 • 55 prendas tienen la falla B.
 • 57 prendas tienen la falla C.
 • 17 prendas tienen un defecto.
 • 20 prendas tienen las tres fallas.
 ¿Cuántas prendas de vestir no tienen ninguna 
falla?
a) 14 c) 30 e) 35
b) 23 d) 12
21. De 58 personas; 50 tienen autoy 38 motocicleta 
¿Cuántas personas tienen un solo vehículo? 
a) 37 c) 28 e) 19
b) 42 d) 25
5TO AÑO
32
16. a
17. e
18. b
19. c
20. b
21. c
22. a
23. b
24. a
25. d
Claves
22. De los conjuntos:
 A ax x= + ∈ − ″ ″{ }( ) /3 3 2Ν
 B = {2; 4; 6; 8; 10}
 Calcula: n(A∩B)’ 
a) 7 c) 4 e) 15
b) 13 d) 3
23. 120 alumnos rindieron una prueba que contiene 
los cursos A; B y C con el siguiente resultado:
 • Se anularon 10 pruebas y el resto aprobó 
 por lo menos un curso.
 • Los que aprobaron A desaprobaron B o C.
 • Hay 20 alumnos que aprobaron B y C.
 ¿Cuántos aprobaron un solo curso?
a) 80 c) 72 e) 95
b) 90 d) 89
24. Sean los conjuntos:
 M = {2; 3; 4; 5; 7; 9}
 N = {0; 1; 2; 3; 4; 7; 8}
 R = {3; 4; 6; 8; 9; 10}
 Calcula el cardinal de “A” si:
 A M N R M N R= ∅ −{ } { }( ) ( )’∪ ∩ ∩
a) 7 c) 9 e) 15
b) 8 d) 10
 
25. En un salón de clases de 33 alumnos, 14 dominan 
álgebra y aritmética; 10 álgebra y geometría y 15 
aritmética y geometría. Si todos dominan por lo 
menos 2 cursos. ¿cuántos dominan los tres cursos?
a) 11 c) 6 e) 10
b) 13 d) 3
≤≤
DN
33
 ARITMÉTICA
Integral
PUCP
1. Si: n A B( )∩ =18 ;
 n A B( )∪ = 24 ; n U( ) = 28 y
 n A( ) = 19 
 Determina n(B) + n(B)
a) 24
b) 28
c) 18
d) 19
e) 22
2. De un grupo de personas la 
cuarta parte ve televisión en 
la mañana y de estos los 3/5 
también ven televisión en 
la noche. De los que no ven 
televisión en la mañana, los 
2/5 no ven televisión. ¿Cuál 
es la parte de las personas 
que ven televisión solamente 
en la noche?
a) 3/20
b) 4/3
c) 1
d) 8
e) 7/5
3. Al restaurante “la casita de 
oro”, asistieron 34 personas. 
De ellos a 13 les gusta el cebi-
che, a 12 el anticucho y a 11 
el pollo a la brasa. Además a 
2 les gustan los tres platos y 
a 14 no les gusta ninguno de 
los tres platos mencionados, 
¿cuántas personas les gusta 
exactamente un plato?
Tarea
5. De un grupo de 83 estu-
diantes 40 estudian medici-
na, 48 estudia ingeniería; si 
14 estudian ambas carreras 
¿cuántas personas no estu-
dian ninguna de las 2 carre-
ras mencionadas?
a) 10
b) 12
c) 9
d) 13
e) 14
6. Al realizar el control de ca-
lidad a 90 computadoras se 
encontró 3 fallas importan-
tes y se encontró que:
- 30 tienen la falla A
- 40 tienen la falla B
- 50 tienen la falla C
- 48 tienen exactamente un 
defecto.
- 10 tienen las tres fallas.
 ¿Cuántas computadoras no 
tienen ninguna falla?
a) 15
b) 3
c) 8
d) 11
e) 19
7. De 21 docentes del colegio 
encuestados; 20 tienen ser-
vicio de Internet y 8 de ca-
ble ¿cuántos docentes tienen 
solo un servicio?
a) 20
b) 14
c) 13
d) 7
e) 1
8. De un grupo de 55 personas; 
a 26 les gusta acampar, a 32 
les gusta viajar, a 33 les gusta 
ir al cine y a 5 las tres activi-
dades. ¿A cuántas personas 
del grupo les gustan dos de 
estas actividades?
a) 40
b) 26
c) 37
d) 35
e) 38
a) 13 d) 5
b) 2 e) 6
c) 10
4. De 120 personas, se sabe 
que 71 son solteros y 55 son 
hombres, si son 12 mujeres 
casadas. ¿Cuántos son los 
hombres casados?
a) 30
b) 48
c) 19
d) 22
e) 37
5TO AÑO
34
UNI
Claves
01. b
02. a
03. e
04. e
05. c
06. d
07. b
08. b
09. e
10. b
11. d
12. d
13. a
14. d
15. c
9. Sean los conjuntos:
 
M a c h e
N r s c t n
P o h e c t n
= { }
= { }
= { }
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ; ;
5
 Calcula el cardinal de:
 
 
A = (M∩N∩P)∪(N∪P)
(M∪P)’∪(M∪N)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 4
10. En una reunión de 58 de-
portistas; 28 practican tenis 
y lucha, 29 tenis y natación y 
31 lucha y natación. Si todos 
dominan por lo menos 2 de-
portes. ¿Cuántos practican 
los tres deportes?
a) 10
b) 15
c) 18
d) 23
e) 31
11. Un club consta de 78 per-
sonas. De ellos 50 juegan 
fútbol, 32 básquet, 22 vóley. 
Además 6 figuran entre los 
3 deportes y 10 no practican 
ninguno. Si “x” es el total de 
personas que practican solo 
un deporte y “y” el total de 
personas que practican solo 
2 deportes, calcula x – y
a) 10
b) 31
c) 37
d) 12
e) 25
12. De 150 personas, 104 no 
postulan a la UNMSM, 109 
no postulan a la UPC y 70 
no postulan a estas univer-
sidades. ¿Cuántas personas 
postulan a las dos universi-
dades?
a) 6
b) 9
c) 8
d) 7
e) 10
- A 7 hombres que les gus-
ta Brasil no les gusta Ho-
landa.
- ¿Cuántos hombres que 
no les gusta Holanda ni 
Brasil hay?
a) 18
b) 7
c) 20
d) 17
e) 24
15. Sean los conjuntos:
 B = {4; 3; 5; 2; 0}
 A x x x= ∈ < <{ }/ �;0 9 y
 C = {1; 3; 5; 7; 9} 
 si; M B A C= −{ }∪ ; 
 calcula n[P(M)]
a) 512
b) 128
c) 64
d) 256
e) 32
UNMSM
13. En un instituto el 50% utili-
za reloj, el 30% usa lentes y 
los que utilizan ambos ac-
cesorios representan el 50% 
de los que no utilizan estos 
accesorios, si 20 utilizan 
ambos accesorios; calcula el 
número de alumnos del ins-
tituto.
a) 100
b) 120
c) 430
d) 80
e) 150
14. En una encuesta realizada se 
observó:
- A 38 mujeres les gusta 
Holanda.
- A 42 personas no les gusta 
Brasil ni Holanda.
- A 20 hombres les gusta 
Brasil.
- A 31 personas que les 
gusta Brasil también les 
gusta Holanda.
- A 45 mujeres no les gusta 
Brasil.
35
 ARITMÉTICA
Numeración
Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio 
de la correcta formación, lectura y escritura de los 
números.
Número:
Es un ente matemático que nos permite cuantificar 
los objetos de la naturaleza.
Numeral:
Es la representación simbólica o figurativa del 
número.
DEFINICIÓN
Es el sistema que utilizamos para representar a los 
números y se caracteriza por agrupar las unidades de 
un orden cualquiera de 10 en 10. Así tenemos que:
 Z 10 unidades forman 1 decena,
 Z 10 decenas forman una centena,
 Z 10 centenas forman 1 millar, etc.
Veamos el siguiente número:
NOTACIÓN
Si queremos representar un número cualquiera de 4 
cifras, escribiremos:
abcd
Para denotar un número de la forma señalada, 
tendremos en cuenta lo siguiente:
 Z Cada letra representa una cifra.
 Z Una expresión entre paréntesis representa una 
sola cifra.
 Z La cifra de mayor orden (1º cifra) debe ser signi-
ficativa (diferente de cero).
 Z Letras iguales representan cifras iguales.
 Z Letras diferentes no necesariamente representa 
cifras diferentes.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
En muchos problemas es útil expresar un número 
en función de sus cifras, y esto se logra mediante el 
método de descomposición polinómica.
Veamos: 
3421 = 3000 + 400 + 20 + 1
 = 3 × 1000 + 4 × 100 + 2 × 10 + 1
En general 
abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e
CONTEO DE NÚMEROS CONDICIO-
Algunas veces nos piden que hallemos números que 
cumplan con ciertas condiciones. En este tipo de 
problemas se aplica, generalmente, el “principio de 
multiplicación” del análisis combinatorio. Veamos el 
siguiente ejemplo:
¿Cuántos números impares de dos cifras empiezan en 
cifra par?
Nos piden encontrar los números de la forma que 
cumplan con las siguientes condiciones:
 Z “a” debe ser PAR a = 2, 4, 6, 8 (4 valores)
 Z “b” debe ser IMPAR b = 1, 3, 5, 7, 9 (5 valores)
Si por ejemplo a = 2 podemos formar los siguientes 
números:
; 4;
5# 5#
ab y si a ab
s s
21
23
25
27
29
41
43
45
47
49
.. ..
=
_
`
a
b
b
b
b
bb
_
`
a
b
b
b
b
bb
Y como “a” puede tomar 4 valores, podemos formar 
en total: 4 x 5 = 20 números que cumplen con las 
condiciones dadas.
Numeración I: sistema decimal
5TO AÑO
36
Trabajando en clase
Integral
1. Si a un número entero se le 
agregan 3 ceros a la derecha, 
dicho número queda aumen-
tado en 522477 unidades, 
¿cuál es el número?
2. ¿Cuántos números de 3 cifras 
no tienen ninguna cifra 2?
3. ¿Cuántos números existen 
mayores que 100 de la siguien-
te forma a(2a)b que terminen 
en cifra par?
PUCP
4. Si con dos cifras consecutivas 
formo la edad actual de Dan-
na. ¿Dentro de cuántos años 
ella tendrá una edad formada 
por las dos cifras iniciales en 
orden inverso?
Resolución:
a(a + 1) + x = (a+1)a
10 1 10 10a a x a a+ + + = + +
1 + x = 10
 x = 9
5. Si con dos cifras consecutivos 
formo la edad actual de Nor-
ma ¿dentro de cuantos años 
ella tendrá una edad formada 
por dos cifras que son las con-
secutivas de la cifras iniciales 
respectivamente?
6. Un número abc se divide entre 
el número bc,obteniéndose de 
cociente 19 y 12 de residuo. El 
menor valor de la expresión 
2a + b + c es:
7. ¿Cuántos números de tres 
cifras diferentes existen que 
sean iguales a 13 veces la suma 
de sus tres cifras?
UNMSM
8. Si mnpmn es producto de nú-
meros primos consecutivos y 
“p” es igual a cero, ¿cuál es el 
mínimo valor de mn?
Resolución:
mnpmn = mnomn
Descomposición polinómica
1000mn + mn
 1001mn
 1001 = 7 × 11 × 13 × mn
7 × 11 × 13 × mn
mn = 17 ⇒ Primos 
 consecutivos 17
9. Si aabb es el producto de 4 
números primos consecutivos 
CANTIDAD DE CIFRAS
¿Cuántas cifras se emplean al escribir todos los 
números enteros desde el 1 hasta el 324?
Del 1 al 324 hay, evidentemente, 324 números, pero 
no todos tienen la misma cantidad de cifras. Por esto 
separaremos los números en grupos que tengan igual 
cantidad de cifras.
12 3, ...,9 10 11, ...,99 100 101, ...,324
9 180 675 864Tota de cifras
9
9 1 9
99 9 90#
90 2 180
324 99 225
225 3 675
nœmeros
cifras
s
cifras
& = + + =
. . .
# # #=
- =
=
- =
=
1 2 344 44 1 2 3444 444S
calcula la suma de estos núme-
ros
10. ¿Cuántos números de 3 cifras 
utilizan por lo menos una cifra 
7 en su escritura?
11. ¿Cuántas cifras se han usado 
para enumerar un libro de 189 
hojas?
UNI
12. Si ab2 – ba2 = 3168 calcula el 
menor valor de a + b
Resolución:
ab2 – ba2 = (ab – ba) (ab + ba)
(10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a)
(9a-9b)(11a+11b)
(a – b) (a + b) = 32
 123 123
 2 16
 4 8
(a + b) menor = 8
13. Si mn2 – nm2 = 1188 calcula el 
valor de: m + n
14. Si se cumple que:
 0, 0, 1,ab ba+ =
! ! !
Calcula el valor de a + b
37
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Si a un número entero se le agrega un cero a la de-
recha, dicho número queda aumentado en 3915 
unidades. ¿cuál es el producto de las cifras de di-
cho número?
a) 55 c) 65 e) 70
b) 50 d) 60
17. ¿Cuántos números de 4 cifras no utilizan la cifra 2 
y 3 en su escritura?
a) 3845 c) 3485 e) 3584
b) 3548 d) 3854
18. ¿Cuántos números existen mayores a 3000 de la 
siguiente forma?
 a a b b2 3



 ( )
a) 12 c) 15 e) 7
b) 10 d) 8
19. ¿Cuántos números existen que al sumarles 18 uni-
dades se obtiene el mismo número escrito con las 
cifras invertidas? 
a) 6 c) 8 e) 4
b) 5 d) 7
20. Un número xym se divide entre el número ym, 
obteniéndose de cociente 15 y 6 de residuo. El 
menor valor de la expresión 2x + 3y – m es: falla?
a) 11 c) 9 e) 7
b) 15 d) 18
21. ¿Cuántos números de tres cifras existen que sean 
iguales a 11 veces la suma de sus tres cifras? 
a) 3 c) 0 e) 1
b) 2 d) 4
5TO AÑO
38
16. d
17. e
18. a
19. d
20. a
21. e
22. c
23. a
24. d
25. d
26. e
27. e
28. b
29. c
30. e
Claves
22. Si: aobc + ca + ba = 5278 calcula c (a+b) 
a) 42 c) 72 e) 38
b) 56 d) 75
23. Para enumerar un libro se han empleado 2508 ci-
fras ¿cuántas páginas tiene el libro?
a) 872 c) 827 e) 877
b) 728 d) 782
24. ¿Cuántos números de 3 cifras utilizan por lo me-
nos una cifra 3 en su escritura?
a) 625 c) 225 e) 452
b) 635 d) 252
 
25. Se han empleado 252 cifras para enumerar las 
páginas de un libro si Ricardo ya ha leído los 5/12 
páginas del libro, ¿cuál es la siguiente página que 
debe leer?
a) 42 c) 58 e) 67
b) 36 d) 51
39
 ARITMÉTICA
Integral PUCP UNMSM
1. Si a un número entero se le 
agregan dos ceros a la de-
recha, dicho número queda 
aumentado en 3168 unida-
des, ¿cuál es la suma de ci-
fras de dicho número?
a) 3 d) 12
b) 8 e) 15
c) 5
2. ¿Cuántos números de 4 ci-
fras no tienen ninguna cifra 
par?
a) 625 d) 325
b) 550 e) 875
c) 750
3. ¿Cuántos números mayores 
que 200 pero menores que 
750 de la siguiente forma 
existen?
 a(2a)b
a) 600 d) 200
b) 500 e) 550
c) 549
4. Si a un número de 3 cifras se 
le agrega la suma de sus ci-
fras se obtiene 351 ¿cuál es 
el número?
a) 338
b) 342
c) 340
d) 348
e) 326
9. Cuántos números de 4 cifras 
tienen por lo menos una ci-
fra 5 en su escritura?
a) 3718 d) 3168
b) 3216 e) 3868
c) 3861
10. Para enumerar un libro de 
“n” páginas se han utilizado 
151 cifras ¿cuántas hojas tie-
ne el libro?
a) 32 d) 48
b) 52 e) 40
c) 35
11. Si a un número de 3 cifras 
que empieza en 4 se le supri-
me esta cifra se obtiene un 
número que es los 2/27 del 
número original, calcula la 
suma de cifras del número 
original.
a) 12 d) 15
b) 3 e) 6
c) 9
12. Si a un número de 3 cifras 
que empieza en 4 se le su-
prime esta cifra se obtiene 
un número que es los 3
43
 del 
número original.
 Calcula la suma de cifras.
a) 4 d) 49
b) 9 e) 3
c) 25
Tarea
5. Un número mnp se divide 
entre el número np, obte-
niéndose de cociente 24 y 
18 de residuo. Calcula 3m + 
n – 4p
a) 13
b) 14
c) 15
d) 11
e) 18
6. ¿Cuántos números de 3 ci-
fras diferentes existen que 
sean iguales a 15 veces la 
suma de sus tres cifras?
a) 1 d) 4
b) 0 e) 3
c) 2
7. Al producto de dos números 
enteros positivos consecu-
tivos se resta la suma de los 
mismos y se obtienen 71. El 
número mayor es:
a) 19 d) 18
b) 10 e) 12
c) 11
8. ¿Cuántas cifras se han usa-
do para enumerar las pá-
ginas de un libro que tiene 
235 hojas?
a) 650 d) 654
b) 1400 e) 1225
c) 1302
5TO AÑO
40
UNI Claves
01. c
02. a
03. e
04. b
05. d
06. a
07. b
08. c
09. d
10. e
11. c
12. e
13. a
14. d
15. c
13. Si xy yx
2 2
1584− = calcula 
el valor de x + y
a) 8
b) 12
c) 14
d) 5
e) 18
14. Si se cumple que: 
 0 0 1, ,ab ba
� �
+ =
 calcula el valor de b + a
a) 7
b) 5
c) 4
d) 9
e) 2
15. Si el número aacc es un cua-
drado perfecto, entonces la 
suma de los dígitos de dicho 
número es:
a) 12
b) 18
c) 22
d) 14
e) 26
41
 ARITMÉTICA
CAMBIOS DE BASE EN LOS SISTE-
MAS DE NUMERACIÓN
Caso 1: de base diferente de 10 a base 10.
 Z Método de descomposición polinómica
Ejemplo: Pasa 6428 a base 10.
 6428 = 6 × 8
2 + 4 × 8 + 2
 = 6 × 64 + 32 + 2
 = 418
 Z Método de Ruffini
Ejemplo: Pasa 6428 a base 10.
Caso 2: de base 10 a base diferente de 10.
 Z Método: divisiones sucesivas
Ejemplo: Pasa 698 a base 8.
Caso 3: de base diferente de 10 a otra base di-
ferente de 10.
Ejemplo: pasa 4328 a base 9
Paso 1: Pasa 4328 a base 10
 4328 = 4 × 8
2 + 3 × 8 + 2
 = 256 + 24 + 2
 = 282
Paso 2: Pasa 282 a base 9
282 9
12 31 9
3 4 3 ∴ 4328 = 3439
PROPIEDADES
1. Numeral de cifras máximas
 (n–1) (n–1) (n–1)... (n–1)n = n
k – 1
 14444444244444443
 k cifras
2. Bases sucesivas:
 a n a b c d1 b1 c1 1dn = + + + +
3. Intervalo en el cual se encuentran los numerales 
con cierto número de cifras.
 El intervalo para N(b) de K cifras es:
bk-1 ≤ N(b) < b
k
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula: 2a + b2; si 
 Si: aab(7) = 213(5)
2. ¿Cuál es la suma de cifras del mayor número de 
tres cifras en base 6, luego de pasarlo al sistema 
decimal?
3. ¿En qué sistema de numeración existen 120 nú-
meros de tres cifras impares y diferentes entre sí?
PUCP
4. Si se cumple que:
3abc = 2ba5
Calcula a + b + c si son cifras significativas.
Resolución:
3 2ab ba5c =
+
Nota: a mayor numeral le corresponde menor 
base.
Numeración II
5TO AÑO
42
3 5
4
c1 1
.
3ab4 = 2ba5
3 4 4 2 5 5
48 4 50 5
3 4 2
2 1
2 1 4 7
a b b a
a b b a
a b
2 2
# # # #+ + = + +
+ + = + +
- =
+ + =
. .
5. Si se cumple: 4 3xy yx( ) (6)m =
Calcula: x + y + m
6. Si mn xxx30x = ( )5 calcula: (m × n) + x
7. Calcula el valor de “a” si: 00 21a a6 =
UNMSM
8. Si ab(4) = ba(n) entonces el mayor valor de “n” es:
Resolución:
ab(4) = ba(n)
4a + b = nb + a
3a = nb – b
3 ( 1)
3 1 9
1 9
10
a b n
n
n
= -
- =
=
. . .
9. Si xy yx(7) ( )n= entonces el mayor valor de “n” es:
10. Si los numerales están correctamente escritos cal-
cula: m + n + p
 42 ; 43 ; 62 ;300p m n( ) ( ) (7) ( )n p m
11. Un número de cuatro cifras en base 7 se represen-
ta en base 10 por 48a calcula el máximo valor de 
la suma de cifras de dicho número.
UNI
12. Indica el valor de x/y. Si 35 450y yx+ =
Resolución:
.
35 450
300 50 10 450
350 11 450
11 100
9 1
9
1
y yx
y y x
y x
y x
y
x
+ =
+ + + + =
+ + =
+ =
=
.
13. 432 2 5 1 4cba a c b6 (6) (6)+ = +
Calcula el máximo valor de a + b + c
14. Sean:1 1 ; 1101 ; 1 24A a B C a a(4) ( ) (5)a= = =
Calcula la suma de las cifras de C en base 10. Sa-
biendo que C = AB
43
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Calcula: (m+n)n si mmon( )6 8376=
a) 9 c) 8 e) 64
b) 25 d) 27
17. Calcula la suma de cifras luego de transformar el 
menor número de tres cifras diferentes en base 6 
al sistema decimal.
a) 14 c) 13 e) 11
b) 12 d) 15
18. ¿En qué sistema de numeración existen 840 nú-
meros de cuatro cifras impares y diferentes entre 
sí?
a) 11 y 12 c) 13 y 14 e) 10 y 11
b) 14 y 15 d) 14 y 16
19. Calcula x + y si se cumple que:
 
 10 76 8xy xy= 
a) 13 c) 10 e) 12
b) 11 d) 8
20. Si: m a m a2 1 54 2( ) ( )= calcula x a
a) 9 c) 10 e) 7
b) 11 d) 8
21. ¿Cuántos números de tres cifras existen que sean 
iguales a 11 veces la suma de sus tres cifras? 
a) 3 c) 0 e) 1
b) 2 d) 4
5TO AÑO
44
16. a
17. e
18. b
19. d
20. a
21. b
22. c
23. b
24. e
25. a
Claves
22. Calcula el valor de “x” xoo x8 1 8= 
a) 4 c) 7 e) 5
b) 2 d) 6
23. Calcula el valor de m + n, si se cumple que:
 mnnn nm6 85=
a) 3 c) 7 e) 8
b) 4 d) 6
24. Si los números están correctamente escritos cal-
cula: (a+b) (c+d)
 aaa c b db d c( ) ( ) ( ) ( ); ; ;21 02 00 5
a) 24 c) 16 e) 21
b) 8 d) 18
 
25. Si el numeral mnp escrito en base 9 se repre-
senta en la base 10 por np4. Calcula la suma de 
cifras de dicho numeral.
a) 14 c) 23 e) 27
b) 17 d) 19
45
 ARITMÉTICA
Integral PUCP
1. Calcula: a + b, si: 
 aabb( ) ( )4 7505=
a) 3 d) 10
b) 9 e) 4
c) 5
2. Calcula la suma de cifras 
luego de transformar el ma-
yor número de tres cifras 
impares diferentes en base 8 
al sistema decimal.
a) 14 d) 9
b) 11 e) 13
c) 12
3. ¿en qué sistema de numera-
ción existen 180 números de 
tres cifras pares y diferentes 
entres sí?
a) 13 y 14
b) 16 y 17
c) 13 y 15
d) 14 y 15
e) 15 y 17
4. Si:
 Calcula x . y
a) 15 d) 22
b) 18 e) 36
c) 21
Tarea
5. Si ab nnnn30 6( ) = calcula 
 a + b + n
a) 7 d) 18
b) 14 e) 9
c) 13
6. Calcula el valor de “x”
 x a000 1028( ) =
a) 1
b) 3
c) 5
d) 2
e) 6
7. Siendo:
 
54 02 1 16 038a bn( ) + =
 Calcula: a + b + n
a) 19 d) 15
b) 17 e) 18
c) 10
8. Determina un número de 4 
cifras sabiendo que es igual 
al número 2024(9). Calcula la 
suma de cifras de dicho nú-
mero.
a) 14
b) 13
c) 15
d) 10
e) 19
9. Si los numerales están co-
rrectamente escritos, calcu-
la: a + b + c
4 6 3 4 73 8 7n a b ca b c( ) ( ) ( ); ; ;
a) 17 d) 24
b) 19 e) 12
c) 26
10. Un número de cuatro cifras 
en base 6 se representa en 
base 10 por 72a. Calcula el 
menor valor de la suma de 
las cifras de dicho número.
a) 6 d) 13
b) 17 e) 6
c) 5
11. Calcula el valor de c – d, si 
se cumple que: ab cd b5 = ( ) , 
además 2 ≤ a
a) 3 d) 5
b) 2 e) 4
c) 1
12. Si el máximo numeral de 5 
cifras de base “n” es expre-
sado en el sistema decimal 
como: ( ) ( )n ab n+ −1 1
 calcula: a + b + n
a) 18
b) 21
c) 20
d) 19
e) 20
15
15
15
15
15
...
xy
= 232
39
números
UNMSM
5TO AÑO
46
UNI Claves
01. c
02. a
03. a
04. c
05. e
06. d
07. d
08. b
09. d
10. e
11. c
12. c
13. b
14. a
15. d
13. Indica el valor de a/b. si: 
84 9004a baa+ =( )
a) 1/4
b) 2/3
c) 1/3
d) 3/2
e) 1/2
14. Sean:
M a
N
P a
a
=
=
=
2 2
2010
40
4
5
( )
 Calcula la suma de cifras de 
P en la base 10, si: P = M + N
a) 7
b) 3
c) 8
d) 5
e) 6
15. Si: m m m abcde2 2 1 8 6( )+ =
 Calcula el valor de la cifra 
“e”
a) 1
b) 0
c) 4
d) 3
e) 2
47
 ARITMÉTICA
REPRESENTACIÓN LITERAL
• Número de 2 cifras =
• Número de 4 cifras = abcd
• Número de 3 cifras iguales = aaa
• Número capicúa de tres cifras = aba
• Número capicúa de 4 cifras = abba
VALOR ABSOLUTO Y VALOR RELA-
TIVO
ORDEN Y LUGAR
378921
LUGAR
ORDEN
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
 Z 3246 = 3000 + 200 + 40 + 6
 Z abcd = 1000a + 100b + 10c + d
 Z aaa = 111a
 Z a0b = 100a + b
 Z abab = 101ab
 Z 273(8) = 2 x 8
2 + 7 x 8 + 3 = 187
 Z abcn = a × n
2 + b × n + c
 Z abab ab xn ab( ) 2n n n= +
CAMBIO DE BASE
1er caso
De base n a base 10
Convertir 2674(8) al sistema de 
numeración decimal
2674(8) = 2 × 8
3 + 6 × 82 + 7 × 8 + 4
 = 2 × 512 + 6 + 64 + 56 + 4
 = 1024 + 384 + 56 + 4
 = 1468
2674(8) = 1468
2do caso
De base 10 a base m
Convertir 936 al sistema de 
numeración quinario
3er caso
De base n a base m
Convertir 732(8) al sistema de 
numeración senario
 7328 = 7 × 8
2 + 3 × 8 + 2
 = 448 + 24 + 2
 = 474
Numeración III
5TO AÑO
48
Trabajando en clase
Integral
1. Si: abcd = 37ab + 62cd
Calcula: a + b + c + d
2. ¿Cuántos numerales de 3 cifras todos impares 
existen en el sistema heptal?
3. Si los números están bien escritos:
110(a); aa1(b); c2(5); 21b(c)
Calcula a × b × c
PUCP
4. Cuántos numerales de la forma siguiente existen? 
Siendo a, b y c naturales?
(2 1)( 2)( )a b a2 9+ -
Resolución:
( )( )( )a b a2 1 2
3 9 27
0
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
9
#
+ -
=
. .
5. ¿Cuántos numerales de la forma
( )( )( )( )m n p m3 3 2 ( )
2
12- +
existen? Siendo m, n y p naturales
6. Calcula: a + b, si:
7. Calcula a + b, si se cumple:
223aabac c5 7=
UNMSM
8. ¿Qué sucede con un número de 4 cifras si a la pri-
mera cifra se le agregan 3 unidades, a la cifra de 
tercer orden se le restan 4 unidades y a su cifra de 
tercer lugar se le suman 5 unidades?
Resolución:
Número original: abcd
( )( 4)( 5)a b b c d+ - +
Descomposición polinómica
1000a + 3000 + 100b - 400 + 10c + 50 + d
1000a + 100b + 10c + d + 2650
abcd + 2650
Rpta.: el número aumenta en 2650
9. ¿Qué sucede con un número de 3 cifras, si a su 
cifra de primer orden se les agregan 4 unidades, 
a la segunda cifra se le agregan 5 unidades y a la 
cifra de primer lugar se le quitan 2 unidades?
10. Si se cumple que 
( 1)32a aba( ) (5)n+ =
Calcula: a x b x n
11. ¿Cuántas cifras se han usado para enumerar las 
páginas de un libro que tiene 128 hojas?
UNI
12. En cuántos sistemas de numeración el número 
1234 se escribe con tres cifras?
Resolución:
;
, ... ; , ...
, ... ; ...
; ; ; ...;
n n
n n
n n
n
n
sistemas
100 1234 1009
1234
1234 1234
35 10
10 35
11 12 13 35
35 10 25
( ) ( )n n
2 3
3
1
1
1
1
1
#
#
#
#
#
=
- =
13. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 
65 se escribe con 2 cifras?
14. Dado el numeral capicúa
(2 1)(5 6 ) (7 11)(4 1)b b a c a a (9)+ - - -
Calcula el máximo valor de: a + b + c
49
 ARITMÉTICA
Integral PUCP UNMSM
1. Si: mnpq mn pq= +24 52
 calcular: m + n + p + q
a) 19 d) 11
b) 21 e) 25
c) 15
2. ¿Cuántos numerales de 4 
cifras todas pares y signi-
ficativas existen el sistema 
nonario?
a) 365 d) 625
b) 532 e) 456
c) 256
3. ¿Cuántos numerales de la 
forma
 ( )( ( )( )a c b b+ −4 2
2
 Si a; b y c son naturales?
a) 98
b) 44
c) 120
d) 204
e) 85
4. Si los siguientes números 
están correctamente escri-
tos
 202 1 1 36( ) ( ); ;a ba b
 Calcula a x b máximo
a) 15 d) 20
b) 18 e) 12
c) 16
9. Si se cumple que:
 ( )a aban+ =1 54 7
 Calcula: (a + b)n máximo
a) 36
b) 48
c) 24
d) 42
e) 54
10. Si se han empleado 840 ci-
fras para enumerar las pá-
ginas de un libro ¿cuántas 
hojas tiene el libro?
a) 178
b) 130
c) 142
d) 158
e) 188
11. Si 
 ( )( )( ) ( )n n n n− − − =1 2 3 313 6
 Calcula: n2
a) 9
b) 16
c) 36
d) 49
e) 25
12. A un número de 4 cifras que 
empieza en 3, se le suprime 
esta cifra. El número resul-
tante es 1/25 del número 
5. Calcula “m” si:
a) 6 d) 9
b) 7 e) 5
c) 4
6. Calcula el valor de a + b + n, 
si se cumple:
 ababn = 407
a) 10
b) 16
c) 12
d) 19
e) 22
7. ¿Cuántos números de 4 ci-
fras existen en el sistema de 
base 11 de cifras impares 
consecutivas?
a) 2
b) 10
c) 8
d) 7
e) 5
8. Si: 5 0 57 2a mnp=
 Calcula el valor de m + n + p
a) 13 d) 4
b) 3 e) 6
c) 7
1m
15
...m
= 130
1m
1m
1m
m
 
Tarea
5TO AÑO
50
UNI
Claves
01. a
02. c
03. c
04. d
05. e
06. c
07. a
08. c
09. b
10. d
11. e
12. c
13. a
14. e
15. b
original, entonces la suma de ci-
fras del número original es:
a) 9
b) 13
c) 11
d) 8
e) 17
13. ¿En cuántos sistemas de nu-
 
 ( )( ) ( )( )a a c b b− − −1 2 1 4
 calcula el máximo valor de 
 a + b + c
a) 14
b) 10
c) 13
d) 23
e) 20
15. Si: 40 58a bbn= expresa “k” 
en base 10, da como res-
puesta lasuma de cifras, si:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 7
e) 10
meración el número 423 se 
escribe con tres cifras?
a) 13
b) 10
c) 7
d) 15
e) 19
14. Dado el númeral capicúa
1n
30
numerales
1n
1n
(b-1)a
(b-1)a
(n)
...
51
 ARITMÉTICA
1. Si los numerales estan correctamente escrito, de-
termina m + n + p + q
 34m; 2m4(m); 10n(p) ;4p0(q) ;q3(9)
a) 26 c) 27 e) 22
b) 19 d) 24
2. Si xy(8) + yx9 = 1yx7
Determina x + y
a) 8 c) 11 e) 14
b) 9 d) 5
3. 
n
= 2135
1n
1n
1n
1n9





 Determina "n".
a) 4 c) 5 e) 6
b) 8 d) 7
26. Si: abab mn m n4 1 35 7= − −( )( ) 
 Si “m” y”n” son impares, calcula la suma de valo-
res que toma a + b + m + n
a) 16 c) 12 e) 8
b) 14 d) 10
27. Si: 
 1 101 51 1 1 9
a aa a a a =
 
 
Calcula “a” 
a) 1 c) 3 e) 4
b) 0 d) 2
28. Si: 
 
