Estudo da Dinâmica de Um Mecanismo de Quatro Barras

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ESTUDO DA DINÂMICA DE UM MECANISMO DE QUATRO BARRAS 
COM O AUXÍLIO DA INFORMÁTICA
OLIVEIRA, Ademyr Gonçalves, ademyr_go@eeec.ufg.br1
OLIVEIRA FILHO,Ricardo Humberto de, rhofilho@gmail.com1
VIANA , Rhander. rhanderviana@gmail.com1
MARIANO,Felipe Pamplona. fpmariano@eeec.ufg.br1
1Escola de Engenharia Elétrica, Mecânica e Computação, Universidade Federal de Goiás, Av. Universitária, n. 1488 - 
Quadra 86 - Bloco A - 3º piso - Setor Leste Universitário - Goiânia - GO – Brasil – CEP 74605-010
Resumo: No estudos dos mecanismos é clássica análise do mecanismo de quatro barras por meio de métodos 
gráficos e ou analíticos. A síntese gráfica utiliza recursos da geometria e fornece informação da posição, velocidade 
e aceleração de pontos notáveis do mecanismo para uma única condição geométrica. A síntese analítica permite o 
estudo cinemático e dinâmico do mecanismo no ciclo completo de funcionamento. Sua implementação gera equações 
com grande número de termos o que dificulta um procedimento manual. Neste trabalho será abordado o uso de 
ferramentas computacionais de computação simbólica e planilha eletrônica, o que facilita significativamente síntese 
analítica de mecanismos de barras.
Palavras-chave: mecanismo de quatro barras, computação simbólica, planilha eletrônica.
1. INTRODUÇÃO
No estudo da dinâmica dos Mecanismos é clássico o estudo do mecanismo de quatro barras. A dinâmica dos 
mecanismos tem como objetivo o cálculo dos esforços nos elementos de eixo, barras e pinos. Neste estudo precede a 
análise cinemática analítica (Norton, 2010) onde as equações de posição, velocidades e acelerações de todas as barras 
dever ser conhecidas, assim como as informações de masa, inercia e dimensões dos elementos estruturais do 
mecanismo. 
A síntese analítica permite o estudo cinemático do mecanismo no ciclo completo, porém sua implementação gera 
equações com grande número de termos e com alto grau de complexidade, o que inviabiliza o procedimento manual. 
Por esse motivo o uso da computação simbólica facilita significativamente síntese analítica de mecanismos.
Neste trabalho será abordado o uso de ferramentas computacionais na síntese analítica de um mecanismo de quatro 
barras.
2. O MECANISMO DE QUATRO BARRAS
Em engenharia mecânica um mecanismo de quatro barras é uma máquina formada por três hastes móveis acopladas 
por juntas rotativas a uma base fixa. Usualmente as barras são numeradas da seguinte maneira:
• Barra 1: Barra imaginária que vincula a união, normalmente é a base da máquina.
• Barra 2: Barra motriz que proporciona movimento ao mecanismo.
• Barra 3: Barra superior ou .biela. 
• Barra 4: Barra que recebe o movimento.
• Eixo 1: Eixo motriz que aciona a barra 1.
• Eixo 2: Eixo movido pela barra 4.
• Pino A: Elemento de ligação entre as barras 2 e 3.
• Pino B: Elemento de ligação entre as barras 3 e 4.
A Fig.(1) mostra fisicamente um mecanismos de quatro barras típico, montado nas quatro possíveis configurações. 
A Fig.(2) mostra quatro possíveis diagramas vetoriais representativos de um mecanismos de quatro barras típico. Os 
vetores l⃗ 1 , l⃗ 2 , l⃗ 3 e l⃗ 4 representam as barras do mecanismo.
Figura 1: Mecanismo de quatro barras clássico.
Figura 2: Diagrama vetorial de mecanismo de quatro barras.
3. SÍNTESE ANALÍTICA DE MECANISMO
Na síntese analítica a posição das barras são descritas por vetores. O método de Raven (Shigley, 1997) preconiza 
que para o mecanismo fechado a soma de todos os vetores é nula. Isso permite escrever as posições angulares das 
barras. As derivadas sucessivas da posição angular fornece a expressão matemática para a velocidade e aceleração 
angular das barras.
Para o mecanismo de quatro barras tem-se 
l⃗ 2+l⃗ 3=l⃗ 1+l⃗ 4 (1)
Para o mecanismo em questão tem-se condições:
• l⃗ 1 : l 1 é constante e θ1=0 ;
• l⃗ 2 : l 2 é constante e θ2 é variável e fornecido;
• l⃗ 3 : l 3 é constante e θ3 é variável;
• l⃗ 4 : l 4 é constante e θ4 é variável.
3.1 Posição Angular da Barra Quatro
Aplicando a notação vetorial de Euler [ l⃗ =l cos (θ)+i l sen(θ)] na Eq.(1) e substituindo θ1=0 tem-se:
l 3cos(θ3)=l1+l4 cos(θ4)−l 2cos(θ2) (2)
l 3 sen(θ3)=l 4 sen(θ4)−l 2 sen(θ2) (3)
Lembrando-se da relação sen(θ)2+cos(θ)2=1 , as Eq.(2) e Eq.(3) tornam-se:
(l 1+l 4cos (θ4)−l 2 cos(θ 2))
2+(l 4 sen(θ4)−l 2 sen(θ2))
2=l 3
2
(4)
A Eq.(4) permite obter a posição angular da barra quatro (θ4) em função da barra motriz (θ2) . A solução manual 
dessa equação é desencorajadora. Neste caso será utilizado o software Mathematica® (Wolfram) para a solução da Eq.
(4). Este software permite a computação literal de expressões matemáticas.
O comando Simplify [equação ] reduz o número de termos da equação passada como parâmetro. O comando 
Solve [equação , variável ] resolve a equação com relação à variável indicada. A Fig.(3) mostra a digitação da Eq.(4) 
no Mathematica® .
Figura 3: Digitação da Eq.(4) no Mathematica® .
O software Mathematica® fornece as quatro soluções possíveis para a Eq.4, o que corresponde às quatro possíveis 
montagens física desse mecanismo como mostrado pelas figuras Fig.(2a), Fig.(2b), Fig.(2c) e Fig.(2d).
4 ArcCos 12l42 l12 l22 2l1l2Cos2 l13l4 2l1l22 l4 l1l32 l4 l1l43 l2l43l12  l22 l32 l42 Cos2  l1l22l4Cos22                                                                                                                                             
l22 l42l14 4l12 l22  l24 2l12 l32 2l22l32 l34 2l12 l42 2l22 l42 2l32l42 l44 4l1l2l12  l22 l32  l42 Cos2  2l12l22 Cos22 Sin22,
4 ArcCos 12l42l12 l22  2l1l2Cos2 l13 l42l1l22 l4l1l32 l4 l1l43  l2l43l12 l22  l32 l42 Cos2 l1l22 l4Cos22                                                                                                                                             
l22 l42l14 4l12 l22 l24 2l12 l32 2l22l32 l34 2l12 l42 2l22 l42 2l32l42 l44 4l1l2l12  l22 l32  l42 Cos2  2l12l22 Cos22 Sin22 ,
4 ArcCos 12l42l12 l22  2l1l2Cos2 l13l4 2l1l22 l4 l1l32 l4 l1l43 l2l43l12  l22 l32 l42 Cos2  l1l22l4Cos22                                                                                                                                             
l22 l42l14 4l12 l22 l24 2l12 l32 2l22l32 l34 2l12 l42 2l22 l42 2l32l42 l44 4l1l2l12  l22 l32  l42 Cos2  2l12l22 Cos22 Sin22 ,
4 ArcCos 12l42 l12 l22 2l1l2Cos2 l13 l42l1l22 l4l1l32 l4 l1l43  l2l43l12 l22  l32 l42 Cos2 l1l22 l4Cos22                                                                                                                                             
l22 l42l14 4l12 l22 l24 2l12 l32 2l22l32 l34 2l12 l42 2l22 l42 2l32l42 l44 4l1l2l12  l22 l32  l42 Cos2  2l12l22Cos22 Sin22
Figura 4: Solução da Eq.(4) pelo Mathematica® .
Figura 5: Mecanismo de 4 barras particular
Adotando-se o mecanismo de quatro barras mostrado pela Fig.(5) tal que:
l 1=0,3m , l 2=0,1m , l 3=0,3m , l 4=0,2 m , ω2=3,14 rad /s , α2=0 rad /s
2
 e 0≤θ2≤2 π (5)
Os gráficos mostrados pela Fig.(6) representam as equações da Fig.(4), particularizadas para os valores da Eq.(5) e 
são obtidos com o auxílio da planilha BrOffice ® . Por simples análise gráfica percebe-se que a 4ª solução (ω4(4)) 
representa o mecanismo da Fig.(5).
Figura 6: Soluções para θ4 e função de θ2 .
3.2 Velocidade Angular da Barra Quatro
Com o auxílio do software Mathematica® , a derivada da Eq.(4) permite obter (ω4) , a velocidade angular da barra 
l 4 como mostrado pela Fig.(7) e Eq.(6).
Figura 7: Obtenção da derivada da posição angular.
ω4=
l 1l 2 ω2 sen(θ2)+l 2l 4 ω2cos (θ4)sen (θ2)−l 2l 4ω2 cos(θ2)sen (θ4)
l 4(l2 cos (θ4) sen(θ2)+l 1 sen (θ4)−l 2cos (θ2)sen (θ4)) (6)
3.3 Acelereção Angular da Barra Quatro
A Fig.(8) mostra a obtenção de α4 , a velocidade angular da barra l 4 , com o auxílio do software Mathematica® e 
a obtenção da Eq.(7).
α4=
3 ω2
2 cos(θ2)+2(ω2−ω4)
2cos(θ2−θ4)−6 ω4
2 cos(θ4)+3 α2 sin (θ2)+2α2 sin (θ2−θ4)
2cos(θ4)sin (θ2)−2(−3+cos(θ2))sin (θ4) (7)
Figura 8: Obtenção de α4 .
3.4 Posição Angular da Barra Três.
A partir da Eq.(3) é possível obter a posição angular da barra l 3 com o auxílio do Mathematica® como mostra a 
Fig.(9). e a Eq.(8).
Figura 9: Posição angular da barra l 3 .
θ3=sen
−1[
−l 2 sen(θ2)+l 4 sen(θ4)
l3
] (8)
3.5 Velocidade Angular da Barra Três.
A partir da derivada da Eq.(3) obtém-se a velocidade angular da barra l 3 como mostra a Fig.(10).
Figura 10: Velocidade angular da barra l 3 .
Substituindo ω2 , ω3 e ω4 na solução apresentada na Fig.(10) e resolvendo-a com relação a ω3 , tem-se a 
expressão para a aceleração angular mostrada pela Fig.(11) e que corresponde a Eq.(9).
Figura 11: Posição angular da barra l 3 .
ω3=
l 4 ω4 cos(θ4)sec(θ3)−l 2 ω2 cos(θ2)
l 3 (9)
3.6 Aceleração Angular da Barra Três.
A partir da derivada temporal de segunda ordem da Eq.(3) é possível obter a aceleração angular da barra três como 
mostra a sequência Fig.(12), Fig.(13) e Eq.(10).
Figura 12: Derivada de segunda ordem da Eq.(3).
Figura 13: Posição angular da barra l 3 .
α3=
Sec (θ3)
l3
[−l 2 α2 cos(θ2)+l 4 α4cos(θ4)+l 2 ω2
2 sin (θ2)+l 3w3
2 sin (θ3)– l 4 ω4
2 sin (θ4)] (10)
3.7 Velocidade Linear e a Aceleração Linear do Centro de Massa da Barra Três.
A Fig.(14) mostra um sistema de referência centrado em O , centro de giro da barra l 2 . O ponto C é, o centro de 
rotação instantâneo da barra l 3 . Seja PCG o centro de massa da barra l 3 e P⃗CG o seu vetor posição definido pela Eq.
(11). As coordenadas de PCG , obtidas por análise geométrica são mostradas na Eq.(12).
P⃗CG=l⃗2+ ⃗lCG (11) 
X CG=l 2cos(θ2)+lCG cos(θ3) e Y CG=l 2 sen(θ2)+l CG sen(θ3) (12)
Figura 14: Centro instantâneo de rotação da barra l 3 .
As coordenadas de C são obtidas pela interseção das retas OC e CB e são mostradas pela Eq.(13). O raio de giro 
instantâneo R é dado pela Eq.(14).
X C=
l 1
1− tan (θ2) / tan (θ4)
 e Y C=
tan (θ2) l 1
1−tan (θ2)/ tan (θ4)
(13)
R=√( X C− X CG)2+(Y C−Y CG)2 (14)
A velocidade e aceleração linear instantânea da barra l 3 são dadas pela Eq.(15) e Eq.(16).
v t=Rω3 (15)
at =Rα3 (16)
4. OBTENÇÃO DA FORÇA NO PINO B.
O pino B conecta a barra l 3 à barra l 4 e suporta o esforço necessário para girar a barra l 4 e gera o torque útil no 
eixo D, como mostra a Eq.(17).
F B=
T útil
l 4
+( Ī 4+m4 l 4CG
2 )
α4
l 4 (17)
Para efeito de simulação, assume-se os valores mostrados na Eq.(18):
T útil=200 Nm , m4=1 Kg , m3=1,5 Kg , Ī 3=50 m
4 , Ī 4=50 m
4 , l 3CG=0,1 m e l 4CG=0,7m (18)
O gráfico mostrados na Fig.(15) representa F B o módulo da força exercida sobre o pino B em função de θ2 e foi 
obtido com o auxílio da planilha BrOffice ® , programando Eq.(17), Eq.(7) e demais equações dependentes. A direção 
da força F B coincide com a direção de θ3 .
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Figura 15: Força no pino B em função de θ2 .
5. OBTENÇÃO DA FORÇA NO PINO A.
O esforço no pino A deve der capaz de ( F⃗ 3T) transladar e ( F⃗ 3R) rotacionar a barra l 3 e ( F⃗ B) movimentar o pino 
B, logo:
F⃗ A= F⃗ 3T+ F⃗3R+ F⃗ B (19)
F⃗ 3T=F3T cos(θF3T ) i⃗ +F 3T sen(θF3T) j⃗ (20)
F⃗ 3R=F 3R cos(θF3R) i⃗ +F 3R sen(θF3R) j⃗ (21)
F⃗ B=F B cos(θ3) i⃗ +F B sen(θ3T) j⃗ (22)
F A=√(F 3Tcos(θF3T )+F3R cos(θF3R)+F B cos(θ3))2+(F3T sen(θF3T )+F 3R sen(θF3R)+F B sen(θ3T))2 (23)
Da análise geométrica da Fig.(14) tem-se θ3T e θ3R , respectivamente a direção da força F⃗ 3T devido à translação 
e F⃗ 3R devido à rotação da barra l 3 , são dadas por:
θ3T=
π
2
+
lCG
R
sen(θ2−θ3)+θ2 (24)
θ3R=
π
2
+θ3 (25)
Observando a Fig.(5) verifica-se que a força necessária para rotacionar a barra l 3 é dada por
F3R=
Ī 3α3
l 3CG (26)
Observando a Fig.(14) verifica-se que a força necessária para transladar a barra l 3 equivale a sua rotação em torno 
do centro instantâneo de rotação C, logo:
F3T=m3a 3 (27)
O gráfico mostrados na Fig.(15) representa F A o módulo da força exercida sobre o pino A em função de θ2 e foi 
obtido com o auxílio da planilha BrOffice ® , programando Eq.(20), Eq.(21), Eq.(23), Eq.(24), Eq.(25), Eq.(26), Eq.
