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Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - Funçoes

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77
AULA 14 
 
9.5.2 – Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas: 
 Exemplos: 
1) xy 3= 
 
 
2) xey = 
 
 
3) xxey 2
2 += 
 
 
 
4) axexy ⋅= 2 
 
 
 
 
5) 
1
1
+
−= x
x
e
ey 
 
 
 
 
 
 
6) xy 3log= 
 
 
 
 
 
 
7) )1(log 2 += xy a 
 
 
 
 
 
 
8) xx
xx
ee
eey −
−
+
−= 
Cálculo Diferencial e Integral 
 78
AULA 14 – EXERCÍCIOS 
 
1) y = 3x 
2) y = e – x 
3) 
8xey = 
4) 1
2 ++= xxey 
5) xxy 2
2
7 += 
6) 
x
ey
x
= 
7) xxy )1( += 
8) 1
3
)1( ++= xxy 
9) xy 3ln= 
10) 3log4 xy = 
11) 2
2
1
ln
x
xy += 
12) 
x
xy −
+=
1
1ln 
13) 229ln xy −= 
14) 
xx
y
ln
1= 
15) xey x ln= 
16) 22 ln xxy = 
17) 
x
xy ln= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 3ln3' xy = 
2) xey −−=' 
3) 
8
.8' 7 xexy = 
4) )12.(' 1
2 += ++ xey xx 
5) )22.(7ln.7' 2
2 += + xy xx 
 6) 2
)1('
x
xey
x −= 
7) )1ln()1()1(' 1 ++++= − xxxxy xx 
8) )1ln(.3.)1()1)(1(' 213
33 +++++= + xxxxxy xx 
9) 
x
xy
2ln3'= 
10) 
10ln
12'
x
y = 
11) 
)1(
2' 2xx
y += 
12) 2)1(
2'
x
y −= 
13) 229
2'
x
xy −
−= 
14) 2)ln(
1ln'
xx
xy −−= 
15) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
x
xey x 1ln' 
16) )1(ln2' 2 += xxy 
17) 2
ln1'
x
xy −= 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 79
AULA 15 
 
9.5.3 – Derivada de Funções Trigonométricas: 
 Exemplos: 
1) y = sen 5x 
 
2) y = 3cos 2x 
 
3) y = tg 3x 
 
4) y = sec 4x 
 
 
5) y = tg x3 
 
 
 
6) y = tg2 x 
 
 
 
7) y = cotg(1 – 2x2) 
 
 
8) y = x2cosx 
 
 
 
9) y = sen2x.cosx 
 
 
10) 
x
xy cos= 
 
 
 
 
 
11) 
x
xy −= 2arccos 
Cálculo Diferencial e Integral 
 80
AULA 15 – EXERCÍCIOS 
 
1) y = cossec 7x 
2) y = sen3x + cos2x 
3) y = sen5x 
4) y = 5sen3x 
5) 3 3xtgy = 
6) 12 += xseny 
7) xxe
xy cos= 
8) xxy )(cos= 
9) 
x
senxy
cos
= 
10) 34xsenxey x += 
11) xy 3sec= 
12) xesenxxy .2= 
13) xarcseny 3= 
14) 
x
arctgy 1= 
15) )23( −= xarcseny 
16) 22xarctgy = 
17) )25( 3xarcseny −= 
18) )1(cot 2xgarcy −= 
19) 3sec xarcy = 
20) )1sec(arccos −= xy 
21) arcsenxxy += 2 
22) arctgxxy .= 
23) xy arccosln= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
1) y’ = -7cossec7x.cotg7x 
2) y’ = 3cos3x-2sen2x 
3) y’ = 5sen4x.cosx 
4) y’ = 15sen2x.cosx 
5) 
xsenx
xtg
y
3.3cos
3
'
3= 
6) 
12
12cos' +
+=
x
xy 
7) xex
xxsenxxy 2
cos)cos(' −+−= 
8) )cos(ln)(cos' xtgxxxy x −= 
9) xy 2sec'= 
10) 212)cos(' xxsenxey x ++= 
11) xtgx
x
y .sec
2
3' 3= 
12) y’ = xex(2senx+xcosx+xsenx) 
13) 
291
3'
x
y −=
 
14) 
1
1' 2 +
−=
x
y 
15) 
3129
3'
2 −+−= xxy
 
16) 441
4'
x
xy += 
17) 
24204
6'
36
2
−+−
−=
xx
xy 
18) 4222
2'
xx
xy +−= 
19) 
1
3'
6 −= xxy
 
20) 
xxx
y
2)1(
1'
2 −−
−= 
21) 
21
12'
x
xy −+=
 
22) 21
'
x
xarctgxy ++= 
23) 
21.arccos
1'
xx
y −
−= 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 81
AULA 16 
 
9.6 – DERIVADAS SUCESSIVAS 
 Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo A ⊂ I. Vimos 
que a derivada de f em A denotamos por f’ . Se f’ é derivável em um intervalo B, B ⊂ A, a esta 
derivada de f’ denotamos por f” denominamos derivada segunda de f. 
 Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras, quarta,...,enésimas. 
 