 
A aa a
B
C a
a
=
=
=
1 11
10001111
310
3
5
( )
( )
( )
 Calcula la suma de cifras de B en base 10 si 
 C = a – B
a) 8 c) 6 e) 16
b) 9 d) 12
29. Si se cumple que:
 aba ccb d d7 9 8= =
 Calcula: a + b + c + d
a) 12 c) 11 e) 13
b) 5 d) 15
30. ¿En qué sistema de numeración existen 20 nume-
rales de la forma
 
 a a b b( ) ( )− +3 3
a) Base 7 c) Base 9 e) Base 5
b) Base 6 d) Base 8
Repaso
5TO AÑO
52
Sigo practicando
1. Si p = V y q = F determina la verdad o falsedad de 
cada proposición.
 I. ∼ ( )p q p→ ∧
 II. ( )∼ ∼ ∼p q q∧ →
 III. ( )p q q∧ ∨
a) VVV c) FFV e) VVF
b) FVF d) FFF
2. Simplifica
 [ ( ) ]p p q p∧ → ∨{ }∼
a) ∼ p q→ c) p q→ e) ∼ ( )p q→
b) ∼ ∼p q∨ d) ∼ p q∧
3. Indica la negación de la siguiente proposición:
 “No es el caso que si estudias entonces desaprue-
bas el examen de aritmética”
 a) Si estudias no das la prueba.
 b) Apruebas el examen de aritmética, si no 
 estudias
 c) Estudias y apruebas el examen de aritmética
 d) Estudias o no rindes el examen de aritmética
 e) No estudias ni rindes el examen de aritmética
4. Dado el conjunto
 P a b a= ∅ { }{ }; ; ¿cuántas proposiciones son ver-
daderas?
 I. ∅⊂ p 
 II. ∅∈p 
 III. a p;∅∈ 
 IV. a a b p; ;{ }{ }⊂
a) 1 c) 2 e) 4
b) 0 d) 3
5. Si el conjunto B es unitario, determina a + x
B a x x a= + − +{ }2 3 2 11; ;
a) 12 c) 16 e) 10
b) 14 d) 11
6. De un grupo de personas se sabe que:
 - El 46% conoce Europa.
 - El 42% conoce Asia.
 - El 58% conoce Oceanía.
 - El 8% conoce los tres lugares.
 - El 5% no conoce ninguno de estos conti- 
 nentes, si 390 personas conocen por lo me- 
 nos dos continentes ¿cuántas personas fue- 
 ron encuestadas?
a) 2500 c) 2000 e) 3500
b) 4000 d) 3000
53
 ARITMÉTICA
1. a
2. c
3. d
4. a
5. b
6. b
7. c
8. d
9. c
10. e
Claves
7. A la fiesta de promoción de quinto año del salón 
“Pamela” asistieron 65 personas, en determinado 
momento se observó que 8 hombres y 7 mujeres 
no bailaban. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fies-
ta de promoción?
a) 28 c) 32 e) 18
b) 22 d) 30
8. ¿Cuántos números de 5 cifras existen en el siste-
ma de numeración duodecimal que no utilicen la 
cifra 2 y 5 en su escritura?
a) 83324 c) 87427 e) 90734
b) 83243 d) 90000
9. Cuantos números de 2 cifras son iguales a 4 veces 
la suma de sus cifras?
a) 3 c) 4 e) 1
b) 2 d) 0
10. ¿Cuántas cifras se han usado para enumerar un 
libro de 100010(2) hojas?
a) 96 c) 130 e) 127
b) 74 d) 200
55
 ARITMÉTICA
Adición y sustracción
ADICIÓN
Es la operación aritmética que consiste en reunir dos 
cantidades homogéneas en una sola.
A + B = S
• A y B son sumandos
• S es suma o total
Principales sumatorias
1. Suma de los «N» primeros números enteros posi-
tivos
1 + 2 + 3 + 4 + … + N = ( )N N2
1+
2. Suma de los «N» primeros números pares positivos
2 + 4 + 6 + 8 + … + 2N = N(N + 1)
3. Suma de los «N» primeros números impares po-
sitivos
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2N – 1) = N2
Adición en otras bases
Calcula la suma de cifras de «M»
M = 454(6) + 353(6)
Resolución:
 +1 +1 +1 
 4 5 4(6)+
 3 5 3(6)
1 2 5 1(6)
Cifra de las unidades
4 + 3 = 7 = 6 + 1
 1 grupo «base 6»
Se coloca 1 y se lleva 1
Cifra de las decenas:
5 + 5 + 1 = 11 = 6 + 5
 1 grupo «base 6»
Se coloca 5 y se lleva 1
Cifra de las centenas:
4 + 3 + 1 = 8 = 6 + 2
 1 grupo «base 6»
Se coloca 2 y se lleva 1
Suma de cifras = 1 + 2 + 5 + 1 = 9
SUSTRACCIÓN
Es una operación que tiene por objeto, dadas dos 
cantidades: minuendo y sustraendo, obtener una 
tercera llamada diferencia, que determina la cantidad 
de unidades en que el minuendo excede al sustraendo.
M – S = D
• M: minuendo 
• S: sustraendo 
• D: diferencia
Propiedades
1. La suma de los tres términos de una sustracción 
es igual al doble del minuendo, es decir:
M + S + D = 2M
2. Dado: ab – ba = pq, donde a > b
 Se cumple que i) p + q = 9
 ii) a – b = p + 1
3. Dado: abc – cba = mnp, donde a > c
 Se cumple que i) n = 9
 ii) m + p = 9
 iii) a – c = m + 1
Complemento aritmético (CA)
El complemento aritmético de un número positivo es 
lo que le falta a dicho número para ser igual a una 
unidad de orden inmediato superior.
Ejemplos
• CA (42) = 100 – 42 = 58
• CA (228) = 1000 – 228 = 772
• CA(4325) = 10 000 – 4325 = 5675
5TO AÑO
56
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula a + b + c + d, si:
a1a + a2a + a3a + … + a9a = bcd4
2. Calcula la suma de 4357; 1647 y 
4167
3. Calcula E si abc – cba = xy4
E = 7xy + y6x + xy3
PUCP
4. La diferencia de los cuadrados 
de dos números impares con-
secutivos es 432. ¿Cuál es el 
mayor?
PUCP 2013-II
Resolución
Sean los números x y (x+2)
(x + 2)2 – x2 = 432
x2 + 4x + 4 – x2 = 432
4x + 4 = 432 ⇒ x = 107
Número mayor: 109
5. La suma de los cuadrados de 
dos números pares consecuti-
vos es 1060, ¿cuál es el menor 
de los números?
6. Calcula la suma de las cifras 
de la decenas de 10 números 
consecutivos. La suma de es-
tos números es 505.
7. Dos amiga: Danna y Naomi, 
parten simultáneamente desde 
sus casas al encuentro una de 
la otra. Dannna recorre en el 
primer minuto 50 m y en cada 
minuto siguiente 2 m más que 
en el anterior. Por otro lado, 
Naomi recorre en el primer 
minuto 40 m y en cada minu-
to siguiente 4 m más que en el 
anterior. ¿Después de cuantos 
minutos se encuentran si la 
distancia que están separadas 
sus casas es de 510 m?
UNMSM
8. La suma de tres números im-
pares positivos y consecuti-
vos excede al mayor de ellos 
en 28 unidades. Determina el 
producto de los tres números 
pares que se encuentran entre 
ellos
UNMSM 2012-II
Resolución:
Sean los números 
a; (a + 2) y (a + 4)
a + (a + 2) + (a + 4) = (a + 4) + 28
3a + 6 = a + 32 ⇒ a = 13
Nos piden:
(13 × 15 × 17) – (14 × 16) = 3091
9. La suma de tres números im-
pares consecutivos es igual a 
99. Calcula la suma de los dos 
números mayores.
UNMSM 2013-II
10. Sabiendo que abc2 – 2cba = 
4275, además b + c = 10, cal-
cula el minuendo
11. Calcula a + b + c si se cumple 
que:
 CA (abc) = 4(c(b–4)a) + 4
UNI
12. Lorena tiene 20 años menos 
que Andrea. Si las edades de 
ambas, suman menos de 86 
años, ¿cuál es la máxima edad 
que podría tener Lorena?
UNI 2013-II
Resolución
Edad de Lorena = x
Edad de Andrea = x + 20
x + (x + 20) < 86
x < 33
xmax = 32
Edad de Lorena = 32
13. Bryan tiene 25 años de menos 
que José y este último tiene 10 
años menos que Richard. Si las 
edades de las tres personas su-
man menos de 90 años. ¿Cuál 
es la máxima edad que podría 
tener José?
14. La suma de los complementos 
aritméticos de los números: 
1a1, 2a2, 3a3, …, 9a9 es 3915.
 Determina el valor de «a»
En general:
CA(N) = 10k – N
K → número de cifra de «N»
Sustracción en otras bases
Calcula: N = 734(8) – 276(8)
Resolución:
 +1 +1 
 7 3 4(8)–
 2 7 6(8)
 4 3 6(8)
Cifra de las unidades
Como no se puede restar, se presta de la cifra de las 
decenas un grupo de 8
(8 + 4) – 6 = 6
Cifra de las decenas
Como no se puede restar, se presta de la cifra de las 
centenas un grupo de 8
(2 + 8) – 7 = 3
Cifra de las centenas
6 – 2 = 4
57
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Calcula «m + n + p», si se cumpleque:
 n1m + n2m + n3m + … + n7m = 38p1
a) 6 b) 12
c) 10 d) 11
e) 8
17. Resuelve:
 3256 + 4026 – 3556
a) 3126 b) 1246
c) 3326 d) 2226
e) 4326
18. Calcula B si: 
 mnx – xnm = 3ab
 B = 5ba + a8b + ab7
a) 1252 b) 3052
c) 1732 d) 2522 
e) 2618
19. Determina la suma de las cifras del resultado
 P = (3333…333)2
	 	 1442443
 40 cifras
a) 1089 b) 180
c) 369 d) 360
e) 2000
20. Calcula la suma de las cifras de las decenas de 
15 números consecutivos si la suma de estos 
números es 472.
a) 40 b) 34
c) 46 d) 28
e) 38
21. Miguel trabaja en una oficina ubicada en la Av. 
28 de julio y su novia Cecilia en otra situada 
la Av. Huancavelica, y parten simultáneamen-
te a encontrarse. Miguel recorre en el primer 
minuto 30 m y en cada minuto siguiente 3 m 
más que en el anterior. Por otro lado, Cecilia 
recorre en el primer minuto 25 m y en cada 
minuto siguiente 5 m más qie en el anterior. 
Si se encuentran después de 8 minutos, ¿qué 
distancia hay entre las Av. 28 de julio y la Av. 
Huancavelica?
a) 324 m b) 340 m
c) 458 m d) 508 m
e) 664 m
5TO AÑO
58
16. E
17. C
18. D
19. D
20. A
21. E
22. D
23. E
24. D
25. B
Claves
22. Considera que todas las personas que estaban 
en una fiesta se saludaron con un apretón de 
manos por una vez. Si se realizaron más de 900 
saludos, el número mínimo de personas que 
pudo estar presente en esta fiesta es:
a) 46 b) 26
c) 36 d) 44
e) 52
23. La suma de cuatro números enteros positivos y 
diferentes es 24. La suma de los dos mayores es 
el doble de los dos menores; la suma del menor 
con el mayor es igual a la suma de los otros dos 
números. Si P es el producto de los cuatro nú-
meros, la suma de las cifras de P es:
a) 16 b) 20
c) 22 d) 15
e) 18
24. Si se sabe que mnp5 – 5pnm = 1908 además b 
+ c = 7, calcula el minuendo
a) 3075 b) 5165
c) 6345 d) 7345
e) 2435
25. Calcula a + b + c si CA.(cba) = abc + 2ª
a) 11 b) 17 c) 13
d) 8 e) 15
• A + B = S
• Sumatorias notables
 1 + 2 + 3 + … + n = ( )n n2
1+
 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
 1 + 3+ 5 + … + (2n – 1) = n2
Esquema formulario
Adición Sustracción
• M – S = D
• Si 
 a b c – 
 c b a 
1) n = 9
2) m + p = 9
3) a – c = m +1 m n p
• CA(N) = 10k – N
 «k» cifras
59
 ARITMÉTICA
Integral
PUCP
UNMSM
1. Determina el valor de 
Z + W + T, si se cumple que: 
TTT + TTT + W = ZWT
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
2. Halla la diferencia de 4325 y 
1435
a) 1325 b) 1045
c) 2345 d) 1445
e) 3435
3. Calcula P si: abc – cba = 
mn2
 P = 5nm + n9m + mn4
a) 2388 b) 982
c) 1883 d) 3582
e) 4387
4. Determina la suma de las 
tres últimas cifras de A
 A = 8 + 89 + 989 + 8989 + 
… + 989…98989 14442443
 10 cifras
a) 15 b) 13 c) 11
d) 5 e) 8
5. Calcula la suma de las cifras 
de las unidades de la edad 
de 12 personas, sabiendo 
que las edades son consecu-
tivos y suman 246.
a) 32 b) 49 c) 36
d) 56 e) 45
6. María y su hija Francesca 
parten simultáneamente 
desde el trabajo y la uni-
versidad, respectivamente, 
al encuentro una de la otra. 
María recorre en el primer 
minuto 40 m y en cada mi-
nuto siguiente 3 m más que 
en el anterior. Por otro lado, 
Francesca recorre en el pri-
mer minuto 50 m y en cada 
minuto siguiente 3 m más 
que en el anterior. ¿Después 
de cuántos minutos se en-
cuentran si la distancia que 
las separaba al inicio era de 
1026 m?
a) 7 b) 12 c) 5
d) 3 e) 9
7. Indica el menor número en-
tero, tal que sumado con el 
triple de su complemento 
aritmético resulte 22 508.
a) 3746 b) 3647
c) 11 524 d) 11 254
e) 3 745
8. Un niño le dice a su padre: 
«de los 140 soles que me 
diste, gasté 58 soles más de 
lo que no gasté». ¿Cuánto 
no llegó a gastar el niño?.
a) 21 b) 25 c) 37
d) 31 e) 41
9. Pedro tiene S/. xyz5 y Ri-
chard, S/. 5zyx. Si Pedro tie-
ne S/. 3087 más que Richard, 
además y + z = 7, ¿cuánto di-
nero tiene Pedro?
a) 3435 b) 5255
c) 6345 d) 8435
e) 4165
10. Calcula la suma de cifras del 
complemento aritmético del 
numero N.
N = 2 × 10n + 3z10n–2 + 5 × 10n+2 
+ 7×10n–1
a) 27 b) 29 c) 24
d) 33 e) 31
11. En una escuela, el horario de 
clases comienza a las 08:00 a. 
m. en sesiones de 45 minutos 
con un receso de 5 minutos y 
un recreo de 15 minutos des-
pués de la 3a hora. ¿Qué hora 
es al término de la 5a hora?
a) 12:25 p. m.
b) 12:15 p. m. 
c) 12:30 p. m.
d) 12:00 m
e) 12:20 p. m.
12. Determina la suma de cifras 
del número de dos cifras que 
excede en 27 a 10 veces la ci-
fra de las unidades de dicho 
número.
a) 18 b) 11 c) 13
d) 16 e) 9
Tarea
5TO AÑO
60
UNI
13. Claudia tiene S/. 33 soles me-
nos que Rafaela. Si las cantida-
des que tienen ambas, suman 
menos de S/. 189, ¿cuál es la 
máxima cantidad de dinero 
que podría tener Claudia?
a) S/. 101 b) S/. 94 c) S/. 63
d) S/. 86 e) S/. 77
14. Patricia tiene 1a1, 2a2, 3a3, 
4a4 y 5a5 canicas de color rojo, 
verde, amarillo, lila y azul, res-
pectivamente. Si la suma de los 
complementos aritméticos de 
estas cantidades es 3285. ¿Cuán-
tas canicas de color verde y lila 
tiene Patricia?
a) Verde, 252; lila 454
b) Verde, 242; lila 444
c) Verde, 212; lila 414
d) Verde, 232; lila 434
e) Verde, 222; lila 424
15. Calcula «m» si se sabe que es de 2 
cifras y la suma de todos los núme-
ros de «m» cifras cuyo producto de 
cifras es 3, termina en 86.
a) 24 b) 18 c) 14
d) 28 e) 16
Claves
01. E
02. C
03. A
04. E
05. D
06. E
07. A
08. E
09. D
10. B
11. B
12. D
13. E
14. B
15. A
61
 ARITMÉTICA
Multiplicación y división
MULTIPLICACIÓN
Definición
Es una operación directa que consiste en reunir dos o 
más cantidades en una sola.
Términos
P = a . b = a + a + … + a
 144424443
 «b» veces
Multiplicador
Multiplicando
Producto
DIVISIÓN
Definición
Es una operación inversa a la multiplicación que 
consiste en encontrar una cantidad llamada cociente, 
de manera que al multiplicarse por el divisor, 
reproduce el dividendo.
Términos
 D = d . q 
Cociente
Divisor
Dividendo
Advertencia pre
El tema de división es la base del tema 
divisilidad, que es uno de los más 
evaluados en los exámenes de admisión.
Clases de división entera
1. División exacta
 La división entera es exacta cuando el cociente es 
entero.
 Ejemplo:
45 5
-- 9 ∈ Z
 
2. División inexacta
 La división entera es inexacta cuando el cociente 
no es entero.
 Ejemplo:
37 5
-- 7,4 ∉ Z
Clases de división inexacta
a) Por defecto
 
D d
r q 
D = d . q + r
 q: cociente por defecto
 r: residuo por defecto
b) Por exceso
 
D d
r’ q + 1 
D = d . (q + 1) – r’
 q + 1: cociente por exceso
 r’: residuo por exceso
Propiedades de los residuos
1. El residuo es menor que el divisor
r < d
2. La suma de los residuos es igual al divisor
r + r’ = d
3. El residuo máximo es una unidad menor que el 
divisor
rmáx. = d – 1
5TO AÑO
62
Trabajando en clase
Integral
1. Determina los factores de una 
multiplicación cuya diferencia 
es 36. Además, si se disminuye 
en 3 unidades a los términos 
de la multiplicación, el pro-
ducto disminuye en 231.
2. Calcula un número de 3 cifras 
que dividido entre el número 
formado por sus dos últimas 
cifras da como resultado 24 de 
cociente y 2 de residuo.
3. Si abc × 237 = dd973
 calcula «a + b + c + d»
PUCP
4. En un gallinero había cierto 
número de aves. Si cuadru-
plico este número y vendo 60, 
quedan menos de 104. Pero si 
duplico el número inicial de 
aves y vendo 10, quedan más 
de 68; ¿cuántas aves había al 
principio?
PUCP 2010-II
Resolución:
Número de aves = A
4A – 60 < 104
4A < 104
A < 41
2A – 10 > 68
2A > 78
A > 39
39 < A < 41 \ A = 40
5. En una cochera hay cierta can-
tidad de autos. Si triplico esta 
cantidad y compro 20 autos 
más, tendría menos de 83 au-
tos. Pero si quintuplico el nú-
mero inicial de autos y vendo 
20, quedarían más de 75 autos. 
¿Cuántos autos había al prin-
cipio?
6. ¿Cuántos número existen que 
al ser divididos entre 36 dan-
como residuo un número que 
es el triple del cociente?
7. ¿Cuál es el menor número en-
tero que, al multiplicarlo por 
1260, da un cuadrado perfec-
to?
UNMSM
8. Tengo dos bolsas, una roja y 
otra verde,en las cuales hay 18 
monedas de S/. 5 y 24 mone-
das de S/. 2, respectivamente. 
Traslado la misma cantidad 
de monedas de una bolsa a la 
otra, de manera que al final en 
las dos bolsas tengo la misma 
suma de dinero. ¿Cuántas mo-
nedas trasladé de la bolsa roja 
a la verde?
UNMSM 2013-II
Resolución:
Al final del cambio debe haber 
la misma cantidad de dinero 
en cada bolsa.
Bolsa roja = 18 × 5 = 90 soles
Bolsa verde = 24 × 2 = 48 soles
Total = 90 + 48 = 138
Nº de monedas trasladas = x
(18 – x)5 + 2x = 2
138
90 – 5x + 2x = 69
3x = 21
X = 7
9. Dariana tiene en su billetera 
de color rosado 20 billetes de 
S/. 10 y Miyake, en su billetera 
de color rojo 17 billetes de S/. 
20. Si realizan un intercambio 
de la misma cantidad de bille-
tes, de manera que tengan al 
final la misma suma de dinero. 
¿Cuántos billetes intercambia-
ron las dos amigas?
10. ¿Qué sucede con el cociente de 
la división si el dividendo es 
multiplicado por 2? Además, 
el divisor es 501 y el residuo 
10.
11. Si al producto de dos números 
enteros positivos consecutivos 
se le resta la suma de los mis-
mos y se obtiene 71, ¿cuál es el 
número mayor?
UNI
12. Al multiplicar un número de 
cuatro cifras por 999, se obtie-
ne un número que termina en 
5352. Calcula la suma de las 
cifras del número.
UNI 2013-II
Resolución:
abcd × 999 = …5352
abcd × (1000 – 1) = …5352
 abcd000–
 abcd
 …5352
d = 8
c = 4
b = 6
a = 2
a + b + c + d 
⇒ 2 + 6 + 4 + 8 = 20
13. Si se multiplica un número de 
cuatro cifras por 999, se obtie-
ne un número que termina en 
6023. Calcula la suma de cifras 
del número.
14. Al dividir nnn entre 41, se 
obtuvo como residuo 5. De-
termina el residuo de dividir 
(2n)(2n)(2n)0 entre 41.
63
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Si a dos números enteros se le disminuye y au-
menta en 6 unidades, respectivamente, el pro-
ducto de ellos aumenta en 204 unidades; ¿cuál 
es la diferencia de los números?
a) 20 b) 30 c) 40
d) 45 e) 41
17. ¿Cuántos números de 4 cifras existen que dividi-
dos entre el número formado por su dos últimas 
cifras, se obtiene 81 de cociente y residuo exac-
to?
a) 20 b) 22
c) 15 d) 28
e) 10
18. Calcula «x + y + z + m», si se cumple que xyz × 
237 = 2m6m8
a) 11 b) 13
c) 5 d) 9
e) 16
19. En una división inexacta, el dividendo es 1751, 
el cociente es el doble que el residuo y el divisor 
es el triple del residuo. Calcula el producto del 
cociente por el residuo.
a) 376 b) 489
c) 328 d) 420
e) 578
20. ¿Cuántos números existen que al ser divididos 
entre 73 dan un residuo que es el cuadrado del 
cociente?
a) 10 b) 8
c) 3 d) 5
e) 13
21. ¿Cuál es el menor número entero que, al multi-
plicarlo por 630, da un cuadrado perfecto?
a) 85 b) 60
c) 70 d) 45
e) 35
5TO AÑO
64
22. Si al dividir abc entre 13 el residuo fue 7, ¿cuál 
será el residuo de dividir 5abc entre 13?
a) 2 b) 7
c) 5 d) 8
e) 6
23. El producto de P y Q es igual a C. Si se agrega Z 
unidades a P, ¿cuánto se le debe restar a Q para 
que el producto no varíe?
a) Z P
QZ
-
 b) P Z
QZ
-
c) Z d) P Z
P Z
+
-
e) Z P
ZQ
+
Esquema formulario
a . b = c
Multiplicador
Multiplicando
Producto D d
r q
D d
r q
D d
re q+1
MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN
EXACTA INEXACTA
Donde:
• r + re = d
• 0 < r z d
Por defecto Por exceso
16. C
17. B
18. D
19. E
20. B
21. C
22. A
23. E
24. B
25. B
Claves
24. Si divido un número entre 37 el residuo es 13. 
¿Qué sucede con el cociente de la división, si mul-
tiplico a este número por 5?
a) Queda dividio entre 5
b) Queda multiplicado por 5
c) Queda aumentado en su quíntuple
d) Queda disminuido en su triple
e) Queda quintuplicado y aumentado en 5
25. Si al producto de dos números impares consecu-
tivos positivos se le suma el cuadrado de la suma 
de los mismos, y se obtiene 319. El número mayor 
es:
a) 7 b) 9
c) 11 d) 13
e) 5
65
 ARITMÉTICA
Integral
1. El producto de dos números es 
720. Si se añaden 6 unidades al 
multiplicando, el producto es 
entonces 816. ¿Cuál es la di-
ferencia de los términos de la 
multiplicación?
a) 29 b) 45
c) 16 d) 36
e) 57
2. En una división inexacta, los 
residuos por defecto y por ex-
ceso están en la relación de 3 
a 2 y la suma de sus cocientes 
es 23. Calcula el máximo valor 
del dividendo si es de tres ci-
fras.
a) 960 b) 986
c) 950 d) 864
e) 890
3. Al completar la siguiente mul-
tiplicación, la suma de las ci-
fras del producto es:
4 * * ×
2 * 9
* 7 * *
* * * 1
* 3 *
* * * * 3
a) 30 b) 32
c) 33 d) 31
e) 34
PUCP
4. ¿Cuál es la suma de las cifras 
del número mayor que al divi-
dirse entre 23 da resto igual a 
su cociente?
a) 18 b) 14
c) 16 d) 15
e) 17
5. Si existen 25 números que al ser 
divididos entre N dan como re-
siduo el cuádruple del cociente, 
¿cuál es el valor de N?
a) 105 b) 92
c) 100 d) 97
e) 101
6. ¿Cuál es el menor número 
que, al multiplicarlo por 1080, 
da un cubo perfecto?
a) 25 b) 16
c) 36 d) 9
e) 4
7. El cociente y el resto de una 
división inexacta son 17 y 9 
respectivamente. Pero si al di-
videndo se le aumenta 49 uni-
dades, el cociente sería 21 y el 
resto, 6. Determina la suma 
del dividendo y el divisor ini-
cial.
a) 238 b) 240
c) 243 d) 244
e) 241
8. Si al multiplicar 1357 por un 
número entero se tomó por 
error una cifra 2 como 8 en las 
decenas del multiplicador, ¿en 
cuánto aumentó el producto 
debido a este error?
a) 8142 b) 82 400
c) 81 402 d) 81 240
e) 81 420
UNMSM
9. En la tarea del colegio, le pi-
dieron averiguar a Ivette: ¿qué 
sucede con el cociente de una 
división, si el dividendo es 
multiplicado por 3? Además, 
el divisor es 34 y el residuo es 
5.
a) Queda dividido entre 3
b) Queda multiplicado por 3
c) Queda aumentado en su tri-
ple
d) Queda disminuido en su 
doble
e) Queda triplicado y aumen-
tado en su doble
10. Calcula el menor de dos nú-
meros pares consecutivos si se 
sabe que el producto de ellos 
aumentado en la suma de los 
mismos es 62.
a) 12 b) 10
c) 8 d) 6
e) 14
Tarea
5TO AÑO
66
11. Si en una división el divisor es 
36 y su residuo es mínimo, ¿en 
cuánto varía su cociente cuan-
do el dividendo se incrementa 
en 132 unidades?
a) 3 b) 12
c) 9 d) 7
e) 15
12. Al multiplicar un número de 
cinco cifras por 101 se obtiene 
un nuevo número cuyas últi-
mas cifras son 8513. Se sabe 
que también el número inicial 
tiene todas sus cifras distintas. 
Indica la cantidad de números 
que cumplen la condición des-
crita.
a) 3 b) 5 c) 1
d) 6 e) 4
UNI
13. Cinthya vive en la Av. La Mari-
na Nº abcd. Un día se percata 
de que si ese número lo multi-
plica por 999, obtiene un nú-
mero que termina en las cifras 
6012. ¿Cuál es el número de 
domicilio de Cinthya?
a) 2989 b) 1359
c) 1988 d) 2589
e) 2798
14. Si se divide xxx entre 65, se 
obtiene como residuo 8. De-
termina el residuo de dividir 
(3x)(2x)(x)5 entre 65.
a) 10 b) 5
c) 20 d) 15
e) 25
15. ¿En qué base se cumple que 
243 × 36 = 13 104?
a) 11 b) 8
c) 10 d) 9
e) 7
Claves
01. A
02. B
03. C
04. D
05. E
06. A
07. C
08. E
09. B
10. D
11. A
12. B
13. C
14. D
15. E
67
 ARITMÉTICA
Progresión aritmética
CONCEPTO
Se dice que un grupo de números están en progresión 
aritmética (PA) cuando cada uno de ellos es igual al 
anterior más una cantidad constante llamada razón.
Ejemplo:
8; 2; –4; –10; …
Forma general:
a; a + r; a + 2r; a + 3r; …
Representación:
PA de «n» términos
t1; t2; t3; t4; …; tn
Razón
r = t(n) – t(n–1)
• Si r > 0, la progresión es creciente
• Si r < 0, la progresión es decreciente
TÉRMINO ENÉSIMO (tn)
tn = t1 + (n–1)r
Donde:
 t1 = primer término
 n = cantidad de términos
 r = razón
NÚMERO DE TÉRMINOS (n)
n = r
t tn 1- + 1
SUMA DE LOS «N» TÉRMINOS (Sn)
Sn = 
t t
2
n1 +
d nn
También
Sn = 
( )t n
2
2 11 + -
d nn
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula la razón de una P. A. 
de 51 términos si el último ex-
cede al primero en 350.
2. Calcula el número de térmi-
nos de la siguiente progresión 
aritmética:
3, ... ... ..., 23, ... ... ..., 59
	 	 14243 14243
n términos n términos
3. Calcula la razón de un PA de 
14 términos si el primer tér-
mino es 1 y la suma de todos 
es 287.
PUCP4. Si en una progresión aritméti-
ca, el término enésimo es de la 
forma tn = 2 + (n –1)r y, ade-
más, la suma de los términos 
de lugares 7; 8 y 9 es 48, ¿cuál 
es el término de lugar 20?
PUCP 2013-II
Resolución:
Término enésimo de una PA es:
tn = t1 + (n – 1)r = 2 + (n–1)r
el primer término es t1 = 2
Entonces: 
t7 = 2 + (7 – 1)r = 2 + 6r
t8 = 2 + (8 – 1)r = 2 + 7r
t9 = 2 + (9 – 1)r = 2 + 8r
Dato:
t7 + t8 + t9 = 48
6 + 6r + 7r + 8r = 48
21r = 42
r = 2
Nos piden:
t20 = 2 + (20 – 1)2 = 40
5. El término enésimo de una PA 
es de la forma tn = 4 + (n – 1)r 
y la suma de los términos de 
lugar 4; 6 y 8 es 254. ¿Cuál es el 
cuadragésimo término?
5TO AÑO
68
6. Una persona decide pagar una 
deuda en 12 días, tal que for-
men una progresión aritméti-
ca. Si el primer día paga S/. 3. 
¿Cuál debe ser el incremento 
diario que debe abonar para 
cubrir la deuda de S/. 168?
7. Los números 4; 3x – 3; 4x es-
tán en progresión aritmética. 
¿Cuál es el cuarto término de 
esta progresión?
UNMSM
8. Si el segundo y el noveno tér-
mino de una progresión arit-
mética son 7 y 28, respectiva-
mente, determina el vigésimo 
término de dicha progresión.
UNMSM 2011-II
Resolución:
t2 = 7; t9 = 28 y t20 = ?
Fórmula general: 
tn = t1 + (n –1)r
t2 = 7 = t1 + (2 – 1)r
t1 = 7 – r ............................. (1)
t9 = 28 = t1 + (9 – 1)r
t1 = 28 – 8r ........................ (2)
Igualo 1 y 2
7 – r = 28 – 8r
R = 3 y t1 = 4
Nos piden hallar: 
t20 = 4 + (20 – 1)3 = 61
9. Si el tercer y décimo término 
de una progresión aritmética 
son 6 y 34, respectivamente. 
Calcula el decimonoveno tér-
mino de dicha progresión.
10. En una progresión aritmética
 t40 = 120 y t20 = 40. ¿Cuál es el 
primer término de la progre-
sión?
11. Un carpintero, cobra S/. 5 por 
colocar el primer clavo adicio-
nal cobra S/. 2 más que por el 
clavo anterior. ¿Cuánto recibió 
por colocar 50 clavos?
UNI
12. Una persona decide caminar 
72 km en 40 días, formando 
una PA. A los 30 días se des-
anima, dejando una tercera 
parte del camino por recorrer. 
¿Cuántos km recorrió el pri-
mer día?
Resolución>
Día 1 = a + r
Día 2 = a + 2r
Día 30 = a + 30r
Día 40 = a + 40r
día 1 + día 2 + … + día 30 
= 3
1 ×72
(a + r) + (a + 2r) + … + (a + 30r) 
= 48
30a + 465r = 48
10a + 155r = 16 ................... (1)
día 1 + día2 + … + día 40 
= 72
(a + r) + (a + 2r) + … + (a + 40r) 
= 72
40a + 420r = 72
10a + 105r = 18 ................. (2)
Del 1 y 2 se obtiene:
r = 0,04
a = 0,98
Nos piden: día 1
a + r 
⇒ 0,98 + 0,04 
= 1,02 km
13. Leydi decide ir caminando de 
Lima a Huaral en 25 días, for-
mando una PA. A los 18 días 
se percata de que se le acaba-
ron los víveres; por tal razón 
decide darse por vencida, de-
jando la treceava parte por re-
correr. ¿Cuántos km recorrió 
el primer día si la distancia 
que separa estas ciudades es 
de 78 km aproximadamente?
14. En una PA, la relación del ter-
cer y cuarto término es 3. De-
termina el número de térmi-
nos que hay que tomar de esta 
progresión para que su suma 
sea nula.
69
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. La diferencia entre el último y el primer término 
de una progresión aritmética de 7 términos es 
36. ¿Cuál es la razón de la progresión?
a) 6 b) 5
c) 7 d) 4
e) 9
17. En la siguiente P.A. la suma de los términos es 
570. Determina la razón.
3, ... ... ... ..., 30, ... ... ... ... x
	 				14243								1 4 2 4 3
 «a» terminos «a» terminos
a) 2 b) 5
c) 11 d) 3
e) 8
18. ¿Cuántos términos de la PA: 9; 12; 15; … deben 
de tomarse para sumar 306?
a) 15 b) 11
c) 12 d) 10
e) 14
19. Calcula el término de lugar 18 en la siguiente 
progresión: 20; 15; 12; 8; …
a) 48 b) 52
c) –52 d) –44
e) –48
20. Richard le da propina a su hija Danna durante 15 
días, de manera que formen una progresión arit-
mética. Si el primer día le da S/. 14, ¿a cuánto as-
ciende el monto extra que debe dar Richard a su 
hija para que Danna tenga al final de este tiempo 
S/. 84?
a) S/. 3 b) S/. 4
c) S/. 6 d) S/. 5
e) S/. 7
21. Los números 12; 4x + 2; 6x están en progresión 
aritmética. ¿Cuál es el quinto término de esta 
progresión?
a) 36 b) 42
c) 30 d) 38
e) 40
5TO AÑO
70
22. Dada la sucesión 2; 6; 12; 20; …, determina la 
suma de los primeros 50 primeros términos de 
la sucesión anterior
a) 280 b) 720
c) 500 d) 630
e) 320
23. Los primeros tres términos de una progresión 
aritmética son: a; a2 y 5a. Calcula la suma de los 
primeros cuatro términos.
a) 52 b) 48
c) 45 d) 50
e) 54
24. En una P.A., t91 = 653 y t19 = 149. ¿Cuál es el primer 
término de la progresión?
a) 27 b) 19
c) 23 d) 31
e) 37
25. En enero de 2013 la empresa San Gerónimo pro-
dujo 2450 botellas; en febrero, 2750 botellas; en 
marzo, 3050; y así durante todo el año formando 
una P.A. Determina la producción total de la em-
presa durante todo el año.
a) 27 400 b) 19 900
c) 23 200 d) 49 200
e) 37 500
Esquema formulario
RAZÓN
r = tn – t(n–1)
TÉRMINO ENÉSIMO (tn)
tn = t1 – (n–1)r
NÚMERO DE TÉRMINOS (n)
n = r
t t1n -
d n + 1
SUMA DE LOS «N» TÉRMINOS (Sn)
Sn = r
t tn1 +
d nn
16. A
17. D
18. C
19. E
20. D
21. A
22. E
23. B
24. C
25. D
Claves
71
 ARITMÉTICA
Tarea
Integral
1. Calcula la razón de una PA si 
cumple que:
t22 – t1 = 66
a) 3 b) 2 c) 7
d) 4 e) 5
2. Calcula la cantidad de térmi-
nos de la siguiente progresión
8, ... ... ... ..., 48, ... ... ... ..., 88
											1 4 2 4 3 	 	 	 	 	 1 4 2 4 3
«m» términos «m» términos
a) 18 b) 21 c) 20
d) 23 e) 15
3. Calcula la razón de un PA de 20 
términos si el primer término es 
6 y la suma de todos, 460.
a) 5 b) 6 c) 3
d) 7 e) 9
PUCP
4. En una progresión aritmética, 
el primer término es 7 y la ra-
zón, 3. Encuentra el término 
vigésimo cuarto.
a) 73 b) 70 c) 79
d) 76 e) 82
5. Un caracol decide subir un 
monte en 41 días, de manera 
que forme una progresión arit-
mética. Si el primer día logró 
subir un metro, ¿cuál debe ser 
el incremento diario que debe 
hacer para cubrir los 131,2 
metros que tiene el monte?
a) 12 cm b) 18 cm
c) 10 cm d) 15 cm
e) 20 cm
6. Los números 13; 3x + 3; 5x + 2 
están en progresión aritméti-
ca. ¿Cuál es el décimo término 
de esta progresión?
a) 58 b) 43 c) 48
d) 53 e) 63
7. Determina la cantidad de tér-
minos de una progresión arit-
mética cuyo primer término 
es 12; el último, 60; y la razón, 
la cuarta parte del primer tér-
mino.
a) 15 b) 10 c) 17
d) 23 e) 26
8. El coronel Bustamante decide 
formar su tropa en triángulo, 
de tal manera que la primera 
fila tenga un soldado; la se-
gunda, dos; la tercera, tres; y 
así sucesivamente. Si hay 1225 
soldados, ¿cuántas filas se for-
maron?
a) 50 b) 48 c) 47
d) 51 e) 49
UNMSM
9. En una progresión aritmética
 t80 = 321 y t6 = 25. ¿Cuál es el 
primer término de la progre-
sión?
a) 9 b) 5 c) 17
d) 13 e) 19
10. Ricardo ganó por su trabajo el 
primer día S/. 15,6, el día 5 de 
julio, y de allí recibió un au-
mento diario de S/. 1,2 por el 
resto del mes. ¿Qué cantidad 
de dinero recibirá el día de 
pago?
a) S/. 1543 b) S/. 1604
c) S/. 1820 d) S/. 1404
e) S/. 1702
11. La suma del segundo y quinto 
término de una PA es 14 y la 
suma del 3° y 7° es 8. Determi-
na el término aumentado en la 
razón.
a) 12 b) –2
c) 14 d) 15
e) 10
12. Si tn+2 = 2n+1 – tn; además, t1 = 2 
y t23 = 156, calcula t4 + t35
a) 337 b) 263
c) 189 d) 300
e) 226
UNI
13. Orlando tiene que resolver 
161 ejercicios en 40 días, for-
mando una PA. Si al término 
de los 24 días ha resuelto 97 
ejercicios. ¿Cuántos ejercicios 
resolvió el día 11?
a) 32 b) 27
c) 45 d) 53
e) 64
Tarea
5TO AÑO
72
14. En una PA, la relación del sexto y 
primer término es 10. Calcula la 
menor cantidad de términos ma-
yores a 10 términos que se debe 
tomar para que la suma de los 
mismos sea un número par.
a) 12 b) 13 c) 11
d) 14 e) 15
15. Fernando y Rosemary leen una 
novela de 1000 páginas. Fer-
nando lee 50 páginas diarias, 
mientras que Rosemary lee 10 
páginas el primer día, 20 pági-
nas el segundo día, 30 páginas 
el tercero y así sucesivamente. 
¿Qué día llegarán ambos a la 
misma página si empiezan a 
leer el 2 de setiembre?
a) 13 de setiembre
b)16 de setiembre
c) 20 de setiembre
d) 18 de setiembre
e) 10 de setiembre
Claves
01. A
02. B
03. C
04. D
05. E
06. A
07. C
08. E
09. B
10. D
11. E
12. B
13. C
14. C
15. D
73
 ARITMÉTICA
Progresión geométrica
CONCEPTO
Se dice que un grupo de números están en progresión 
geométrica (PG), cuando cada uno de ellos es igual 
al anterior multiplicado por una cantidad constante 
llamada razón (k).
Ejemplos:
1; 2; 4; 8; …
Forma general:
a; aK; aK2; aK3; …
Representación:
PG de “n” términos
t1; t2; t3; …; tn
Razón:
K = t
t
( )n
n
1-
• Si: q > 1 → la progresión es creciente
• Si; 0 < q < 1 → la progresión es decreciente
• Si: q < 0 → la progresión es oscilante
Término enésimo (tn)
tn = t1 × K
n–1
Suma de los “n” términos de una PG (Sn)
Sn = t1 k
k
1
1n
-
-
d n
Término central (tc)
tc = t tn1 #
Trabajando en clase
Integral
1. Determina el númeo de térmi-
nos de una PG de extremos 3 y 
24, de razón 25
2. Determina la razón de una 
progresión geométrica de 16 
términos si el último es 27 ve-
ces el primero.
3. Determina el primer término 
de una PG si la diferencia en-
tre el tercer y sexto término es 
26 y el cociente 27.
PUCP
4. Resuelve:
 3x + 3x–1 + 3x–2 + 3x–3 + 3x–4 = 363
PUCP 2013 – II
Resolución:
Se trata de una progresión 
geométrica de razón 1/3
Factorizando 3x
3 1 3
1
9
1
27
1
81
1x + + + +b l = 363
x x3 1
3
1 1
3
1 1
x
5
-
-
J
L
K
K
KK
b
N
P
O
O
OO
l
 = 363
3x = 81 × 3 = 35
Igualando exponentes: x = 5
5. Resuelve la siguiente progre-
sión geométrica:
 4x + 4x–1 + 4x–2 + 4x–3 + 4x–4 + 4x–5 
 = 5460
6. Sea la PG: 3; 6; 12; 24; …
 ¿Cuántos términos deben to-
marse para que sumen 3069?
7. Determina el duodécimo tér-
mino de la progresión geomé-
trica si el primer término es 
1024
1 y su razón es 2.
UNMSM
8. Al sumar un mismo número 
a 20; 50 y 100, respectivamen-
te, los tres números resultan-
tes forman una progresión 
geométrica creciente. Deter-
mina la razón.
UNMSM 2012-II
Resolución:
Los número son:
(20 + a); (50 + a) y (100 + a)
5TO AÑO
74
(20 + a) × r = 50 + a
20 + a = r 1
30
-
 ..................... (1)
(20 + a) × 2r = 100 + a
20 + a = r2 1
80
-
 ................... (2)
Igualando 1 y 2, obtenemos
r r1
30
2 1
80
-
=
-
30(2r – 1) = 80(r – 1)
20r = 50
r = 2
5
9. Si a los números 7; 19 y 43 se 
les suma un mismo número, 
los tres números resultan-
tes forman una progresión 
geométrica creciente. Deter-
mina la razón.
10. El primer término de una pro-
gresión geométrica es 2 y el 
último, 64. Si consta de seis 
términos, encuentra la razón y 
el cuarto término.
11. La suma de los tres primeros 
términos de una progresión 
geométrica es 63 y el producto 
1728. Encuentra el mayor de 
estos números.
UNI
12. Sea: Sn(x) = x + x2 + … + xn, 
x ∈ R, n ∈ N
 Determina el valor de 
Sn 2
3
b l- Sn 2
1
b l.
UNI 2013-I
Resolución:
Es una progresión geométrica 
de razón “x”
Sn(x) = x x
x
1
1n
-
-
d n
Ahora calculamos:
Sn 2
3
2
3
2
3 1
2
3 1
n
=
-
-
J
L
K
K
KK
b b
b
N
P
O
O
OO
l l
l
= 3 2
3 1
n
-bd l n
S 2
1
2
1
2
1 1
2
1 1
n
n
=
-
-
J
L
K
K
KK
b b
b
N
P
O
O
OO
l l
l
= 3 2
1 1
n
- -bd l n
Sn Sn2
3
2
1-b bl l
3 42
3
2
1n n= + -b bl l
13. Sea:
 Sn(a) = a + a3 + … + an, 
 a ∈ R, n ∈ N.
 Determina el valor de:
 Sn(9) – Sn(5)
14. Las edades de Nely, Ana y Pilar 
están en progresión geométri-
ca y suman 117. Si el término 
central es 27, encuentra la ra-
zón.
75
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Si el segundo término de una PG es «p» y el ter-
cer término es «q», hallar la razón.
a) p
q b) q
p
c) p × q d) p q
1
#
e) p q
p q
+
-
17. Determina p + q + r + s, si los siguientes núme-
ros forman una PG 36; 6; 1; q
p y s
r
a) 24 b) 6
c) 36 d) 44
e) 30
18. Calcula el primer término de una PG si la dife-
rencia entre el segundo y quinto término es 16
21 
y el cociente es 8.
a) 4 b) 4
1
c) 3
1 d) 3
2
e) 3
19. Encuentra el primer término de una progresión 
geométrica si el cuarto término es 27 y su razón 
es 3/4.
a) 64 b) 32 c) 81
d) 51 e) 36
20. ¿Cuántos términos de la siguiente PG se deben 
de tomar para que sumen 64
63 ?
PG : ; ; ; ...2
1
2
3
2
9
a) 4 b) 6
c) 3 d) 8
e) 5
21. Determina el octavo término de una progresión 
geométrica si el primer término es 2401
1 y su 
razón es 7.
a) 63 b) 119
c) 105 d) 7
e) 343
5TO AÑO
76
22. Las edades de Julia, Yesenia y Karla están en pro-
gresión geométrica y suman 60. Si el término cen-
tral es 20, encuentra la razón.
a) 1 b) 3
c) 6 d) 5
e) 7
23. La suma de tres términos en una progresión 
geométrica es 28 y la diferencia entre el tercero y 
el primero es 12. Indica los términos.
a) 2; 6 y 18 b) 3; 6 y 12
c) 1; 3 y 9 d) 4; 8 y 16
e) 2, 4 y 18
24. El primer término de una progresión geométrica 
es 625 y el último, 1/5 . Si consta de seis términos, 
calcula la suma de la razón y el cuarto término.
a) 25,8 b) 125,2
c) 75,3 d) 225,5
e) 345,9
25. La suma de los tres primeros términos de una 
progresión geométrica es 77 y el producto es 10 
648. Encuentra el mayor de estos números.
a) 28 b) 44
c) 56 d) 64
e) 32
Esquema formulario
RAZÓN (k)
K = t
t
( )n
n
1-
TÉRMINO ENÉSIMO (tn)
tn = t1 × K
n–1
TÉRMINO CENTRAL (tc)
tc = t t( ) ( )n1 #
SUMA DE LOS «n» TÉRMINOS DE UNA PG (Sn)
Sn = t1 k
k
1
1n
-
-
d n
16. A
17. D
18. E
19. A
20. B
21. E
22. A
23. D
24. B
25. B
Claves
77
 ARITMÉTICA
Integral
1. Determina el octavo término 
de una PG si t1 = 5 y r = 4.
a) 81920 b) 72205
c) 46520 d) 86255
e) 76215
2. Indica el primer término de 
una PG que tiene 11 términos, 
su razón es 2 y su último tér-
mino es 1024.
a) 0 b) 2
c) 4 d) 1
e) 6
3. Calcula la suma del octavo tér-
mino y su razón en la siguiente 
PG: ; ; ; ; ...8
1
4
1
2
1 1
a) 2 b) 1/18
c) 1/32 d) 16
e) 18
PUCP
4. En una PG el t9 = 256 y el 
t3 = 4. Halla la suma del t1 + t5.
a) 33 b) 5
c) 17 d) 9
e) 65
5. ¿Cuántos términos deben to-
marse de la siguiente PG para 
que sumen 1275?
 Sea la PG 5; 10; 20; 40; ...
a) 9 b) 8
c) 10 d) 7
e) 11
6. Geraldine apuntó en una ser-
villeta una progresión geomé-
trica que le dictó su profesor 
como tarea. Cuando llegó a su 
casa se percató que se le había 
extraviado la servilleta y lo 
único que recuerda es que ha-
bía 10 términos; el primero era 
1/9 y la razón, 3. El profesor le 
pidió que calculara cuál era el 
último término.
a) 8127 b) 2781 c) 819
d) 924 e) 2187
7. Determina el valor de «E»en 
una progresión geométrica si 
se cumple que r + r2 = 7.
E = t
t t
2
4 3+
a) 7 b) 1/7 c) 11
d) 1/11 e) 7/11
8. La relación entre el octavo y el 
quinto término de una PG es 
8. Si t1 es 4, encuentra el valor 
de t4 + t2 + t8
a) 532 b) 542 c) 512
d) 552 e) 562
UNMSM
9. Determina la suma de la ra-
zón y el cuarto término de una 
progresión geométrica que 
consta de seis términos, si el 
primer término es 1/4 y el últi-
mo, 8192.
a) 124 b) 118 c) 136
d) 172 e) 188
10. La suma de los tres primeros 
términos de una progresión 
geométrica es 64
21 y el produc-
to, 4096
1 . Encuentra el mayor 
de estos números.
a) 4
1 b) 2
1 c) 3
1
d) 5
1 e) 6
1
11. Si a los números 1; 27 y 105 
se les suma un mismo núme-
ro, los tres números resultan-
te, forman una progresión 
geométrica creciente. Calcula 
la razón.
a) 5 b) 3 c) 4
d) 6 e) 2
12. En los laboratorios Genésis 
descubrieron que cierta enfer-
medad que ataca al organismo 
es producido por unas bacte-
rias que se reproducen par-
tiéndose en dos cada 24 horas. 
Si inicialmente se ha introdu-
cido en un cuerpo 100 bacte-
rias, ¿cuántas bacterias tendrá 
el cuerpo el quinto día?
a) 1500 b) 3000
c) 2000 d) 1550
e) 2500
Tarea
5TO AÑO
78
UNI
13. Sea Sn(b) = 1 + b + … + b
n, 
x ∈ R, n ∈ N
 Determina el valor de Sn(18) – 
Sn(5) si la PG tiene 4 términos
a) 6510 b) 6019
c) 6174 d) 6328
e) 6295
14. Las edades de una abuela, su 
hija y su nieta están en progre-
sión geométrica y suman 152. 
Si la edad intermedia es 48 
años, encuentra la razón.
a) 3
1 b) 4
3 c) 3
2
d) 5
1 e) 5
2
15. Un balón es lanzado desde 
cierta altura. Si se sabeque en 
cada rebote pierde ¼ de su al-
tura y luego del tercer rebote 
se eleva 54 m, ¿desde qué altu-
ra fue lanzado?
a) 118 m b) 98 m
c) 128 m d) 136 m
e) 185 m
Claves
01. A
02. D
03. E
04. C
05. B
06. E
07. A
08. D
09. C
10. A
11. B
12. E
13. B
14. C
15. C
79
 ARITMÉTICA
Divisibilidad I
I. CONCEPTO
Se dice que un número es divisble por otro cuando 
el cociente de su división resulta siempre un número 
entero.
Sean «a», «b» y «c» números enteros.
Si:
a b
0 c
 
o b
a c= b ∈ Z+
Entonces podemos afirmar lo siguiente:
«a» es múltiplo de «b»
«b» es divisor de «a»
Notación:
 nº → se lee múltiplo de n
Ejemplo:
 11º → se lee múltiplo de 11
II. Representación general de los múltiplos 
de un número
Observemos los múltiplos de 7º :
7º : ..., –14; –7; 0; 7; 14; 21; ...
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
 ..., 7(–2); 7(–1); 7(0); 7(1); 7(2); 7(3); ...
En general, todo múltiplo de siete es de la forma:
7º = 7k con k ∈ Z
En general:
nº = nk
III. NÚMEROS NO DIVISIBLES
 Ejemplos:
 Expresa 43 en función de 9º
 Por defecto
43 9
7 4
 43 = 9 × 4 + 7
 43 = 9º + 7
 sobran 7
 Por exceso 
43 9
2 5
 43 = 9 × 5 – 2
 43 = 9º – 2
 faltan 2
 • Propiedad:
Si:
 
N = Aº + 6
N = Bº + 6 residuos iguales
N = Cº + 6
 ⇒ N = MCM(A, B, C) + 6
º
IV. OPERACIONES CON MÚLTIPLOS
1. nº + nº + nº = nº
2. nº – nº = nº
3. k . nº = nº cuando k ∈ Z
4. JLn
ºN
P
k
 = nº cuando k ∈ Z
V. TEOREMA DE ARQUÍMEDES
 Casos prácticos:
Caso 1: si 5 a = 9º → a = 9º
Caso 2: 9x = 45º → x = 5º
5TO AÑO
80
Trabajando en clase
INTEGRAL
1. De los primeros 600 números 
enteros positivos, ¿cuántos 
son múltiplos de 7?
2. ¿Cuántos números de 4 cifras 
son 7º + 2?
3. Al dividir «M» entre 7, el re-
siduo fue 5; además, «N», al 
dividirse entre 7, dejó un re-
siduo igual a 4. ¿Qué residuo 
se obtendrá al dividir «M × N» 
entre 7?
PUCP
4. ¿Cuántos números de 4 cifras 
son múltiplos de 17 y termi-
nan en cifra 3?
PUCP 2012-II
Resolución
Sea el número:
abc3 = 17º = 17k
Entonces:
1000 ≤ 17k < 10 000
17
1000 ≤ 17k < 17
10000
58; …. ≤ K < 588, …
Valores posibles de k: 
59, 60, 61, …, 588
Como debe terminar en cifra 
3 los valores que tomen «k» 
debe de terminar en 9
Valores de k: 59; 69; 79; …; 579
 Valores 
= 10
579 59- + 1 = 53
permitidos
∴ 53 números
5. ¿Cuántos números de 3 cifras 
son múltiplos de 15 y termi-
nan en cifra 0?
6. Si 5A = 10º y 3B = 15º (A y B 
son enteros), entonces el 
producto A x B es necesaria-
mente:
7. Simplifica:
 E = (7º + 1) + (7º + 2) + (7º + 3) 
+ … + (7º + 70)
UNMSM
8. Si 76m9n es un múltiplo de 
107, determina el máximo va-
lor de (m + n)
UNMSM 2013-II
Resolución:
76m9n = 107º
Realizamos la descomposición 
polinómica del numeral
 76090 + 100 m + n = 107º
64748 64748
107º +13 107º – 7
13 + n – 7m = 107º
 ↓ ↓ 
 1 2
 8 3
m + n = 1 + 2 = 3
m + n = 8 + 3 = 11
valor(máx) = 11
9. Si 52a6b es un múltiplo de 115, 
calcula el máximo valor de a + 
b
10. Del 1 al 358, determina:
I. ¿Cuántos son múltiplos de 
7?
II. ¿Cuántos no son múltiplos 
de 11?
 Da como respuesta la suma de 
ambos términos
11. El numeral que resulta de: 
 aaa – bbb siempre es divisible 
por:
UNI
12. En una reunión se cuenta en-
tre 400 y 450 personas, de las 
cuales 3/7 son varones; los 2/5 
usan lentes y los 2/3 son pro-
fesionales. ¿Cuántas mujeres 
había en le reunión?
Resolución
400 < personas < 450
7
3 × total = son varones
5
2 × total = usan lentes
5
2 × total = son profesionales
 múltiplo de 7
Total múltiplo de 5
 múltiplo de 3
Total = MCM(7; 5; 3)
º
Total = 105º
⇒ Total = 420
Cantidad de mujeres = 7
4 × 420
Rpta.: hay 240 mujeres
13. En un barco con 180 personas, 
ocurre un naufragio y de los 
sobrevivientes se conoce que: 
2/5 fuman, 3/7 son casados y 
2/3 son ingenieros. Determina 
cuántas personas murieron en 
dicho accidente.
14. Sabiendo que:
 A = abc38 × aa1028 × bb328, 
calcula el residuo de dividir 
«A» entre 8.
81
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. ¿Cuántos números de 3 cifras no son múltiplos 
de 10?
a) 725 b) 730
c) 810 d) 776
e) 848
17. ¿Cuántos números de 4 cifras son (53º + 26)?
a) 170 b) 188
c) 168 d) 176
e) 159
18. Si A = 7º + 4 y B = 7º + 3, entonces (A × B) es:
a) 7º – 4 b) 7º – 5
c) 7º + 5 d) 7º – 3
e) 7º + 3
19. ¿Cuántos números de 4 cifras que son múlti-
plos de 7 terminan en cifra 1?
a) 125 b) 128
c) 1286 d) 1280
e) 129
20. Si 7M = 21º y 8N = 88º (M y N son enteros), 
entonces el producto M × N es necesariamente:
a) 3º + 3 b) 33º 
c) 33º + 3 d) 14º
e) 22º + 3
21. Simplifica:
 E = (5º + 1) + (5º + 3) + (5º + 5) + … + (5º + 39)
a) 5º – 2 b) 5º
c) 5º + 3 d) 5º + 4
e) 5º + 1
5TO AÑO
82
Esquema formulario
NÚMEROS DIVISIBLES
1. nº + nº = nº
2. nº – nº = nº
3. nº . k = nº k ∈ Z
4. JLn
º k = nº k ∈ Z
NÚMEROS NO DIVISIBLES
5. (nº + r1)(n
º + r2) = n
º + r1 . r2
6. 
N = aº ± r
N = bº ± r N = MCM(a, b, c) ± r
º
N = cº ± r
7. 
4 . x = 7º → x = 7º
4 . x = 8º → x = 2º
 
22. Un comerciante tiene entre 400 y 500 naranjas. 
Si las vende de 8 en 8, le sobrarían 3; pero si qui-
siera venderlas de 11 en 11 le faltarían 6. ¿Cuán-
tas naranjas tiene el comerciante?
a) 430 b) 447 c) 467
d) 453 e) 482
23. Indica el mayor número de 3 cifras, de manera 
que al dividirlo entre 5; 6 y 8 se obtienen resi-
duos máximos.
a) 912 b) 959 c) 927
d) 936 e) 943
24. Del 80 al 800, ¿cuántos números son múltiplos de 4 
pero no de 8?
a) 80 b) 91 c) 89
d) 90 e) 70
25. El numeral que resulta de: 
 ab0 + a0b + ba0 + b0a siempre es divisible por:
a) 211 b) 11 c) 13
d) 5 e) 7
16. C
17. A
18. C
19. E
20. B
21. B
22. C
23. B
24. D
25. A
Claves
83
 ARITMÉTICA
Integral
1. ¿Cuántos números de 3 cifras 
son múltiplos de 15?
a) 60 b) 85
c) 105 d) 120
e) 175
2. ¿Cuántos números de 3 cifras 
son 5º + 2?
a) 115 b) 185
c) 180 d) 135
e) 200
3. Al dividir A entre 11, el resi-
duo fue 7; además, B, al divi-
dirse entre 11, dejó un residuo 
igual a 9. ¿Qué residuo se ob-
tendrá al dividir (A × B)2 entre 
11?
a) 6 b) 5
c) 4 d) 3
e) 2
PUCP
4. ¿Cuántos números de 2 cifras 
son 2º pero no 3º ?
a) 64 b) 25
c) 45 d) 30
e) 38
5. Si 9A = 36º y 5B = 7º (A y B son 
enteros), entonces el producto 
A × B es necesariamente:
a) 14º b) 28º
c) 35º d) 21º
e) 7º
6. Simplifica:
 E = (6º + 2) + (6º + 4) + (6º + 6) 
+ … + (6º + 40)
a) 6º + 2 b) 6º + 4 
c) 6º + 1 d) 6º 
e) 6º + 3
7. Los números comprendidos 
entre 400 y 1500 divisibles al 
mismo tiempo por 18 y 75 tie-
nen suma igual a ____.
a) 1350 b) 2350
c) 1800 d) 1600
e) 2700
8. Si a un número se le divide su-
cesivamente entre 3; 5 y 8, se 
obtiene por residuos 1; 3 y 6, 
respectivamente. ¿Cuál es el 
mayor número menor que 500 
que cumple dicha condición?
a) 470 b) 478
c) 498 d) 480
e) 482
UNMSM
9. De los primeros 500 números:
I. ¿Cuántos son múltiplos de 
37?
II. ¿Cuántos no son múltiplos 
de 29?
 Da como respuesta la suma de 
ambos términos.
a) 30 b) 45
c) 42 d) 36
e) 39
10. El numeral E siempre es divi-
sible entre:
E = aaa + bbb
a) 7 b) 11
c) 37 d) 9
e) 103
11. Calcula «x» si x = 7º ; y = 5º , 
además x + y = 52.
a) 21 b) 7
c) 42 d) 49
e) Más de una
12. Calcula el residuo que resulta 
de dividir M entre 13.
M = 52179 × 23583 × 3656
a) 5 b) 3
c) 2 d) 7
e) 6
UNI
13. Durante el mes de enero, Or-
lando iba al restaurante Gusto 
cada dos días y Piero, cada 3 
días. Si ambos empezaron el 
1º de enero, ¿cuántas veces du-
rante todo ese mes se encon-
traron en el restaurante?
a) 5 b) 8
c) 4 d) 7
e) 6
Tarea
5TO AÑO
84
14. Sabiendo que:
 B = mnp59 × m0np79 × pp629 
calcula el residuo de dividir B 
entre 9.
a) 3
b) 6
c) 0
d) 8
e) 7
15. ¿Cuántos números de la suce-
sión:
 7; 15; 23; 31; …; 399 son múl-
tiplos de 11?
a) 7
b) 5
c) 12
d) 9
e) 15
Claves
01. A
02. C
03. E
04. D
05. B
06. A
07. E
08. C
09. A
10. C
11. E
12. D
13. A
14. E
15. B
85ARITMÉTICA
Divisibilidad II
I. CRITERIOS
 Los criterios de divisibilidad son aquellas reglas 
prácticas que aplicamos a las cifras de un numeral 
para determinar su divisibilidad respecto a cierto 
módulo.
• Criterios de divisibilidad entre 3 o 9
abcd = 3º ⇔ a + b + c + d = 3º
abcd = 9º ⇔ a + b + c + d = 9º
• Criterio de divisibilidad entre 11
abcde = 11º ⇔ a – b + c – d + e = 11º
 +-+-+
• Criterio de divisibilidad entre potencias 
de 2
abcde = 2º ⇔ e = 2º
abcde = 4º ⇔ de = 4º
abcde = 8º ⇔ cde =8º
• Criterios de divisibilidad entre potencias 
de 5
abcde = 5º ⇔ e = 8º
abcde = 25º ⇔ de = 25º 
abcde = 125º ⇔ cde =125º 
• Criterios de divisibilidad entre 7
abcdef 
231231 = –2a – 3b – c + 2d + 3e + f = 7º
 123123
 – +
Advertencia pre
No olvides que los múltiplos también 
pueden ser negativos
Trabajando en clase
Integral
1. Si a176 es divisible entre 6, cal-
cula la suma de todos los valo-
res que puede tomar «a».
2. Si se cumple que:
 a23b = 11º ∧ b23a = 9º , calcula 
b – a
3. Si 134a es múltiplo de 9, ¿cal-
cula el valor de «a».
PUCP
4. Si mcdu = 17º y mc = 3(du – 1), 
halla el máximo valor de 
mcdu
PUCP 2012 – II
Resolución:
mc = 3du – 3 …………… (1)
100mc + du = 17º ………..(2)
Reemplazo 1 en 2: 
100(3du – 3) + du = 17º
300du – 300 + du = 17º
301du – 300 = 17º
(17º – 5)du – (17º – 6) = 17º
6 – 5du = 17º
5TO AÑO
86
du = 25 y 08
Máximo valor: 7225
5. Si abcd = 23º y ab = 3(cd – 12), 
determina el máximo valor de 
abcd.
6. ¿Cuántas veces, como míni-
mo, habrá que colocar la cifra 
5 a la izquierda del número 
4362 para que el resultado sea 
múltiplo de 9?
7. Si 43a2a = 3º y bab = 17º , cal-
cula el máximo valor de a x b.
UNMSM
8. Determina la suma de todos 
los números de tres cifras de la 
forma ba(2a) con b > a > 0, de 
manera que sean múltiplos de 
4 y 11.
UNMSM 2010-II
Resolución:
ba(2a) = 
4º
11º
Los valores posibles de «a» 
son: 1; 2; 3 y 4 
ba(2a) = 11º
+- +
b – a + 2a = 11º
 b + a = 11º
 ↓ ↓
 10 1 
 9 2 ü
 8 3 ü
 7 4 ü
La suma es: 
924 + 836 + 748 = 2508
9. Determina la suma de todos 
los números de tres cifras de 
la forma ba(3a) con b > 0, de 
manera que sean múltiplos de 
2 y 3.
10. Si 30a79 = 11º y bb26b = 7º
, calcula el residuo de dividir 
2(a × b) entre 77.
11. ¿Cuántos números de 4 cifras 
son divisibles por 8 y 12 pero 
no por 3?
UNI
12. Determina la cantidad de nú-
meros abc = 12º , de manera 
que: a + b + c = 12
UNI 2012-I
Resolución:
abc = 
3º
4º
Como a + b + c = 12, entonces 
abc = 3º
Por lo que abc = 4 → bc = 4
Existen 24 números de la for-
ma bc múltiplos de 4
Luego: 2 < b + c < 12
bc ≠ 20; 48; 68; 76; 84; 88 y 96
Entonces son 7 valores menos
∴ son 24 – 7 = 17 números
13. Determina la cantidad de nú-
meros mnp = 15º , tal que:
 m + n + p = 9
14. Cuántos valores puede tomar «a» 
para que E sea divisible entre «a»
 E = 1a + 2a + 3a + … + 9a
Esquema formulario
• abcd = 2º → d = 2º
• abcd = 4º → 2c + d = 4º
• abcd = 8º → 4b + 2c + d =8º
• abcd = 3º → a + b + c + d =3º
• abcd = 9º → a + b + c + d =9º
• abcd = 5º → d = 5º ∨ 0
• abcd = 25º → cd = 25º ∨ 00; 25; 50; 75
• abcdef = 7º → f + 3e + 2d – c – 3b – 2a = 7º 
• abcdef = 11º → f – e + d – c + b – a = 11º 
87
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Calcula «d + e». Si el numeral 56d01e es divisi-
ble entre 99.
a) 13 b) 15 c) 6
d) 8 e) 9
17. Calcula ab si se cumple que:
 (a + 3)a(a + 1) = 9º y 
 b(b + 5)(b + 2) = 11º
a) 8 b) 64 c) 27
d) 216 e) 125
18. Si abc = 11º ; bac = 7º y cab = 5º , calcula el menor 
valor de:
a + b + c
a) 16 b) 12 c) 10
d) 14 e) 15
19. Si (2a – 1)0b(2a) es divisible por 12, indica la 
suma de los valores de «a» y «b».
a) 16 b) 17 c) 9
d) 14 e) 15
20. Si 2560777… ... 
 14243
 «n» veces
 Calcula el mínimo valor que puede tomar «n» 
para que dicho número sea múltiplo de 9 por 
segunda vez.
a) 2 b) 6 c) 8
d) 11 e) 13
21. Si 4a5(a + 2)a = 25º y aba = 13º , calcula el valor 
de «a × b»
a) 30 b) 25 c) 0
d) 35 e) 40
5TO AÑO
88
22. Indica el menor valor de «m» que cumpla la si-
guiente condición:
24 + 24 + 24 + 24 + … + 24 = 88º
 14444444244444443
«m» sumandos
a) 8 b) 2 c) 3
d) 4 e) 11
23. ¿Por qué cifras se deben sustituir a las cifras 9 y 
2 del número 59 326 para que el resultado sea un 
número divisible entre 88?
a) 0 y 2 b) 0 y 3 c) 3 y 6
d) 4 y 8 e) 7 y 8
24. Si 1aa1bb = 9º , calcula el valor máximo de «a x 
b». 
a) 72 b) 63 c) 45
d) 36 e) 81
25. ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 
25 pero no de 45?
a) 420 b) 465 c) 320
d) 285 e) 375
16. C
17. E
18. C
19. D
20. D
21. E
22. E
23. E
24. A
25. C
Claves
89
 ARITMÉTICA
Integral
1. Si a21ba es divisible entre 45 
¿calcula la suma de todos los 
valores que puede tomar a + b?
a) 8 b) 12 c) 10
d) 15 e) 18
2. Si se cumple que 5ab0 = 33º ∧ 
bac = 13º , calcula (a + b) × c
a) 54 b) 64 c) 36
d) 63 e) 24
3. ¿Calcula la suma de todos los 
valores que puede tomar «a», 
si aa4aa4 = 11º ?
a) 45 b) 15
c) 21 d) 55
e) 38
PUCP
4. Calcula «m × n × q», si mnp es 
divisble entre 9, nmp es divi-
bles entre 11 y pmn es divisible 
entre 7.
a) 162 b) 126
c) 154 d) 96
e) 90
5. ¿Cuántas veces, como míni-
mo, habrá que colocar la cifra 
4 a la izquierda del número 
240 para que el resultado sea 
múltiplo de 9?
a) 5 b) 7
c) 3 d) 9
e) 11
6. ¿Calcula el máximo valor de 
«2x + 3y» si x25x2 = 3º y xyx = 17º ?
a) 24 b) 18
c) 45 d) 36
e) 9
7. ¿Cuántos números de la forma 
aabb son múltiplos de 55?
a) 7 b) 8
c) 11 d) 9
e) 10
8. Sea N múltiplo de 9 y 5, enton-
ces:
I. N es múltiplo de 15
II. N es múltiplo de 45
III. N puedo ser 75
Es verdadero:
a) I b) II
c) I y II d) III
e) II y III
UNMSM
9. Si 2a45a = 8º y 3bb52 = 13º , cal-
cula el residuo de dividir 2(a x 
b) entre 36.
a) 11 b) 6
c) 1 d) 15
e) 19
10. ¿Cuántos números de 4 cifras 
son divisibles por 7 pero no 
por 11?
a) 1236 b) 1078
c) 1169 d) 1357
e) 1439
11. N = ababab… = 45º y tiene 21 
cifras, calcula «b»
a) 9 b) 8
c) 6 d) 5
e) 3
12. En la ciudad de Chiclayo, los 
automóviles tienen el código 
de sus placas compuesto por 
tres letras y tres cifras. Xio-
mara observa un accidente en 
el cual el vehículo causante se 
dio a la fuga. Por casualidad 
observa que las letras de las 
placas coinciden con sus ini-
ciales, y para no olvidar los 
tres dígitos y como refuerzo 
de memoria, observa que con-
forman un número par divisi-
ble por 11 y por 27. Indica el 
producto de las tres cifras de la 
placa del vehículo que se dio a 
la fuga.
a) 126 b) 120
c) 72 d) 99
e) 180
UNI
13. Determina la cantidad de nú-
meros abc = 36º , de manera 
que a + b + c = 9
a) 14 b) 24
c) 16 d) 12
e) 8
Tarea
5TO AÑO
90
14. En la siguiente progresión 
aritmética, ¿cuántos valores 
puede tomar «x» para que M 
sea divisible entre «x»?
M = 10x + 20x + 30x + ... + 90x
a) 5
b) 7
c) 4
d) 8
e) 6
15. La suma de trece números en-
teros consecutivos es de la for-
ma 4a9a. Indica el mayor de 
los números.
a) 363
b) 375
c) 368
d) 374
e) 369
Claves
01. C
02. D
03. A
04. A
05. C
06. D
07. E
08. B
09. C
10. C
11. B
12. E
13. A
14. B
15. B
91
 ARITMÉTICA
Números primos
I. NÚMERO PRIMO
 Es aquel número entero positivo que tiene solo 
dos divisores: la unidad y el mismo número.
II. NÚMERO COMPUESTO
 Son aquellos números enteros positivos que tie-
nen más de dos divisores:
 Ejemplos:
 4 …. sus divisores son 1; 2; 4
 12 ………….. sus divisores son 1; 2; 3; 4; 6; 12
III. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI)
 Dado un conjunto de dos o más números, dire-
mos que son primos entre sí, cuando el único di-
visor común de todos ellos sea la unidad.
 Ejemplo:
 Sean los números: 8; 12 y 15
 8 →	 1; 2; 4; 8
 12 →	 1; 2; 3; 4; 6; 12
 15 →	 1; 3; 5; 15
 Observamos que su único divisor común es la 
unidad, entonces, 8; 12 y 15 son números primos 
sí (PESI).
IV. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
 Consiste en descomponer a un número mayor 
que la unidad, como el producto de sus factores 
primos deferentes entre sí, elevados a ciertos ex-
ponentes enteros positivos.Ejemplo:
520 2
260 2
130 2
65 5
13 13
1 ⇒ 520 = 23 . 5 . 13
 En general, todo número compuesto «N», puede 
ser expresado de la forma:
N = Aa	. Bb	. Cg
Donde:
A, B, C son números primos absolutos diferentes;
a, b, g son números enteros positivos.
• Principales fórmulas
 1. Cantidad de divisores (CD)
Dado el número: N = Aa . Bb . Cg
CD(N) = (a + 1)(b + 1)(g + 1)
Ejemplo:
Sea el número 180 = 22 . 32. 5
CD(180) = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 divisores
 2. Suma de divisores SD
Dado el número N = Aa . Bb . Cg
SD(N) = . .A
A
B
B
C
C
1
1
1
1
1
11 1 1
-
-
-
-
-
-a b g+ + +
Ejemplo:
Sea el número 120 = 23 . 3 . 5
SD(120) = . .2 1
2 1
3 1
3 1
5 1
5 14 2 2
-
-
-
-
-
-
SD(120) = 360
Observaciones:
a) Para todo número entero positivo, se cumple:
 Total divisores de un número = Total divisores 
primos + Total divisores compuestos + 1
b) El número uno (la unidad) no es primo ni com-
puesto por tener un solo divisor (él mismo).
c) La serie natural de los números primos es ilimi-
tada.
d) La descomposición canónica de un número es 
única.
e) Los divisores primos de un número son las bases 
de la descomposición canónica.
5TO AÑO
92
Trabajando en clase
Integral
1. ¿Calcula el producto del quin-
to número primo con el octa-
vo número simple?
2. Si los números 4a; 16 y 18 son 
PESI, determina suma de los 
valores que asume «a».
3. Calcula la CD que tienen los 
números 1980 y 540. Da como 
respuesta la suma de estos re-
sultados:
PUCP
4. Si N = 4a × 3b tiene aa diviso-
res, ¿cuántos divisores tienen 
abba?
PUCP 2012 – II
Resolución:
N = 4a × 3b = 228 × 3b
CD = (2a + 1) (b + 1) = aa
(2a + 1)(b + 1) = 11a
 ↓ ↓ ↓ 
 5 4 5 
abba = 5445 = 32 × 5 × 112
CD = (2 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 18
5. Si A = 2a × 3b tiene a 2
a
_ i,
 ¿cuántos divisores tiene aabb?
6. Dado el número 360, deter-
mina su cantidad de divisores 
simples, primos, compuestos y 
propios. Da como respuesta la 
suma de estos valores.
7. Calcula el valor de «n» si el 
número (28 × 30n) tiene 350 
divisores.
UNMSM
8. Sean a = 2n . 3 y b = 2 . 3n don-
de «n» es un entero positivo. Si 
a × b tiene 16 divisores positi-
vos, calcula a – b
UNMSM 212-II
Resolución:
a × b = 2n × 3 × 2 × 3n
a × b = 2(n+1) × 3(n+1)
CD = (n + 2)(n +2)
(n + 2)(n + 2) = 16
N = 2
a = 22 × 3 = 12
b = 2 × 32 = 18
a – b = 12 – 18 = – 6
9. Sean M = 2ª . 5 y N = 2 . 5ª 
donde «a» es un entero positi-
vo. Si «M × N» tiene 25 diviso-
res positivos, halla M – N .
10. Calcula la media aritmética de 
los divisores del número 1260.
11. ¿Cuántos divisores múltiplos 
de 15 tiene el número 1200?
UNI
12. Considera el mayor de los nú-
meros N cuya descomposición 
en sus factores primos de una 
cifra es 2a . 53 . mu . 3r, sabiendo 
que cuando se divide por 40 se 
obtiene otro número de 54 di-
visores; y además, a + u + r < 9
 Calcula la suma de sus cifras
UNI 2013-II
Resolución:
N = 2a × 53 × mu × 3r
m = 7 divisores de una cifra
40 = 23 × 5
m
2 5
2 5 3a u r
3
3
#
# # # 
= 2(a-3) × 52 × mu × 3r
CD = (a–2)(3)(u+1)(r+1) = 54
(a – 2)(u + 1)(r + 1) = 18
14243 14243 14243
 3 3 2
a = 5; u = 2 y r = 1
N = 25 × 53 × 72 × 31 = 588 000
Suma de cifras de:
N = 5 + 8 + 8 = 21
13. Considera el mayor de los nú-
meros N cuya descomposición 
en sus factores primos de una 
cifra es 2ª . 53 . mu . 3r, sabiendo 
que cuando se divide por 60 se 
obtiene otro número de 90 di-
visores y además a + u + r < 13.
 Calcula la suma de sus cifra.
14. El número N = 3b . 5a (con a ≥ 1) 
tiene tres divisores más que 
M = 2a . 53. Determina «a + b».
93
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Calcula A + B
 A = cantidad de divisores de 14 300
 B = Cantidad de números primos entre 10 y 30
a) 42 b) 36 c) 18
d) 64 e) 75
17. ¿Cuántos valores puede tomar «a» para que 3a; 9 
y 12 sean números PESI? Da como respuesta la 
suma de dichos valores
a) 12 b) 16 c) 19
d) 23 e) 27
18. ¿Cuántos divisores compuestos tienen 280 y 
1980? Da como respuesta la suma de estos valo-
res.
a) 39 b) 48 c) 43
d) 52 e) 63
19. ¿Cuántos divisores de 3200 no son múltiplos 
de 20?
a) 12 b) 10 c) 15
d) 18 e) 20
20. ¿Cuántos divisores primos, compuestos y sim-
ples tiene 2520? Da como respuesta la suma de 
estos valores.
a) 36 b) 45 c) 48
d) 52 e) 61
21. Si el número (142 × 20n) tiene 104 divisores 
compuestos, calcula «n».
a) 3 b) 1 c) 2
d) 4 e) 5
5TO AÑO
94
Esquema formulario
Si N = aa . bb . cg es la descomposiciópn canónica de N:
⇒ CD = (a + 1)(b + 1)(g + 1)
SDN = a
a
b
b
c
c
1
1
1
1
1
11 1 1
-
-
-
-
-
-a b g+ + +
d d dn n n
CD(PRIMOS) = Las bases
CD(SIMPLES) = CD(PRIMOS) + la unidad
CD(PROPIOS) = CD(TOTALES) - el mismo número
CD(COMPUESTOS) = CD(TOTALES) - CD(SIMPLES)
16. A
17. E
18. C
19. A
20. D
21. A
22. B
23. D
24. E
25. A
Claves
22. Sabiendo que 27172 tiene 2n divisores, ¿cuántos 
divisores tiene n44?
a) 9 b) 16 c) 18
d) 24 e) 28
23. ¿Cuántas cifras «0» se debe agregar a la derecha 
de 48 para que tenga 154 divisores?
a) 3 b) 4 c) 2
d) 6 e) 5
24. Calcula la media aritmética de los divisores del 
número 320.
a) 52,7 b) 51,8 c) 53,9
d) 55,2 e) 54,4
25. ¿Cuántos divisores múltiplos de 2 y 9 tiene el nú-
mero 810?
a) 6 b) 9 c) 16
d) 12 e) 18
95
 ARITMÉTICA
Tarea
Integral
1. ¿Cuántos divisores tiene la 
suma de los primeros 8 núme-
ros primos?
a) 4 b) 2
c) 6 d) 1
e) 8
2. Si 5x; 18 y 27 son números 
PESI, calcula la suma de los 
valores que puede tomar «x»
a) 18 b) 24
c) 33 d) 14
e) 10
3. Calcula la cantidad de diviso-
res compuestos y simples de 
los números 1360 y 840, res-
pectivamente. Da como res-
puesta la suma de estas canti-
dades
a) 16 b) 18
c) 24 d) 27
e) 21
PUCP
4. Calcula la suma de los diviso-
res de 3250 y da como respues-
ta el producto de las cifras.
a) 12 b) 28
c) 24 d) 18
e) 32
5. Dado el número 147 000, deter-
mina su cantidad de divisores 
simples, primos, compuestos y 
propios. Da como respuesta la 
suma de estos valores.
a) 128 b) 142
c) 164 d) 200
e) 184
6. Calcula el valor de «a» si el nú-
mero (21 × 70a) tiene 160 divi-
sores.
a) 3 b) 4
c) 2 d) 5
e) 6
7. Calcula el valor de «m» si 
524000…00 tiene 160 divisores
 14243
 m cifras
a) 5 b) 8
c) 9 d) 7
e) 6
8. Si ab es un número primo, cal-
cula, ¿cuántos divisores tiene 
ababab?
a) 18 b) 36
c) 32 d) 24
e) 43
UNMSM
9. Calcula la media aritmética de 
los divisores del número 720.
a) 50,5 b) 80,6
c) 64,9 d) 75,4
e) 83,6
10. Calcula cuántos divisores 
múltiples de 5 y 7 tiene el nú-
mero 343 000.
a) 48 b) 53
c) 28 d) 64
e) 36
11. Si A/B tiene 14 divisores com-
puestos, calcula «a + b»
 A = 3a × 23 × 5(2b+2)
 B = 2 × 32 × 5(b–1)
a) 2 b) 3
c) 5 d) 4
e) 6
12. En cuantos ceros termina: 
1 × 2 × 3 × … × 205
a) 50 b) 46
c) 53 d) 56
e) 42
UNI
13. Considera el mayor de los nú-
meros N cuya descomposición 
en sus factores primos de una 
cifra es 2a . 53 . mu . 3r, sabiendo 
que cuando se divide por 70 se 
obtiene otro número de 24 divi-
sores; además, a + u + r < 6.
 Calcula la suma de sus cifras.
a) 21 b) 18
c) 12 d) 15
e) 24
Tarea
5TO AÑO
96
14. El número N = 2a . 32b (con 
a ≥1) tiene siete divisores más 
que M = 3(a+1) . 5b. Determina 
«a + b»
a) 8
b) 6
c) 10
d) 9
e) 4
15. Determina la cantidad de divi-
sores que tiene M
M = 1 × 2 × 3 ×	4 × … × 19
a) 144
b) 360
c) 225
d) 524
e) 480
Claves
01. A
02. C
03. E
04. C
05. D
06. A
07. D
08. C
09. B
10. E
11. D
12. A
13. D
14. B
15. E
97
 ARITMÉTICA
Repaso
1. Determina el menor número 
entero, de manera que sumado 
con el triple de su complemen-
to aritmético resulte 22 508.
a) 3746
b) 3647
c) 11 524
d) 11 254
e) 3745
2. El cociente y el resto de una 
división inexacta son 17 y 9, 
respectivamente. Pero si al 
dividendo se le aumenta 49 
unidades, el cociente sería 21 
y el resto, 6. Indica la suma del 
dividendo y divisor inicial.
a) 238
b) 240
c) 243
d) 244
e) 241
3. Determina la cantidad de tér-
minos de una progresión arit-
mética cuyo primer término 
es 12; el último, 60; y la razón, 
la cuarta parte del primer tér-
mino.
a) 15
b)10
c) 17
d) 23
e) 26
4. Determina el valor de E en 
una progresión geométrica si 
se cumple que r + r2 = 7.
E = 
t4 + t3
t2
a) 7
b) 1/7
c) 11
d) 1/11
e) 7/11
5. Los números comprendidos 
entre 400 y 1500, divisibles al 
mismo tiempo por 18 y 75 tie-
nen una suma igual a:
a) 1350
b) 2350
c) 1800
d) 1600
e) 2700
6. ¿Cuántos números de la forma 
aabb son múltiplo de 55?
a) 7
b) 8
c) 11
d) 9
e) 18
7. Calcula el valor de “m” si:
524 000…00 
 
 m cifras
 tiene 160 divisores.
a) 5
b) 8
c) 9
d) 7
e) 6
8. Determina la suma de cifras 
del número de 2 cifras que ex-
cede en 27 a 10 veces la cifra 
de las unidades de dicho nú-
mero.
a) 18
b) 11
c) 13
d) 16
e) 9
9. Al multiplicar un número de 
cinco5 cifras por 101, se obtie-
ne un nuevo número cuyas úl-
timas cifras son 8513. Se sabe 
que el número inicial también 
tiene todas sus cifras distintas. 
Indica la cantidad de números 
que cumplen la condición des-
crita.
a) 3
b) 5
c) 1
d) 6
e) 4
10. Si tn+2 = tn+1 – tn; además t1 = 2 
y t23 = 156, determina: t4 + t35.
a) 337
b) 263
c) 189
d) 300
e) 226
Trabajando en clase
5TO AÑO
98
11. En los laboratorios «Génesis» 
descubrieron que cierta en-
fermedad que ataca al orga-
nismo es producida por unas 
bacterias que se reproducen 
partiéndose en dos cada 24 
horas. Si inicialmente se han 
introducido en un cuerpo 100 
bacterias, ¿cuántas bacterias 
tendrá el quinto día dicho 
cuerpo?
a) 1500
b) 3000
c) 2000
d) 1550
e) 1600
12. Calcular el residuo que resulta 
de dividir «M» entre 13.
M = 52179 × 23583 × 36564
a) 5
b) 3
c) 2
d) 7
e) 6
99
 ARITMÉTICA
MCM y MCD I
Máximo común divisor (MCD)
El MCD de dos o más números es el mayor divisor 
común de dichos números. Todos los divisores 
comunes son también divisores de su MCD.
Ejemplo:
De los divisores de 12 y 18, tenemos:
12 → 1 2 3 4 6 12
18 → 1 2 3 6 9 18
El mayor divisor común: MCD (12; 18) = 6
Divisores de 6: 1; 2; 3; 6
Mínimo común múltiplo (MCM)
El MCM de dos o más números es el menor múltiplo 
común de dichos números. Todos los múltiplos 
comunes son también múltiplos de sus MCM.
Ejemplo:
De los múltiplos de 12 y 18, tenemos:
°12 → 12 24 36 48 60 72 84 96 108 …
°18→ 18 36 54 72 90 108 …
El menor múltiplo común: MCM (12; 18) = 36
Múltiplos de 36: 36; 72; 108 …
Métodos para calcular el MCD y el MCM
1. Por descomposición simultánea
 Ejemplo:
 
120 –150 – 180
2. Por descomposición individual
 Ejemplo:
 A = 1440
 B = 2040
Propiedades
1. Si se tienen 2 números, de los cuales uno contiene al 
otro, su MCD será el menor y su MCM, el mayor.
 Ejemplo:
 Dados los números 24 y 72.
 MCD (24; 72) = 24 (el menor)
 MCM (24; 72) = 72 (el mayor)
2. Si se tienen 2 números que son primos entre sí 
(PESI), su MCD es la unidad y su MCM, el pro-
ducto.
 Ejemplo:
 Dados los números 14 y 15, que son PESI.
 MCD (14; 15) = 1
 MCD (14; 15) = 14 ⋅ 15 = 210
3. Solo para dos números se cumple: «El producto 
de los 2 números es igual al producto de su MCD 
por su MCM».
 Ejemplo:
 Dados los números 40 y 24.
 MCD (40; 24) = 8
 MCD (40; 24) = 120
 MCD ⋅ MCM = 8 × 120 = 960
 A ⋅ B = 40 × 24 = 960.
4. Si dos o más números se dividen entre su MCD, 
se obtienen cocientes exactos que son PESI.
 Si MCD (A, B) = m
 Luego, A
m
 = q1 y 
B
m
 = q2
 Donde q1 y q2 son PESI.
 Además: A = mq1 B = mq2 
Recuerda
Dos números consecutivos siempre son 
PESI, por lo tanto, su MCD es igual a uno 
y su MCM es el producto de los mismos.
5TO AÑO
100
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula el MCM y MCD de 72; 320 y 400. Da 
como respuesta la suma de estos valores.
2. Calcula el MCM y MCD por descomposición in-
dividual de 64 y 144. Da como respuesta la suma 
de sus mayores exponentes.
3. Si el MCM de 120 y 360 es «a», entonces el MCD 
de 80; 124 y «a» es:
PUCP
4. Si el máximo común divisor de 5n y 7n es 88, 
entonces el mínimo común múltiplo de n–7 y 
n+12 es:
 PUCP 2013-II
Resolución:
 
5n – 7n n
5n – 7
 MCD (5n; 7n) = n = 88 ← Dato
 Y n–7 = 88–7 = 9
 Y n+12 = 88+12 = 10
 → MCM (9; 10) = 9 × 10 = 90
5. Si el máximo común divisor de 3n y 7n es 54; en-
tonces, el mínimo común múltiplo de n+10 y 
n–5 es:
6. Si el MCM(3x; 5y) = 180 y el MCD(21x; 35y) = 
140, calcula (x – y) si x + y = 32.
7. El producto de dos números es 1764 y su MCD, 
7. ¿Cuántos pares de números cumplen con dicha 
condición?
UNMSM
8. El valor de una fracción no cambia si le añadimos 
simultáneamente 16 al numerador y 24 al deno-
minador. Si el MCD de los términos de la fracción 
es 17, halla la suma de los términos de la fracción.
 UNMSM 2013-I
Resolución:
 Fracción: a/b
 ab = 
a + 16
b + 24
 a(b + 24) = b(a + 16)
 ab + 24a = ba + 16b
 ab = 
2k
3k
 
2k – 3k k
 2 – 3 MCD = k = 17
 a = 2 × 17 = 34
 b = 3 × 17 = 51
 ∴ a + b = 34 + 51 = 85
9. El valor de una fracción no cambia si le añadimos 
simultáneamente 26 al numerador y 18 al deno-
minador. Si el MCD de los términos de la fracción 
inicial es 10, halla la suma de los términos de la 
fracción.
10. Si el MCD de 12M y 18M es 72, calcula el produc-
to del MCM y MCD de 3M y 5M.
11. Si el producto de dos números es 864 y su MCM 
es 72, ¿cuánto es la suma de estos números?
UNI
12. El mínimo común múltiplo de dos números dis-
tintos es al máximo común divisor de ellos como 
35 es a 1. Si el número mayor es 3017, determina 
la suma de cifras del número menor.
 UNI 2011-II
Resolución:
 Dados los números «ak» y «bk»
 a⋅b⋅k
k
 = 35
1
 a × b = 35
 ↓ ↓
 7 5
 Número mayor = 7k
 Número menor = 5k
 7k = 3017
 K = 431
 Número menor = 5(431) = 2155
 Suma de cifras
 ∴ 2 + 1 + 5 + 5 = 13
13. El mínimo común múltiplo de dos números dis-
tintos es al máximo común divisor de ellos como 
33 es a 1. Si el número mayor es 1683, determina 
la suma de cifras del número menor.
14. La suma de los cuadrados de dos números ente-
ros es 232. Si uno de ellos es igual a 7 veces su 
MCD, determina la diferencia de los números.
101
 ARITMÉTICA
16. Calcula el MCD y MCM de 20; 100 y 160. Da 
como respuesta la suma de estos valores.
a) 900 c) 800 e) 840
b) 820 d) 860
17. Calcula el MCM y MCD por descomposición ca-
nónica de 175; 140 y 245. Da como respuesta la 
suma de sus mayores exponentes.
a) 2 c) 6 e) 7
b) 4 d) 3
18. Si el MCD de 202 y 142 es «a», entonces el MCD 
de 96; a4 y 104 es:
a) 7 c) 4 e) 16
b) 10 d) 8
19. Si se sabe que MCD de 6k2; 9k3 y 15k4 es 147, halla 
k3.
a) 343 c) 729 e) 125
b) 1331 d) 64
20. Si el MCD(10a; 6b) = 30 y el MCM(20a; 12b) = 
160, calcula a – b si a + b = 13.
a) 8 c) 5 e) 3
b) 7 d) 4
21. El producto de dos números es 576 y su MCD es 
4. ¿Cuántos pares de números cumplen con dicha 
condición?
a) 3 c) 2 e) 1
b) 4 d) 5
Sigo practicando
5TO AÑO
102
Esquema formulario
22. Halla «x», sabiendo que MCD(210x; 300x y 240x) 
= 1200.
a) 15 c) 90 e) 40
b) 30 d) 6
23. El MCD de 2 números es 19 y uno de ellos es el 
séxtuplo del otro. Calcula el mayor de los núme-
ros.
a) 114 c) 57 e) 152
b) 19 d) 63
 Z Si A y B son PESI
 MCD(A, B) = 1
 MCM(A, B) = A ⋅ B
 Z Si A = °B
 MCD(A, B) = B
 MCM(A, B) = A
 Z Si MCD(A, B, C) = k
 ⇒ MCD(nA, nB, nC) = nk
 MCD 
A
n ; 
B
n ; 
C
n = 
k
n
 MCD(An, Bn, Cn) = kn
 MCD An ; Bn ; Cn = Kn
 Igual ocurre con el MCM.
16. B
17. C
18. D
19. A
20. E
21. C
22. E
23. A
24. D
25. D
Claves
24. El MCD de «9b» y «15b» es 27. Calcula el produc-
to del MCM y MCD de «7b» y «2b».
a) 126 c) 1251 e) 1800
b) 729 d) 1134
25. El producto de 2 números es 1400 y su MCM es 
280. ¿Cuánto es la suma de estos números?
a) 60 c) 65 e) 80
b) 70 d) 75
103
 ARITMÉTICA
Integral
1. Calcula el MCM y MCD de 30; 60 y 180. Da como 
respuesta la suma de estos valores.
a) 240 c) 250 e) 260
b) 200 d) 210
2. Calcula el MCM y MCD por descomposición in-
dividual de 122 y 220. Da como respuesta la suma 
de sus mayores exponentes.
a) 3 c) 5 e) 8
b) 12 d) 6
3. Si el MCD de 63; 90 y 108 es «a», entonces el 
MCD de 180; 900 y 4a es:
a) 63 c) 36 e) 54
b) 99 d) 117
4. El MCD de «3a» y «8b» es 40. Calcula el MCD de 
«51a»y «136b».
a) 340 c) 520 e) 680
b) 280 d) 490
PUCP
5. El MCM(4x; 3y) = 100 y el MCD(8x; 6y) = 60.
 Calcula «x – y» si «x + y» = 35.
a) 15 c) 25 e) 18
b) 10 d) 12
6. El producto de dos números es 1232 y su MCD, 
4. ¿Cuántos pares de números cumplen con dicha 
condición?
a) 0 c) 2 e) 4
b) 1 d) 3
Tarea
7. La parte entera y decimal de un número son como 
4 es a 6 y el MCD de ambas partes es 18. Calcula 
la suma de cifras del número decimal original.
a) 20 c) 15 e) 23
b) 13 d) 18 
8. Calcula el MCD(A, B) por el MCM(B, C).
 A = 23 × 5
 B = 2 × 52
 C = 3 × 5
a) 1500 c) 1250 e) 1350
b) 1000 d) 1600
UNMSM
9. Si el MCD de 16N y 12N es 64, calcula el produc-
to del MCM y MCD de 5N y 7N.
a) 8960 c) 9068 e) 7405
b) 7690 d) 8502
10. El producto de dos números es 1152 y su MCM, 
288. ¿Cuánto es la suma de estos números?
a) 70 c) 68 e) 60
b) 64 d) 72
11. El MCD de 2 números es 11 y la suma de los mis-
mos, 242. ¿Cuántos números hay que cumplen 
dicha condición?
a) 3 c) 4 e) 1
b) 2 d) 5
12. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 
143; 153 y 133?
a) 2 c) 0 e) 1
b) 5 d) 3
5TO AÑO
104
UNI
13. El mínimo común múltiplo de dos números dis-
tintos es al máximo común divisor de ellos como 
21 es a 1. Si el número mayor es 140, determina la 
suma de cifras del número menor.
a) 7 c) 10 e) 6
b) 3 d) 12
14. La suma de los cuadrados de dos números ente-
ros es 1962. Si uno de ellos es igual a 13 veces su 
MCD, determina la diferencia de los números.
a) 18 c) 35 e) 11
b) 20 d) 27
15. La MCD de la edad de 2 hermanos es 2. Si dentro 
de 6 años sus edades sumarán 46, calcula la dife-
rencia de las edades actuales, si además el mayor 
tiene 20 años.
a) 5 c) 8 e) 9
b) 7 d) 6
Claves
01. D
02. A
03. C
04. E
05. A
11. B
12. E
13. E
14. A
15. D
06. C
07. D
08. A
09. A
10. C
105
 ARITMÉTICA
MCM y MCD II
Divisores 
Trabajando en clase
Están contenidos
Ejemplo:
Propiedad:
N = div a
N = div b N = div MCD(a, b, c)
N = div c
Múltiplos Contienen
Ejemplo:
Propiedad
N = °a
N = °b N = °MCM (a, b, c)
N = °c
10 10 10
a                  
a = °10
a a a
100                  
a = div 100










Integral
1. Ricardo es visitado por sus sobrinas de la siguien-
te forma: Ivonne lo visita cada 10 días; María, 
cada 15 días; y Pamela, cada 18 días. Si hoy Ricar-
do recibió la visita de las tres, ¿dentro de cuántos 
días volverán a coincidir las tres en visitarlo?
2. Naomi tiene tres trozos de cinta cuyas longitudes 
son: 78 cm, 90 cm y 96 cm. Si quiere cortarlos en 
pequeños pedazos, ¿cuál es la mayor longitud po-
sible de estos pedazos?
3. Si cuento a los amigos que tengo en el Facebook 
de 5 en 5, de 6 en 6 o de 8 en 8, formo un número 
exacto de grupos. Si tengo menos de 150 amigos, 
¿cuántos amigos como máximo tengo?
PUCP
4. Queremos construir una alfombra de 1400 cm de 
largo y 770 cm de ancho con paños cuadrados. 
¿Cuánto medirá el lado de cada paño y cuántos 
paños habrá que utilizar en total?
 PUCP 2013-II
Resolución:
 La medida del lado del paño es menor que los da-
tos, por lo tanto se debe hallar el MCD.
 
1400 – 770 10
 140 – 77 7
 20 – 11
 MCD = 70
 Lado del paño: 70 cm.
5TO AÑO
106
 Número de paños
 1400
70
 × 770
70
 = 20 × 11 = 220
 ∴ se necesitarán 220 paños.
5. Queremos construir una alfombra de 1200 cm de 
largo y 800 cm de ancho con paños cuadrados. 
¿Cuánto medirá el lado de cada paño y cuántos 
paños tendré que utilizar en total?
6. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de 72; 108; 
144 y 180 galones respectivamente, ¿cuál es la 
máxima capacidad entera del recipiente que se 
puede usar para llenarlos exactamente?
7. Tres líneas de transporte de la empresa «Santa 
Cruz» pasan cada 6; 8 y 10 minutos por cierto pa-
radero. Si un día pasaron las tres al mismo tiempo 
por dicho paradero, ¿dentro de cuántos minutos 
volverán a pasar juntas por el mismo paradero?
UNMSM
8. Se desea formar un cubo compacto con ladrillos 
cuyas dimensiones son 20 cm; 15 cm y 10 cm. 
¿Cuántos ladrillos son necesarios para formar el 
cubo más pequeño posible?
 UNMSM 2013-II
Resolución:
 La dimensión de la arista del cubo a formar es 
mayor que los datos, por lo tanto se debe hallar el 
MCM.
 
20 – 15 – 10 5
 4 – 3 – 2 2
 2 – 3 – 1 2
 1 – 3 – 1 3
 1 – 1 –
 MCM = 5 × 2 × 2 × 3 = 60
 La arista del cubo a formar es 60 cm.
 Número de ladrillos
 60
20
 × 60
15
 × 60
10
 = 3 × 4 × 6 = 72
 ∴ se necesitarán 72 ladrillos.
9. Se desea formar un cubo compacto con ladrillos 
cuyas dimensiones son 16 cm; 12 cm y 24 cm. 
¿Cuántos ladrillos son necesarios para formar el 
cubo más pequeño posible?
10. Un padre da a uno de sus hijos 60 soles, a otro, 75 
y a otro, 90, con la finalidad de repartirlos entre los 
pobres, de modo que todos den a cada pobre la mis-
ma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad entera que 
podrían dar a cada pobre y cuántos son los pobres 
socorridos, de manera que no les sobre dinero?
11. El número de páginas de un libro está compren-
dido entre 600 y 800. Calcula este número, sa-
biendo que si se cuentan de 5 en 5, sobran 2; de 7 
en 7, quedan 4; y de 11 en 11, sobran 8.
UNI
12. La municipalidad de Lince busca mejorar la or-
namentación de sus dos avenidas principales, de 
2520 m y 2000 m, colocando murales equidis-
tantes entre sí, de tal forma que haya un mural al 
inicio y otro al final de cada avenida. Se sabe que 
para la colocación de cada mural se necesitan al 
menos tres trabajadores, quienes percibirán S/.50 
cada uno. Calcula la cantidad mínima de trabaja-
dores que debe contratar la municipalidad para 
este trabajo.
 UNI 2012-I
Resolución:
 La distancia entre cada mural es un divisor co-
mún de las distancias de las dos avenidas.
 
2520 – 2000 10
 252 – 200 4
 83 – 50
 MCD = 40
 El número total de murales 
 
2520
40
+ 1 + 
2000
40
+ 1 = 113
 Número de trabajadores es: 113 × 3 = 339
13. La municipalidad de San Juan de Lurigancho bus-
ca mejorar la ornamentación de sus dos avenidas 
principales, de 1850 m y 1550 m, colocando mu-
rales equidistantes entre sí de tal forma que haya 
un mural al inicio y otro al final de cada avenida. 
Se sabe que para la colocación de cada mural se 
necesitan al menos cuatro trabajadores. Quienes 
percibirán S/.60 cada uno. Calcula la cantidad 
mínima de trabajadores que debe contratar la 
municipalidad para este trabajo.
14. Cuatro barcos de una empresa naviera salen al 
mismo tiempo del callao y se sabe que el primero 
de ellos tarda 25 días en regresar y permanecer 
anclado tres días; el segundo, 45 y 15 días; el ter-
cero, 32 y 3 días; y el cuarto, 60 y 10 días respecti-
vamente, ¿cada cuánto tiempo zarpan los cuatro 
barcos a la vez?
107
 ARITMÉTICA
16. Endira es visitada por sus amigos de la siguiente 
forma: Juana lo visita cada 12 días, Katiuska cada 
18 días y Amanda cada 8 días. Si hoy Endira re-
cibió la visita de las tres, ¿dentro de cuántos días 
volverán a coincidir las tres en visitarla?
a) 72 c) 70 e) 88
b) 84 d) 80
17. Orlando tiene tres trozos de madera cuyas lon-
gitudes son: 200 cm; 140 cm y 350 cm. Si quiere 
cortarlos en pequeños pedazos iguales, ¿cuál es la 
mayor longitud posible de estos pedazos?
a) 13 c) 18 e) 10
b) 8 d) 16
18. Un cerrajero, al contar las llaves que tiene, se per-
cata de que si cuenta de 3 en 3, de 5 en 5 o de 7 
en 7, forma un número exacto de grupos. Si tiene 
menos de 200 llaves, ¿cuántas llaves como máxi-
mo tendrá?
a) 130 c) 105 e) 160
b) 100 d) 140
19. ¿Cuánto mide la arista del menor cubo que puede 
formarse con bloques de dimensiones de 2 cm; 3 
cm y 4 cm?
a) 24 cm c) 20 cm e) 12 cm
b) 16 cm d) 8 cm
20. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de 64; 104; 
124 y 132 galones respectivamente, ¿cuál es la 
máxima capacidad entera del recipiente que se 
puede usar para llenarlos exactamente?
a) 5 l c) 13 l e) 4 l
b) 10 l d) 8 l
21. Tres líneas de transporte de la empresa «Santa 
Claus» pasan cada 5; 9 y 12 minutos por ciertopa-
radero. Si un día pasaron las tres al mismo tiempo 
por dicho paradero, ¿dentro de cuántos minutos 
volverán a pasar juntas por el mismo paradero?
a) 180 c) 204 e) 200
b) 110 d) 120
Sigo practicando
5TO AÑO
108
Esquema formulario
22. En un galpón de pollos se contaron entre 1100 y 
1300 pollos. Si se forman grupos de 9; 15 y 12, se 
sabe que faltarían 2; 8 y 5 pollos respectivamente. 
¿Cuántos pollos hay en el galpón?
a) 1304 c) 1230 e) 1328
b) 1250 d) 1267
23. En una fábrica se empacan perfumes en cajas de 
81 cm de largo, 72 cm de ancho y 18 cm de alto. 
¿Cuánto mide la arista de las cajas de perfumes si 
son todas iguales y la mayor posible? y ¿cuántos 
perfumes entrarían en cada caja?
a) 8 cm y 150 d) 9 cm y 144
b) 11 cm y 120 e) 6 cm y 180
c) 12 cm y 100
24. Un padre da a uno de sus hijos 100 soles; a otro, 
75; y a otro, 125, con la finalidad de repartirlos entre 
los pobres, de modo que todos den a cada pobre la 
misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad ente-
ra que podrían dar a cada pobre y cuántos son los 
pobres socorridos, de tal manera que no les sobre 
dinero?
a) S/.12 y 30 d) S/.18 y 26
b) S/.15 y 20 e) S/.25 y 12
c) S/.12 y 18
25. El número de páginas de un libro está compren-
dido entre 200 y 400. Calcula este número, sa-
biendo que si se cuentan de 4 en 4, sobran 2; de 5 
en 5, quedan 3; y de 7 en 7, sobran 5.
a) 248 c) 278 e) 268
b) 258 d) 238
Si
N = div A
N = div B N = div MCD(A, B, C)
N = div C





Si
N = °A
N = °B N = MCD(A, B, C)
N = °C 





°
16. A
17. E
18. C
19. E
20. E
21. A
22. D
23. D
24. E
25. C
Claves
109
 ARITMÉTICA
Integral
1. Luisa es visitada por sus amigas de la siguien-
te forma: Juliana la visita cada 8 días, Francesca 
cada 12 días y Andrea cada 16 días. Si hoy Luisa 
recibió la visita de las tres, ¿dentro de cuántos días 
volverán a coincidir las tres en visitarla?
a) 36 días c) 48 días e) 28 días
b) 30 días d) 42 días
2. Fernando tiene tres trozos de madera cuyas lon-
gitudes son: 100 cm, 120 cm y 80 cm. Si quiere 
cortarlos en pequeños pedazos iguales, ¿cuál es la 
mayor longitud posible de estos pedazos?
a) 30 cm c) 28 cm e) 23 cm
b) 25 cm d) 20 cm
3. Si cuento las estampillas que tengo de 4 en 4, de 7 
en 7 o de 9 en 9, formo un número exacto de gru-
pos. Si tengo menos de 300 estampillas, ¿cuántas 
estampillas como máximo tendré?
a) 270 c) 265 e) 296
b) 252 d) 284
4. Un terreno de forma rectangular cuyo lados mi-
den 144 m y 252 m está sembrado con árboles 
equidistantes y separados lo más posible. Si se ob-
serva que hay un árbol en cada vértice y uno en el 
centro del terreno, ¿cuántos árboles hay en total?
a) 20 c) 24 e) 22
b) 15 d) 23
PUCP
5. Si tenemos que llenar cuatro toneladas de vino de 
64; 96; 112 y 160 galones respectivamente, ¿cuál 
es la máxima capacidad entera del recipiente que 
se puede usar para llenarlos exactamente?
a) 14 l c) 22 l e) 16 l
b) 20 l d) 18 l
6. Tres líneas de transporte de la empresa «El Co-
rrecaminos» pasan cada 12; 6 y 14 minutos por 
cierto paradero. Si un día pasaron tres al mismo 
tiempo por dicho paradero, ¿dentro de cuántos 
minutos volverán a pasar juntas por el mismo pa-
radero?
a) 84 min c) 98 min e) 94 min
b) 70 min d) 90 min
7. En el contrato de un empleado se estipula que él 
debe trabajar 5 días seguidos y descansar el sexto. 
Si empieza a trabajar un día martes, ¿cuántos días 
deberá trabajar para que le toque descansar un 
domingo?
a) 63 c) 42 e) 49
b) 56 d) 35
8. Con barras de jabón de lavar cuyas dimensiones 
son 30; 24 y 16 cm, se quiere formar un cubo 
compacto. ¿Cuál es el menor número de jabones 
que se necesitan?
a) 1120 c) 1300 e) 1260
b) 1200 d) 1250
UNMSM
9. Un padre da a uno de sus hijos 80 soles; a otro, 90; 
y a otro, 100, para repartirlos entre los pobres, de 
modo que todos den a cada pobre la misma canti-
dad. ¿Cuál es la mayor cantidad entera que podrían 
dar a cada pobre y cuántos son los pobres socorri-
dos, de tal manera que no les sobre dinero?
a) S/.9 y 22 d) S/.12 y 20
b) S/.8 y 27 e) S/.6 y 24
c) S/.10 y 27
Tarea
5TO AÑO
110
10. El número de páginas de un libro está compren-
dido entre 700 y 900. Calcula este número, sa-
biendo que si se cuentan de 7 en 7, sobran 4; de 9 
en 9, quedan 6; y de 13 en 13, sobran 10.
a) 816 c) 839 e) 796
b) 856 d) 819
11. Un corredor cubre las distancias de 780 cm; 900 
cm y 1200 cm, dando un número exacto de paso; 
¿cuál es la mayor longitud posible de cada paso?
a) 54 cm c) 66 cm e) 48 cm
b) 60 cm d) 36 cm
12. Un coleccionista cuenta las monedas que tiene 
por decenas, docenas y quincenas y en cada caso 
le sobran siempre 7 monedas. Si su colección tie-
ne entre 50 y 70 monedas, ¿cuántas monedas te-
nía el coleccionista?
a) 60 c) 58 e) 56
b) 54 d) 67
UNI
13. La municipalidad de Magdalena busca mejorar la 
ornamentación de sus dos avenidas principales, 
de 3525 m y 2825 m, colocando murales equidis-
tantes entre sí, de tal forma que haya un mural al 
inicio y otro al final de cada avenida. Se sabe que 
para la colocación de cada mural se necesitan, al 
menos, 2 trabajadores, quienes percibirán S/.50 
cada uno. Calcula la cantidad mínima de traba-
jadores que debe contratar la municipalidad para 
este trabajo.
a) 465 c) 512 e) 328
b) 275 d) 624
14. Cuatro barcos de una empresa naviera salen al 
mismo tiempo del Callao, y se sabe que el prime-
ro de ellos tarda 18 días en regresar y permanece 
anclado 2 días; el segundo, 36 y 4 días; el tercero, 
27 y 3 días; y el cuatro, 45 y 6 días, respectivamen-
te. ¿Cada cuánto tiempo zarpan los cuatro barcos 
a la vez?
a) 2180 días d) 2048 días
b) 2232 días e) 2344 días
c) 2480 días
15. Un terreno rectangular cuyas dimensiones son 
528 m y 432 m debe de ser dividido en terrenos 
cuadrados iguales para poder cercarlos. Si se de-
sea el menor número posibles de áreas cuadradas, 
¿cuál es la longitud del lado de los cuadrados y 
cuántas estacas se necesitarían para cercarlos si 
son colocados en cada vértice.
a) 48 m y 100 d) 48 m y 120
b) 32 m y 120 e) 54 m y 140
c) 50 m y 80
Claves
01. C
02. D
03. B
04. D
05. E
11. B
12. D
13. C
14. D
15. D
06. A
07. C
08. B
09. C
10. A
111
 ARITMÉTICA
Números racionales (Q)
Fracción
Son aquellos números fraccionarios cuyos términos 
son positivos.
Ejemplos:
12
13; 
9
4 ; 
8
3 ; 
121
41
f: 94 
→ numerador
→ denominador 
a ≠ °b; a ∈ Z+; b ∈ Z+
Clasificación
Detallaremos las más importantes.
 Z Propia
 Cuando es menor que la unidad.
 
f: ab < 1 ; a < b
 Ejemplos:
 712 ; 
5
31 ; 
3
4
 Z Impropia
 Cuando es mayor que la unidad.
 
f: ab > 1 ; a > b
 Ejemplos: 
 43 ; 
9
5 ; 
220
17 
Importante
Toda fracción impropia se puede expresar como 
fracción mixta.
Ejemplo:
9
2 ⇒ 
9 2
1 4
∴ 92 = 4
1
2
 Z Irreductible
 Cuando sus términos son PESI.
 
f: ab ; a y b son PESI; MCD(a, b) = 1
 Ejemplos:
 87 ; 
15
49; 
13
24
 Z Reductible
 Cuando sus términos tienen más de un divisor 
común.
 
f: ab ; a y b no son PESI; MCD(a, b) ≠ 1
 Ejemplos:
 1620; 
4
8 ; 
6
18
 
Importante
 MCD a
b ; 
c
d ; 
e
f
 = MCD(a,b,c)
MCM(b,d,f)
 MCM a
b ; 
c
d ; 
e
f
 = MCD(a,c,e)
MCM(b,d,f)
Número decimal
Son aquellos números que resultan de dividir los 
términos de una fracción.
Ejemplos:
47
4 = 11, 75 
1
3 = 0,333...
 Z Decimal exacto
 Ejemplo:
 Y 0,24 = 24100 = 
6
25
 Y 1,25 = 125100 = 
5
4
5TO AÑO
112
 Z Decimal inexacto
 Y Decimal periódico puro
 Ejemplos:
 0,135 = 135999 = 
5
37 
 1, 24 = 124–199 = 
123
99 = 
41
33
 Y Decimal periódico mixto
 Ejemplos:
 0,4166... = 0,41 6 = 416–41900 = 
375
900 = 
5
12
 2,1 34 = 2134–21990 = 
2113
990
Trabajando en clase
Integral
1. ¿Cuál es la fracción que dividida por su inversa, 
da por cociente 841
1369
?
2. ¿Cuál es la fracción irreductible de denominador 
180 que está comprendido entre 1
9
 y 1
10
?
3. ¿Cuántas fracciones propias de la forma ab
75
 son 
irreductibles?
PUCP
4. Un caño A puede llenar un depósito en 4 h; un 
caño B lo puede hacer en 6 h y otro caño C, en 8 
h. Si se abren loscaños A y B durante 1 h, luego se 
cierra el caño A y se abre el caño C hasta llenar el 
depósito, ¿cuánto tiempo se emplea en total para 
llenar el depósito?
 PUCP 2013-II
Resolución:
 c/hora llena
 Caño A: 4 h → 1/4
 Caño B: 6 h → 1/6
 Caño C: 8h → 1/8
 Caños A y B en 1 hora:
 14 + 
1
6 = 
5
12
 Caños B y C en «x» horas:
 16 + 
1
8 = 
7
24
 ⇒ 5
12
 ⋅ 1 + 5
12
 ⋅ x = 1 ← «tanque lleno»
 10 + 7x = 24
 x = 2
 ∴ total = 1 + 2 = 3 h.
5. Un caño A puede llenar un caño en 8 h, un caño 
B lo puede hacer en 4 h y otro caño C, en 6 h. Si 
se abren los caños A y C durante 2 h, luego se cie-
rra A y se abre B hasta llenar el depósito, ¿cuánto 
tiempo se emplea en total para llenar el depósito?
6. ¿Cuántos números enteros mayores que 25 cum-
plen con la condición de que dos más la quinta 
parte del número sea mayor que la cuarta parte 
de dicho número?
 PUCP 2010-II
7. Si a una cierta fracción le sumamos 1, tanto al 
numerador como al denominador, se obtiene la 
fracción 4/7; restando 1, tanto al denominador 
como al numerador, se forma la fracción 5/9. 
¿Cuál es la fracción?
 PUCP 2013-II
UNMSM
8. ¿Cuántas fracciones propias, comprendidas entre 
18/23 y 77/83, son tales que sus términos son pa-
res consecutivos?
Resolución:
 Sea la fracción de la forma: f = n
n+2
 1823 < 
n
n+2
 < 7783
 Por la izquierda:
 18n + 36 < 23n
 7,2 < n
 Por la derecha:
 83n < 77n + 154
 6n < 154
 n < 25,6
113
 ARITMÉTICA
 Luego: 7,2 < n < 25,6
 n(par) = °2 → 8; 10; 12; …; 24
           
 9 valores
 ∴ hay 9 fracciones
9. ¿Cuántas fracciones propias irreductibles, com-
prendidas entre 3/5 y 4/5, son tales que la diferen-
cia de sus términos es 8?
10. Sean «a, b» enteros positivos que satisfacen:
 a11 + 
b
3 = 0,969696...
 halla «a + b».
 UNMSM 2012-II
11. Tres reglas de un metro de longitud cada una, es-
tán uniformemente graduadas cada 8/15; 20/33 y 
22/9 mm respectivamente. Si se les hace coincidir 
por primera vez en la marca cero, ¿a qué distancia 
de la marca cero coincidirán sus marcas por sép-
tima vez?
 UNMSM 2011-I
UNI
12. El intervalo [1/4; 1/2] es dividido en 5 intervalos 
iguales más pequeños, y la fracción irreductible 
P se encuentra en el punto medio del segundo de 
estos. Halla la suma del numerador y denomina-
dor de P.
 UNI 2010-II
Resolución:
 
2x 2x 2x 2x 2x
1/4 1/2P
 2 = 1/2–1/4
5
 → x = 140
 P = 14 + 3x = 
1
4 + 3 
1
40 
 P = 1340
 ∴ 13 + 40 = 53.
13. El intervalo [1/6; 1/3] es dividido en 6 intervalos 
iguales más pequeños, y la fracción irreductible 
«f» se encuentra en el punto medio del segundo 
de estos. Halla la diferencia de sus términos de 
dicha fracción.
14. Ana, Bertha y Claudia pueden hacer una obra en 
10; 8 y 5 horas respectivamente. Si ellas realizaron 
7/8 de la obra anterior del siguiente modo: prime-
ro Ana trabajó sola durante 1 1/2 horas, luego se 
le unió Bertha por 2 1/2 horas y, finalmente, Ana 
fue reemplazada por Claudia hasta cumplir el tra-
bajo. ¿En cuántas horas realizaron dicho trabajo?
NÚMEROS RACIONALES
FRACCIONES DECIMALES 
 Z Propia
 f: a
b
; a < b
 Z Impropia
 f: a
b
; a > b
 Z Irreductible
 f: a
b
; a y b son PESI
 Z Reductible
 f: a
b
; MCD(a, b) ≠ 1
 Z Exacto
 Ej.: 7
10
 = 0,7
 
 Z Periódico puro
 Ej.: 131
9
 = 14, 5
 Z Periódico mixto
 Ej.: 4
15
 = 0,2 6
Esquema formulario
5TO AÑO
114
16. ¿Cuál es la fracción que dividido por su inversa, 
da por cociente 529/729?
a) 19
27
 c) 17
29
 e) 17
19
b) 33
19
 d) 23
27
17. Cuál es la fracción irreductible de denominador 
121 que está comprendida entre 1/33 y 1/22?
a) 3
121
 c) 7
121
 e) 9
121
b) 5
121
 d) 8
121
18. ¿Cuántas fracciones propias de la forma xy
33
 son 
irreductibles?
a) 17 c) 19 e) 23
b) 18 d) 20
19. Si f = 0, 9 +0,12
0, 8 + 0, 1
 es una fracción irreductible, ha-
lla la suma de los dígitos del numerador.
a) 6 c) 9 e) 10
b) 8 d) 11
20. ¿Cuántos números enteros mayores que 27 y me-
nores que 200 cumplen con la condición de que 
2 más la sexta parte del número sea mayor que la 
quinta parte de dicho número?
a) 3 c) 4 e) 6
b) 2 d) 5
21. Si a una cierta fracción le sumamos 1, tanto al 
numerador como al denominador, se obtiene la 
fracción 3/8, y restando 1, tanto al denominador 
como al numerador, se forma la fracción 2/9. 
¿Cuál es la fracción?
a) 31
101
 c) 63
107
 e) 87
101
b) 17
89
 d) 21
19
Sigo practicando
115
 ARITMÉTICA
22. Si la fracción ab
ba
 es equivalente a 4/7, ¿qué frac-
ción es equivalente a b
a+b
?
a) 1
3
 c) 1
2
 e) 3
4
b) 2
3
 d) 4
5
23. Calcula el valor exacto de la siguiente operación:
 
(0,12312...)(3,666...)
6,777
a) 1
3
 c) 1
2
 e) 3
4
b) 2
3
 d) 4
5
24. Sean a, b enteros positivos que satisfacen:
 a
9
 + b
11
 = 0,474747... halla a × b
a) 5 c) 7 e) 8
b) 4 d) 6
25. Tres reglas de un metro de longitud cada una están 
uniformemente graduadas cada 8/14; 12/21 y 16/28, 
respectivamente. Si se les hace coincidir por primera 
vez en la marca cero, ¿a qué distancia de la marca 
cero coincidirán sus marcas por octava vez?
a) 48 cm c) 64 cm e) 72 cm
b) 52 cm d) 24 cm
16. D
17. B
18. D
19. E
20. C
21. A
22. B
23. B
24. B
25. A
Claves
5TO AÑO
116
Integral
1. ¿Cuál es la fracción que dividida por su inversa, 
da por cociente 361
729
?
a) 11
17
 c) 19
27
 e) 14
27
b) 13
23
 d) 17
13
2. ¿Cuál es la fracción irreductible de denominador 
120 que está comprendida entre 1/5 y 1/6?
a) 17
120
 c) 23
120
 e) 19
120
b) 7
60
 d) 29
60
3. ¿Cuántas fracciones propias de la forma: xy
85
 son 
irreductibles?
a) 20 c) 49 e) 72
b) 64 d) 84
4. Disminuyendo una misma cantidad a los dos térmi-
nos de la fracción propia a
b
, resulta la fracción b
a
. 
¿Cuál es aquella cantidad?
 (UNMSM 2011-I)
a) 3a + b c) a + b e) b – a
b) 2a + b d) a + 2b
PUCP
5. ¿Cuántos números enteros mayores que 27 y me-
nores que 100 cumplen con la condición de que 3 
más la cuarta parte del número sea mayor que la 
tercera parte de dicho número?
a) 7 c) 11 e) 9
b) 5 d) 10
6. Si a una fracción le sumamos 1, tanto al numera-
dor como al denominador, se obtiene la fracción 
3/5, y restando 1 a cada uno de sus términos, se 
forma la fracción 1/7. ¿Cuál es la fracción?
a) 5
4
 c) 5
11
 e) 6
11
b) 11
4
 d) 3
19
7. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles exis-
ten, de modo que la suma de sus términos sea 35? 
a) 12 c) 11 e) 17
b) 13 d) 16
8. Hallar el valor de 5.
 S = 1
1×4
 + 1
4×7
 + 1
7×10
 + ... + 1
28×31
a) 12
29
 c) 15
37
 e) 10
31
b) 13
41
 d) 16
33
UNMSM
9. Sean «a, b» enteros positivos que satisfacen:
 a
11
 + b
9
 = 0,494949... 
 halla «a + b»
a) 3 c) 8 e) 13
b) 5 d) 11
10. Tres reglas de un metro de longitud cada una es-
tán uniformemente graduadas cada 6/15; 18/24 y 
28/51 mm respectivamente. Si se les hace coinci-
dir por primera vez en la marca cero, ¿a qué dis-
tancia de la marca del cero coincidirán sus marcas 
por séptima vez?
a) 51,2 cm c) 49 cm e) 88 cm
b) 50,4 cm d) 82 cm
Tarea
117
 ARITMÉTICA
11. Dos grifos llenan una piscina en 4 y 10 horas res-
pectivamente, mientras que un desagüe puede 
vaciarla en 5 horas. Si a las 6 h 20 min se abren 
los dos grifos y recién a las 8 h 50 min se abre el 
desagüe, ¿a qué hora se llenará la piscina?
a) 9 h d) 10 h
b) 9h 20 min e) 10 h 20 min
c) 9 h 40 min
12. Determina cuántas fracciones equivalentes a 9/13 
existen, de modo que el numerador y denomina-
dor sean de tres y cuatro cifras respectivamente.
a) 35 c) 34 e) 32
b) 33 d) 36
UNI
13. A un alambre de 91 m de longitud se le da 3 cor-
tes, de manera que la longitud de cada trozo es 
igual a la del inmediato anterior aumentado en su 
mitad. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande?
a) 43,10 m d) 38,00 m
b) 25,20 m e) 40,30 m 
c) 37,80 m
14. José, Mateo y Pedro pueden hacer una obra en 6; 
8 y 10 días respectivamente. Si ellos realizan una 
obra del siguiente modo: primero José trabajó 
solo durante 1 ½ horas, luego se le unió Mateo 
por 2 ½ y, finalmente, José fue reemplazadopor 
Pedro hasta cumplir el trabajo. ¿En cuántas horas 
realizaron dicho trabajo?
a) 5 1/3 h d) 4 2/5 h
b) 4 1/18 h e) 7 2/3 h
c) 6 ½ h
15. Una bola de pimpón después de tocar una mesa 
de mármol por cuarta vez se eleva 1,50 cm. Se de-
sea saber desde qué altura se dejó caer, sabiendo 
que cada vez que rebota, se eleva hasta la tercera 
parte de la cual cayó.
a) 115,5 cm d) 121,5 cm
b) 110,5 cm e) 120,5 cm
c) 112,5 cm
Claves
01. C
02. C
03. B
04. C
05. B
11. E
12. A
13. C
14. B
15. D
06. C
07. A
08. E
09. B
10. B
5TO AÑO
118
Razones y proporciones
RAZONES
«Comparación de 2 cantidades».
Aritmética
a – b = RA
Geometría
a
b = RG
Donde:
a: antecedente
b: consecuente
Propiedades:
a
b = 
c
d = 
e
f = 
g
h = k
a + c + e + g
b + d + f + h = k
a ⋅ c ⋅ e ⋅ g
b ⋅ d ⋅ f ⋅ h = k
4
PROPORCIONES
«Igualdad de 2 o más razones»
ARITMÉTICA GEOMÉTRICA
Discreta a – b = c – d
a + d = b + c
suma
de
extremos
suma
de
medios
         
d: cuarta diferencial
a
b = 
c
d 
a ⋅ d = b ⋅ c
producto
de
extremos
producto
de
medios
     
d: cuarta proporcional
Continua
Donde:
a y d: Extremos
b y c: Medios
a – b = b – c 
a + c = 2b
semisuma
de
extremos
= medio
         
a + c
2 = b
c: tercera diferencial
b: media diferencial
a
b = 
b
c 
a ⋅ c = b2
a ⋅ c = b
raíz del 
producto
de
extremos
= medio
     
c: tercera proporcional
d: media proporcional
119
 ARITMÉTICA
Trabajando en clase
Integral
1. Dos números están en la relación de 4 a 7. Si su 
diferencia es 75, halla la suma.
2. La razón geométrica de 2 cantidades cuyo pro-
ducto es 96, vale 2/3. Calcula la razón aritmética 
de dichos números.
3. La edad de un padre y la de su hijo suman 36 años 
y su razón es de 7 a 2. ¿Cuál será la nueva razón 
dentro de 8 años?
PUCP
4. La razón de la suma con la diferencia de dos nú-
meros enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el núme-
ro mayor, si su producto es 64?
Resolución:
 Números = a y b
i. a + b
a – b =
5
3
k
k
 
 
a + b = 5k
a – b = 3k
 2a = 8k
a = 4k ∧ b = k
+
ii. a y b = 64
 (4k) (k) = 64
 k2 = 16
 k = 4
 ∴ mayor: a = 4(4)
 a = 16
 
5. La razón de la diferencia con la suma de 2 nú-
meros enteros y positivos es 3/7, y su producto es 
490. Calcula el menor.
6. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se au-
menta 175 a uno de ellos y 115 al otro, se obten-
drían cantidades iguales. ¿Cuál es el menor?
7. Cuando compro cuadernos me regalan un cua-
derno por cada docena, y cuando los vendo, rega-
lo 4 cuadernos por cada ciento. ¿Cuántos cuader-
nos debo comprar para vender 1000?
UNMSM
8. La razón geométrica entre «a» y «b» es 2/5, y la 
razón geométrica entre «b» y «c» es 3/4. Halla la 
razón geométrica entre «a» y «c».
Resolución:
i) a
b = 
2
5
 × 3
3
 = 615
 
b
c
 = 3
4
 × 5
5
 = 15
20
Homogeneizar:
ii) a
c
 = 6
20
 = 3
10 
9. La suma de 3 números es 1880; el primero es al 
segundo como 4 es a 5; el segundo es al tercero 
como 3 es a 4. ¿Cuál es el tercero?
10. Lo que cobra y gasta una persona semanalmente, 
suman S/.600, y están en la relación de 3 a 2. ¿En 
cuánto tiene que disminuir el gasto semanal, para 
que la relación sea de 5 a 3?
11. En una universidad, la relación de hombres a mu-
jeres es de 5 a 7, mientras que la relación de hom-
bres en ciencias y hombres en letras es de 8 a 3. 
¿Cuál es la relación entre los hombres en ciencias 
y el total de alumnos?
UNI
12. Si a cada uno de los tres términos diferentes de 
una proporción geométrica continua se le suma 
una misma cantidad, se obtiene: 15; 21 y 30. Halla 
la tercera proporcional de dicha proporción.
Resolución:
 Sea la P.G.C.: a
b
 = b
c
i) 
a + x
b + x
=
=
15
21
a = 15 – x
b = 21 – x
c = 30 – xc + x = 30
 
ii) 15 – x21 – x
21 – x
30 – x= ; recuerda: 
a
b
 = c
d
 
 → a + ba – b
c + d
c – d=
5TO AÑO
120
 
(15–x) + (21–x)
(15–x) – (21 – x)
(21–x) + (30–x)
(21–x) – (30 – x)=
 
36 – 2x
–6
51 – 2x
–9=
 
36 – 2x
+2
51 – 2x
+3=
 3(36 – 2x) = 2(51 – 2x)
 108 – 6x = 102 – 4x
 6 = 2x
 3 = x
iii) La tercera proporcional = c = 30 – x
 c = 30 – 3
 c = 27
13. Si a cada uno de los números 15; 27; 51 y 81 se les 
añade una misma cantidad, formarían una pro-
porción geométrica. Halla la razón de esta pro-
porción.
14. En una serie de 4 razones geométricas continuas 
e iguales, el primer consecuente es al último con-
secuente como 1 es a 64. Calcula la suma de todos 
los antecedentes si la diferencia del primer y últi-
mo antecedente es 504.
Esquema formulario
Aritmética Geométrica
a – b = r
a
b = k
RAZÓN
PROPORCIÓN Aritmética Geométrica
Discreta
a – b = c – d
a + d = b + c
a
b = 
c
d
a ⋅ d = b ⋅ c
Continua
a – b = b – c
2b = a + b
b = a+c
2
a
b = 
c
d
b2 = a ⋅ c
b = a ⋅ c
121
 ARITMÉTICA
16. Los números A y B están en la misma relación 
que 6 y 13. Se sabe que su razón aritmética es 63. 
Calcula el menor.
a) 20 c) 54 e) 72
b) 36 d) 64
17. El producto de los números A y B, cuya razón es 
3/7, es 84. Calcula el mayor.
a) 10 c) 18 e) 32
b) 14 d) 24
18. La diferencia de las edades de Fiorella y Carlos es 
48, además se sabe que la razón de ambas edades 
es 5/11. Calcula la suma de dichas edades.
a) 120 c) 154 e) 182
b) 128 d) 162
19. Se sabe que 6 libros cuestan tanto como 4 agendas 
y, además, una agenda y un libro cuestan S/.50. 
¿Cuánto cuestan 2 agendas?
a) 45 c) 40 e) 55
b) 60 d) 30
20. Dos números están en la misma proporción que 
los números 4 y 7. Si se aumenta 60 a uno de ellos 
y 36 al otro, se obtendrían cantidades iguales. 
¿Cuál es el menor?
a) 72 c) 91 e) 128
b) 84 d) 116
21. Un comerciante compra vasos. Si por cada doce-
na se le rompe uno, y al venderlos por cada cien-
to, regala 10, ¿cuántos vasos debo comprar si en 
total se vendieron 400?
a) 200 c) 450 e) 600
b) 400 d) 480
Sigo practicando
5TO AÑO
122
22. Se sabe que 500 pobladores votaron 2 veces por 
una moción sin abstenerse. En la primera vota-
ción, por cada 2 votos a favor, había 3 en contra. 
En la segunda votación, por cada 7 votos a favor, 
hubo 3 en contra. ¿Cuál es la diferencia entre los 
votantes en contra de la primera y de la segunda 
votación?
a) 100 c) 150 e) 250
b) 120 d) 200
23. Se tiene una caja con canicas y pelotas. Si se sacan 
20 pelotas, la relación de las canicas y pelotas en la 
caja es de 7 a 3. Si enseguida se sacan 100 canicas, la 
relación es de 3 pelotas por cada 2 canicas. ¿Cuántas 
canicas y pelotas habían en total al inicio?
a) 200 c) 240 e) 320
b) 220 d) 180
24. Un balde contiene 120 canicas, de las cuales 80 
son verdes y las restantes amarillas. ¿Cuántas 
amarillas se deben retirar para que por cada 3 
amarillas existan 8 verdes?
a) 8 c) 12 e) 21
b) 10 d) 17
25. En una fiesta, el número de hombres es al de mu-
jeres como 7 es a 12. A las 4 de la mañana se reti-
ran un tercio de las mujeres y un séptimo de los 
hombres. ¿Cuál es la nueva relación del número 
de hombres y mujeres?
a) 6/7 c) 2/3 e) 3/4
b) 4/5 d) 5/3
16. C
17. B
18. B
19. B
20. E
21. D
22. C
23. B
24. B
25. E
Claves
123
 ARITMÉTICA
Tarea
Integral
1. Los números A y B están en la misma relación 
de 5 y 11. Si su razón aritmética es 42, calcula el 
mayor.
a) 21 c) 63 e) 84
b) 28 d) 77
2. El producto de 2 números cuya razón es 5/4 es 
180. Calcula el menor.
a) 12 c) 21 e) 36
b) 15 d) 28
3. La suma de las edades de Carlos y Jessica es 88, 
además se sabe que la razón de ambas edades 4/7. 
Calcula la razón aritmética de dichas edades.
a) 22 c) 24 e) 42
b) 18 d) 33
4. En una reunión hay 168 personas, siendo el nú-
mero de hombres al nuevo total de personas como 
3 es a 83. ¿Cuál será la relación entre el número de 
hombres y de mujeres si se retiran 33 mujeres?
a) 6/7 c) 7/8 e) 5/7
b) 8/9 d) 5/8
PUCP
5. Dos números están en la misma proporción que 
los números 2 y 5. Si se aumenta 75 a uno de ellos 
y 15 al otro, se obtendrían cantidades iguales. 
¿Cuál es el menor?a) 20 c) 45 e) 60
b) 40 d) 50
6. Un comerciante compra huevos. Si por cada de-
cena se le rompe uno, y al venderlos por cada 
ciento, regala 8, ¿cuántos huevos compró si en 
total se vendieron 500?
a) 200 c) 450 e) 600
b) 400 d) 550
7. En una lista, el número de hombres es al de muje-
res como 7 es a 8 y el número de niños es al total 
como 1 es a 6. ¿Cuál es la relación entre el número 
de hombres y el de niños?
a) 1 : 8 c) 2 : 14 e) 7 : 3
b) 2 : 5 d) 5 : 7
8. En un salón de clases, antes del recreo,el número 
de hombres es al número de mujeres como 9 es 
a 5. Si después del recreo hay 8 hombres y 4 mu-
jeres menos, con lo cual la razón de hombres a 
mujeres es 7/4, ¿cuántas mujeres había antes del 
recreo?
a) 10 c) 20 e) 30
b) 15 d) 25
UNMSM
9. Un ánfora contiene 80 bolas, de las cuales 60 son 
negras y las restantes, blancas. ¿Cuántas blancas 
se deben retirar para que por cada blanca existan 
4 negras?
a) 5 c) 15 e) 12
b) 10 d) 7
10. En una fiesta, el número de hombres es al de mu-
jeres como 5 es a 8. Si a las 2 de la mañana se re-
tiran un cuarto de las mujeres y un quinto de los 
hombres, ¿cuál es la nueva relación del número 
de hombres y mujeres?
a) 6/7 c) 2/3 e) 7/4
b) 4/5 d) 5/3
11. La suma, la diferencia y el producto de dos nú-
meros son entre sí como 3; 1 y 12. Calcula dichos 
números.
a) 4 y 8 d) 3 y 6
b) 6 y 12 e) 7 y 14
c) 5 y 10
5TO AÑO
124
12. Tres amigos, A, B y C, tienen respectivamente 17; 
14 y 11 panes, y se encuentran con otro amigo 
D, que no tiene panes, y los 4 comen en partes 
iguales. Si el amigo D paga S/.42, ¿cuánto le co-
rresponde al amigo A?
a) 18 c) 24 e) 30
b) 21 d) 28
UNI
13. Si a los números 15; 27; 51; 81 se les añade a todos 
una misma cantidad, formarían una proporción 
geométrica. Calcula dicha cantidad.
a) 6 c) 11 e) 18
b) 9 d) 14
14. En una serie de 3 razones geométricas equivalen-
tes y continuas, el primer antecedente es 1/27 del 
último consecuente. Si la diferencia entre el tercer 
antecedente y el primer consecuente es 24, calcula 
suma de antecedentes.
a) 160 c) 240 e) 320
b) 180 d) 280
15. En una proporción geométrica continua, el pro-
ducto de sus 4 términos es 1296 y la media pro-
porcional es el triple de la tercera proporcional. 
Calcula la diferencia de los extremos de dicha 
proporción.
a) 16 c) 20 e) 18
b) 14 d) 12
Claves
01. D
02. A
03. C
04. C
05. B
11. B
12. B
13. B
14. A
15. C
06. E
07. E
08. C
09. A
10. C
125
 ARITMÉTICA
Reparto proporcional
Definición
Consiste en repartir una cantidad en partes que 
mantengan relación de proporcionalidad con un 
grupo de números.
Clases de reparto
 Directo
 Z Reparto simple 
 Inverso
 Z Reparto compuesto
1. Reparto simple
 R. S. Directo
 
Ejemplo:
Reparte 495 DP a 2; 3 y 4, luego indica la mayor 
parte.
Resolución: 
495 ⇒
PARTES DP
A
B
C
2k
3k
4k








2k + 3k + 4k = 495
 9k = 495
 k = 55
 ∴ la parte mayor: 4(55) = 220
 R.S. Inverso
 
Ejemplo:
Reparte 3000 en cantidades IP a 7; 2 y 4, e indica 
la parte intermedia.
Resolución:
 
3000
PARTES IP
A
B
C
1/7 → 1
7
(28) = 4k
1/2 → 1
2
(28) = 14k
1/4 → 1
4
(28) = 7k








 



⇒ 4k + 14k + 7k = 3000
 25k = 3000
 k = 120
 ∴ la parte intermedia: 7(120) = 840
2. Reparto compuesto
 Es la combinación de dos o más repartos a la vez. 
Ejemplo:
Repartir 5200 en tres partes DP a las cantidades 4; 3 
y 5 e IP a los números 2; 3 y 7.
Resolución:
 
5200
PARTES DP IP
A
B
C
4
3
5
1
2
(42) = 21 → 4×21 = 84 = 14k
1
3
(42) = 14 → 3×14 = 42 = 7k
1
7
(42) = 6 → 5×6 = 30 = 5k








 



MCM(2; 3; 7) = 42
⇒ ahora: 14k + 7k + 5k = 5200
 26k = 5200
 k = 200
 ∴ las partes son:
 A = 14(200) = 2800
 B = 7(200) = 1400
 C = 5(200) = 1000
NOTA:
En los ejercicios que no se indique el tipo de 
proporcionalidad, asumiremos que esta es directa; 
salvo que nos brinden información suficiente como 
para concluir lo contrario.
Advertencia pre
En los exámenes de admisión de la 
UNMSM, se utiliza con frecuencia el 
reparto directo simple. En cambio, en la 
UNI, se utiliza el compuesto con números 
fraccionarios. Ten mucho cuidado en la 
resolución.
5TO AÑO
126
Trabajando en clase
Integral
1. Reparte 1500 DP a 4; 6 y 10, luego determina la 
cantidad mayor.
2. Reparte 260 en partes IP a 2; 4 y 3 e indica la parte 
intermedia.
3. Al repartir una cantidad en forma DP a 12; 20 y 
15 e IP a 4; 6 y 15, se observa que la diferencia 
entre la mayor y menor de las partes es 5600. De-
termina la parte intermedia.
PUCP
4. Reparte 70 proporcionalmente a 2; 3 y 5. Halla la 
mayor de las partes.
Resolución:
 
70 ⇒
PARTES DP
A
B
C
2k
3k
5k








2k + 3k + 5k = 70
 10k = 70
 k = 7
 ∴ la mayor parte es: 5(7) = 35
5. Reparte 460 proporcionalmente a 5; 7 y 11. Halla 
la mayor de las partes.
6. Reparte 7930 IP a 3; 4 y 7, luego determina la me-
nor parte.
7. Reparte 4500 proporcionalmente a 36; 60 y 84. 
Halla la menor de las partes.
UNMSM
8. Reparte 72 000 proporcionalmente a 50 , 72 y 
98 . Halla la parte intermedia.
Resolución:
 
72000
PARTES DP
A:
B:
C:
50 = 25 2 → 5k
72 = 36 2 → 6k
98 = 49 2 → 7k







 
 
K = 72000
18
 K = 4000
 ∴ La parte intermedia es: 6(4000) = 24 000
9. Reparte 56 000 en forma IP a 8 , 18 y 200. 
Halla la parte intermedia.
10. Si repartimos N DP a los números 32 y 50 , al 
mayor le toca 100. Calcula N.
11. Reparte S/.3936 entre 3 personas, de modo que la 
parte de la primera sea a la segunda como 7 es 6 y 
que la parte de la segunda sea a la tercera como 4 
es a 5. La parte intermedia es:
UNI
12. Se reparte una cantidad N directamente propor-
cional a 3; 5 y 2 e inversamente proporcional a 2; 
3 y 5. Si la diferencia entre la cantidad mayor y la 
intermedia es 10, determina la cantidad menor.
Resolución:
 
 N
 DP IP
3
5
2
1
2
(30) = 15 → 15×3 = 45k
1
3
(30) = 10 → 10×5 = 50k
1
5
(30) = 6 → 6×2 = 12k








 



MCM(2; 3; 5) = 30
 ⇒ 50k – 45k = 10
 5k = 10
 k = 2
 ∴ la parte menor es: 12(2) = 24.
13. Al repartir «N» proporcionalmente a 4; 6 y 15 e IP 
a 5; 2 y 10, la mayor parte es 3000. Calcula N.
14. Se reparte N entre tres personas DP a «a»; «a2» y 
«a3». Si lo que le toca al primero es a lo que le toca 
al segundo más el tercero como 1 es a 56, halla 
«a».
127
 ARITMÉTICA
16. Reparte 2400 proporcionalmente a 3; 4 y 8. Da 
como respuesta la parte intermedia.
a) 480 c) 640 e) 15
b) 160 d) 1280
17. Halla el mayor de tres números que sean inversa-
mente proporcionales a los números 2; 3 y 4 y que 
sumen 780.
a) 360 c) 180 e) 420
b) 240 d) 60
18. Reparte 7500 IP a 1; 2; 3 y 4. Da como respuesta la 
parte mayor.
a) 1200 c) 900 e) 300
b) 1800 d) 3600
19. Se reparte 2800 DP a 1; 3 y 5 e IP a 2; 3 y 6. Halla 
la parte menor.
a) 200 c) 1200 e) 400
b) 600 d) 1000
20. Reparte 1860 IP a 2; 4 y 9, luego calcula la parte 
intermedia.
a) 60 c) 108 e) 540
b) 240 d) 31
21. Reparte 720 proporcionalmente a 4; 6 y 8, halla la 
parte menor.
a) 80 c) 320 e) 400
b) 240 d) 160
Sigo practicando
5TO AÑO
128
22. Tres hermanos se reparten 333 soles, directamen-
te proporcional a las edades que poseen, las cua-
les son 10; 13 y 14 años. ¿El mayor cuánto recibe?
a) 90 c) 126 e) 9
b) 117 d) 37
23. Halla la parte mayor, si se reparten 900 propor-
cionalmente a 1/4; 1/2 y 3/2.
a) 400 c) 200 e) 800
b) 100 d) 600
24. Halla el menor de tres números que sumen 800 y 
que sean proporcionales a 12 , 27 y 75 .
a) 160 c) 240 e) 175
b) 400 d) 80
25. Reparte 275 entre 3 personas, de modo que la 
parte de la primera sea a la segunda como 3 es a 7 
y que la parte de la segunda sea a la tercera como 
2 es a 5. La parte intermedia es:
a) 30 c) 55 e) 70
b) 175 d) 35
Esquema formulario
 Directo
1. Reparto simple 
 Inverso
2. Reparto compuesto 
Combinación de dos o 
más repartos.
16. C
17. A
18. E
19. B
20. E
21. D22. C
23. D
24. B
25. E
Claves
129
 ARITMÉTICA
Tarea
Integral
1. Divide el número 354 DP a las cifras que forman 
dicho número, luego determina la parte mayor.
a) 88,5 c) 100 e) 29,5
b) 147,5 d) 118
2. Reparte 470 IP a los números 5/4, 1/2 y 3. Halla la 
parte menor.
a) 120 c) 50 e) 100
b) 300 d) 420
3. Alicia reparte 40 caramelos entre sus tres herma-
nos proporcionalmente al año de estudios que 
tiene en la escuela primaria, que son segundo, 
cuarto y quinto año, pero además inversamente 
proporcional a sus edades: 6; 8 y 10 años respecti-
vamente. ¿Cuánto recibe el de cuarto año?
a) 5 c) 15 e) 50
b) 10 d) 17
4. Reparte 2400 proporcionalmente a 3: 4 y 8. Halla 
la parte intermedia.
a) 640 c) 1280 e) 15
b) 480 d) 160
PUCP
5. Reparte 520 proporcional a 1; 3 y 4, luego indica 
la mayor parte.
a) 65 c) 260 e) 8
b) 195 d) 65
6. Calcula la menor parte que se obtiene al repartir 
1800 en partes IP a 1/2; 1/3 y 1/4.
a) 400 c) 600 e) 800
b) 500 d) 700
7. Calcula la suma de las dos menores partes que se 
obtiene al repartir 1350 en forma IP a 1/6; 1/7; 
1/4 y 1/8.
a) 54 c) 540 e) 324
b) 10 d) 25
8. Reparte 3500 DP a 210; 28 y 29, luego calcula la 
menor parte.
a) 500 c) 2000 e) 4
b) 1000 d) 7
UNMSM
9. Reparte 1200 DP a 8 , 18 , 50 e indica la 
suma de la parte mayor y la parte intermedia.
a) 120 c) 360 e) 960
b) 240 d) 840
10. Se reparten S/.2712 entre 3 personas, de modo 
que la parte de la primera es a la segunda como 
8 es a 5, y la parte de la segunda es a la tercera 
como 6 es a 7. ¿Qué diferencia hay entre la mayor 
y menor de las partes?
a) 24 c) 113 e) 48
b) 312 d) 18
11. Reparte 3720 en cantidades IP a 3n; 3n+2 y 3n+3. 
Halla la menor de las partes.
a) 3240 c) 360 e) 240
b) 2440 d) 120
12. El cuadrado de 4, el cubo de 3 y la raíz cuadrada 
de 625 son proporcionales a otros 3 números cuya 
suma es 816. Halla el mayor de dichos números.
a) 256 c) 324 e) 321
b) 300 d) 325
5TO AÑO
130
UNI
13. Se reparte una cantidad en cantidades DP a 5 y 8 y 
a la vez IP a 12 y 18; además se obtuvo que la parte 
menor resultó ser 9000. ¿Cuál fue la cantidad re-
partida?
a) 1860 d) 9300
b) 186 e) 930
c) 18 300
14. Una viuda debía repartirse la herencia de $13 400, 
que le dejó su esposo, con el bebé que esperaba. 
Si nacía niño, la madre y el hijo repartirían la he-
rencia proporcionalmente a 4 y 7, respectivamen-
te. Si nacía niña, la madre y su hija se repartirían 
proporcionalmente a 5 y 3, respectivamente. Si 
nacieron mellizos, un niño y una niña, ¿cuánto 
recibió la niña?
a) 200 c) 2400 e) 7000
b) 67 d) 400
15. Reparte el número 630 en partes proporcionales 
a «a», «b» y «c», sabiendo que «a + b + c = 18» y 
que «b» es la semisuma de «a» y «c». Halla el nú-
mero proporcional a «b».
a) 6 c) 210 e) 108
b) 18 d) 420
Claves
01. D
02. C
03. C
04. A
05. C
11. D
12. C
13. C
14. A
15. C
06. A
07. C
08. A
09. E
10. B
131
 ARITMÉTICA
Magnitudes proporcionales
Magnitud
Es todo aquello susceptible a ser medido, aumentando 
o disminuyendo sus valores.
Cantidad
Es la medida de un caso particular de la magnitud.
Ejemplo:
MAGNITUD
Temperatura
Peso
N.º de alumnos
CANTIDAD
37 ºC
4 kg
50
Relaciones entre Magnitudes
I. Magnitudes directamente proporcionales 
(DP)
 Y Se dice que 2 magnitudes son DP cuando el 
cociente de sus valores correspondientes es 
constante.
 Y Se observa que al aumentar o disminuir una 
de ellas, la otra también aumenta o disminuye 
respectivamente.
 Ejemplo:
 
Costo (S/.) S/.3 S/.6 S/.15 S/.21
N.º lápices 1 2 5 7
× 2
× 2
 Se observa lo siguiente:
 3
1
 = 6
2
 = 15
5
 = 21
7
 = 3
 Gráficamente
N.º de lápices
Costo
7
5
2
1
3 6 15 21
 La gráfica de 2 magnitudes DP resulta ser puntos 
sobre una línea recta.
A DP B → Valor de A
Valor de B
 = K
II. Magnitudes inversamente proporcionales 
(IP)
 Y Se dice que 2 magnitudes son IP cuando el 
producto de sus valores correspondientes es 
constante.
 Y Se observa que al aumentar o disminuir una 
de ellas, la otra disminuye o aumenta respec-
tivamente.
 Ejemplo:
N.º obreros 5 10 15 50
N.º de días 60 30 20 6
÷ 2
× 2
 Se observa lo siguiente:
 5 × 60 = 10 × 30 = 15 × 20 = 50 × 6 = 30
5TO AÑO
132
 Gráficamente 
N.º de días
N.º de obreros
60
30
20
6
5 10 15 50
La gráfica de 2 magnitudes IP resultan puntos sobre 
una hipérbola equilátera.
En general:
A IP B → (Valor de A)(valor de B) = k
Propiedades:
I. A DP B → B DP A
 A IP B → B IP A
II. A IP B → A DP 1
B
III. A DP B
 A DP C → A DP BCD
 A DP D
 ∴ A
BCD
 = k
IV. A DP B → An DP Bn
 A IP B → An IP Bn
Trabajando en clase
Integral
1. Se sabe que A es DP a B2 e IP a C. Si A = 2 
cuando B = 3 y C = 9, calcula A cuando B = 6 y 
C = 16.
2. Se tiene un sistema de engranaje de 4 ruedas (A, 
B, C y D), donde el número de dientes son entre 
sí como 5; 7; 8 y 10. Calcula cuántas vueltas da D, 
cuando A da 560 vueltas.
3. Si A y B son dos magnitudes inversamente pro-
porcionales y si A aumenta en sus 4/9, ¿cuánto 
disminuye B?
PUCP
4. Dos personas invierten cierta cantidad de dine-
ro en un negocio por cierto tiempo. La primera 
invirtió S/.30 000 durante 15 meses y la segunda, 
S/.20 000 durante 12 meses. Si la ganancia total 
fue de S/.34 500, ¿cuánto ganó la segunda?
 PUCP 2009-II
Resolución:
 
G1
30 000 × 15 = 
G2
20 000 × 12
 ⇒ G1
15
 = G2
8
 = k ⇒ 
34 500
23 = k
 k = 1500
 G2 = 8k = 12 000.
5. Dos personas invierten cierta cantidad de dine-
ro en un negocio por cierto tiempo. La primera 
invirtió S/.40 000 durante 12 meses y la segunda, 
S/.50 000 durante 9 meses. Si la ganancia total fue 
de S/.31 000, ¿cuánto ganó la primera?
6. El precio de un libro varía DP al número de pági-
nas e IP al número de ejemplares. Además, cuan-
do el número de ejemplares es 5000, el precio es 
de S/.9 y el número de páginas es 360. Halla el 
precio cuando los libros tienen 360 hojas y se im-
primen 3000 ejemplares.
133
 ARITMÉTICA
7. Si A y B son magnitudes proporcionales, calcula 
el valor de «a + b».
A
B
2
3
a
2 4 b
 
UNMSM
8. Se contrata un empleado por el tiempo de un 
año, acordando pagarle S/.700 más un televisor. 
Si al cumplir los 7 meses se le despide pagándo-
le S/.250 más un televisor, ¿cuál es el precio del 
televisor?
 Resolución:
 
Tiempo
Pago = k
 
12
700+T = 
7
250+T donde T: televisor
 ⇒ 3000 + 12T = 4900 + 7T
 ∴ T = S/.380
9. Se contrata un empleado por el tiempo de un año, 
acordando pagarle S/.900 más un PS3. Si al cum-
plir los 9 meses se le despide pagándole S/.600 
más el PS3, ¿cuál es el precio del PS3?
10. Se conoce por medio de la ley de Boyle que la 
presión es inversamente proporcional al volumen 
que contiene determinada cantidad de gas. ¿Cuál 
es la presión a la que está sometido un gas, si al 
aumentar dicha presión en 4 atmósferas, el volu-
men disminuye en un 20%?
11. Antonio recibe un sueldo que es DP al cubo de su 
edad. Si actualmente tiene 20 años, ¿cuántos años 
tendrá cuando su sueldo sea 27 veces el sueldo 
actual?
UNI
12. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale 
S/.55 000, si uno de 6 quilates cuesta S/.19 800 y 
el precio es proporcional al cuadrado de su peso?
 (un quilate = 0,25 gramos)
 Resolución:
 
P
w2 donde: P = precio, w = peso
 6 quilates pesan = 6 × 0,25 = 1,5 gr.
 
55000
w2 = 
19800
(1,5)2 → w2 = 6,25 gr
2
 w = 2,5 gr 
13. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale S/.15 
300, si uno de 10 quilartes cuesta S/.42 500 y el 
precio es proporcional al cuadrado de su peso?
 (un quilate = 0,25 gramos)
14. El precio de un diamante es DP al cuadrado de su 
peso. Si el diamante se divide en 3 , que son DP 
a 2; 5 y 8, y la diferencia en precios de la mayor y 
menor de las partes es S/.1280, determina el pre-
cio del diamante entero.
Esquema formulario
Magnitudes proporcionales
Si Mag. A es DP con Mag. B → Valor de A
Valor de B
 = Constante
Si Mg. A es IP con Mg. B → (Valor de A)(Valor de B) = Constante
Si Mag. A es DP con Mag. B
Si Mag. A es IP con Mag. C (Valor de A)(Valorde C)
(Valor de B)(Valor de D)
 = Constante
SI Mag. A es DP con Mag. D





5TO AÑO
134
16. Se sabe que A es DP con B2 e IP a C cuando A = 
4; B = 8 y C = 16. Halla A cuando B = 12 y C = 36.
a) 2 c) 6 e) 8
b) 6 d) 3
17. Se tiene un sistema de engranaje de 4 ruedas (P, 
Q, R y S) donde el número de dientes son entre 
sí como 4; 6; 7 y 9. Calcula cuántas vueltas da S 
cuando P da 720 vueltas.
a) 320 c) 360 e) 560
b) 480 d) 240
18. Si M y N son dos magnitudes inversamente pro-
porcionales, entonces si M aumenta en sus 2/7, 
¿cuánto disminuye N?
a) 2
7
 c) 7
9
 e) 2
9
b) 7
2
 d) 2
5
19. Se sabe que (x + 2) varía proporcionalmente con 
(y – 3). Además, cuando x = 10, entonces y = 19. 
Halla el valor de x si y = 31.
a) 21 c) 20 e) 18
b) 23 d) 19
20. El precio de un libro varía DP al número de pá-
ginas e IP al número de ejemplares. Si cuando el 
número de ejemplares es 8000, el precio es S/.15 y 
el número de páginas es 300, halla el precio cuan-
do los libros tienen 200 hojas y se imprimen 5000 
ejemplares.
a) 16 c) 36 e) 30
b) 32 d) 28
Sigo practicando
135
 ARITMÉTICA
21. Si P y Q son magnitudes proporcionales, calcula 
el valor de m + n.
P
Q
2
6
m
 3 4 n
a) 32 c) 24 e) 20
b) 16 d) 12
22. En un pueblo el precio del café varía en forma DP 
al precio de azúcar e IP al precio del té. ¿En qué 
porcentaje varía su precio cuando el precio del 
té disminuye en 20% y el del azúcar aumenta en 
20%?
a) 60% c) No varía e) 50%
b) 20% d) 30%
23. El gasto de una persona es DP a su sueldo, siendo 
el resto ahorrado. Si percibe un sueldo de S/.900 
y ahorra S/.90, ¿cuál será su sueldo cuando su 
gasto sea S/.1260?
a) S/.1600 c) S/.1200 e) S/.800
b) S/.1400 d) S/.1000
24. Se conoce por medio de la ley de Boyle que la 
presión es inversamente proporcional al volumen 
que contiene determinada cantidad de gas. ¿Cuál 
es la presión a la que está sometida un gas si al 
disminuir dicha presión en 5 atmósferas, el volu-
men aumenta en un 25%?
a) 18 atm c) 24 atm e) 25 atm
b) 20 atm d) 16 atm
25. Santiago recibe un sueldo que es DP al cubo de su 
edad. Si actualmente tiene 16 años, ¿cuántos años 
tendrá cuando su sueldo sea 8 veces el sueldo ac-
tual?
a) 8 c) 32 e) 64
b) 16 d) 48
16. C
17. A
18. E
19. D
20. B
21. C
22. E
23. B
24. E
25. C
Claves
5TO AÑO
136
Tarea
UNI
1. Se sabe que A es DP a B e IP a C. Halla A cuando 
B = 10 y C = 5 si cuando B = 20; C = 15; A = 6.
a) 6 c) 9 e) 16
b) 8 d) 12
2. Tres engranajes están unidos de la siguiente for-
ma: A con B y B con C. Si el número de dientes 
está en la relación de 3; 5 y 4 respectivamente, 
calcula cuántas vueltas da la rueda A. Se sabe que 
C gira 45 vueltas.
a) 36 c) 44 e) 60
b) 40 d) 52
3. Dos magnitudes A y B son inversamente propor-
cionales. ¿Cómo varía el valor de A, cuando el de 
B aumenta en 1/4?
a) Disminuye en 1/10
b) Disminuye en 4/25
c) Disminuye en 1/5
d) Aumenta en 1/5
e) No varía
4. Se tiene la siguiente tabla de valores para 2 mag-
nitudes A y B, halla «n».
 
A 36 144 324 n 4
B 6 3 2 9 18
a) 16 c) 12 e) 20
b) 14 d) 15
PUCP
5. El precio de un libro varía DP al número de pá-
ginas e IP al número de ejemplares. Si cuando el 
número de ejemplares es 6000, el precio es S/.12 y 
el número de páginas es 400, halla el precio cuan-
do los libros tienen 150 hojas y se imprimen 4000 
ejemplares.
a) 12 c) 13,5 e) 14,5
b) 13 d) 14
6. Si P y Q son magnitudes proporcionales, calcula 
el valor de x + y.
P
Q
2
6
x
3 5 y
a) 32 c) 25 e) 40
b) 18 d) 35
7. La potencia que transmite un motor es DP a las 
RPM (revoluciones por minuto) y al torque que 
entrega. Si el torque aumenta 1/5 y las RPM dis-
minuye en 2/5, ¿qué sucede con la potencia?
a) Aumenta en 1/5
b) Disminuye en 1/5
c) Aumenta en 3/10
d) Disminuye en 7/25
e) Aumenta en 2/5
8. La eficiencia de un empleado se mide en puntos 
y es DP a los años de trabajo e IP a la raíz cua-
drada de la edad del trabajador. Si la eficiencia de 
Roberto es 2 puntos cuando tiene 1 año de expe-
riencia y 25 años de edad, ¿cuál será su eficiencia 
a los 36 años?
a) 10 c) 24 e) 20
b) 12 d) 16
137
 ARITMÉTICA
UNMSM
9. Según la ley de Boyle, la presión es IP al volumen 
que ocupa un gas a temperatura constante. Si la 
presión disminuye en 6 atmósferas, el volumen 
varía en 1/5 de su valor. Calcula la presión inicial 
en atmósferas.
a) 36 c) 48 e) 30
b) 24 d) 40
10. Federico es un empleado cuyo sueldo es direc-
tamente proporcional al cuadrado de su edad. Si 
actualmente tiene 17 años, ¿cuántos años deberán 
pasar para que su sueldo sea 9 veces al sueldo ac-
tual?
a) 34 c) 51 e) 33
b) 36 d) 37
11. La fuerza de sustentación sobre el ala de un avión 
es DP a su área y al cuadrado de su velocidad. Si 
se incrementa la velocidad en 25% y el área se re-
duce en 36%, ¿qué sucede con la fuerza de susten-
tación?
a) Aumenta 20%
b) Disminuye 20%
c) No varía
d) Aumenta 25%
e) Disminuye 25%
12. Un señor descubre que los gastos que hace en ce-
lebrar su cumpleaños es proporcional al número 
de invitados e inversamente proporcional a las 
horas que ocupa en preparar la reunión. Si la úl-
tima vez gastó 120, invitó 100 personas y ocupó 
12 horas, ¿cuánto gastará invitando 20 personas 
menos y ocupando 4 horas más?
a) 36 c) 72 e) 80
b) 48 d) 24
UNI
13. ¿Cuál es el peso de un rubí que vale S/.12 960 si 
uno de 8 quilates cuesta S/.36 000 y el precio es 
proporcional al cuadrado de su peso? (Un quilate 
= 0,25 gramos)
a) 1,2 gr c) 1,6 gr e) 2,4 gr
b) 1,4 gr d) 2 gr
14. El valor de una joya varía de modo proporcio-
nal al cuadrado de su peso. ¿Cuánto se pierde al 
partir, en tres partes, una joya que costó S/.2997, 
cuyos pesos son entre sí como 4; 3 y 2 respectiva-
mente?
a) 1280 c) 1924 e) 2067
b) 1360 d) 2027
15. Un resorte de 20 cm se alarga 3 cm si se le aplica 
una fuerza de 12 N. ¿Cuál será la fuerza que se 
debe aplicar para que alcance una longitud de 25 
cm, sabiendo que la fuerza es proporcional a su 
elongación?
a) 15 c) 24 e) 30
b) 20 d) 26
Claves
01. C
02. E
03. C
04. A
05. C
11. C
12. C
13. A
14. C
15. B
06. D
07. D
08. E
09. A
10. A
5TO AÑO
138
Regla de tres
Regla de tres simple (RTS)
RTS simple directa
Resulta de comparar dos magnitudes que son 
directamente proporcionales.
Magnitud 1 Magnitud 2
a
c
b
x
DP
Al ser DP, se cumple: Magnitud 1
Magnitud 2
 = constante
De forma práctica, cuando sea regla de tres simple, 
directamente se multiplica en aspa, igualando los 
resultados de la siguiente forma:
a ⋅ x = b ⋅ c
Regla de tres simple inversa
Resulta de comparar dos magnitudes que son 
inversamente proporcionales.
Magnitud 1 Magnitud 2
a
c
b
x
IP
Al ser IP, se cumple: Mag. 1 × Mag. 2 = constante
De forma práctica, cuando sea regla de tres simple 
inversa, se multiplica en forma paralela, igualando los 
resultados de la siguiente forma:
a ⋅ xb = c ⋅ x
Regla de tres compuesta (RTC)
Es aquella operación matemática que se utiliza cuando 
en el problema participan más de dos magnitudes.
Métodos
1. Método de comparación por parejas
 Ejemplo:
 Se sabe que 16 hombres construyen 8 casas en 8 
años, trabajando 3 horas diarias. ¿Cuántos hombres 
harán el doble de casas en la mitad del tiempo an-
terior, trabajando 6 horas diarias en un terreno que 
ofrece una doble dureza con respecto al anterior?
Hombres
16
x
Casas
8
16
DP
h/diarias
3
6
IP
Años
8
4
IP
Dureza
1
2
DP
Resolución:
 Comparamos todas las magnitudes con aquella 
magnitud que contiene la incógnita de la siguien-
te manera:
 Si la relación es directa, la columna de datos se 
mantiene, y si la relación es inversa, la columna 
de datos se invierte; veamos:
16
x
 = 8
16
 ⋅ 4
8
 ⋅ 6
3
 ⋅ 1
2
 → x = 64
2. Método de proporcionalidad constante
 Ejemplo:
 Se sabe que 20 obreros hacen una obra en 10 días 
con un rendimiento del 10%. ¿Cuántos obreros 
harán 5 obras en 20 días con un rendimiento del 
20% y una dificultad que es el doble con respecto 
a la anterior?
Resolución:
 ⇒ 20 ⋅ 10 ⋅ 10%1 ⋅ 1
x ⋅ 20 ⋅ 20%
5 ⋅ 2
=
1 1 1 2
1
1
 x=50 obreros
 
obreros×tiempo×rendimientoobra×dificultad
=k
k: constante de 
proporcionalidad
139
 ARITMÉTICA
Trabajando en clase
Integral
1. Si una secretaria digita 20 problemas en 8 minu-
tos, ¿cuántos problemas digitará en 22 minutos?
2. Si una cuadrilla puede hacer una obra en 120 
días, ¿cuántos días tardará otra cuadrilla en hacer 
la misma obra si su rendimiento es el triple de la 
anterior?
3. Si 12 máquinas pueden producir 35 000 latas de 
leche en 21 horas, ¿cuántas latas podrá producir 
en 18 horas un grupo de 24 máquinas similares a 
las anteriores?
PUCP
4. Si 20 obreros, durante 6 días, trabajando 8 horas 
diarias, hacen una zanja de 20 m de largo, 3 m de 
ancho y 2 m de profundidad, ¿cuántos días nece-
sitarán 12 obreros trabajando 6 horas diarias para 
cavar una zanja de 15 m de largo, 2 m de ancho 
y 1 m de profundidad, en un terreno de triple de 
dificultad que el anterior.
 PUPC 2012-II
Resolución:
 (obreros)(día)(horas)(volumen)(dificultad) = cte
 20×6×820×3×2×1 = 
12(x)6
15×2×1×3
 x = 10
5. Si 20 obreros, durante 6 días, trabajando 8 horas 
diarias, hacen una zanja de 20 m de largo, 3 m de 
ancho y 2 m de profundidad, ¿cuántos días más 
necesitarán 12 obreros trabajando 6 horas diarias 
para cavar una zanja de 15 m de largo, 2 m de an-
cho y 1 m de profundidad en un terreno de triple 
de dificultad que el anterior?
6. En el área de capuchones, perteneciente a la pro-
ducción de panetones de una empresa conocida, 
hay 5 máquinas que tiene, un rendimiento del 
60% para producir 3600 panetones cada 4 días 
de 8 horas diarias de trabajo. Si se desea produ-
cir 7200 panetones en 6 días, trabajando 10 horas 
diarias, ¿cuántas máquinas de 80% de rendimien-
to se requieren?
 PUCP 2011-I
7. Ocho obreros pueden hacer una obra en 31 días. 
Si luego de 6 días de iniciada la obra se retiran 3 
obreros, ¿en cuántos días más terminarán la obra?
UNMSM
8. Un burro atado a una cuerda de 6 m de longitud 
puede comer en 9 días lo que está a su alcance. Si 
la cuerda fuera 2 m menos, ¿cuántos días tardará 
en comer lo que está a su alcance?
Resolución:
 
Área Días
DP
G2
42
9
x
G2
9
 = 4
2
x
 x = 4
9. Una vaca atada a una cuerda de 8 m de longitud 
puede comer en 16 días todo lo que está a su al-
cance. Si la cuerda fuera 2 m más, ¿cuántos días 
tardará en comer lo que está a su alcance?
10. Ochenta obreros cavan una zanja de 40 m de lar-
go, 2 m de ancho y 3 m de profundidad. ¿Cuántos 
obreros pueden cavar una zanja de 30 m de largo 
y 6 m de ancho y 2 m de profundidad?
11. Un grupo de agricultores siembra un terreno 
cuadrado en 5 días. ¿Cuántos días demorarán en 
sembrar otro terreno cuadrado de cuádruple pe-
rímetro del anterior?
UNI
12. Al concluir la construcción de una pared de 6 m 
de lado, sobraron 48 ladrillos. Si el lado hubiese 
medido 4 m, sobrarían 668 ladrillos. Si el lado 
fuese de 5 m, ¿cuántos ladrillos sobrarían?
Resolución:
 x = número de ladrillos
 
Área # ladrillos
36
16
x – 48
x – 668
DP
5TO AÑO
140
 
36
x – 48
16
x – 668=
 Resolviendo:
 x = 1164
 
Área # ladrillos
36
25
1164 – 48 = 1116
 n
 
36
1116
25
n
=
 n = 775
 Nos piden: P = 1164 – 775
 P = 349.
13. Al término de la construcción de una pared de 
7 m de lado, sobraron 79 ladrillos. Si el lado hu-
biese sido de 5 m, habría sobrado 2479 ladrillos y 
si el lado hubiese medido 6 m, ¿cuántos ladrillos 
sobrarían?
14. Una obra debía terminarse en 36 días, empleando 
40 obreros y trabajando 6 horas diarias. Después 
de 18 días de trabajo se pidió que la obra queda-
se terminada 9 días antes de aquel plazo, y así se 
hizo. ¿Cuántos obreros se aumentaron, teniendo 
presente que se aumentó también en 4 horas el 
trabajo diario?
Esquema formulario
Regla de tres simple 
a. Si A D. P. B
 a → b ⇒ a/b = c/x
 c → x
b. Si A I. P. B
 a → b ⇒ a ⋅ b = c . x
 c → x
Regla de tres compuesta
A B C D E
a1 b1 c1 d1 e1
x b2 c2 d2 e2
141
 ARITMÉTICA
16. Si una secretaria digita 60 páginas en 1 3/4 horas, 
¿cuántas hojas digitará en 10 1/2 horas?
a) 160 c) 180 e) 170
b) 190 d) 200
17. Una cuadrilla puede hacer una obra en 160 días. 
¿Cuántos días tardará otra cuadrilla en hacer la 
misma obra si el rendimiento de este último es un 
tercio menos que los otros?
a) 60 c) 350 e) 175
b) 240 d) 120
18. Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 
5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. 
¿Cuántas toneladas serían necesarias para man-
tener trabajando 9 horas diarias durante 85 días 3 
hornos más?
a) 380 c) 408 e) 360
b) 280 d) 250
19. Si 10 operarios hacen 64 pares de zapatos cada 
6 días, ¿cuántos días emplearon 20 operarios en 
128 pares de zapatos?
 UNI 2013-II
a) 6,4 c) 8,0 e) 6,8
b) 6,0 d) 7,2
20. En el área de capuchones perteneciente a la pro-
ducción de panetones de una empresa conocida, 
hay 10 máquinas que tienen un rendimiento del 
90% para producir 6000 panetones cada 8 días 
de 6 horas diarias de trabajo. Si se desea produ-
cir 2000 panetones en 6 días, trabajando 10 horas 
diarias, ¿cuántas máquinas de 80% de rendimien-
to se requieren?
a) 6 c) 3 e) 5
b) 2 d) 8
21. Un navío, con una tripulación de 80 hombres, 
lleva víveres para 20 días. Después de 8 días de 
navegación, se dio albergue a 40 viajeros, pro-
cedentes del naufragio de otro buque. ¿Cuántos 
días más pudo durar la navegación, dando ración 
completa a todos los tripulantes y viajeros?
a) 8 c) 10 e) 12
b) 6 d) 4
Sigo practicando
5TO AÑO
142
22. Un ingeniero puede realizar una obra con cierto 
número de obreros en 4 días, pero emplearía un 
día menos si le dieran un obrero más. ¿En cuánto 
tiempo haría la obra un obrero?
a) 12 c) 48 e) 45
b) 56 d) 72
23. Dos hombres y 4 niños pueden hacer una obra 
en 6 días, pero con 2 hombres más pueden hacer 
el mismo trabajo en 4 días. ¿En cuántos días hará 
dicha obra un hombre trabajando solo?
a) 24 c) 44 e) 42
b) 22 d) 43
24. Ciento veinte obreros cavan una zanja de 40 m de 
largo, 3 m de ancho y 2 m de profundidad. ¿Cuán-
tos obreros pueden cavar una zanja de 10 m de 
largo y 2 m de ancho y 6 m de profundidad?
a) 60 c) 65 e) 58
b) 55 d) 63
25. Un grupo de agricultores siembra un terreno 
cuadrado en 5 días. ¿Cuántos días demorarán en 
sembrar otro terreno cuadrado de quíntuple perí-
metro del anterior?
a) 120 c) 110 e) 100
b) 125 d) 115
16. C
17. B
18. B
19. B
20. C
21. A
22. C
23. A
24. A
25. B
Claves
143
 ARITMÉTICA
Tarea
UNI
1. Si una secretaria digita 30 páginas en 1 hora y 
15 minutos, ¿cuántas páginas digitará en 1 hora y 
media?
a) 32 c) 45 e) 30
b) 28 d) 36
2. Una cuadrilla puede hacer una obra en 160 días. 
¿Cuántos días tardará otra cuadrilla en hacer la 
misma obra si los rendimientos de ambas cuadri-
llas están en relación de 3 a 4 respectivamente?
a) 90 c) 120 e) 110
b) 130 d) 100
3. Trabajando 8 horas diarias durante 20 días, 6 hor-
nos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas 
toneladas serían necesarias para mantener traba-
jando 10 horas diarias durante 64 días, 6 hornos 
más?
a) 290 c) 250 e) 400
b) 380 d) 300
4. En un recipiente cúbico de 6 cm de arista entran 
16 gramos de pallares. ¿Cuántos gramos de palla-
res entrarán en un recipiente cúbico de 9 cm de 
arista?
a) 50 c) 25 e) 54
b) 48 d) 30
PUCP
5. En el área de capuchones perteneciente a la pro-
ducción de panetones de una empresa conocida, 
hay 8 máquinas que tienen un rendimiento del 
70% para producir 2000 panetones cada 5 días 
de 6 horas diarias de trabajo. Si se desea producir 
1800 panetones en 7 días, trabajando 8 horas dia-
rias, ¿cuántas máquinas de 90% de rendimiento 
se requieren?
a) 6 c) 3 e) 5
b) 2 d) 8
6. Seis obreros pueden hacer una obra en 10 días. 
Si luego de 5 días de iniciada la obra se retiran 
2 obreros, ¿en cuántos días más terminarán la 
obra?
a) 9 c) 10 e) 11
b) 18 d) 5
7. Si para pintar un cubo de 40 cm de arista se pagó 
10 céntimos, ¿cuántos soles se pagará para pintar 
un cubo de 10 m de arista?
 PUCP 2011-I
a) 10 c) 23,4 e) 30,5
b) 62,5 d) 90
8. Un empleadorenuncia a 10 días de terminar el 
mes de labores. Si hubiese acabado el mes, habría 
cobrado 900 nuevos soles. ¿Cuántos nuevos soles 
recibió por el tiempo trabajado?
 PUCP 2011-II
a) 500 c) 600 e) 90
b) 700 d) 800
UNMSM
9. Sesenta obreros cavan una zanja de 20 m de largo, 
4 m de ancho y 1 m de profundidad. ¿Cuántos 
obreros pueden cavar una zanja de 25 m de largo 
y 8 m de ancho y 1 m de profundidad?
a) 110 c) 130 e) 150
b) 120 d) 140
10. Un grupo de agricultores siembra un terreno 
cuadrado en 18 días. ¿Cuántos días demorarán 
en sembrar otro terreno cuadrado de triple perí-
metro del anterior?
5TO AÑO
144
a) 130 c) 162 e) 140
b) 134 d) 160
11. Para pintar las caras de un cubo de 60 cm de aris-
ta se han empleado 12 tarros de pintura. ¿Cuántos 
tarros de pintura se necesitarán para pintar las ca-
ras de un cubo de 90 cm de arista?
a) 20 c) 25 e) 30
b) 28 d) 27
12. En 48 días, diez obreros han hecho la tercera par-
te de una obra; luego se retiran «n» obreros, y los 
que quedan avanzan 1/6 más de la obra en «k» 
días. Si estos últimos terminan lo que faltaba la 
obra trabajando «k + 60» días, ¿cuál es el valor de 
k/n?
a) 40/3 c) 30 e) 45/2
b) 20 d) 15
UNI
13. Al término de una construcción de una pared de 7 
m de lado, sobraron 79 ladrillos. Si el lado hubiese 
sido de 5 m, habría sobrado 2479 ladrillos, si el lado 
fuese de 6 m. ¿Cuántos ladrillos sobrarían?
a) 832 c) 250 e) 626
b) 208 d) 520
14. Una obra debía terminarse en 30 días, empleando 
20 obreros y trabajando 8 horas diarias. Después 
de 12 días de trabajo se pidió que la obra quedase 
terminada 6 días antes de aquel plazo, y así se hizo. 
¿Cuántos obreros disminuyeron, teniendo presente 
que se aumentó en 2 horas el trabajo diario?
a) 3 c) 2 e) 4
b) 8 d) 5
15. Para cortar un árbol en cinco partes, un carpinte-
ro cobra S/.20. ¿Cuánto cobrará para cortarlo en 
3 partes?
a) S/.60 c) S/.30 e) S/.40
b) S/.10 d) S/.15
Claves
01. D
02. C
03. E
04. E
05. C
11. D
12. D
13. E
14. E
15. B
06. C
07. B
08. C
09. E
10. C
145
 ARITMÉTICA
Repaso
1. La parte entera y decimal de un número son como 
4 es a 6 y su MCD de ambas partes es 18. Calcula 
la suma de cifras del número decimal original.
a) 20 c) 15 e) 23
b) 13 d) 18
2. El MCD de 2 números es 11 y la suma de los mis-
mos es 242. ¿Cuántos números hay que cumplen 
dicha condición?
a) 3 c) 4 e) 1
b) 2 d) 5
3. Halla el valor de:
 M = 1
1×4
 + 1
4×7
 + 1
7×10
 + ... + 1
28×31
a) 12
29
 c) 15
37
 e) 10
31
b) 13
41
 d) 16
33
4. José, Mateo y Pedro pueden hacer una obra en 6; 
8 y 10 días respectivamente. Si ellos realizan una 
obra del siguiente modo: Primero, José trabajó 
solo durante 1 1/2 horas, luego se le unió Mateo 
por 2 1/2 horas y finalmente José fue reemplazado 
por Pedro hasta cumplir el trabajo, ¿en cuántas 
horas realizaron dicho trabajo?
a) 5 1/3 h c) 6 1/2 h e) 7 1/3 h
b) 4 1/8 h d) 4 2/5 h
5. Reparte 56 000 IP a 8 , 18, 200 . Da como res-
puesta la parte intermedia.
a) 20 000 c) 30 000 e) 10 000
b) 15 000 d) 6000
6. Al repartir N proporcionalmente a 4; 6 y 26 e IP a 
5; 2 y 10, la mayor parte es 3000. Calcula N.
a) 5800 c) 6400 e) 5900
b) 5000 d) 5500
7. Se tiene la siguiente tabla de valores para 2 mag-
nitudes A y B. Halla «n».
 
A 36 144 n 64
B 6 12 4 8
a) 16 c) 12 e) 20
b) 14 d) 15
8. Federico es un empleado cuyo sueldo es direc-
tamente proporcional al cuadrado de su edad. Si 
actualmente tiene 17 años, ¿cuántos años debe-
rán pasar para que su sueldo sea 9 veces el sueldo 
actual?
a) 34 c) 51 e) 33
b) 36 d) 37
9. Sesenta obreros cavan una zanja de 20 m de largo, 
4 m de ancho y 1 m de profundidad. ¿Cuántos 
obreros pueden cavar una zanja de 25 m de largo 
y 8 m de ancho y 1 m de profundidad?
a) 110 c) 130 e) 150
b) 120 d) 140
10. Para pintar las caras de un cubo de 60 cm de aris-
ta, se emplearon 12 tarros de pintura. ¿Cuántos 
tarros de pintura se necesitarán para pintar las 
caras de un cubo de 90 cm de arista?
a) 20 c) 25 e) 30
b) 28 d) 27
11. Si cuento las estampillas que tengo de 4 en 4, de 7 
en 7 o de 9 en 9, formo un número exacto de gru-
pos. Si tengo menos de 300 estampillas, ¿cuántas 
estampillas como máximo tendré?
a) 270 c) 296 e) 265
b) 252 d) 284
5TO AÑO
146
12. Calcula E + V + A.
 81
E
 = E
V
 = V
A
 = A
16
 = k
 
a) 114 
b) 110
c) 104 
d) 98
e) 90
 
1. D
2. D
3. E
4. B
5. A
6. C
7. A
8. A
9. E
10. D
11. B
12. A
Claves
147
 ARITMÉTICA
Promedio
Si se tienen dos o más cantidades, no todas iguales 
entonces el promedio de un valor de tendencia central 
siempre se encuentra entre la mayor y la menor de las 
cantidades.
Menor cantidad < promedio < mayor cantidad
Se tiene a1; a2; a3; ...; an; «n» cantidades.
Promedio aritmético = Media aritmética = Promedio
PA =
Suma de cantidades
N.º de cantidades
PA =
a1 + a2 + a3 + ... + an
n
Promedio geométrico = Media geométrica
PG = N.º de cantidades Producto de cantidades
PG = n a1 × a2 × a3 ... × an
Promedio armónico = Media armónica
PH =
N.º de cantidades
Suma de las inversas de las cantidades
PH =
n
1
a1
 + 
1
a2
 + ... + 
1
an
Promedio ponderado
 
Notas Peso
n1 P1
n2 P2
n3 P3
nn Pn
 
Propiedades
A. ma > mg > mh
B. Para dos cantidades (a y b) solamente:
 
ma = a + b2 mg = a × b 
mh = 2aba + b
C. Para tres cantidades (a, b y c) solamente:
 
ma = a+b+c3 mg = abc 
mh = 3abcab+ac+bc
D. Para dos cantidades (a y b) solamente:
ma×mh=mg2
E. Para dos cantidades (a y b) solamente:
4(a–b)2 = ma2 × mg2
Pp =
n1P1 + n2P2 +... + nnPn
P1 + P2 + P3 + ... + Pn
Advertencia pre
Recuerda el tema de promedio es 
evaluado en los exámenes de admisión de 
las diferentes universidades.
5TO AÑO
148
Trabajando en clase
Integral
1. Si A = M.A.(3,33,333); B = Media geométrica de 2; 4 y 
8; C = M.H. (45,30,15); calcula A + B + C.
2. Si la media aritmética de dos números es 8 y la 
media armónica de los mismos es 2, calcula el 
producto de dichos números.
3. Calcula el valor de «x», si el promedio geométrico 
de los números 5x; 52x y 53x es 625.
PUCP
4. El promedio geométrico de los números 2; 4; 8; 
16; ...; 2n es 32. Calcula «n».
Resolución:
 2×4×8×16×...×2n = 32
n
 21×23×23×24×...×2n = 32
n
 21+2+3+4+...+n = 32
n
 2
n n(n+1)
2 = 32
 2
n+1
2 = 25
 Igualando exponentes
 n + 12 = 5
 n + 1 = 10
 n = 9
5. El promedio geométrico de los números 3; 9; 27; 
81; ...; 3n es 729. Calcula «n».
6. Las calificaciones del alumno Pedro en el curso de 
aritmética son 12; 9 y 15 y los pesos respectivos de 
dichas notas son 4; 5 y 3. Calcula el promedio.
7. La media armónica de 20 números es 12 y la de 
otros 30 números es 15, calcula la media armóni-
ca de los 50 números.
UNMSM
8. El promedio geométrico de 4 números enteros y 
diferentes es 3 3 . Calcula el promedio aritmético 
de dichos números.
Resolución:
 Piden: x = a+b+c+d
4
 a⋅b⋅c⋅d
4
 = 3 3
 Elevando la potencia 4
 ( a⋅b⋅c⋅d
4
)4 = (3 3)4
 a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = 34 . 32
 a⋅b⋅c⋅d = 36
 Acomodando los factores
 a⋅b⋅c⋅d = 3⋅32⋅33
 a⋅b⋅c⋅d = 1 × 3 × 32 × 33
 Reconociendo valores
 a = 1; b = 3; c = 9; d = 27
 Finalmente
 x = 1+3+9+7
4
 x = 20
4
 x = 5
9. El promedio geométrico de 4 números enteros y 
diferentes es 5 5 . Calcula el promedio aritmético 
de dichos números.
10. Si la media aritmética de 53 números es 300 y la 
media aritmética de otros 47 números es 100, cal-
cula la media aritmética de los 100.
11. La media aritmética de 40 números es 74. Si se 
quitan 4 de ellos, que tienen media aritmética 20, 
¿en cuánto aumenta la media aritmética de los 
restantes?
UNI
12. Para la producción de camisas para exportación 
se distribuyó la confección entre 3 empresas en 
cantidades proporcionales a 6, 12 y 4. Si dichas 
empresas producen 500, 600 y 1000 camisas dia-
rias respectivamente, la producción media por 
día es:
149
 ARITMÉTICA
Resolución:
 C1; C2; C3: Sean las cantidades distribuidas.
 PMD: Sea la producción media diaria.
 C1
6
 = C2
12
 = C3
4
 = k
 Simplificando
 C1
3
 = C2
6
 = C3
2
 = k
 C1 = 3k; C2 = 6k; C3 = 2k
 El tiempo que demoracada empresa estará dado 
por:
 Nro. días = Cantidad a realizar
Producción diaria
 t1 = 
C1
500
 ⇒ t1 = 
3k
500
 t2 = 
C2
600
 ⇒ t2 = 
6k
600
 t3 = 
C3
1000
 ⇒ t1 = 
2k
1000
 Finalmente:
 PDM = Producción total
Total de días
 PDM = C1 + C2 + C3
t1 + t2 + t3
 Reemplazando valores:
 PDM = 
3k + 6k + 2k
3k
500 + 
6k
600
 + 2k
1000
 Resolviendo:
 PDM = 611.1
13. Un aeroplano que vuela alrededor de un circui-
to que tiene forma cuadrada emplea velocidades 
constantes en cada lado; si dichas velocidades es-
tán en relación con los números 1; 2; 3 y 4, res-
pectivamente, y la velocidad media del aeroplano 
en su recorrido total es de 192 km/h. Calcula el 
tercer lado en km/h.
14. Si a cada uno de los lados de «a» cuadrados igua-
les se les disminuye en dos centímetros la suma 
de sus áreas disminuye en 20a cm2. Calcula el 
promedio de los perímetros de los «a» cuadrados.
Esquema formulario
Promedios
Aritmético
P.A. =
Suma de cantidades
N.º de cantidades
Ponderado
PP =
C1⋅P1+C2⋅P2 +C3⋅P3+... +Cn⋅Pn
C1 + C2 + C3 + ... + Cn
Geométrico
PG = N.º de cantidades Producto de cantidades
Armónico
PH =
N.º de cantidades
Suma de las inversas de las cantidades
Propiedades
1. Solo para dos números
2. MH < MG < MA
3. Para 2 cantidades «a» y «b».
 
MA = a + b2 MG = a⋅ b 
MH = 2aba + b
5TO AÑO
150
16. Si A = M.A.(4,44,444); B = Media geométrica de 1, 8 y 
27; C = A = M.H. (45,30,15) . Calcula A + B + C.
a) 124.54 c) 164.54 e) 194.54
b) 170.54 d) 190.54
17. Si la media aritmética de dos números es 9 y la 
media armónica de los mismos es 4, calcula el 
producto de dichos números.
a) 32 c) 34 e) 37
b) 36 d) 35
18. Calcula el valor de «x», si el promedio geométrico 
de los números 3x, 9x, 27x es 729.
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
19. Calcula la media geométrica de 4, 42, 43, ..., 4100.
a) 250 c) 4101 e) 2100
b) 4100 d) 2101
20. Las calificaciones del alumno Torres en el curso 
de aritmética son 13, 15 y 10 y los pesos respectivos 
de dichas notas son 5, 3 y 2. Calcula el promedio.
a) 13 c) 15 e) 12
b) 14 d) 16
21. La media armónica de 20 números es 5 y la de 
otros 40 números es 8, calcula la media armónica 
de los 60 números.
a) 10/3 c) 19/3 e) 20/3
b) 20/6 d) 17/6
Sigo practicando
151
 ARITMÉTICA
22. El promedio de las edades de 4 profesores es 35 
años, si ninguno es mayor de 3 años. ¿Cuál puede 
ser la mínima edad de uno de ellos?
a) 25 c) 27 e) 29
b) 26 d) 28
23. Para dos números se cumple que M.A. × M.H. = 
6M.G. . Calcula la suma de cifras del producto de 
dichos números.
a) 11 c) 7 e) 9
b) 10 d) 8
24. Si el promedio aritmético de 20 números es 15 y 
el promedio aritmético de otros 30 números dife-
rentes es 20, calcula la media aritmética de los 50 
números.
a) 16 c) 17 e) 20
b) 8 d) 19
25. La edad promedio de 40 personas es 14 años. Si 
se retiran 10 personas cuyo promedio es 26 años, 
¿en cuánto varía el promedio?
a) 4 c) 3 e) 2
b) 5 d) 6
16. e
17. b
18. b
19. d
20. a
21. e
22. b
23. e
24. b
25. a
Claves
5TO AÑO
152
Integral
1. Si A = M.A.(5, 55, 555) ; B = Media geométrica de 2; 4 
y 8; C = M.H. = A = (20, 15, 12). Calcula A + B + C.
a) 45 c) 46 e) 44
b) 36 d) 34
2. Si la media aritmética de dos números es 4 y la 
media armónica de los mismos es 16, calcula el 
producto de dichos números.
a) 2 c) 64 e) 5
b) 1 d) 3
3. Calcula el valor de «x», si el promedio geométrico 
de los números 2x; 22x; 23x es 256.
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
4. Si ab = 2; bc = 3; ac = 4. Calcula la media 
armónica de a, b y c.
a) 72/29 c) 41/29 e) 61/29
b) 27/29 d) 51/29 
PUCP
5. Las calificaciones en puntos de la alumna Soriano 
en el curso de aritmética es 50; 60 y 40 y los pesos 
respectivos de dichas notas son 12; 13 y 15. Cal-
cula el promedio.
a) 43,5 c) 42,5 e) 45,5
b) 40,5 d) 49,5
6. La media armónica de 40 números es 8 y de los 
otros 60 números es 4, calcula la media armónica 
de los 100 números.
a) 7 c) 6 e) 3
b) 5 d) 4
Tarea
7. El promedio de las edades de 4 personas es 36 
años, si ninguna es menor de 30 años, ¿cuál pue-
de ser la máxima edad de una de ellas?
a) 52 c) 54 e) 56
b) 53 d) 55
8. La edad promedio de 5 personas es 23 años, si to-
das las edades son diferentes y todos menores de 
27 años, calcula la mínima edad de uno de ellos.
a) 17 c) 15 e) 19
b) 16 d) 18
UNMSM
9. Si el promedio aritmético de 10 números es 8 y 
el promedio aritmético de otros 15 números dife-
rentes es 14, calcula la media aritmética de los 15 
números.
a) 11,6 c) 17,4 e) 9,6
b) 12,5 d) 10,2
10. La media aritmética de 30 números es 20. Si se 
quitan 2 de ellos, que tienen media aritmética 48, 
¿en cuánto disminuye la media aritmética de los 
restantes?
a) 5 c) 1 e) 2
b) 4 d) 3
11. La media aritmética de la serie: 
 a0a + a1a + a2a + a3a + ... + a9a es igual a ab8 . 
Determina el valor de a + b.
a) 7 c) 9 e) 5
b) 8 d) 6
12. En un colegio, el promedio de edades de los varo-
nes y mujeres es 28 años. Se sabe que la edad pro-
medio de los varones es 30 años, mientras que la 
de los instructores es 25 años. ¿Cuál es la relación 
entre el número de varones y mujeres?
a) 1/2 c) 5/2 e) 3/2
b) 2/5 d) 2/3
153
 ARITMÉTICA
UNI
13. Para confeccionar uniformes para el ejército se 
distribuyó entre dos empresas en cantidades pro-
porcionales de 3 a 4. Si dichas empresas producen 
500 y 900 uniformes diarios. Luego, la produc-
ción media por día es:
a) 550,35 c) 912,5 e) 670,21
b) 660,23 d) 690,75
14. Si a cada uno de los lados de «n» cuadrados igua-
les se les disminuye en un centímetro la suma de 
sus áreas disminuye en 7n cm2. Calcula el prome-
dio de los perímetros de los «n» cuadrados.
a) 12 c) 13 e) 17
b) 16 d) 14
15. En un grupo de «n» alumnos, la edad promedio 
es «c». Entre ellos, las edades promedio de varo-
nes y damas son «a» y «b»; respectivamente. Si el 
número de varones es «v». Calcula «n».
a) v(a–b)
c–b
 c) v(a–b)
c+b
 e) v(ab)
c–b
b) v(a+b)
c–b
 d) v(a+b)
c+b
Claves
01. e
02. d
03. c
04. a
05. d
11. a
12. e
13. e
14. b
15. a
06. b
07. c
08. a
09. a
10. e
5TO AÑO
154
Mezcla
Conceptualmente hablando, se denomina mezcla 
a la unión íntima de varias sustancias; aunque 
comercialmente se puede afirmar que mezcla es 
el procedimiento que tiene por finalidad reunir 
artículos o sustancias de una misma especie, tratando 
de obtener de varios precios diferentes, uno en común 
para ellos.
Comúnmente se presentan dos casos conocidos en la 
regla de la mezcla.
I. Primer paso
 Consiste en determinar el precio medio de la 
mezcla, conociendo los precios unitarios (calida-
des) y las proporciones (cantidades) de cada uno 
de los ingredientes
 Ejemplo:
 ¿Cuál es el precio de la mezcla que resulta de 
combinar 36 kg de té a 15 nuevos soles el kg con 
22 kg de té a 12 nuevos soles el kg y con 42 kg de 
té a 30 nuevos soles el kg?
Resolución:
 
Cantidad
(kg)
Precio 
unitario
(S/.)
Costo parcial
(S/.)
36
22
42
 100 kg
15
12
30
 540
 264
1260
2064
 Si 100 kg cuestan S/.2064 soles
 1 kg costará: 2064
100
 = S/.20,64
 En general:
 Cantidades: C1; C2; ...; Cn
 Precios unitarios: P1; P2; ...; Pn
 
P =
C1 × P1 + C2 × P2 + ... + Cn × Pn
C1 + C2 + ... + Cn
 Es decir: P =
Costo total
Cantidad total
II. Segundo caso
 Consiste en hallar las cantidades de cada ingre-
diente, conociendo el precio medio, los precios 
unitarios y la cantidad total.
 Ejemplo:
 Se mezcla un vino de 43 nuevos soles el litro, con 
otro de 27 nuevos soles el litro, resultando en total 
128 litros o 32 nuevos soles el litro.
 ¿Qué cantidad se tomó de cada uno?
Resolución:
 «a» litros de S/.43 por dato: a + b = 128
 «b» litros de S/.27
 Se sabe que: P =
C1 × P1 + C2 × P2 
C1 + C2
 Reemplazamos:
 
32 =
a × 43 + b × 27
a + b
 32a + 32b = 43a + 27b → 5b = 11a
 Por lo tanto:
 a + b = 128 → a + 11a
5
 = 128 → 16a
5
 = 128
 a = 40 litros; b = 88 litros
Método del aspa
Cantidad
a
b
Precio unitario
42
27
Relación
↓
32 – 27 = 5
43 – 32 = 11
→
→
32
Se cumple:
a
b
 = 5
11
 → a+b
a
 = 5+11
5
 → 128
a
 = 16
5
Finalmente:
a = 40 litros;b = 88 litros
155
 ARITMÉTICA
Integral
1. Se mezclan 15 kilos de café de S/.20 el kg con 30 
kilos de otro tipo de café de S/.20 el kg. ¿Cuál será 
el precio medio de la mezcla?
2. Se mezclan 25 litros de alcohol de 20º con 35 li-
tros de 40º y 40 litros 60º. ¿Cuál será el grado me-
dio de la mezcla?
3. ¿Cuántos litros de alcohol al 80% se deben aña-
dir a 30 litros de alcohol al 60% para obtener una 
mezcla de alcohol al 75%?
PUCP
4. Se quieren obtener 60 kg de azúcar de S/.1,5 el 
kilo mezclando cantidades convenientes de S/.1,8 
el kilo y de S/.1,3 el kilo, ¿qué cantidades se debe 
usar de cada uno?
Resolución:
 
Kilos Precio
A
B
1,8
1,3
60 1,5
 A + B = 60
 Multiplicando la columna de los precios por 10.
Kilos Precio
A
B
18
13
60 15
Trabajando en clase
Mezclas alcohólicas
La pureza o concentración de un alcohol se mide 
en grados que equivalen al porcentaje del alcohol 
presente en la mezcla, siendo el resto otra sustancia, 
generalmente agua.
Por ejemplo:
 Z Un alcohol de 90º, significa que el 90% es alcohol 
y el resto otra sustancia diluyente, generalmente 
agua.
 Z Una mezcla alcohólica de 75º, significa que el 
75% es alcohol puro (al igual que el anterior caso) 
y el resto agua.
 Z Una mezcla de alcohol puro, tendrá 100º.
Se tiene diferentes volúmenes de alcohol.
(V1; V2; V3; ...), con diferentes grados de pureza
(g1 g2; g3; ...), el grado de pureza de la mezcla se 
determinará de la siguiente manera: 
gM= 
(V1×g1)+ (V2×g2)+ (V2×g2)+...+ (V2×g2)
V1 + V2 + V3 + ... + Vn
Nota:
El agua tiene grado de alcohol igual a cero.
 18A + 13B = 60(15)
 18A + 13B = 900
 5A + 13A + 13B = 900
 5A + 13(A + B) = 900
 Reemplazando
 5A + 13(60) = 900
 5A + 780 = 900
 5A = 120
 A = 24
 ⇒ B = 36
5. Se quieren obtener 70 kg de azúcar de S/.2,6 el 
kilo mezclando cantidades convenientes de S/.2,2 
el kilo y de S/.3,2 el kilo, ¿qué cantidades se debe 
usar de cada uno?
6. Un comerciante mezcla dos tipos de frijoles, del 
primero se tiene 20 kg a S/.7 el kg y del segundo, 
30 kg a S/.3 el kg. ¿A qué precio debe venderse el 
kg de la mezcla para ganar el 20%?
7. Se mezcla 3 ingredientes en cantidades que están 
en la relación de 1; 4 y 5 y cuyos precios por kilo 
son S/.15; S/.20 y S/.13 respectivamente. ¿Cuál es 
el costo de 25 kg de esta mezcla?
UNMSM
8. Si el Sr. Pizarro vierte en un recipiente 20 litros de 
alcohol de 82º; 30 litros de alcohol puro y 15 litros 
de agua, ¿cuál será el grado de la mezcla?
5TO AÑO
156
Resolución:
Litros Grado
20
30
15
45
100
0
65 x
 Simplificando la columna de los litros entre 5
Litros Grado
4
6
3
45
100
0
13 x
 4(45) + 6(100) + 3(0) = 13x
 180 + 600 = 13x
 780 = 13x
 60 = x
9. Si Mario vierte en un recipiente 30 litros de alco-
hol de 50º; 20 litros de alcohol puro y 50 litros de 
agua, ¿cuál será el grado de la mezcla?
10. Se tienen dos mezclas alcohólicas, una de 80 litros 
al 30% de alcohol y otra de 20 litros al 40%. Se 
intercambian «a» litros de tal forma que cada una 
contiene b% de alcohol. Calcula a + b.
11. Se mezcla alcohol de 45º; alcohol de 60º y alcohol 
de 90º en la proporción de 2; 3 y «x». Calcula «x» 
si se sabe que la mezcla es del mismo grado que 
uno de los tres ingredientes.
UNI
12. Se mezcla 1 litro de alcohol de 8º; 2 litros de al-
cohol de 12º; 3 litros de alcohol de 16º; 4 litros 
de alcohol de 20º; 5 litros de alcohol de 24º y así 
sucesivamente hasta lo máximo posible. Calcula 
el grado medio resultante.
Resolución:
Litros Grado
1
2
3
4
5
.
.
.
8
12
16
20
24
.
.
.
100
x
 1×8 + 2×12 + 3×16 + 4×20 +...+ 24×100=300x
 4(1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + ... + 24×25) = 300x
4 
24 × 25 × 26
3 = 300x
 Resolviendo: x = 69.333...
13. Se mezcla 1 litro de alcohol de 10º; 2 litros de al-
cohol de 15º; 3 litros de alcohol de 20º; 4 litros 
de alcohol de 25º; 5 litros de alcohol de 30º y así 
sucesivamente hasta lo máximo posible. Calcula 
el grado medio resultante.
14. Se tiene dos mezclas alcohólicas de 50% y 80%. 
De la primera se toma los dos quintos y se mez-
cla con la mitad de la segunda, obteniéndose una 
mezcla de 60%. ¿Cuál será el grado del alcohol 
que resulta de mezclar los contenidos restantes?
157
 ARITMÉTICA
16. Calcula el precio medio de una mezcla formada 
por 20 kg de arroz de S/.3 el kilo con 30 kg de 
arroz de S/.5 de kilo.
a) 3,8 c) 4,1 e) 4,2
b) 3,9 d) 4,4
17. Se mezclan 15 litros de alcohol de 10º con 45 li-
tros de 30º y 40 litros de 60º. ¿Cuál será el grado 
medio de la mezcla?
a) 38 c) 36 e) 37
b) 39 d) 35
18. ¿Cuántos litros de alcohol al 90% se deben aña-
dir a 40 litros de alcohol al 50% para obtener una 
mezcla de alcohol al 80%?
a) 128% c) 120% e) 160%
b) 150% d) 80%
19. Se ha comprado 75 pacas de algodón a S/.77,90 el 
kilogramo, 40 pacas del mismo género, de segun-
da, a S/.75,05 el kilogramo, y 50 pacas de la clase 
corriente a S/.70,61 el kilogramo. ¿A cómo resulta 
el precio medio, si la paca es de 10 kg?
a) 74 c) 76 e) 78
b) 75 d) 77
20. Un comerciante mezcla tres tipos de frijoles, del 
primero se tiene 22 kg a S/.10 el kg, del segundo, 
44 kg a S/.12 el kg y del tercero, 34 kg a S/.18 el 
kg. ¿A qué precio debe venderse el kg de la mezcla 
para ganar el 25%?
a) 17 c) 18 e) 15
b) 19 d) 16
21. Se mezcla 3 ingredientes en cantidades que están 
en la relación de 2, 7 y 1 cuyos precios por kilo 
son S/.4; S/.6 y S/.10 respectivamente. ¿Cuál es el 
costo de 30 kg de esta mezcla?
a) 160 c) 190 e) 180
b) 200 d) 170
Sigo practicando
5TO AÑO
158
Esquema formulario
22. Se mezclan vino, agua y alcohol puro en volú-
menes que están en relación de 4; 3 y 5, respecti-
vamente. Si el grado medio de la mezcla fue 59º, 
calcula el grado alcohólico del vino.
a) 30 c) 28 e) 25
b) 52 d) 35
23. Se ha mezclado 12 hl de un líquido con 8 hl de 
otro líquido de 5 soles el litro. Si el precio de costo 
del litro de la mezcla excede en 0,80 soles el precio 
del litro del primer líquido, ¿cuál es este precio?
a) 2 c) 3,5 e) 3
b) 4,7 d) 4,5
24. Si tienen dos mezclas alcohólicas, una de 40 litros 
al 80% de alcohol y otra de 60 litros al 75%. Se 
intercambian «x» litros de tal forma que cada una 
contiene y% de alcohol. Calcula x + y.
a) 100 c) 102 e) 104
b) 101 d) 103
25. Se mezcla alcohol de 48º, alcohol de 80º y agua en 
la proporción de 5; 3 y «a». Calcula «a» si se sabe 
que la mezcla es del mimo grado que uno de los 
tres ingredientes.
a) 2 c) 4 e) 7
b) 1 d) 6
Mezcla Unión de dos o 
más sustancias
Para ingredientes
Valor de una mezcla (V)
V = Precio × # unidades
+ + + +... +
P1
V1
P2
V2
P3
V3
Pn
Vn
Pm
Para sustancias con diferentes precios
16. e
17. b
18. c
19. b
20. a
21. e
22. b
23. e
24. b
25. a
Claves
159
 ARITMÉTICA
Pm =
(P1⋅V1) + (P2⋅V2) + (P3⋅V3) ... + (Pn⋅Vn)
V1 + V2 + V3 + ... + Vn
Alcohol Grado o porcentaje
Alcohol puro 100
Agua 0
Grado medio
gM= 
(V1×g1)+ (V2×g2)+ (V2×g2)+...+ (V2×g2)
V1 + V2 + V3 + ... + Vn
Se calcula
Integral
1. Calcula el precio medio de mezclar 600 kg de ca-
cao de S/.5 con 400 kg de cacao de S/.3.
a) 4,1 c) 4,2 e) 4
b) 5 d) 3,9
2. Se mezclan 20 litros de alcohol de 40º con 50 li-
tros de 60º y 30 litros de 80º, ¿cuál será el grado 
medio de la mezcla?
a) 52º c) 62º e) 74º
b) 48º d) 54º
3. ¿Cuántos litros de alcohol de 72º se deben de 
añadir a 432 litros de alcohol de 36º para obtener 
cierta cantidad de alcohol de 45º?
a) 106 c) 134 e) 117
b) 125 d) 144
4. Si 40 litros de una solución contienen 15 litros 
de alcohol puro, ¿cuántos litros de agua se deben 
agregar para obtener una solución de 25% de al-
cohol?
a) 22 c) 20 e) 21
b) 18 d) 19
PUCP
5. Un comerciante mezcla tres tipos de avena, cuyos 
precios unitarios son de S/.4; S/.3 y S/.3,5 en can-
tidades de 50; 30 y 20 kg respectivamente. ¿A qué 
precio deben vender 1 kg de la mezcla para ganar 
el 25%?
a) 4,5 c) 5,2 e) 6,1
b) 4,9 d) 5
6. Se mezclan 3 ingredientes en cantidades que es-
tán en la relación de 2; 3 y 5 y cuyos precios por 
kilo son S/.8; S/.6 y S/.3 respectivamente. ¿Cuál es 
el costo de 20 kg de esta mezcla?
a) 115 c) 105 e) 100
b) 120d) 110
7. Se tiene una mezcla de 900 l de alcohol y agua al 
40%. ¿Qué cantidad de agua es necesario agregar 
para que la concentración disminuya en 10%?
a) 320 c) 340 e) 380
b) 300 d) 360
Tarea
5TO AÑO
160
8. Se han mezclado 20 litros de leche de S/.2 el litro 
con 20 litros de otro tipo de leche y con 10 litros 
de agua. ¿Cuál es el precio de la segunda leche si 
el precio de equilibrio de la mezcla es S/.1,8?
a) 1,9 c) 2,5 e) 1,7
b) 1,4 d) 1,5
UNMSM
9. Se tienen dos mezclas alcohólicas, una de 30 li-
tros al 70% de alcohol y otra de 70 litros al 40%.
Se intercambian «m» litros de tal forma que cada 
una contienen n% de alcohol. Calcula m + n.
a) 70 c) 40 e) 60
b) 80 d) 50
10. Se mezclan alcohol al 54%, alcohol al 90% y agua 
en la proporción de 6; 6 y «n». Calcula «n» si se 
sabe que la mezcla es del mismo grado que uno de 
los tres ingredientes.
a) 2 c) 3 e) 4
b) 6 d) 5 
11. Se tienen dos tipos de vino de S/.100 y S/.150 el 
litro, y se mezclan de manera que se obtienen 275 
litros de vino, que luego se vende a S/.144 el litro. 
Si en esta venta se está ganando el 20%, ¿cuan-
tos litros de vino de mayor calidad entraron en la 
mezcla?
a) 110 c) 120 e) 105
b) 140 d) 165
12. Calcula el peso en gramos de un litro de mezcla 
conteniendo 40% de agua y 60% de alcohol sa-
biendo que un litro de agua pesa 1 kg y un litro de 
mezcla de 75% pesa 960 gramos.
a) 956 c) 960 e) 968
b) 988 d) 1008
UNI
13. Se mezcla 1 litro de alcohol de 20º; 2 litros de al-
cohol de 30º; 3 litros de alcohol de 40º; 4 litros de 
alcohol de 50º; y así sucesivamente hasta lo máxi-
mo posible. Calcula el grado medio resultante.
a) 75.3 c) 72.1 e) 71.1
b) 73.33 d) 70.3
14. Se tiene dos mezclas alcohólicas de 40% y 
80%. De la primera se toman dos quintos y 
se mezclan con los dos tercios de la segunda, 
obteniéndose una mezcla de 60%. ¿Cuál será 
el grado del alcohol que resulta de mezclar los 
contenidos restantes?
a) 60 c) 50 e) 55
b) 40 d) 65
15. Se tienen dos tipos de vino de S/.325 y S/.65 el 
litro, y se mezclan de manera que se obtienen 
273 litros de vino, que luego se venden a S/.222 
el litro. Si en esta venta se está ganando el 20%, 
¿cuántos litros de vino de mayor calidad entraron 
en la mezcla?
a) 130 c) 138 e) 142
b) 154 d) 126
Claves
01. c
02. c
03. d
04. c
05. a
11. a
12. e
13. b
14. b
15. d
06. d
07. b
08. c
09. a
10. e
161
 ARITMÉTICA
Porcentajes
Tanto por ciento
Se denomina tanto por ciento al número de partes 
que se consideran de las 100 partes iguales en que ha 
sido dividida una cantidad.
En general:
a por ciento de N = a% de N = a100 ⋅ N
Ejemplo:
 Z 30% de 600 = 30100 600 = 180
 Z 20% del 40% del 80% de 5000 =
 20100 ⋅ 
40
100 ⋅ 
80
100 ⋅ 5000 = 320
Parte de un total como tanto por ciento
En general
¿Qué tanto por ciento de a es b?
	 	 	 	 	 	↓ ↓
 total parte
Parte
Total
 ⋅ 100% = b
a
 ⋅ 100% 
Ejemplo:
¿Qué tanto por ciento de 60 es 15?
15
60 ⋅ 100% = 25%
Operaciones con porcentajes
Importante
Toda cantidad representa el 100% de la misma.
N = 100%N
Ejemplo:
 Z 32%N + 48%N = 80%N
 Z A + 25%A = 125%A
 Z x – 30%x = 70%x
 Z 40%B + 2B – 70%B = 170%B
Aplicaciones del tanto por ciento
A. Descuentos sucesivos
 Para dos descuentos de a% y b%.
D(único) = (a + b)– 
a×b
100
 Ejemplo:
 Descuento único de 20% y 30%
 D(único) = (20 + 30) – 
20 ⋅	30
100
 = 50 – 6 = 44%
B. Aumentos sucesivos
 Para dos aumentos de a% y b%.
A(único) = (a + b)+ 
a×b
100
 Ejemplo:
 Aumento único de 20% y 30%
 A(único) = (20 + 30) + 
20 ⋅	30
100
 = 50 + 6 = 56%
C. Aplicaciones comerciales
 Elementos
a. Precio de costo (Pc): Es lo que el comerciante 
invierte.
b. Precio de venta (Pv): Es lo que el cliente paga.
c. Precio fijado (Pf): Es el valor inicial que ob-
tiene el comerciante.
d. Ganancia (G): Es la diferencia que se obtiene 
cuando la venta es mayor que el costo.
e. Pérdida (P): Es la diferencia que se obtiene 
cuando la venta es menor que el costo.
f. Descuento (D): Es la rebaja que se obtiene al 
comprar una mercadería.
En general
 Z Si hay ganancia 
 Pv = Pc + G
 Z Si hay pérdida
 Pv = Pc – P
5TO AÑO
162
Integral
1. Si el 40% del 50% de un número es 800. ¿Cuál es 
el 10% del 20% de dicho número?
2. Si el largo de un rectángulo aumenta en 20% y 
su ancho disminuye en 30%. ¿En qué porcentaje 
varía su área?
3. Un artículo que costó S/.4000 se vendió con una 
ganancia del 20%. Calcula el precio de venta.
PUCP
4. Si 360 disminuye en su 25%, ¿cuál es la nueva 
cantidad?
Resolución:
 
3
75
100
4
 ⋅ 360 = 34
1
⋅ 360
90
 = 270
 
5. Si 800 disminuye en su 30%, ¿cuál es la nueva 
cantidad?
6. Si A es el 150% de B ¿qué tanto por ciento de B es 
A + B?
7. ¿Qué porcentaje del precio de venta se gana si 
el precio de costo es S/.360 y el precio de venta 
S/.400?
Trabajando en clase
 Y Nota: Generalmente las ganancias o pérdidas 
se representan como un tanto por ciento del 
precio de costo.
 Z Si hay descuento: Pv = PF – D
 Y Nota: Generalmente el descuento se represen-
ta como un tanto por ciento del precio fijado.
Sea:
GB: Ganancia bruta GN: Ganancia neta
Se cumple:
Pv = Pc + GB
 
GB = GN + Gastos
UNMSM
8. Una empresa de informática emplea a 800 perso-
nas. De ellas, el 42% son varones y el 50% de los 
varones tiene más de 30 años. ¿Cuántos varones 
de esta empresa son mayores de 30 años?
Resolución:
 
800 ⋅	 42100		⋅	
50
100	=	168
      
          
mayores de 30 años
varones
 ∴	hay 168 varones mayores de 30 años.
9. Una fábrica de embutidos emplea a 600 personas. 
De ellos, el 40% son varones y el 30% de estos 
son solteros. ¿Cuántos varones casados hay en la 
fábrica?
10. Un artículo se vende en S/.360 ganándose el 20% 
del costo. Si por efecto de la inflación el costo ha 
aumentado en 10%, ¿cuál debe ser el precio del 
artículo para seguir ganando el mismo porcentaje?
11. En una granja, el 30% de los animales son pollos; 
el 45% son patos y el resto gallinas. Si se venden 
la mitad de los pollos, 4/9 de los patos y 3/5 de 
las gallinas. ¿Qué porcentaje del nuevo total son 
patos?
163
 ARITMÉTICA
UNI
12. Un comerciante compró corbatas a S/.80 cada una 
y las vendió con una ganancia neta de S/.510. La 
venta le ocasionó un gasto del 15% de la ganancia 
bruta. Si por todo obtuvo S/.3800, ¿cuántas cor-
batas compró?
Resolución:
 Sean «n» corbatas compradas:
 
Gneta + gastos = Gbruta ⇒ GB = 600
           
510 + 15%GB = 6B
 Pc + G = Pv
 ↓
 80⋅n + 600 = 3800 → n = 40
13. Un comerciante compró camisas a S/.120 cada 
una y las vendió con una ganancia neta de S/.800. 
La venta le ocasionó un gasto del 20% de la ga-
nancia bruta. Si por todo obtuvo S/.4600, ¿cuán-
tas camisas compró?
14. Un número disminuido sucesivamente en dos 
porcentajes iguales a n%, para luego aumentarlo 
en 30% del valor alcanzado, resultando finalmen-
te un aumento porcentual de 5,3%. Calcula «n».
Esquema formulario
Tanto por ciento
A por ciento = A% = A100
A% de B = – B
N = 100% N
Aplicaciones comerciales
Pv = Pc + G Pv = Pc – P Pv = PF – D
Pv: precio de venta
Pc: precio de costo
PF: precio fijado
G: ganancia
P: pérdida
D: descuento 
5TO AÑO
164
16. Si el 50% del 60% de un número es 1500. ¿Cuál es 
el 25% del 30% de dicho número?
a) 375 c) 250 e) 300
b) 125 d) 175
17. Si el largo de un rectángulo aumenta en 10% su 
ancho disminuye en 10%. ¿En qué porcentaje va-
ría su área?
a) 2% c) 5% e) No varía
b) 1% d) 3%
18. Un artefacto que costó S/.5000, se vendió con una 
ganancia del 25%. Calcula el precio de venta.
a) S/.5860 c) S/.5600 e) S/.6250
b) S/.6000 d) S/.6500
19. El descuento único que reemplaza a tres descuen-
tos sucesivos del 10%; 20% y 25% es:
a) 42% c) 45% e) 44%
b) 43% d) 46%
20. Si P es el 60% de Q. ¿Qué tanto por ciento de P + 
Q es Q?
a) 64% c) 62,5% e) 60,5%
b) 60% d) 56,25%
21. ¿Qué porcentaje del precio de venta se gana si 
el precio de costo es S/.400 y el precio de venta 
S/.500?
a) 20% c) 25% e) 18%
b) 30% d) 24%
Sigo practicando
165
 ARITMÉTICA22. Se vendieron 2 terrenos por la suma de S/.14 400 
cada uno; se perdió en uno el 25% del costo y en 
el otro se ganó el 25% del costo, ¿se ganó o se per-
dió en todo y cuánto?
a) –1960 c) +1920 e) +1860
b) –1920 d) –1860
23. Calcula el costo de un artículo, sabiendo que al 
venderlo en S/.16 se pierde un tanto por ciento 
igual a dicho costo.
a) 15 c) 20 e) 18
b) 12 d) 24
24. Un artículo se vende en S/.260 ganándose el 30% 
del costo. Si por efecto de la inflación el costo ha 
aumentado en 20%, ¿cuál debe ser el precio del 
artículo para seguir ganando el mismo porcentaje?
a) S/.328 c) S/.213 e) S/.312
b) S/.316 d) S/.324
25. En una granja, el 40% de los animales son cuyes, 
el 25% son conejos y el resto pavos. Si se vende la 
mitad de los cuyes, 2/5 de los conejos y 4/7 de los 
pavos. ¿Qué porcentaje del nuevo total son conejos?
a) 32% c) 30% e) 60%
b) 45% d) 25%
16. a
17. b
18. e
19. d
20. c
21. a
22. b
23. c
24. e
25. c
Claves
5TO AÑO
166
Integral
1. Si el 30% del 20% de un número es 6000. ¿Cuál es 
el 10% del 40% de dicho número?
a) 200 c) 500 e) 6000
b) 300 d) 400
2. Si el largo de un rectángulo se incrementa en su 
20% y su ancho se incrementa en un 50%. El área 
del rectángulo se incrementa en un:
a) 40% c) 60% e) 70%
b) 80% d) 90%
3. Un artículo que costó S/.6000 se vendió con una 
ganancia del 30%, calcula el precio de venta.
a) S/.6900 c) S/.7200 e) S/.7800
b) S/.8100 d) S/.6500
4. Un objeto fue descontado en 20% y se vendió en 
S/.800. ¿Cuál fue el precio fijado?
a) S/.1000 c) S/.900 e) S/.1500
b) S/.1200 d) S/.950
PUCP
5. Si A es el 125% de B. ¿Qué tanto por ciento de A 
es A + B?
a) 180% c) 80% e) 120%
b) 160% d) 60%
6. ¿Qué porcentaje del precio de venta se gana si 
el precio de costo es S/.440 y el precio de venta 
S/.500.
a) 15% c) 12% e) 24%
b) 10% d) 20%
7. En una empresa el 20% del personal es femenino. 
Si el 40% del personal masculino y el 30% del fe-
menino asisten a la escuela nocturna. ¿Qué por-
centaje del personal asiste a la escuela nocturna?
a) 42% c) 52% e) 34%
b) 38% d) 48%
8. El precio de la entrada al teatro se rebaja en 20%; 
esto hace que la asistencia del público se incre-
mente en 40%. ¿Cuál fue el efecto de esta rebaja 
en los ingresos diarios?
a) +5% c) –12% e) +12%
b) –10% d) +10%
UNMSM
9. Un artículo se vende en S/.390 ganándose el 30% 
del costo. Si por efecto de la inflación el costo ha 
aumentado en 10%, ¿cuál debe ser el precio del artí-
culo para seguir ganando el mismo porcentaje?
a) S/.249 c) S/.429 e) S/.378
b) S/.345 d) S/.492
10. En una granja, el 20% de los animales son cone-
jos; 4/7 son pollos y 2/9 son patos. ¿Qué porcen-
taje del total son pollos?
a) 16% c) 30% e) 22%
b) 25% d) 20%
11. Al precio de una tela se le hacen dos descuentos 
sucesivos del 20% y 30%, no necesariamente en 
ese orden, pagándose finalmente S/.336. El precio 
original es:
a) S/.840 c) S/.600 e) S/.640
b) S/.645 d) S/.540
12. Si el dólar se encarece en un 25%. ¿Qué porcen-
taje menos de dólares se podrían adquirir con la 
misma cantidad de dinero?
a) 20% c) 25% e) 30%
b) 18% d) 15%
Tarea
167
 ARITMÉTICA
UNI
13. Un comerciante compró pantalones a S/.100 cada 
uno y los vendió con una ganancia neta de S/.480, 
la venta le ocasionó un gasto del 25% de la ganan-
cia bruta. Si por todo obtuvo S/.3640, ¿cuántos 
pantalones compró?
a) 42 c) 10 e) 30
b) 36 d) 20
14. Un número disminuido sucesivamente en dos 
porcentajes iguales a «m%», para luego aumen-
tarlo en 40% del valor alcanzado, resultando fi-
nalmente con aumento porcentual de 1,15%. 
Calcula «m».
a) 16% c) 15% e) 18%
b) 20% d) 12%
15. En una fábrica trabajan 500 personas de las cuales 
el 70% son obreros. Si se despide al 20% de los 
obreros y luego contratan el 30% de la cantidad 
de los obreros no despedidos. ¿Cuántos obreros 
trabajan al final en la fábrica?
a) 364 c) 346 e) 340
b) 320 d) 463
Claves
01. d
02. b
03. e
04. a
05. a
11. c
12. a
13. e
14. c
15. a
06. c
07. b
08. e
09. c
10. b
5TO AÑO
168
Interés
Definición
Es un procedimiento aritmético que nos permite 
obtener la ganancia (interés) generada a partir de 
cierta suma de dinero bajo ciertas condiciones 
financieras o comerciales.
Elementos
A. Capital (C)
 Es la suma de dinero o bien material que se va a 
prestar, depositar o alquilar por un determinado 
periodo de tiempo.
B. Tiempo (T)
 Es el periodo durante el cual se va a ceder o impo-
ner el capital.
C. Tasa de interés (%)
 Nos indica qué tanto por ciento del capital se va 
a generar al cabo de cierto periodo de tiempo ya 
especificado.
 Equivalencias
1. Comerciales de tiempo
 
1 mes comercial < > 30 días
1 año comercial < > 360 días
2. Tasas, ejemplos:
 
 Z 5% mensual <> 60% anual
 Z 2% bimestral <> 12% anual
 Z 3% semestral <> 6% anual
 Z 6% trimestral <> 24% anual
 Z 4% cuatrimestral<> 12% anual
D. Interés (I)
 Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce 
o genera el capital al cabo de cierto tiempo y bajo 
ciertas condiciones previamente establecidas.
E. Monto (M)
 Es el acumulado de capital con el interés generado.
M = C + I
Interés simple
Es cuando el interés o ganancia que genera el capital 
de préstamo no se acumula al capital sino hasta el 
final de todo el proceso de préstamo.
Se calcula:
 I = C×r%×T
 Z Para T = años
I = C×r×T
100
 Z Para T = meses
I = C×r×T
1200
 Z Para T = días
I = C×r×T
36 000
Advertencia pre
No olvides que el tiempo y la tasa de 
interés deben estar expresados en la 
misma unidad temporal.
169
 ARITMÉTICA
Integral
1. Calcula el interés producido por S/.5000 impues-
to durante 3 años al 20%.
2. ¿En cuánto se convertirán S/.8000 al 25% anual 
en 9 meses?
3. ¿Al cabo de cuánto tiempo un capital sujeto al 
60% se cuadruplicará?
PUCP
4. ¿Qué interés producirá un capital de S/.5400 pres-
tado al 18% anual durante 3 años y 4 meses?
Resolución:
 
I = C×r×T
1200
 I = 5400⋅18⋅40
1200
 I = S/.3240 
5. ¿Qué interés producirá un capital de S/.8500 pres-
tados al 15% anual durante 4 años 2 meses?
6. Los 2/5 de un capital han sido impuesto al 30% y 
el resto al 40% si el interés tota anual de S/.3600, 
calcula el capital.
7. Se prestó un capital por 1 año y el monto fue 
S/.5500; si se hubiera prestado por 2 años, el mon-
to sería S/.6000, ¿cuál fue la tasa?
UNMSM
8. Lopez Meneses impone los 3/8 de su capital al 
5% y el resto al 8%, resultando en total un interés 
anual de S/.1100. ¿Qué cantidad fue impuesta al 
5%?
Resolución:
 Sea el capital: 8k
 3k⋅5⋅11000 + 
5k⋅8⋅1
1000 = 1100
 15k100 + 
40k
100 = 1100 → k = 2000
 Nos piden 3k → 3(2000) = S/.6000
Trabajando en clase
9. El Sr. Torres impone los 4/7 de su capital al 4% y 
el resto al 5% y resulta un interés anual de S/.9300. 
¿Qué cantidad fue impuesta al 4%?
10. ¿A qué tasa de interés la suma de S/.20 000 llegará 
a un monto de S/.28 000 colocada a interés simple 
de 1 año y 4 meses?
11. El monto de un capital durante 1 año y 3 meses 
es S/.2250 y durante 2 años y 9 meses es S/.2790. 
Calcula la tasa de interés anual.
UNI
12. Determina el tiempo al que fue impuesto un capi-
tal a una tasa de 60%, sabiendo que el capital, in-
terés y monto más capital forman una proporción 
geométrica continua, donde la media proporcio-
nal es el interés.
Resolución:
 C
I
 = I
M+C
 Aplicando propiedad
 C + I
I
 = I+M+C
M+C
 ⇒ M
I
 = 2M
M+C
 M + C = 2I
 ↓
 C + I + C = 2I
 2C = I
 ∴ C = C⋅60⋅x
1200
 → x = 40 meses
 
13. Determina el tiempo al que fue impuesto un capi-
tal a una tasa de 30%, sabiendo que el capital, in-
terés y monto más capital forman una proporción 
geométrica continua, donde la media proporcio-
nal es el interés.
14. Durante cuánto tiempo estuvo depositado un ca-
pital al 12% anual si los intereses producidos al-
canzan al 48% del capital?
5TO AÑO
170
16. Calcula el interés producido por S/.8000 impues-
to durante 2 años al 15%.
a) S/.2500 c) S/.1200 e) S/.2000
b) S/.1800 d) S/.2400
17. ¿En cuántose convertirán S/.6000 al 18% anual 
en 11 meses?
a) S/.6960 c) S/.6990 e) S/.6980
b) S/.5990 d) S/.6890
18. ¿Al cabo de cuánto tiempo un capital sujeto al 
24% se triplicará?
a) 48 meses c) 20 meses e) 10 meses
b) 36 meses d) 100 meses
19. ¿Qué capital colocado al 12 % mensual genera en 
2 meses un monto de S/.6200?
a) S/.6000 c) S/.4500 e) S/.3600
b) S/.5000 d) S/.4000
20. Los 4/7 de un capital han sido impuestos al 4% y 
el resto al 5% si el interés total anual fue de S/.620. 
Calcula el capital.
a) S/.14 600 c) S/.14 000 e) S/.12 000
b) S/.1400 d) S/.8000
21. Se prestó un capital por 12 meses y el monto fue 
S/.5200. Si se hubiera prestado por 18 meses, el 
monto sería S/.6800. ¿Cuál fue la tasa?
a) 120% c) 150% e) 180%
b) 160% d) 136%
Sigo practicando
171
 ARITMÉTICA
Esquema formulario
22. Un capital impuesto durante 10 meses se con-
vierte en S/.1430 pero si estuviese 7 meses más se 
convertiría en S/.1507. Calcula dicho capital.
a) S/.1380 c) S/.1320 e) S/.1390
b) S/.1230 d) S/.1340
23. Determina las tasas equivalentes:
I. 6% trimestral
II. 4% bimestral
III. 1% quincenal
IV. 12% semestral
a) I y IV c) II y IV e) Todas
b) I, II, III d) I y III
Interés simple
 Tiempo en años
I = C×r×T
100
 Tiempo en meses
I = C×r×T
1200
 Tiempo en días
I = C×r×T
36 000
I: interés C: capital r: tasa de interés T: tiempo
M = C + I
 ↓ ↓ ↓ 
monto=capital+interés
16. d
17. c
18. d
19. b
20. c
21. b
22. c
23. e
24. b
25. c
Claves
24. ¿A qué tasa de interés la suma de S/.20 000 lle-
gará a un monto de S/.30 000 colocado a un in-
terés simple de 2 años y 1 mes?
a) 20% c) 30% e) 18%
b) 24% d) 36%
25. El monto de un capital durante 1 año y 4 me-
ses es S/.3200 y durante 2 años y 6 meses es 
S/.4600. Calcula la tasa de interés anual.
a) 45% c) 75% e) 64%
b) 60% d) 72%
5TO AÑO
172
Integral
1. Calcula el interés producido por S/.6000 impues-
to durante 7 años al 15%.
a) S/.500 c) S/.625 e) S/.550
b) S/.560 d) S/.525
2. ¿En cuánto se convertirán S/.12 000 al 18% anual 
en 7 meses?
a) S/.13 260 c) S/.13 620 e) S/.14 640
b) S/.1326 d) S/.1346
3. ¿Al cabo de cuánto tiempo un capital sujeto al 
20% se quintuplicará?
a) 12 años c) 5 años e) 20 años
b) 8 años d) 10 años
4. ¿A qué porcentaje debe ser colocado un capital, 
para que en 3 años y 4 meses produzca un interés 
equivalente a los 2/5 de la mitad del monto?
a) 30% c) 7,5% e) 3,75%
b) 15% d) 12%
PUCP
5. Los 3/7 de un capital han sido impuestos al 20% 
y el resto al 30%. Si el interés total anual fue de 
S/.720. Calcula el capital.
a) S/.700 c) S/.2800 e) S/.3500
b) S/.1400 d) S/.2400
6. Se prestó un capital por 4 años y el monto fue 
S/.12 000, si se hubiera prestado por 5 años el 
monto sería S/.13 500, ¿cuál fue la tasa?
a) 28% c) 16% e) 20%
b) 24% d) 25%
7. Si se depositó S/.540 a una tasa anual y se produjo 
un interés de S/.27. ¿Cuánto tiempo estuvo el ca-
pital depositado?
a) 3 meses c) 2 meses e) 8 meses
b) 4 meses d) 6 meses
8. ¿Qué capital colocado a una tasa anual del 45% 
producirá un interés simple de S/.300 en el perio-
do comprendido entre el 22 de marzo y el 15 de 
abril?
a) S/.900 c) S/.1000 e) S/.1200
b) S/.800 d) S/.700
UNMSM
9. ¿A qué tasa de interés la suma de S/.800 llegará 
a un monto de S/.1050 colocada a interés simple 
durante 2 años y 1 mes.
a) 18% c) 20% e) 30%
b) 15% d) 25%
10. El monto de un capital durante 2 años es S/.8400 
y durante 5 años es S/.12 000. Calcula la tasa de 
interés anual.
a) 23% c) 18% e) 20%
b) 19% d) 17%
11. ¿Qué capital es aquel que, colocado al 5% anual 
durante 10 meses, produce S/.3300 menos que 
si se impusiera al 5% mensual durante el mismo 
tiempo?
a) S/.8400 c) S/.7200 e) S/.7500
b) S/.6400 d) S/.7100
12. Si a un capital se le suma los intereses producidos 
en 2 años, se obtiene una cantidad que es al capi-
tal prestado como 29 a 25. ¿A qué tasa de interés 
fue colocada?
a) 10% c) 6% e) 12%
b) 4% d) 8%
Tarea
173
 ARITMÉTICA
UNI
13. Determina el tiempo al que fue impuesto un capi-
tal a una tasa del 75%, sabiendo que el capital, in-
terés y monto más capital forman una proporción 
geométrica continua, donde la media proporcio-
nal es el interés. Da la respuesta en meses.
a) 16% c) 48% e) 36%
b) 32% d) 24%
14. Durante cuánto tiempo estuvo depositado un ca-
pital al 5% anual si los intereses producido alcan-
zan al 60% del capital?
a) 8 años c) 16 años e) 12 años
b) 18 años d) 10 años
15. Eliane deposita S/.abcooo en un banco de Gi-
nebra que la paga 7,3% anual, y otro capital de 
S/.xyzooo lo coloca en una financiera de Gran 
Caimán, la cual le da un beneficio de 8,2% anual. 
Luego de 11 años el monto originado por ambos 
capitales es el mismo. 
 Calcula a + y + z + a + b + c.
a) 20 c) 21 e) 19
b) 22 d) 23
Claves
01. d
02. a
03. e
04. c
05. c
11. c
12. d
13. b
14. e
15. a
06. d
07. a
08. c
09. b
10. e
5TO AÑO
174
Descuento
Elementos
1. Letra de cambio o pagaré
 Es un documento comercial, en el que una perso-
na (deudor) se compromete a pagarle a otra per-
sona (acreedor) un dinero en una determinada 
fecha (fecha de vencimiento).
2. Descuento (D)
 Es la rebaja que se le hace a la letra de cambio, 
cuando es pagado con anticipación a su venci-
miento.
3. Valor nominal (Vn)
 Es la cantidad de dinero que está escrita y especi-
ficada en la letra de cambio, el deudor debe pagar 
esta cantidad en la fecha de vencimiento.
4. Valor actual (Va)
 Llamado también valor efectivo, es el valor que 
toma la letra de cambio al momento de ser cance-
lada.
5. Tiempo de descuento (T)
 Es el periodo desde el momento en que se cancela 
la deuda hasta la fecha de vencimiento.
Va Va
D
t
r%
letra de
cambio
 Tenemos: D = Vn – Va
Clases de descuento
1. Descuento comercial (Dc)
 Llamado también descuento extremo o abusi-
vo, es el que se calcula respecto al valor nominal 
(Vn).
Vac Vn
Dc
r%
t
Dc = Vn – Vac
 
 Fórmulas:
 DC =
Vn ⋅ r ⋅ t
100 para T: años
 DC =
Vn ⋅ r ⋅ t
1200 para T: meses
 DC =
Vn ⋅ r ⋅ t
36 000 para T: días
2. Descuento racional (DR)
 Llamado también descuento interno o matemáti-
co, se calcula respecto al valor actual (Va).
VaR Vn
DR
r%
t
DR = Vn – VaR
 Fórmulas:
 DR =
VaR ⋅ r ⋅ t
100 para T: años
 DR =
VaR ⋅ r ⋅ t
1200 para T: meses
175
 ARITMÉTICA
Integral
1. Calcula el descuento que se le debe hacer a una 
letra de S/.7200 al 4% si faltan 5 meses para su 
vencimiento.
2. Calcula el descuento racional si su valor actual ra-
cional es S/.27 000 al 20%, si faltan 8 días para su 
vencimiento.
3. Calcula el valor nominal de una letra, sabiendo 
que si se descontara en este momento, los des-
cuentos comercial y racional serían de 500 y 460 
soles.
PUCP
4. Se firmó una letra de S/.7500, si esta letra se can-
celara 6 meses antes de su vencimiento al 9% se-
mestral de descuento, ¿cuál sería su valor actual?
Resolución:
 
7500 ⋅ 9 ⋅ 2 ⋅ 6
1200
DC = = S/.675
 D = Vn – Va
 675 = 7500 – Va
 ∴Va = S/.6825
5. Se firmó una letra de S/.12 000 si esta letra se 
cancelara 3 meses antes de su vencimiento al 5% 
cuatrimestral de descuento, ¿cuál sería su valor 
actual?
Trabajando en clase
6. Se firmó una letra por S/.6000, si esta letra se 
cancelara 5 meses antes de su vencimiento al 4% 
mensual de descuento racional. ¿Cuánto sería su 
valor actual racional?
7. ¿Cuántos días antes de su vencimiento ha sido 
descontada una letra de S/.4000 que al 4% se ha 
reducido a S/.3982?
UNMSM
8. La diferencia entre el descuento comercial y ra-
cional de una letra de S/.270 es de S/.3. ¿Cuál es el 
descuento racional? 
Resolución:
 Datos
 
Vn = 270
DC – DR = 3
Vn =
270 =
DC ⋅ DR
DC – DR
DC ⋅ DR
3





810 = DC ⋅ DR
 ↓ ↓
 30 27
 DR = S/.27
 
9. La diferencia entre el descuento comercial y ra-
cional de una letra de S/.100 es S/.5, ¿cuál es el 
descuento racional?
10. Calcula el valor nominal de un pagaré por el cual 
se recibe S/.5174, descontada al 6% por 30 días.
 DR =
VaR ⋅ r ⋅ t
36 000 para T: días
PropiedadesRelaciona los descuentos para una sola letra de 
cambio.
 Z Vn > Va Dc ⇒ DR
 Z Vac < VaR
 Z VaR – Vac = Dc – DR
 Z DC – DR = 
DR ⋅ r ⋅ T
100
 Z Vn = 
DC ⋅ DR
Dc –DR
 ⇒ Importante
 Z DR = 
Vn ⋅ r ⋅ T
100+r⋅t
5TO AÑO
176
11. En un pagaré el descuento comercial y el valor ac-
tual comercial están en la relación de 1 a 3. ¿Qué 
porcentaje del valor nominal es el descuento co-
mercial?
UNI
12. El valor actual comercial de una letra es 24 veces 
el descuento comercial. Si faltan 2 meses para su 
vencimiento, determina la tasa bimestral de des-
cuento.
 
13. El valor actual comercial de una letra es 19 veces 
el descuento comercial. Si faltan 3 meses para su 
vencimiento, determina la tasa semestral de des-
cuento.
14. El valor actual racional excede al valor actual 
comercial de una letra en S/.24. Calcula el valor 
nominal de dicha letra, si el producto de los des-
cuentos es S/.34 560.
Regla de descuento
Va Vn
Fv
D
Clases
D. Racional (DR)
DR =
VaR ⋅ r ⋅ t
100
DR =
VaR ⋅ r ⋅ t
1200
DR =
VaR ⋅ r ⋅ t
36 000
D. Comercial (DC)
DC =
Vn ⋅ r ⋅ t
100
 
DC =
Vn ⋅ r ⋅ t
1200
DC =
Vn ⋅ r ⋅ t
36 000
Se cumple:
D = Vn – Va
en años ⇒
en meses ⇒
en días ⇒
Análisis combinatorio
Vn < Va DC > DR
Vn = 
DC ⋅ DR
Dc –DR DR = 
Vn ⋅ r ⋅ T
100+r⋅t
Es una disminución al importe de un documento de crédito
Vac < VaR
VaR – VaC = DC – DR
 DC – DR = 
DR ⋅ r ⋅ T
100
Esquema formulario
177
 ARITMÉTICA
16. Calcula el descuento que se le debe hacer a una 
letra de S/.7500 al 8% si faltan 7 meses para su 
vencimiento.
a) S/.350 c) S/.300 e) S/.450
b) S/.360 d) S/.320
17. Calcula el descuento racional si su valor actual 
racional es S/.8000 al 6% y faltan 2 años para su 
vencimiento.
a) S/.900 c) S/.980 e) S/.950
b) S/.960 d) S/.920
18. Calcula el valor nominal de una letra sabiendo 
que si se descontara en este momento, los des-
cuentos comercial y racional serían de S/.600 y 
S/.540.
a) S/.4500 c) S/.5000 e) S/.5200
b) S/.4800 d) S/.5400
19. El valor nominal de una letra es 8 veces el des-
cuento racional. ¿Cuántas veces el descuento co-
mercial es el valor nominal?
a) 6 c) 7 e) 11
b) 8 d) 9
20. Se firmó una letra por S/.500, si esta letra se can-
celara 10 meses antes de su vencimiento al 5% bi-
mestral de descuento racional. ¿Cuánto sería su 
valor actual racional?
a) S/.5000 c) S/.6000 e) S/.4200
b) S/.4000 d) S/.4800
21. ¿Cuántos días antes de su vencimiento ha sido 
descontada una letra de S/.6000 que al 4% se ha 
reducido a S/.5960?
a) 60 días c) 48 días e) 64 días
b) 50 días d) 72 días
Sigo practicando
5TO AÑO
178
22. Calcula el valor actual de una letra de S/.1500, sa-
biendo que la relación entre el descuento comer-
cial y el descuento racional es de 5 a 3.
a) S/.600 c) S/.500 e) S/.300
b) S/.800 d) S/.1100
23. Por una letra de S/.9000 se ha pagado S/.8635, sa-
biendo que faltaban 73 días para su vencimiento, 
calcula la tasa descontable.
a) 20% c) 15% e) 25%
b) 18% d) 22%
16. a
17. b
18. d
19. c
20. b
21. a
22. c
23. a
24. d
25. e
Claves
24. Calcula el valor nominal de un pagaré por el cual 
se reciben S/.7400, descontado al 8% por 60 días.
a) S/.5000 c) S/.5400 e) S/.100
b) S/.5400 d) S/.7500
25. En un pagaré el descuento comercial y el valor 
actual comercial están en la relación de 1 a 4. 
¿Qué porcentaje del valor nominal es el descuen-
to comercial?
a) 28% c) 26% e) 20%
b) 23% d) 25%
179
 ARITMÉTICA
Integral
1. Calcula el descuento que se le debe hacer a una 
letra de S/.6600 al 5% si faltan 8 meses para su 
vencimiento.
a) S/.160 c) S/.120 e) S/.240
b) S/.200 d) S/.220
2. Calcula el descuento racional si su valor actual 
racional es S/.30 000 al 15% si faltan 12 días para 
su vencimiento.
a) S/.200 c) S/.160 e) S/.150
b) S/.180 d) S/.120
3. Calcula el valor nominal de una letra, sabiendo 
que si se descontara en este momento, los des-
cuentos comercial y racional serían de 400 y 360 
soles.
a) S/.3600 c) S/.4000 e) S/.3800
b) S/.4200 d) S/.3200
4. Un pagaré de S/.12 000 se ha descontado comer-
cialmente al 9% anual, obteniéndose S/.11 865 
de valor actual. ¿Dentro de cuánto tiempo ven-
cerá el pagaré?
a) 90 días c) 180 días e) 60 días
b) 120 días d) 45 días
PUCP
5. Se firmó una letra por S/.22 200 si esta letra se 
cancelara 8 meses antes de su vencimiento al 3% 
mensual de descuento racional. ¿Cuánto sería su 
valor actual racional?
a) S/.12 000 c) S/.16 000 e) S/.18 000
b) S/.15 000 d) S/.17 000
6. ¿Cuántos descuentos de su vencimiento ha sido 
descontada una letra de S/.3000 al 4% se ha re-
ducido a S/.2976.
a) 56 días c) 45 días e) 72 días
b) 81 días d) 36 días
 
7. El valor actual de una letra es S/.1470. La suma 
del valor nominal y el descuento es S/.1530. Si la 
tasa descontable es 12%, ¿dentro de cuánto tiem-
po es la fecha de vencimiento?
a) 1 mes c) 3 meses e) 5 meses
b) 2 meses d) 4 meses
8. En una letra el descuento comercial es el 50% del 
valor actual comercial. ¿Qué porcentaje del valor 
nominal es el descuento matemático?
a) 25% c) 16% e) 30%
b) 20% d) 24%
UNMSM
9. Calcula el valor nominal de un pagaré por el cual 
se recibe S/.5376 descontado al 8% por 20 días.
a) S/.4800 c) S/.5200 e) S/.5600
b) S/.5000 d) S/.5400
10. En un pagaré el descuento comercial y el valor ac-
tual comercial están en la relación de 1 a 4. ¿Qué 
porcentaje del valor nominal es el descuento co-
mercial?
a) 15% c) 25% e) 16%
b) 20% d) 30%
11. Una letra que vence dentro de 2 meses tiene un 
valor actual de S/.40 000.Si la letra se desconta-
ra dentro de 15 días, el descuento sería S/.4500. 
Calcula el valor nominal de la letra.
a) S/.43 000 d) S/.46 000
b) S/.44 000 e) S/.47 000
c) S/.45 000 
Tarea
5TO AÑO
180
12. Determina el valor efectivo de una letra de cam-
bio de S/.7500, la cual vencía el 13 de setiembre y 
fue cancelada el pasado 21 de junio, siendo la tasa 
del 6%.
a) S/.7492 c) S/.7395 e) S/.7595
b) S/.7390 d) S/.7496
UNI
13. El valor actual comercial de una letra es 15 veces 
el descuento comercial. Si faltan 3 meses para su 
vencimiento, determina la tasa del descuento.
a) 36% c) 20% e) 25%
b) 30% d) 24%
14. El valor actual racional excede al valor actual 
comercial de una letra en S/.25. Calcula el valor 
nominal de dicha letra, si el producto de los des-
cuentos es S/.15 000.
a) S/.6400 c) S/.6000 e) S/.5000
b) S/.1500 d) S/.4500
15. Calcula el descuento comercial para una letra de 
S/.54 000, el día que el descuento racional sea los 
9/11 del descuento comercial.
a) S/.12 000 c) S/.10 000 e) S/.16 000
b) S/.15 000 d) S/.8000
Claves
01. d
02. e
03. a
04. d
05. b
11. d
12. c
13. e
14. c
15. a
06. e
07. b
08. a
09. d
10. b
181
 ARITMÉTICA
Estadística
Definición
Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de 
métodos y procedimientos para la recolección, 
clasificación, análisis e interpretación de datos para 
tomar decisiones.
Clasificación
A. Estadística descriptiva
 Se encarga de describir en forma clara y adecuada 
los datos que se manejan.
B. Estadística inferencial
 Llamada también deductiva. Tiene por objeto de-
ducir leyes de comportamiento de una población 
a partir del estudio de una muestra.
Población y muestra
Población
Es un conjunto de individuos, objetos u observaciones 
que poseen al menos una característica común.
Muestra
Es una parte o subconjunto representativo de la 
población.
Variable estadística
Es una característica de la población y puede tomar 
diferentes valores. Se clasifican en:
A. Cualitativa
 Son variables cuyos valores son cualidades que 
representa la población.
 Ejemplo: La variable profesión puede adoptar las 
modalidades: ingeniero, abogado, médico, etc.
B. Cuantitativa
 Son variables que se obtuvieron como resultado 
de mediciones o conteos.
a) Discreta: la variable toma solo valores enteros.
 Ejemplo: El número de miembros de una fa-
milia.
b) Continua: la variable puede tomar cualquier 
valor comprendido entre otros dos.
 Ejemplo: Una persona puede pasar entre 
70 kg y 7 kg.
Distribución de frecuencias
A. Frecuencia absoluta (fi)
 Es el númerode veces que aparece un valor de la 
variable estadística, se cumple:
 f1 + f2 + f3 + ... + fk = n
B. Frecuencia absoluta acumulada (Fc)
 Es la acumulación sucesiva de las frecuencias ab-
solutas simples, o sea: 
 Fi = f1 + f2 + f3 + .. + fi
C. Frecuencia relativa (hi)
 Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el 
número total de datos.
 hi = fin
 ; h1 + h2 + h3 + ... + hx = 1
D. Frecuencia relativa acumulada (Hi)
 Es la acumulación sucesiva de las frecuencias re-
lativas o sea: 
 Hi = h1 + h2 + h3 + ... + hk; Hi =
Fi
n
 Ejemplo: Del siguiente cuadro:
n.º de 
hijos
n.º de 
fam (fi) Fi hi Hi hi%
2 5 5 0,25 0,25 25%
3 6 11 0,30 0,55 30%
4 3 14 0,15 0,70 15%
5 2 16 0,10 0,80 10%
6 4 20 0,20 1 20%
n=20
 hi = fin
 ⇒ h1 = 5
20
 = 0,25
5TO AÑO
182
Integral
Enunciado
Se tienen las notas de 16 alumnos en una examen de 
química: 12; 14; 12; 08; 10; 12; 15; 13; 14; 12; 13; 17; 
12; 09; 10 y 15
1. ¿Cuál es la moda?
2. Calcula la media.
3. Si el profesor Sarmiento decide aprobar a los 
alumnos cuya nota sea mayor o igual a la media, 
¿cuántos aprueban?
PUCP
4. El siguiente gráfico registra información sobre las 
preferencias de 16 200 aficionados al fútbol:
Trabajando en clase
Gráficos o diagramas
a. Histograma (I vs f o h)
 
f
5
6
4
3
2
2 3 4 5 6 n.º
 hijos
b. Diagrama escalonado: Las frecuencias absolutas 
o relativas pero acumuladas.
c. Gráfico circular: Llamado también de sectores o 
de pastel.
Total = 100% = 360º
Medidas de tendencia central
a) Media aritmética
 Llamada también media o promedio aritmético.
 Y Para «n» datos no clasificados.
MA = x =
x1+x2+x3+...+xn
n
b) Mediana (Me)
 Es aquel valor que separa en 2 grupos de igual 
cantidad de datos.
 Y Para datos no clasificados, se ordena los datos 
en forma creciente y luego: si la cantidad de 
datos es impar, la Me será el dato central o si 
la cantidad es par la Me será el promedio de 
los dos datos centrales.
c) Moda (Mo)
 Es el valor que se representa con mayor frecuen-
cia en un grupo de datos.
 Y Para datos no clasificados, se considera el va-
lor más repetitivo, que pueden ser uno o más 
valores.
SC
100º AL
150º
U
 ¿Cuántos se manifestaron hinchas de la U?
Resolución:
 Total: = 16 200 = 100% = 360º
 Pero:
 U = 360º – (100º + 150º) = 110º
 360º 16 200
 110º x
 ⇒ x = 110º×16 200
360º
 ∴ x = 4950
183
 ARITMÉTICA
5. El siguiente gráfico registra información sobre las 
preferencias de 900 aficionados al fútbol.
Barcelona
140º
Real
Madrid
120º
Inti
Gas
 ¿Cuántos se manifestaron hinchas de Inti Gas?
6. Dada la distribución de frecuencia de las edades 
de cierta cantidad de alumnos, calcula la frecuen-
cia relativa de los alumnos que tienen 22 años.
 
Edades Nº de alumnos
25 4
26 6
27 3
28 7
7. Del problema anterior, calcula:
 F2 + f3 + h3 + H2
UNMSM
8. Según el siguiente cuadro, calcula la Mo, Me y x.
Edades N.º de alumnos
20 12
21 8
22 16
23 14
Resolución:
 Y La moda es el dato con mayor frecuencia
 Mo = 28 años
 Y La mediada es el dato central de un grupo de 
datos ordenados:
 ∴ Me = 26 + 27
2
 = 26,5
 Y La media es el promedio aritmético
 ∴ x = 4(25)+6(26)+3(27)+7(28)
4+6+3+7
 = 26,65
9. Según el siguiente cuadro, calcula la Mo, Me y x.
Edades N.º de alumnos
14 3
15 4
16 7
17 6
10. Se ha encuestado a 20 jóvenes con respecto a las 
edades que tienen:
12
12
14
17
14
15
14
12
17
12
15
15
12
12
15
14
14
12
17
12
 Realizando la tabla de frecuencia tenemos:
 
Edad n.º de alumnos(f) F h H
12
14
15
17
Total 20
 Completa el cuadro y responde:
 ¿Qué porcentaje del total de encuestados tiene 
por lo menos 14 años?
11. Del problema anterior (10), calcula 
 f2 + F3 + h1 + H2
UNI
12. Dado el siguiente cuadro incompleto de las tablas 
de distribución de frecuencia de un grupo de 50 
personas:
 
Estado civil f F h H
Soltero 15
Casado 28
Viudo 0,80
Divorciado
 ¿Qué porcentaje representan los viudos?
Resolución:
 Del dato n = 50, además H4 = 1
 ∴ h4 = 1 – 0,80 = 0,20
5TO AÑO
184
 ⇒ 
f4
h4
 = n ⇒ f4 = 0,20 × 50 = 10
 también F1 = 15 ⇒ f2 = 28 – 15 = 13
 entonces f1 + f2 + f3 + f4 = n
 15 + 13 + f3 + 10 = 50
 f3 = 12
 ∴ h3 = 
f3
n
 ⇒ h3 = 
12
50
 = 0,24 = h3% = 24%
13. Dado el siguiente cuadro incompleto de las tablas 
de distribución de frecuencias de un grupo de 
100 personas.
 
Ocupación f F h H
Ingenieros 24
Abogados 42
Médicos 0,75
Químicos
14. Completa la siguiente tabla de frecuencias:
 
N.º de 
hijos
N.º de familias
(f)
F h H h%
0 8
1 15
2 12
3 24
4 15
5 26
n =
 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?
I. F2 + h5 + H3 = 23,75
II. Por lo menos el 65% de las familias tiene 3 
hijos.
III. A lo más el 60% de las familias tiene 4 hijos.
185
 ARITMÉTICA
Enunciado
Se tienen las notas de 20 alumnos en un examen de 
Aritmética:
12; 16; 14; 16; 15; 17; 18; 20; 10; 14; 13; 14; 11; 18; 14; 
13; 12; 14; 13 y 24
16. ¿Cuál es la moda?
a) 13 c) 15 e) 17
b) 14 d) 16
17. Calcula la mediana.
a) 12 c) 13 e) 14,5
b) 15 d) 14
18. Si el profesor Jorge decide aprobar a los alumnos 
cuya nota sea mayor o igual a la media. ¿Cuántos 
aprueban?
a) 6 c) 8 e) 10
b) 7 d) 9
19. Se tiene cuatro cantidades positivas; su mediana 
al igual que la moda es 9 y su media es 8. Deter-
mina el producto de dichas cantidades, si es mí-
nima.
a) 1100 c) 472 e) 1134
b) 1000 d) 1053
20. Dada la distribución de frecuencias de las edades 
de cierta cantidad de alumnos, calcula la frecuen-
cia relativa de los alumnos que tienen 19 años.
 
Edades N.º de alumnos
17 12
18 18
19 15
20 5
a) 0,30 c) 0,20 e) 0,28
b) 0,24 d) 0,36
21. Del problema anterior, calcula:
 F3 + h4 + f2 +H3.
a) 68 c) 64 e) 76
b) 68 d) 72
Sigo practicando
5TO AÑO
186
22. Dado el siguiente cuadro estadístico.
 
Edad fi Fi
10 4
12 4
14 15
16 20
18 8
 Calcula la mediana.
a) 15 años c) 14 años e) 16 años
b) 13 años d) 11 años
23. Del problema anterior, calcula la moda.
a) 10 c) 14 e) 18
b) 12 d) 16
24. Se ha encuestado a 20 señoritas con respecto a la 
cantidad de cursos que llevan en quinto de secun-
daria.
 
12
15
12
15
16
13
15
12
15
12
13
15
13
12
13
16
15
16
15
16
 Realizando la tabla de frecuencias tenemos: 
 
N.º de 
cursos
N.º de alumnos 
(f)
F h H
12
13
15
16
Total 20
 Completa el cuadro y luego responde: 
 ¿Qué porcentaje del total de encuestados tiene 
por lo menos 15 cursos?
a) 55% c) 52% e) 45%
b) 50% d) 60%
25. Del problema anterior, calcula:
 f3 + F2 + H3 + hi
a) 17,5 c) 16,05 e) 16,95
b) 17,05 d) 15,05
16. b
17. d
18. c
19. d
20. a
21. c
22. c
23. e
24. a
25. b
Claves
187
 ARITMÉTICA
Esquema formulario
Clases de estadística
Estadística descriptiva Estadística inferencial
Conceptos básicos
Población
universo de datos a 
estudiar
Muestra
subconjunto de la 
población
Diagrama de barras
C
an
tid
ad
A B C D E Producto
Diagrama de sectores
A
B
C
Medidas de tendencia central
Media aritmética (x)
Llamado también 
promedio aritmético
Mediana (Me)
Cantidad que divide a los datos 
(ordenados) en dos grupos de 
igual número
Moda (Mo)
Es el dato que se repite con 
mayor frecuencia
Diagramas
5TO AÑO
188
Integral
Enunciado
Se tienen las notas de 15 alumnos en el examen de 
Física.
10; 16; 13; 16; 13; 11; 12; 13; 15; 17; 13; 18; 15; 12 y 14.
1. ¿Cuál es la moda?
a) 13 c) 11 e) 15
b) 12 d) 14
2. Calcula la mediana.
a) 11 c) 13 e) 15
b) 12 d) 14
3. Si el profesor Landivar decide aprobar a los 
alumnos cuya nota sea mayor o igual a la media. 
¿Cuántos aprueban?
a) 10 c) 9 e) 7
b) 6 d) 8
4. Se tiene 4 cantidades cuya moda es 3, su mediana 
es 5 y su media es 6. Calcula el producto de las dos 
cantidades mayores.
a) 72 c) 74 e) 75
b) 87 d) 77
PUCP
5. Dada la distribución de frecuencias de las edades de 
cierta cantidad de alumnos. Calcula la frecuencia 
relativa de los alumnos que tienen 16 años. 
Edades N.º de alumnos
14 10
15 15
16 8
17 17
a) 0,15 c) 0,12 e) 0,32
b) 0,16 d) 0,26
6. Del problema anterior, calcula:
 F2 + f4 + h2 + H3
a) 46,92 c) 43,96 e) 42,69
b) 43,29 d)42,96
7. En el gráfico se muestra la inversión e infraestruc-
tura vial en Perú y Brasil.
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
2300
1000
2400
800
2800
900
millones $
Año2009 2010 2011
Brasil
Perú
 ¿Cuál es la diferencia de lo invertido en Brasil y 
Perú en infraestructura vial, en los tres años, en 
millones de dólares?
a) 4000 c) 4400 e) 5000
b) 3700 d) 4800
8. ¿Cuál fue el aumento porcentual de la inversión 
en infraestructura vial en Brasil del 2010 al 2014?
a) 16,06% c) 16% e) 16,6%
b) 16,66% d) 16,6%
UNMSM
9. Se ha encuestado a 20 adultos con respecto a las 
edades que tienen:
24
28
24
24
22
20
24
24
20
28
20
28
24
22
28
22
28
24
20
28
Tarea
189
 ARITMÉTICA
 Realizando la tabla de frecuencias tenemos:
Edad N.º de personas
(f)
F h H
20
22
24
28
Total 20
 Completa el cuadro y responde:
 ¿Qué porcentaje del total de encuestados tiene 
por lo menos 24 años?
a) 63% c) 66% e) 67%
b) 65% d) 64%
10. Del problema (9), calcula:
 F3 + f2 + h3 + H2
a) 13,7 c) 17,70 e) 17,5
b) 17,8 d) 11,70
11. En los siguientes gráficos se muestra información 
sobre el sexo de un grupo de 72 alumnos y las 
edades de los hombres:
Femenino
150º
Masculino
Sexo Hombres
14 
años
22 
años
22 o
21 años
120
 ¿Cuántos hombres tienen 22 años?
a) 4 c) 6 e) 8
b) 5 d) 7
12. Si se sabe que 16 es el mayor de 6 datos y además 
Me = 9; Mo = 8 y x = 10. Calcula la suma de los 
datos diferentes a la Mo si estos son diferentes a la 
mediana.
a) 32 c) 34 e) 36
b) 33 d) 35
UNI
13. Dado el siguiente cuadro incompleto de las tablas 
de distribución de frecuencias de un grupo de 
100 personas.
Equipo f F h H
Barcelona 24
Real Madrid 45
Manchester 0,75
San Simón
 ¿Qué porcentaje representa a los Manchester?
a) 25% c) 36% e) 28%
b) 30% d) 32%
14. Completa la siguiente tabla de frecuencia:
Nº. de 
mascotas
Nº. de fam
(f)
F h H h%
0 22
1 15
2 27
3 18
4 10
5 8
 n = 
 
 ¿Cuál es de las siguientes afirmaciones son co-
rrectas?
I. F3 + h4 + H2 = 64,55
II. Por los menos el 18% de las familias tiene 4 
mascotas.
III. A los más el 65% de las familias tiene 2 mascotas.
a) Solo I c) Solo III e) Todas
b) Solo II d) I y II
15. Relaciona:
A. La estatura de una persona.
B. Los miembros de una familia
C. hj
D. Fj
E. El sexo de una persona
( ) variable discreta
( ) frecuencia absoluta acumulada
( ) variable continua
( ) variable cualitativa
( ) frecuencia relativa de un dato
a) ABDEC c) BDACE e) BCAED
b) BDAEC d) BADEC
Claves
01. a
02. c
03. e
04. d
05. b
11. d
12. e
13. b
14. d
15. b
06. d
07. d
08. e
09. b
10. c
5TO AÑO
190
Estadística II
Tabla de frecuencias de una variable continua
(agrupación en intervalos)
Es aquella tabla en la que los datos originales se 
clasifican en intervalos de clase. La razón de la 
agrupación por intervalos de clase es el gran número 
de datos.
Ejemplo:
En una posta médica de Lima, se observa que en 
el presente mes se ha atendido un grupo de 1200 
personas de las cuales hemos recopilado una muestra 
de 20 edades, las cuales mostramos a continuación:
10; 12; 09; 02; 15; 17; 18; 20; 22; 25; 25; 26; 27; 27; 32; 
27; 42; 38; 33 y 34
a. Rango o recorrido (R)
 Es la diferencia entre el mayor (xmáx.) y el menor 
(xmín.) de los datos de la variable.
 Del ejemplo: el rango es R = 42 –2 = 40
b. Número de intervalos de clase (k)
 Es el número de categorías o intervalos en que se 
va a dividir la información.
Regla de Sturges
k = 1 + 3,322 Logn
(n: número de datos)
Del ejemplo: k = 1 + 3,322 Log20 = 5,32
si k = 5,32, se recomienda tomar 5 intervalos o un 
valor cercano que podría ser 4 o 6.
c. Amplitud o ancho de clase (w)
 Es la diferencia entre el límite superior e inferior 
de cada intervalo.
 Del ejemplo: la amplitud de cada clase será:
 w =
R
k ⇒ w = 
40
5 = 8
 o sea: I1 = [02 – 10〉; 10 – 02 = 8
d. Marca de clase (x1)
 Es el punto medio de cada intervalo:
 xi = 
(Límite inferior) + (Límite superior)
2
 Del ejemplo: x1 = 
2+10
2 = 6
e. Las frecuencias absolutas y relativas
 Se siguen los mismos procedimientos del tema 
anterior.
 Por lo tanto, resumiendo los datos en una tabla:
 
Edades Xi fi Fi hi Hi
[02 – 10〉 6 2 2 0,10 0,10
[10 – 18〉 14 4 6 0,20 0,30
[18 – 26〉 22 5 11 0,25 0,55
[26 – 34〉 30 6 17 0,30 0,85
[34 – 42〉 38 3 20 0,15 1
 n=20 1,00
 Observación: H = fn
 ⇒ h1 = 
2
20 = 0,10
Medidas de tendencia central
(Para datos agrupados)
a. Media (x)
x1⋅f1 + x2⋅f2 + ... + xn⋅fn
nx=
b. Mediana (Me)
Me = Lme + 
n
2 – Fme–1
fme
 × w
 Donde: 
 Lme: Límite inferior de la clase mediana
 w: Número total de datos
 Fme–1: Frecuencia absoluta de la clase mediana
191
 ARITMÉTICA
Integral
Enunciado
Se muestra la siguiente tabla de distribución de los 
trabajadores de acuerdo con los años de servicio en 
una empresa:
Año de 
servicio
Números de 
personas
F h
[0; 5〉 10 a p
[5; 10〉 5 b q
[10; 15〉 20 c r
[15; 20〉 15 50 s
1. Calcula el valor de a + b + c.
Trabajando en clase
c. Moda (Mo)
Mo = Lmo + 
d1
d1 + d2
 × w
 Donde: 
 Lmo: Límite inferior de la clase modal
 w: Ancho de la clase modal
 d1: Diferencia entre la frecuencia de la clase mo-
dal y de la clase anterior
 d2: Diferencia entre la frecuencia de la clase mo-
dal y de la clase posterior
2. Calcula p + q + r.
3. ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene 10 o 
más años de servicio?
PUCP
4. En la siguiente tabla de distribución de frecuen-
cias: 
Ii Xi fi
[5 – 15 〉 10 6
[15 – 25〉 20 4
[25 – 35〉 30 3
[35 – 45〉 40 7
 Calcula x.
Ejemplo:
Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Calcula x, Me, Mo.
Edades Xi f Fi
[6 – 10〉 8 6 6
[10 – 14〉 12 7 13
[14 – 18〉 16 8 21
[18 – 22〉 20 4 25
[22 – 26〉 24 12 37
[26 – 30〉 28 13 40
Para ubicar MePara ubicar Me
fme–1
d1=12–4=8
Para ubicar Mo
Lme
Lmo
d2=12–3=9
w = 4
a) x = 
8⋅6+12⋅7+16⋅8+20⋅4+24⋅12+28⋅3
40 = 17,8
b) Me = 14 + 
40
2 – 13
8
 × 4 = 14 + 3,5 = 17,5
c) Mo = 22 + 88 + 9 × 4 = 22 + 1,88 = 23,88
 ∴ x = 17,8
 Me = 17,5
 Mo = 23,88
5TO AÑO
192
Resolución:
 x = 6×10+4×20+3×30+7×40
20
 = 25,5
 ∴ x = 25,5
5. En la siguiente tabla de distribución de frecuencias:
Ii Xi fi
[15 – 25 〉 20 8
[25 – 35〉 30 3
[35 – 45〉 40 4
[45 – 55〉 50 5
 Calcula x
6. El gráfico muestra los ingresos y egresos de una 
compañía durante cuatro años consecutivos:
Millones de S/.
500
450
400
350
300
250
200
150
100
0
1997 1998 1999 2000 Año
ingresos
egresos
 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verda-
deras?
II. La ganancia obtenida en 1999 es la misma 
que la obtenida en 2000. ( )
II. Los egresos aumentaron porcentualmente de 
1999 a 2000 en un 100%. ( )
III. Los ingresos decrecieron porcentualmente de 
1998 en un 66,7%. ( )
7. El siguiente cuadro muestra los ingresos sema-
nales de un grupo de trabajadores de la empresa 
Santiago Export S.A. 
Salarios fi Fi hi Hi
[300 – 350〉 24
[350 – 400〉 0,34
[400 – 450〉 30
[450 – 500〉 0.12
[500 – 550〉
 n = 100
 Determina el valor de:
 f5 + F3 + h2 + H4
UNMSM
8. La siguiente tabla corresponde a la distribución 
del número de pacientes atendidos en enero de 
1998 por 75 puestos de salud en la sierra. Las an-
churas de clase son iguales.
 
Ii Marca de clase (Xi)
# de puestos
fi Fi hi
[20; a 〉 30 0,04
[ ; 〉 12
[ ; 〉 15
[ ; 〉 21
[ ; 〉 12
[ ; 〉 9
[ ; 〉
 Total n = 75
 Completa y calcula:
 x4 + f2 + F6 + h5
Resolución:
 20 + a
2
 = 30 → a = 40; f1 = n ⋅ h1
 f1 = 75(0,04) = 3
 También F2 = F1 + f2
 12 = 3 + f2 → f2 = 9
 Luego: x4 = 80 + 100
2
 = 90
 
 F3 = 12 + 15 = 27
 F4 = 27 + 21 = 48
 F5 = 48 + 12 = 60
 F6 = 60 + 9 = 69
 h5 = 12
75
 = 0,16
 ∴ 90 + 9 + 69 + 0,16 = 168,16 
 
9. La siguiente tabla corresponde a la distribución 
de número de pacientes atendidos en marzo de 
1999 por 80 puestos de salud en la selva. Las an-
churas de clase son iguales.
 Completa y calcula: 
193ARITMÉTICA
Ii Marca de clase (Xi)
# de puestos
fi Fi hi
[10 ; c 〉 30 0,15
[ ; 〉 18
[ ; 〉 16
[ ; 〉 20
[ ; 〉 12
[ ; 〉 4
[ ; 150〉
 Total n = 80 
 X5 + f7 + h4 + F6
10. De la siguiente tabla de distribución calcula F2 + 
w (w: ancho de la clase común).
 
Clases X fi Fi hi Hi
[10 – 〉 0,1
[ – 〉
[ – 〉 0,3
[ – 〉 25 0,8
[ – 60〉 30
11. Construye una tabla de distribución de frecuen-
cia con 5 intervalos de clase de ancho común, te-
niendo en cuenta:
 f1 = 15 = f5
 h2 = h4
 h5 = 0,15
 H3 = 0,73
 X3 = 63 = x2 + 30
 Determina x.
UNI
12. Dada la siguiente distribución de frecuencias, cal-
cula la mediana. 
Ii fi Fi
[10; 20 〉 10
[20; 30〉 12
[30; 40〉 8
[40; 50〉 20
Resolución:
 Me = Li + w
n
2
– Fi – 1
fi
 
 Completando el cuadro:
 
Ii fi Fi
[10; 20 〉 10 10
[20; 30〉 12 22
[30; 40〉 8 30
[40; 50〉 20 50
w
Li
Fi–1
fi
10
 Me = 30 + 10 
50
2
 – 22
8
 = 3 3 , 7 5
13. Dada la siguiente distribución de frecuencias, cal-
cula la mediana.
 
Ii fi Fi
[20; 30〉 24
[30; 40〉 36
[40; 50〉 15
[50; 60〉 25
14. En el siguiente diagrama escalonado:
Fi
20
19
15
9
12
10 16 22 28 34 40 Ii
 Calcula: X3 + f2 + F4 + h2.
5TO AÑO
194
Enunciado
Se muestra la siguiente tabla de distribución de los 
trabajadores de acuerdo con los años de servicio en 
una empresa:
Años de 
servicio
Número de 
personas
F h
[0 ; 8〉 12 a p
[8 ; 16〉 6 b q
[16 ; 24〉 14 c r
[24 ; 32〉 18 50 s
16. Calcula el valor de a + c – b.
a) 26 c) 20 e) 40
b) 24 d) 36
17. Calcula p + r + s.
a) 0,12 c) 0,68 e) 0,88
b) 0,8 d) 0,86
18. ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene 16 o 
más años de servicio?
a) 36% c) 60% e) 72%
b) 64% d) 56%
19. La tabla muestra la distribución del peso en kg de 
40 estudiantes de la academia del ciclo semestral.
 
Peso (kg) N.º de alumnos 
(f)
[50 ; 56〉 6
[56 ; 62〉 6
[62 ; 68〉
[68 ; 74〉 12
[74 ; 80〉 4
 Completa la tabla y calcula:
 X3 + F4 + H2 + h5.
a) 104,4 c) 101,4 e) 104,1
b) 100,4 d) 111,4
20. El gráfico muestra la balanza comercial (exporta-
ciones e importaciones).
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1997 1998 1999 2000 2001
Exportaciones
Importaciones
millones de
dólares
Años
 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la inco-
rrecta:
I. La mayor diferencia entre importaciones y 
exportaciones se produjo en 2001.
II. Las exportaciones disminuyen en 20% de 
1999 a 2000.
III. En 1997 se exportó más de lo que se importó.
IV. En 1999 se exportó 25% menos de lo que se 
importó.
a) I y II c) II y IV e) III
b) IV d) I y IV
Sigo practicando
195
 ARITMÉTICA
21. El siguiente cuadro muestra los ingresos sema-
nales de un grupo de trabajadores de la empresa 
Salserín Export S.A.
 
Salarios fi Fi hi Hi
[500–550〉 30
[550–600〉
[600–650〉 42
[650–700〉 0,24
[700–750〉 27
 n = 150
 Determina el valor de:
 f4 + F3 + h5 + H2
a) 132,48 c) 136,64 e) 123,48
b) 134,26 d) 130,48
22. La media de la siguiente distribución es 55. 
Calcula el valor de «k».
 
I fi
[20 ; 30〉 3
[30 ; 40〉 1
[40 ; 50〉 2
[50 ; 60〉 6
[60 ; 70〉 k
a) 12 c) 11 e) 14
b) 13 d) 10
23. De una encuesta sobre preferencias de marcas de 
autos se obtiene el siguiente gráfico:
40%
10%
40%
Otros
Nissan
Toyota
VW
 Si el 30% de los que prefieren otras marcas son 36 
personas. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
a) 1220 c) 1140 e) 1320
b) 1240 d) 1200
24. De la siguiente tabla de distribución calcula F2 + 
w (w: ancho de clase común).
 
Clases X fi Fi hi Hi
[15 – 〉 0,16
[ – 〉
[ – 〉 0,28
[ – 〉 48 0,88
[ – 65〉 18
a) 50 c) 52 e) 54
b) 51 d) 53
16. a
17. e
18. b
19. c
20. b
21. e
22. b
23. d
24. c
Claves
5TO AÑO
196
Esquema formulario
Tabla de frecuencia de una variable continua
Agrupación en intervalos
Sueldo 
(soles)
Marca de 
clase
Xi
fi Fi hi Hi
[a; b〉
[b; c〉
a+b
2
b+c
2
Fr
ec
ue
nc
ia
 a
bs
ol
ut
a
Fr
ec
ue
nc
ia
 a
bs
ol
ut
a 
ac
um
ul
ad
a
Fr
ec
ue
nc
ia
 re
la
tiv
a
Fr
ec
ue
nc
ia
 re
la
tiv
a 
ac
um
ul
ad
a
        Total de
participantes
n = ?
hi = fi
n
Medidas de tendencia central
(Para datos agrupados)
Media
x = 
Σ
i=1
n
 xi⋅fi
n
Mediana
Me = Lme + 
n
2 – Fme–1
fme
 × w
Moda
Mo = Lmo + 
d1
d1 + d2
 × w
197
 ARITMÉTICA
Integral
Enunciado
Distribución de los trabajadores de acuerdo con las 
áreas de servicio en una empresa:
Años de 
servicio
Número de 
personas
Fi hi
[0; 5〉 24 a m
[5; 10〉 16 b n
[10; 15〉 32 c p
[15; 20〉 8 80 q
1. Calcula el valor de a + b + c.
a) 130 c) 136 e) 156
b) 132 d) 146
2. Calcula m + n + q.
a) 0,6 c) 0,8 e) 0,5
b) 0,4 d) 0,9
3. ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene 5 o más 
años de servicio?
a) 75% c) 50% e) 70%
b) 80% d) 60%
4. En un colegio se realizó una encuesta para co-
nocer cuál de los siguientes cursos le agrada más 
a los estudiantes: Historia (H), matemática (M), 
lenguaje (L) y geografía (G). Es así que se forma 
el siguiente diagrama circular.
G
L
M
H 40º
100º
 Si a 26 alumnos les gusta geografía, ¿a cuántos 
alumnos les gusta historia y lenguaje?
a) 26 c) 30 e) 34
b) 28 d) 32
PUCP
5. El siguiente gráfico muestra la cantidad de bici-
cletas montañeras y de carrera vendidas por cier-
ta tienda en cada uno de los trimestres del año 
pasado:
C
an
tid
ad
es
 d
e
bi
ci
cl
et
as
 v
en
di
da
s
120
100
80
60
40
20
0
1. er
trim.
2. do
trim.
3. er
trim.
4.to
trim.
Carrera
Montañera
 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verda-
deras:
I. La tienda vendió más bicicletas en el tercer tri-
mestre. ( )
II. La tienda vendió más bicicletas montañeras en 
el cuarto trimestre. ( )
III. La tienda vendió más de 700 bicicletas el año 
pasado. ( )
a) Solo I c) I y II e) Todas
b) Solo II d) Solo III
Tarea
5TO AÑO
198
6. El siguiente cuadro muestra los ingresos sema-
nales de un grupo de trabajadores de la empresa 
Germán Export S.A.
 
Salarios fi Fi hi Hi
[400 – 450〉 50 
[450 – 500〉 0,40
[500 – 550〉 40
[550 – 600〉 0,30
[600 – 650〉
 n = 200
 Determina el valor de f4 + F2 + h5 + H3.
a) 150,7 c) 120,7 e) 140,1
b) 130,7 d) 140,7
7. Se tiene la siguiente distribución con ancho de 
clase común. Completa el cuadro y señala cuán-
tos tienen edad menor a 40 años si se cumple que:
 
f1
f2
 = 
f3
f4
 = 
1
2 
Edades fi Fi
[10; 〉 k
[ ; 〉 60
[ ; 〉 4k
[ ; 50〉
a) 120 c) 140 e) 160
b) 130 d) 150
8. La tabla muestra la distribución del número de 
integrantes que tienen 40 familias. Determina el 
número de familias que tienen menos de 12 inte-
grantes.
 
Ii fi Fi h%
[0 ; 3〉
[3 ; 6〉 7 12
[6 ; 9〉 40%
[9 ; 12〉 17,5%
[12 ; 15〉
a) 33 c) 35 e) 37
b) 34 d) 36
UNMSM
9. De la siguiente tabla de distribución. Calcula F3 + 
w (w: ancho de clase común).
 
Clases x fi Fi hi Hi
[20 – 〉 0,12
[ – 〉
[ – 〉 0,36
[ – 〉 60 0,85
[ – 120〉 45
a) 315 c) 213 e) 217
b) 225 d) 215
10. Construye una tabla de distribuciones de fre-
cuencias con 5 intervalos de clase de ancho co-
mún, teniendo en cuenta:
 f1 = 27 = f5
 h2 = h4
 h5 = 0,18
 H3 = 0,66
 x3 = 60 = x2 + 20
 Determina x
a) 60 c) 63 e) 40
b) 80 d) 56
11. En un huerto se tiene 80 plantas; las cuales agru-
padas según sus alturas, (en cm) caen en ciertos ran-
gos dados por la tabla adjunta. Calcula la media.
 
Altura Nº de plantas (f)
[20; 30〉 6
[30; 40〉 21
[40; 50〉 33
[50; 60〉 20
 Dato:
 Mo = Li + w d1
d1 + d2
a) 43,8 c) 45,8 e) 47,8
b) 43,4 d) 46,8
12. Del problema anterior, calcula X2 + F3 + h4.
a) 59,25 c) 92,52 e) 95,52
b) 95,23 d) 95,25
199
 ARITMÉTICA
UNI
13. Dada la siguiente distribución de frecuencias, cal-
cula la mediana.
 
I f F
[15; 25〉 16
[25; 35〉 20
[35; 45〉 30
[45; 55〉 14
a) 36,6 c) 36,6 e) 30,3
b) 36,3 d) 33,6
14. En el siguiente diagrama escalonado:
F
20
15
12
8
3
0
 2 10 18 26 34 42 I
 Calcula: X4 + f3 + F2 + H3
a) 48,6 c) 42,2 e) 53,40
b) 46,5 d) 46,2
15. En el siguiente pictograma:
ab%
(a–1)0%
b(2a+1)%ba%economía
computación
enfermería
administración
 ¿Cuántos jóvenes asistieron y cuántosestudian 
computación? Da como respuesta la suma, si 50 
personas estudian administración.
a) 615 c) 515 e) 500
b) 625 d) 415
Claves
01. c
02. a
03. e
04. b
05. c
11. b
12. d
13. b
14. e
15. a
06. d
07. c
08. c
09. d
10. a
5TO AÑO
200
Repaso
1. Si el promedio de 20 números es 325 y de otros 30 
números es 675 ¿Cuál es el promedio de todos los 
números?
a) 535 d) 605 
b) 259 e) 370
c) 460 
2. El promedio aritmético de 2 números es 30 y su 
promedio geométrico es 15 ¿Cuál será el prome-
dio armónico de los números?
a) 10 d) 15,2
b) 7,5 e) 16,8
c) 13,4 
3. Juanita mezcla «a» libros de vino de S/. 8.00 con 
«b» litros de vino de S/.12.00 si en total obtuvo 
100 litros de vino de S/. 9.00 ¿Cuánto es la di-
ferencia entre las cantidades de vino que uso de 
cada calidad?
a) 60 d) 35 
b) 25 e) 55
c) 50 
4. Si se tiene 40 litros de una mezcla que contiene 20 
litros de alcohol puro y se mezcla con 10 litros de 
alcohol de 78° se obtiene una mezcla cuyo grado 
será. 
a) 40,5 d) 55,6 
b) 50 e) 75
c) 60,4 
5. ¿Cuánto vale el 20% del 40% de «a». Si el 40% del 
35% de 1650 es «a»?
a) 30,14 d) 18,6 
b) 25,89 e) 23,1
c) 18,5 
6. En la tienda de Marcelino un equipo se vende en 
S/. 1325 ganando el 25%. Si por motivos de la infla-
ción el precio de costo del equipo aumenta en 10%. 
¿Cuál debe ser el nuevo precio de venta del equipo 
para que la tiene siga con la misma ganancia?
a) 1500,5 
b) 1625 
c) 1457,5 
d) 1595 
e) 1635,5
7. ¿Cuál es la tasa de interés semestral a la cual se 
debe imponer un capital para que en 5 años este 
se triplique?
a) 20% 
b) 40% 
c) 35% 
d) 25% 
e) 10%
8. Si la cuarta parte de un capital se coloca al 20% y 
el resto al 25% durante 4 años se obtiene un inte-
rés total de S/3600 ¿a cuánto asciende el capital 
colocado al 25%?
a) S/. 2000 
b) S/. 4000 
c) S/. 3500 
d) S/. 2500 
e) S/. 6000
9. ¿Cuál es el valor nominal de un pagare que al 
ser descontado al 20%, 15 días antes de su ven-
cimiento se le brinda un descuento de S/. 450 al 
dueño de dicha letra?
a) 72 000 
b) 45 000 
c) 54 000 
d) 81 000 
e) 36 000
10. ¿Cuál es la diferencia de descuentos que sufre un 
pagare de S/. 5000, 15 y 24 días antes de su venci-
miento a una tasa común del 30%?
a) S/. 30 
b) S/. 25 
c) S/. 18 
d) S/. 36 
e) S/. 42
201
 ARITMÉTICA
11. Hallar «a + b + c + d» si se tiene la siguiente tabla 
de distribución de frecuencias:
 
Equipos de futbol fj Fj hj
Fc Barcelona a 0,45
Arsenal 100
Real Madrid b c
Juventus 250 d
total 1000
 
a) 1425 d) 1400,25 
b) 1200,40 e) 1300,25
c) 1540 
12. ¿Del siguiente pictograma calcula cual es el mon-
to de su sueldo que destina James a vivienda y re-
creación si su sueldo asciende a S/. 7 636?
 
60%
20%
54%
5%
 
 
Víveres
Vivienda
Ropa
Recreación 
a) S/. 1500 
b) S/. 3025 
c) S/. 4250 
d) S/. 6300 
e) S/. 1909
1. A
2. B
3. C
4. D
5. E
6. C
7. A
8. E
9. C
10. B
11. D
12. E
Claves
	A_5ºAño_S1_Logica Proposicional I.pdf (p.1-11)
	A_5ºAño_S2_Logica Proposicional II.pdf (p.12-18)
	A_5ºAño_S3_Conjuntos I.pdf (p.19-25)
	A_5ºAño_S4_Conjuntos II.pdf (p.26-32)
	A_5ºAño_S5_Numeracion I.pdf (p.33-38)
	A_5ºAño_S6_Numeracion II.pdf (p.39-44)
	A_5ºAño_S7_Numeracion III.pdf (p.45-48)
	A_5ºAño_S8_Repaso.pdf (p.49-52)
	A_5ºAño_S1_Adicion y Sustraccion.pdf (p.53-58)
	A_5ºAño_S2_Multiplicacion y Division.pdf (p.59-64)
	A_5ºAño_S3_Progresion Aritmetica.pdf (p.65-70)
	A_5ºAño_S4_Progresion Geometrica.pdf (p.71-76)
	A_5ºAño_S5_Divisibilidad I.pdf (p.77-82)
	A_5ºAño_S6_Divisibilidad II.pdf (p.83-88)
	A_5ºAño_S7_Numeros primos.pdf (p.89-94)
	A_5ºAño_S8_Repaso.pdf (p.95-96)
	A_S1_MCM y MCD I.pdf (p.97-102)
	A_S2_MCM y MCD II.pdf (p.103-108)
	A_S3_Números racionales (Q).pdf (p.109-115)
	A_S4_Razones y proporciones.pdf (p.116-122)
	A_S5_Reparto proporcional.pdf (p.123-128)
	A_S6_Magnitudes proporcionales.pdf (p.129-135)
	A_S7_Regla de tres.pdf (p.136-142)
	A_S8_Repaso.pdf (p.143-144)
	A_ Sem_1_ Promedio.pdf (p.145-151)
	A_ Sem_2_ Mezcla.pdf (p.152-158)
	A_ Sem_3_ Porcentajes.pdf (p.159-165)
	A_ Sem_4_ Interés.pdf (p.166-171)
	A_ Sem_5_ Descuento.pdf (p.172-178)
	A_ Sem_6_ Estadística I.pdf (p.179-187)
	A_ Sem_7_ Estadística II.pdf (p.188-197)
	A_ Sem_8_Repaso.pdf (p.198-200)