(27) e equações dependentes. 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
Figura 16: Força no pino A.
6. CONCLUSÕES
Em um mecanismo clássico de quatro barras, a síntese analítica permite o estudo cinemático do mecanismo no ciclo 
completo, porém sua implementação gera equações com grande número de termos e com alto grau de complexidade.
Conhecendo os parâmetros geométricos l 1 , l 2 , l 3 , l 4 , l 3CG e l 4CG ; os parâmetros de excitação ω2 e α2 e os 
parâmetros de inercias m3 , m4 , Ī 3 e Ī 4 ; e com o auxílio de uma planilha de cálculo tal como o BrOfficeCalc , 
torna-se fácil análise do mecanismo para o ciclo completo 0≤θ2≤2π . Diferentes gráficos iterativos podem ser gerados 
para orientar o projetista a ajustar o mecanismo para gerar repostas desejadas.
Escolhendo a solução adequada de θ4 mostrada na Fig.(4) pode-se experimentar as demais formas construtivas do 
mecanismo de quatro barras.
6. REFERÊNCIAS
GNU Fortran , GNU Fortran – GNU Project - Free Software Foundation. In<gcc.gnu.org/fortran/.>.
Mabie, Hamilton H.; Ocvirk, Fred W. 1980. Dinâmica das máquinas. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 579 p. 
Norton, R.L., 2010, Cinemática e dinâmica dos mecanismos – Mc Graw Hill-Bookman, Porto Alegre.
Planilha BrOffice. in<http://www.broffice.org>.
Shigley, J. E.; Uicker, Jr, J. J., 1997, Theory of machines and mechanisms, McGraw-Hill, New York.
Wolfram Mathematica 8 Documentation. In <http://reference.wolfram.com/mathematica/guide/Mathematica.html>.
7. DIREITOS AUTORAIS 
Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no seu trabalho.
STUDY OF THE KINEMATICS OF A FOUR-BAR MECHANISM WITH 
THE AID OF SYMBOLIC COMPUTATION
OLIVEIRA, Ademyr Gonçalves, ademyr_go@eeec.ufg.br1
OLIVEIRA FILHO,Ricardo Humberto de, rhofilho@gmail.com1
VIANA , Rhander. rhanderviana@gmail.com1
MARIANO,Felipe Pamplona. fpmariano@eeec.ufg.br 1 
1Escola de Engenharia Elétrica, Mecânica e Computação, Universidade Federal de Goiás, Av. Universitária, n. 1488 - 
Quadra 86 - Bloco A - 3º piso - Setor Leste Universitário - Goiânia - GO – Brasil – CEP 74605-010
Abstract: The classic studies of the mechanisms is analyzing the mechanism of four-bar by means of graphics and or 
analytical methods. The synthesis uses graphic resources and provides information on the geometry of position, 
velocity and acceleration of notable points of the mechanism for a single geometric condition. The analytical 
synthesis allows kinematic and dynamic study of themechanism in the full cycle of operation. Its implementation 
generates equations with large number of terms which makes a manual procedure. This paper will address the use of 
computational tools for symbolic computation and spreadsheet, which significantly facilitates analytical synthesis 
engine bars.
Keywords:four-bar mechanism, symbolic computation, spreadsheet.
mailto:fpmariano@eeec.ufg.br1