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Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - Funçoes

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pode ser decomposto em fatores repetidos do 1o grau. A cada 
fator da forma (ax + b) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de n 
frações da forma: 
 n
n
bax
A
bax
A
bax
A
)(
...
)( 2
21
++++++ 
 
Exemplos: 
 22222 ])1)[(1)(1(
1
)12()1(
1
−++
+=+−+
+
xxx
x
xxx
x
 
 4222 )1)(1(
1
)12()1(
1
−+=+−+
+
xxxxx
x
 
 4
5
3
4
2
321
222 )1()1()1()1()1()12()1(
1
−+−+−+−++=+−+
+
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
xxx
x
 
 
Calcule ∫ =−+ −+− dxxx xxx 3
23
)2)(1(
429183
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 110
CASO 3: O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da forma 
q(x) = ax2 +bx + c com a≠ 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1o grau. A cada 
fator q(x) que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma 
)(xq
BAx +
 
Exemplo: 
 
)1()1()1)(1(
1
2
22
2
11
22 +
++++
+=+++ x
BxA
xx
BxA
xxx
 
 
Calcule ∫ =−+− −− dxxxx xx 482 2123
2
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 111
CASO 4: O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da forma 
q(x) = ax2 + bx + c com a≠ 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1o grau. A cada 
fator de q(x) que aparece repetido no denominador, corresponde uma soma de frações da 
forma n
nn
xq
BxA
xq
BxA
xq
BxA
)]([
...
)]([)( 2
2211 ++++++ 
 
Calcule ∫ =+ −+− dxx xxx 22
23
)1(
3735
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 112
AULA 21 – EXERCÍCIOS 
 
1) =−
−∫ dxxx x )4( 125 
2) ∫ =−−+ − dxxxx x )3)(2)(1( 1137 
3) ∫ =−− dxxx 2)1( 116 
4) ∫ =−++ dxxx x 82162 
5) ∫ =− −− dxxx xx 4 8105 3
2
 
6) ∫ =−+ −− dxxx xx )5()1( 33252 2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) Cxx +−+ |4|ln2||ln3 
2) Cxxx +−+−−+ |3|ln|2|ln5|1|ln4 
3) C
x
x +−+− 1
5|1|ln6 
4) Cxx +−++− |2|ln3|4|ln2 
5) Cxxx +++−− |2|ln4|2|ln||ln2 
6) Cx
x
x +−−+−+ |5|ln31
1|1|ln5 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 113
AULA 22 
 
10.6 – INTEGRAL DEFINIDA: 
Teorema fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b] e g uma função tal 
que g’(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]. Então ∫ −=ba agbgdxxf )()()( . 
 A expressão ∫ba dxxf )( é chamada de Integral Definida de f de a até b. 
 Em linguagem simples, este teorema nos diz que se g é uma anti-derivada de f, então a 
integral definida de a até b de f é dada pela diferença g(b) – g(a). 
 Os valores de a e b são chamados de limites de integração. 
 
Exemplos: 
1) Calcule ∫ =31 2dxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule ∫ =31 5dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule ∫ =70 xdx 
Cálculo Diferencial e Integral 
 114
X=1 X=3 
y 
x 
10.6.1 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: 
 Vamos agora interpretar geometricamente os exemplos 2 e 3. 
 
1) Seja f(x) = 5 (exemplo 2). Tomemos a região delimitada por (x), o eixo x e as retas x = 1 e x 
= 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Temos um retângulo de base 2 e altura 5, cuja área é dada por: 
 A1 = b.h = 2x5 = 10u.a (como no exemplo 2) 
 
2) Seja f(x) = x (exemplo 3). Tomaremos a região delimitada pelo eixo x, a função f(x) = x e as 
retas x = 0 e x = 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área é dada por auA .
2
49
2
77
2 =⋅= . 
 Os fatos observados nestes exemplos não são mera coincidência. Na verdade, se f(x)>0 
para x ∈ [a,b], então ∫ba dxxf )( nos fornece a área limitada por f(x) pelas retas x =a e x = b e o 
eixo x. 
 
1 3 7 
x 
y 
1
3 
f(x)=x 
7 
Cálculo Diferencial e Integral 
 115
3) Tomemos agora um exemplo em que f(x) < 0 em [a, b] 
 
∫−− =+13 )1( dxx ( ) ( ) 2)3(23)1(212
22
1
3
2
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−=+ −−x
x
 
 
 A região delimitada por y = (x+1), pelo eixo x e as retas x = - 3 e x = - 1 é apresentada 
abaixo: 
 
 Note que A3 é um triângulo de base 2 e altura 2, assim, ..2
22
3 auA
⋅= 
 Assim, vemos que ∫−−= 133 )( dxxfA . 
 Em geral se f(x)<0 em [a, b] a área delimitada por f(x), o eixo x e as retas x = a e x=b é 
dada por ∫= ba dxxfA )( . 
 
10.6.2 – PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS 
 
1. Se uma função f é integrável no intervalo fechado [a, b], e se k é uma constante 
qualquer, então: 
 ∫ ∫=ba ba dxxfkdxxfk )()(. 
 
Exemplo: 
 Calcule o valor da integral ∫ =30 5xdx 
 
 
1
-1 
-2 
-3 -1
x 
y 
Cálculo Diferencial e Integral 
 116
2. Se as funções f e g são integráveis no mesmo intervalo fechado [a,b] então f + g é 
integrável em [a, b] e: 
 ∫ ∫ ∫+=+ba ba ba dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 
 
Exemplo: 
 Calcule o valor da integral ∫ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +
5
3
2 1 dx
x
x 
 
 
 
 
 
 
3. Se a função f é integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b] então: 
 ∫ ∫ ∫+=ba ca bc dxxfdxxfdxxf )()()( 
 
Exemplo: 
 Calcule o valor da integral ∫− =32xdx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 22 – EXERCÍCIOS 
 
Encontre o valor das integrais definidas abaixo: 
1) ∫ =20 2dxx 
2) ∫ =21 3dxx 
3) ∫ =++41 2 )54( dxxx 
4) ∫− =+22 3 )1( dxx 
5) ∫− =⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +11 3134 4 dxxx 
6) ∫− =+43 )2( dxx 
7) ∫ =−
5
1 13x
dx
 
8) ∫− =−33 6 )3( dttt 
9) ∫ =+
4
0 2 9x
xdx
 
10) ∫ =+50 4dxx 
11) ∫ =10 3 78 dxx 
 
Respostas: 
 
1) 
3
8
 
2) 
4
15
 
3) 66 
4) 4 
5) 
7
6
 
6) 
2
35
 
7) [ ]17
3
22 − 
8) 
7
4374
 
9) 2 
10) 
3
38
 
11) 
5
3
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 117
AULA 23 
 
10.6.3 – APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA 
 
10.6.3.1 – CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA 
 Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f(x) ≥0 para todo x em [a, 
b], então temos que o número que expressa a área da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x 
e as retas x = a e x = b é dada por, em unidades quadradas: 
 ∫= ba dxxfA )( 
 
 Por conveniência, referimo-nos à região R como a região sob o gráfico f de a até b. 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 a b 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Encontre a área limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = -1 e x = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x x=1 x=2 
y 
Área = R
Cálculo Diferencial e Integral 
 118
-4 
x 
y 
-2 2 
 
2) Encontre a área limitada pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas y = - 2 e x = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule a área limitada pelas curvas y = x2 + 1, y = - x2 - 1 e as retas x = -1 e x = 3. 
 
 
 
y 
x 
-10 
10
3 -1 
A1 
A2 
Cálculo Diferencial e Integral