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Eng. Mecânica - UTFPR Curitiba Prof. Dr. Luciano Zart Olanyk
Mecanismos
Aula 7 – Parte 2: Tempo de espera único simétrico e assimétrico
Luciano Zart Olanyk
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Tempo de espera único: Não possui dois intervalos, mas apenas um intervalo parado
Tempo de espera único simétrico
Tempo de espera único assimétrico
Para este tipo de came, será utilizadas funções polinomiais
INTRODUÇÃO
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Muitas aplicações em mecanismos requerem um programa de came com espera único, tipo sobe 
e desce (SDP). 
Exemplo: Came do comando de válvula
� Abre na subida
� Fecha na descida
� Espera para compressão e combustão 
� Movimento pode ser simétrico ou assimétrico
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
Para avaliar o uso da função polinomial neste tipo de projeto, inicialmente, é 
necessário decidir em quantos segmentos, o ciclo do came será dividido. 
Como regra geral “deve-se minimizar o número de segmentos em funções 
polinomiais de cames e reduzir o grau da função ao menor valor possível, 
para evitar oscilações indesejadas”.
http:////upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/4-Stroke-Engine.gif
http:////upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/4-Stroke-Engine.gif
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Função polinomial - Tempo de espera único simétrico
Considere os mesmos parâmetros de projeto vistos na aula anterior:
Subida (rise) de 0 mm para h = 25 mm entre θ = 0° e 90°
Descida (fall) de h = 25 mm para 0 mm entre θ = 90° e 180°
Espera (dwell) de 0 mm entre θ = 180° e 360°
Velocidade do came: 15 rad/s = 1 rev/s
Condições de contorno: 
3 CC de subida
3 CC de descida
1 CC de subida máxima
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
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Tempo de espera único simétrico
Funções polinomiais
Equações de posição, velocidade, aceleração e pulso para 7 CC: 
 
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
(1)
(2)
(3)
(4)
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Tempo de espera único simétrico
Funções polinomiais 
Aplicação das CC nas Eq.(1), (2) e (3), para o início da subida, temos:
 
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
(1)
(2)
(3)
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Tempo de espera único simétrico
Funções polinomiais 
Aplicação das CC para o fim da descida:
 
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
(1)
(2)
(3)
(5)
(6)
(7)
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Tempo de espera único simétrico
Funções polinomiais 
Aplicação da CC para deslocamento máximo:
 
Obtemos:
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
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Tempo de espera único simétrico
Funções polinomiais 
Com isto, obtemos quatro equações - deslocamento, velocidade, aceleração e pulso que descrevem o perfil 
do came e o comportamento do seguidor:
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
 11,11 m/s²
 -13,89 m/s²
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Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Em cames assimétricos, é possível programar um tempo de subida diferente 
do tempo de descida. Por exemplo, em motores de combustão interna, este 
artifício pode favorecer a admissão maior que exaustão – que aumenta de 
performance do motor devido à admissão de maior volume de ar/combustível. 
� Para esta solução, não se agrupa os segmentos de uma equação 
polinomial, mas sim determina-se um equação polinomial para subida e 
outra para descida separadamente.
� Resolve-se inicialmente o segmento de menor aceleração que proporciona 
condições de contorno mais favoráveis para desempenho do conjunto.
� Quando se inicia o projeto com uma CC de aceleração menor, menores 
esforços são exigidos pelo conjunto. A menor aceleração ocorre no 
segmento de maior deslocamento (subida ou descida).
Simétrico
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
Assimétrico
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Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Considere o seguinte problema:
• Subida (rise) – 25 mm no percurso de 0° a 45º 
• Descida (fall) – 25 mm no percurso de 45° a 180º (135º )
• Espera (dwell) – deslocamento nulo no percurso de 180º a 360° (espera inferior)
• Velocidade angular do came: ω=15 rad/s 
TEPO DE ESPERA ÚNICO ASSIMÉTRICOTEMPO DE ESPERA ÚNICO
CC para a subida do seguidor CC para a descida do seguidor
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Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Para proporcionar condições de operação mais favoráveis para desempenho do conjunto, iniciamos o 
projeto com o segmento que apresenta menor aceleração e que, neste caso, ocorre no segmento de 
descida.
Neste caso teremos cinco (5) CC: com: θ = 0 e β2 = 135°
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
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TEMPO DE ESPERA ÚNICO ASSIMÉTRICOTEMPO DE ESPERA ÚNICO
Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Como temos cinco (5) CC para este problema, teremos um polinômio de grau 4 para o deslocamento. As 
respectivas equações de velocidade, aceleração são obtidas a derivando a equação de deslocamento e 
que também são mostradas a seguir:
(8)
(9)
(10)
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Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Aplicação das CC para o início da descida (θ = 0) nas Eq. (8) e (9):
Encontramos:
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
(8)
(9)
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Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Aplicação das CC para o fim da descida nas Eq. (8) e (9):
Encontramos as seguintes equações
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
(8)
(9)
Resolvendo o sistema 
de equações ao lado, 
obtemos: 
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Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Substituindo as constantes C0, C1, C2, C3 e C4, nas equações (8), (9) e (10), chegamos a:
Para continuidade da aceleração da descida com a subida, precisamos calcular a aceleração no inicio da 
descida, e utilizar como CC para fim da subida. Assim, para h = 0,025 m, β2 = 135° = 2,355 rad e o θ = 0°:
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
(11)
(12)
(13)
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Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Uma vez definida a aceleração no início da descida, agora podemos utilizá-la como CC para a subida, para 
a que equação de aceleração fique contínua.
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
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Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Aplicação das novas CC para o fim da subida:
Como temos seis (6) CC a subida possui um polinômio de grau 5:
As respectivas equações de velocidade, aceleração são obtidas a derivando a equação de deslocamento e 
que também são mostradas a seguir:
 
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
(14)
(15)
(16)
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Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Aplicação das CC para o início da subida
Aplicação das CC para o fim da subida, considerando β1 = 45° = 0,7853 rad e o θ = 0°:
 
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
Resolvendo o 
sistema de 
equações ao 
lado, obtemos: 
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Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Substituindo as constantes C0, C1, C2, C3, C4, e C5 nas equações (14), (15) e (16), chegamos a:
 
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
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Função polinomial - Tempo de espera único assimétrico
Substituindo s = h = 25 mm, β = 360° e variando-se θ para as equações, obtemos os seguintes diagramas e 
v a p:
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
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Resumo
Para cames seguidores de uma espera, temos:
• PROBLEMAS SIMÉTRICOS:
• POLINOMIAL – AGRUPAR SEGMENTOS DE SUBIDA E DESCIDA
• PROBLEMAS ASSIMÉTRICOS:
• POLINOMIAL – SEGMENTOS DE SUBIDA E DESCIDA DESAGRUPADOS. CALCULAR PRIMEIRO O MAIOR SEGMENTO 
QUE COMO CONSEQUENCIA, TERÁ MENOR ACELERAÇÃO.
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
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Exemplo: Utilize um código de cálculo numérico e trace os diagramas e v a p de um came 
de espera único simétrico, que rotaciona a ω = 15 rad/s, para mover um seguidor de 0 a 25 
mm em 180 graus e permanecer parado no restante do ciclo. Considere uma função 
polinomial 3-4-5.
TEMPO DE ESPERA ÚNICO
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Solução.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
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Solução.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
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Solução.
FUNÇÕES POLINOMIAIS