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Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - Funçoes

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do triângulo 2 para 3 . 
 
sec α= α
α
cot
seccos
; 
tanα= αcot
1
. 
5.5.3 - Identidades trigonométricas 
A igualdade sen 2α+cos 2α=1 é verdadeira para qualquer α pertencente aos domínios das 
funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica. 
Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá-la como identidade após uma prova, ou 
seja, após uma demonstração. 
Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações dadas 
acima, que são identidades. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 48
 
5.5.3.1 - Processo para demonstrar identidades 
Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão 
equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma 
mesma expressão. 
 
Exemplos: 
Nos exercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades: 
1) tan 2α⋅ sen 2α= tan 2α− sen 2α 
CO
α
D
tanαsecα
B
O
α
Acosα
senα1
1 O
α
E
F
cotα
cos
sec
α
1
21 3 
Levar do triângulo 2 para 1 : 
tan 2α⋅ sen 2α= tan 2α− sen 2α 
α
α
2
2
cos
sen ⋅ sen 2α= α
α
2
2
cos
sen − sen 2α 
α
α
2
4
cos
sen = α
ααα
2
222
cos
cossensen −
 
α
α
2
4
cos
sen = α
αα
2
22
cos
)sen(sen
 
α
α
2
4
cos
sen = α
α
2
4
cos
sen
 ⇒ C.Q.D. (como queríamos demonstrar). 
 
2) (1+cot α)2+(1−cot α)2=2⋅ seccos 2α 
CO
α
D
tanαsecα
B
O
α
Acosα
senα1
1 O
α
E
F
cotα
cos
sec
α
1
21 3 
 Todas as funções já se encontram no triângulo 3 , basta desenvolver: 
(1+cot α)2+(1−cot α)2=2⋅ seccos 2α 
(1+cot α)2+(1−cot α)2=2⋅ seccos 2α 
1+2cot α+cot 2α+1−2cot α+cot 2α=2⋅ seccos 2α 
2+2cot 2α=2⋅ seccos 2α 
2⋅(1+cot 2α)=2⋅ seccos 2α 
2⋅ seccos 2α=2⋅ seccos 2α ⇒ C.Q.D. 
 3) sec 2α+ seccos 2α= sec 2α⋅ seccos 2α 
CO
α
D
tanαsecα
B
O
α
Acosα
senα1
1 O
α
E
F
cotα
cos
sec
α
1
21 3 
Cálculo Diferencial e Integral 
 49
 Levar do triângulo 3 para 2 : 
sec 2α+ seccos 2α= sec 2α⋅ seccos 2α 
sec 2α+ α
α
2
2
tan
sec = sec 2α⋅ α
α
2
2
tan
sec
 
α
ααα
2
222
tan
sectansec + = α
α
2
4
tan
sec
 
α
αα
2
22 1
tan
)(tansec +⋅ = α
α
2
4
tan
sec
 
α
αα
2
22
tan
)(secsec ⋅ = α
α
2
4
tan
sec
 
α
α
2
4
tan
sec = α
α
2
4
tan
sec
 ⇒ C.Q.D. 
 
4) α
α
seccos
sen =1− α
α
sec
cos
 
CO
α
D
tanαsecα
B
O
α
Acosα
senα1
1 O
α
E
F
cotα
cos
sec
α
1
21 3 
 Levar dos triângulos 3 e 2 para 1 : 
α
α
seccos
sen =1− α
α
sec
cos
 
α
α
sen
sen
1 =1−
α
α
cos
cos
1 
sen 2α=1−cos 2α 
sen 2α= sen 2α ⇒ C.Q.D. 
 
 
5) αα
αα
cossec
senseccos
−
− =cot 3α 
CO
α
D
tanαsecα
B
O
α
Acosα
senα1
1 O
α
E
F
cotα
cos
sec
α
1
21 3 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 50
Levar dos triângulos 1 e 2 para 3 : 
αα
αα
cossec
senseccos
−
− =cot 3α 
α
α
α
α
αα
seccos
cot
cot
seccos
seccos
seccos
−
− 1
=cot 3α 
αα
αα
α
α
seccoscot
cotseccos
seccos
seccos
22
2 1
−
−
=cot 3α ⇒ Obs: seccos 2α−1=cot 2α 
α
α
seccos
cot2 ⋅ αα
αα
22 cotseccos
seccoscot
− =cot
3α 
α
αα
seccos
seccoscot3 ⋅ αα 221
1
cotcot −+ =cot
3α 
cot 3α⋅
01
1
+ =cot
3α 
cot 3α=cot 3α ⇒ C.Q.D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 06 - EXERCÍCIOS 
 
1) Dado sen x = 3/4 , com 0<x< π /2, 
calcular cos x. 
2) Para que valores de a temos, 
simultaneamente, senx=a + 1 e cos x = a? 
3) Dado 
3
3cos −=x , com ππ << x
2
, 
calcule tg x. 
4) Simplifique a expressão αα
αα
g
gtg
cotsec
cot
⋅
+
. 
5) Demonstre as seguintes identidades: 
 a) (1 + cotg2x)(1 – cos2x) = 1 
 b) tg x + cotgx = tg x. Cossec2x 
 c) 
2cos1
cos
2cos1
2 xtg
x
x
x
xsen =+⋅+ 
 
 
Respostas: 
1) 
4
7cos =x 
2) a = 0 ou a = -1 
3) 2−=tgx 
4) sec α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 51
 
AULA 07 
 
6 - LIMITES 
 
6.1 - Noção Intuitiva: 
 Seja a função f(x)= 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita 
(valores maiores que 1) e pela sua esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor 
correspondente de y. 
 
x y = 2x + 1 x y = 2x + 1 
1,01 0,6 
1,02 0,7 
1,03 0,9 
1,04 0,95 
1,1 0,98 
1,2 0,99 
 
 
 
 
 
 
 Notamos que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de ______, ou seja, quando 
x tende para 1 (x→1), y tende para _____ (y→_____), ou seja: 
 3)12(lim 1 =+→ xx 
 De forma geral, escrevemos: 
 bxfax =→ )(lim 
 
 
 
6.1.1 - Propriedades: 
1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax →→→ ±=± 
2. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax →→→ ⋅=⋅ 
3. 
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→ = 
4. ( ) *0 ,)(lim)(lim Nnxfxf naxnax ∈= →→ 
5. *,)(lim)(lim Nnxfxf n axnax ∈= →→ 
6. ( ))(lim))((lim xfsenxfsen axax →→ = 
 
Exemplos: 
 
1) =+→ )3(lim 321 xxx 
 
 
2) =→ )cos(lim 3 xxx π 
 
3) =+→ 10
coslim 20 x
x
x 
Cálculo Diferencial e Integral 
 52
 
 
4) =+→ 221 )3(lim xx 
 
 
 
5) =−+→ 1lim 232 xxx 
 
 
 
6) =+→ )3(lim 21 xxsenx 
 
 
 
7) =−+→ )432(lim 22 xxx 
 
 
8) =−
−
→ 2
4lim
2
2 x
x
x 
 
 
 
9) =−
+−
→ 9
34lim 2
2
3 x
xx
x 
 
 
 
10) =−
+−
→ 1
45lim
2
1 x
xx
x 
 
 
 
11) =−
+−
→ 1
23lim 2
3
1 x
xx
x 
 
 
 
 
12) =−+→ x
x
x
33lim 0 
 
 
 
 
13) =++−→ )43(lim 31 xxx 
 
 
14) =+→ )(coslim 0 senxxx 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 53
15) =−
−
→ 4
8lim 2
3
2 x
x
x 
 
 
 
 
16) =−
−
→ 1
1lim 1 h
h
h 
 
 
 
 
 
17) =−+→ t
t
t
5325lim 0 
 
 
 
 
18) =−+→ t
t
t
16)4(lim
2
0 
 
 
 
 
 
 
19) =−
++
−→ 1
23lim 2
2
1 x
xx
x 
 
 
 
 
 
 
20) =−−+→ x
xx
x
11lim 0 
 
 
 
 
 
 
21) =−
−
→ 1
1lim 5
4
1 x
x
x 
Cálculo Diferencial e Integral 
 54
AULA 07 - EXERCÍCIOS 
 
1) =+++→ )15(lim 231 xxxx 
2) =+−−−→ )342(lim 231 xxxx 
3) =−−−−→ )1224(lim 232 xxxx 
4) =−
−+
→ 5
45lim 2
2
2 x
xx
x 
5) =−
+−
→ 2
107lim
2
2 x
xx
x 
6) =+
−+
−→ 3
32lim
2
3 x
xx
x 
7) =+−
+−
→ 12
34lim 5
3
1 xx
xx
x 
8) =−
−
→ 6
36lim
2
6 x
x
x 
9) =+
+
−→ 2
32lim
5
2 x
x
x 
10) =+−+−
−+−
→ 27543610
27188lim 234
234
3 xxxx
xxx
x 
11) =−
−
→ 42
2lim 2 x
x
x 
12) =−
−
→ 2
4lim 4 x
x
x 
13) =−−→ x
x
x 42
lim 0 
14) =−
+−
→ 1
32lim 1 x
x
x 
15) =−+→ 11lim 0 x
x
x 
16) =−
−+
→ 2
321lim 4 x
x
x 
17) =
−−−
−+−
→
1153
2232lim
2
2
2
xx
xx
x