Exemplo: 
1) Obtenha até a derivada de 5a ordem da função f(x) = 5x5 – 3x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dada a função f(x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, pede-se calcular f”(-1) e f(6)(15) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.7 – REGRAS DE L’HOSPITAL 
 Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo 
0
0
 ou ∞
∞
. 
Esse método é dado pelas regras de L’Hospital. 
 Regras de L’Hospital:Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I. 
Suponhamos que g’(x) ≠ 0 para todo x ≠ a em I. 
i). Se 0)(lim)(lim == →→ xgxf axax e Lxg
xf
ax =→ )('
)('lim então: 
L
xg
xf
xg
xf
axax == →→ )('
)('lim
0(
)(lim 
Cálculo Diferencial e Integral 
 82
 
ii). Se ∞== →→ )(lim)(lim xgxf axax e Lxg
xf
ax =→ )('
)('lim então: 
L
xg
xf
xg
xf
axax == →→ )('
)('lim
)(
)(lim 
 
 Obs.: A regra de L’Hospital continua válida se +∞=→ )('
)('lim
xg
xf
ax ou −∞=→ )('
)('lim
xg
xf
ax . Ela 
também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito. 
 
Exemplos: 
 Determinar 
1) 
1
2lim 0 −→ xx e
x
 
 
 
 
 
2) 
x
senx
x 0lim → 
 
 
 
 
 
3) 
x
x
x
cos1lim 0
−
→ 
 
 
 
 
 
 
4) 
4
2lim 4 −
−
→ x
x
x 
 
 
 
 
 
 
5) 
23
6lim 2
2
2 +−
−+
→ xx
xx
x 
Cálculo Diferencial e Integral 
 83
 
 
AULA 16 – EXERCÍCIOS 
 
1) 
1
1lim
2
1 −
−
→ x
x
x 
2) 
1
23lim 23
3
1 +−−
+−
→ xxx
xx
x 
3) xx e
x3lim ∞→ 
4) 
1
lnlim 1 −→ x
x
x 
5) 20 3
lim
x
senxx
x
−
→ 
6) 32
1lim
x
ex x
x
−
+∞→
−−
 
7) 
3
lim
3
3 −
−
→ x
ee x
x 
8) 
senxx
xtgx
x −
−
→0lim 
9) 
senxx
xee xx
x −
−− −
→ 2
lim
2
0 
10) 
xsen
x
x π
2
1
1lim −→ 
11) 
x
xsen
x −
−
→ ππ
2
1
lim 
12) 30lim x
senxx
x
−
→ 
13) 
x
ba xx
x
−
→0lim 
14) 
2
1lim
3
2 ππ −
−
→ x
xsen
x
 
15) 
1cos
1lim
2
0 −
−
→ x
e x
x 
16) Obter a derivada terceira das seguintes 
funções: 
a) f(x) = x3 + 2x2 + 1 
b) f(x) = 5x2 – 3x +2 
c) 12
1)( −= xxf 
d) f(x) = 2x-3 
e) f(x) = sen3x 
f) f(x) = e2x 
17) Obter a derivada segunda das seguintes 
funções: 
a) 
xa
xy +=
2
 
b) y = ex.cosx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
1) 2 
2) 2
3 
3) 0 
4) 1 
5) 0 
6) 0 
7) e3 
8) 2 
9) 2 
10) π2 
11) 0 
12) 6
1 
13) 
b
aln 
14) 0 
15) -2 
16) a) 6 b) 0 c) 0 
 d) -120x-6 
e) -27cos3x f) 8e2x 
 
17) a) 3
2
)(
2"
xa
ay += 
b) y” = -2exsenx 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 84
 AULA 17 
 
9.8 – APLICAÇÃO DAS DERIVADAS 
 
9.8.1 – Taxas de Variação Relacionadas 
 Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma 
terceira grandeza, então suas taxas de variação em relação a esta grandeza da qual dependem 
também estarão. 
 Exemplo: Se y depende de x e x depende de t, temos: 
dt
dx
dx
dy
dt
dy ⋅= 
Exemplos: 
 
1) Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taxa de 
variação de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 15cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um cubo se expande de modo que sua aresta varia a razão de 12,5cm/s. Achar a taxa de 
variação de seu volume no instante em que sua aresta mede 10cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral