Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - Funçoes
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Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - Funçoes


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x \u2260 1x f ( x )<0 para x \u2260 1x 
f ( x )<0 \u2203/ x real f ( x )>0 \u2203/ x real 
f ( x )=0 para x = 1x = 2x f ( x )=0 para x = 1x = 2x 
x 
x
 
f ( x )>0 \u2200 x real f ( x )<0 \u2200 x real 
f ( x )<0 \u2203/ x real f ( x )>0 \u2203/ x real 
f ( x )=0 \u2203/ x real f ( x )=0 \u2203/ x real 
 
2.4 - Inequações do 2o grau 
Definição 21: Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode ser 
reduzida a uma das formas: 
\u2022 a 2x +b x + c \u22650; 
\u2022 a 2x +b x + c >0; 
\u2022 a 2x +b x + c \u22640; 
\u2022 a 2x +b x + c <0. 
com a , b , c\u2208R e a \u22600. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 21
 
2.4.1 - Resolução de inequações do 2o grau 
Definição 22: Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades das 
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S). 
Exemplo: 
1) Resolver a inequação 2x \u22123 x +2>0. 
Resolução 
Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x \u22123 x +2. 
a =1>0 \u21d2 Concavidade para cima. 
 2x \u22123 x +2=0 
\u394=1>0 \u21d2 Duas raízes reais 
diferentes. 
1x =1 
x =
2
13±
 
2x =2 
x21
 
S={ x \u2208R ; x <1 ou x >2}. Obs: somente valores positivos. 
2) Resolver a inequação 2x \u221210 x +25\u22650. 
Resolução 
 Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x \u221210 x +25. 
a =1>0 \u21d2 Concavidade para 
cima. 
 2x \u221210 x +25=0 
\u394=0 \u21d2 Raiz dupla (única). 
 
1x = 2x = 2
10
 
x =5 
x5 
 
S=R . Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero. 
3) Resolver a inequação \u22122 2x +5 x \u22126\u22650. 
Resolução 
Estudar a variação do sinal da função f ( x )=\u22122 2x +5 x \u22126. 
a =\u22122<0 \u21d2 Concavidade para baixo. 
\u22122 2x +5 x \u22126=0 
\u394=\u221223<0\u21d2 Não possui zeros reais. 
 \u2203/ x real 
 
x
 
 
S=\u2205. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero. 
 
2.4.2 - Sistemas de inequações do 2o grau 
Definição 23: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção 
dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 22
Exemplo: 
1) Resolver o sistema de inequações 
\u23a9\u23a8
\u23a7
<+
\u2212\u2265+
05
682 22
x
xxx
. 
Resolução 
(i) \u21d2 2 2x +8\u2265 2x \u22126 x \u21d2 2 2x +8\u2212 2x +6 x \u22650 \u21d2 2x +6 x +8\u22650. 
(ii) \u21d2 x +5<0. 
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x +6 x +8. 
a =1>0 \u21d2 Concavidade para cima. 
2x +6 x +8=0 
\u394=4>0 \u21d2 Duas raízes reais diferentes. 
1x =\u22124 
x =
2
26±\u2212
 
2x =\u22122 
x-2-4
 
S(i)={ x \u2208R ; x \u2264\u22124 ou x \u2265\u22122}. Reta real: x-2-4 
 
Resolução de (ii): x +5<0 \u21d2 x <\u22125. 
S(ii)={ x \u2208R ; x \u2264\u22125}. Reta real: x-5 
Intersecção entre (i) e (ii) \u21d2 (i)\u2229(ii): 
x-5
x-5
x-2-4(i)
(ii)
(i) (ii)\u2229 S={ x \u2208R ; x \u2264\u22125}. 
 
2) Resolver a inequação x \u22124< 2x \u22124\u2264 x +2. 
Resolução 
(i) \u21d2 x \u22124< 2x \u22124 \u21d2 x \u22124\u2212 2x +4<0 \u22c5(\u22121) \u21d2 2x \u2212 x >0. 
(ii) \u21d2 2x \u22124\u2264 x +2 \u21d2 2x \u22124\u2212 x \u22122\u22640 \u21d2 2x \u2212 x \u22126\u22640. 
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x \u2212 x . 
a =1>0 \u21d2 Concavidade para cima. 
2x \u2212 x =0 x ( x \u22121)=0 \u21d2 Zeros={0,1}. 
\u394=1>0 \u21d2 Duas raízes reais 
diferentes. 
1x =0 
x =
2
11±
 
2x =1 
x10
 
 
S(i)={ x \u2208R ; x <0 ou x >1}. Reta real: x10 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 23
Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( x )= 2x \u2212 x \u22126. 
a =1>0 \u21d2 Concavidade para cima. 
2x \u2212 x \u22126=0 
\u394=25>0 \u21d2 Duas raízes reais diferentes. 
1x =\u22122 
x =
2
51±
 
2x =3 
x3-2
 
 
S(ii)={ x \u2208R ; \u22122\u2264 x \u22643}. Reta real: x3-2 
Intersecção entre (i) e (ii) \u21d2 (i)\u2229(ii): 
x-2
x
x10(i)
(ii)
(i) (ii)\u2229 
3
-2 0 1 3
 S={ x \u2208R ; \u22122\u2264 x <0 ou 1< x \u22643}. 
 
 
2.4.3 - Inequação-produto e inequação-quociente 
Definição 24: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, 
fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do 
produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de 
números reais. 
 
Exemplos: 
1) Resolver a inequação ( 2x \u22122 x \u22123)\u22c5(\u2212 2x \u22123 x +4)>0. 
Resolução 
 
f(x) = 2x \u22122 x \u22123 \u21d2 a > 0 \u21d2 \u394=16 > 0 \u21d2 1x = -1 e 2x = 
3 
g(x) = \u2212 2x \u22123 x +4 \u21d2 a < 0 \u21d2 \u394=25 > 0 \u21d2 1x = \u22124 e 2x = 
1 
f(x) g(x) 
x3-1 
 x1-4
 
x3-1 
 x1-4 
Cálculo Diferencial e Integral 
 24
 
x
-4
( )g
x( )f
x( )x( )f g
1 3-1 
 
S={ x \u2208R ; \u22124< x <\u22121 ou 1< x <3}. 
2) Resolver a inequação 
16
65
2
2
\u2212
+\u2212
x
xx \u22650. 
Resolução 
f(x) = 2x \u22125 x +6 \u21d2 a > 0 \u21d2 \u394=1 > 0 \u21d2 1x = 2 e 2x = 3 
g(x) = 2x \u221216 \u21d2 a > 0 \u21d2 \u394=64 > 0 \u21d2 1x = \u22124 e 2x = 4 
f(x) g(x) 
x32 
 
x4-4 
x32 
 x4-4 
x
-4
( )g
x( )f
x( )
x( )f
g 3 42 
S={ x \u2208R ; x <\u22124 ou 2\u2264 x \u22643 ou x >4}. 
 
3) Determine o domínio da função f ( x )=
6
1032
\u2212
\u2212\u2212
x
xx
. 
Resolução 
f só representa um número real se 
6
1032
\u2212
\u2212\u2212
x
xx \u22650. 
f(x) = 2x \u22123 x \u221210 \u21d2 a > 0 \u21d2 \u394=49 > 0 \u21d2 1x = \u22122 e 2x = 5 
g(x) = x \u22126 \u21d2 a > 0 \u21d2 g(x) = 0 \u21d2 x = 6 
f(x) g(x) 
x5-2 
 x6 
x5-2 
 x6 
Cálculo Diferencial e Integral 
 25
x
-2
( )g
x( )f
x( )
x( )f
g 5 6 
D ={ x \u2208R ; \u22122\u2264 x \u22645 ou x >6}. 
 
 
 
AULA 03 \u2013 EXERCÍCIOS 
 
1) Considere a função f do 20 grau, onde f(0) 
= 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de 
formação dessa função e calcule f(5). 
2) Determine o valor de m para que a 
parábola que representa graficamente a 
função y = 3x2 \u2013 x + m passe pelo ponto (1, 
6) 
3) Determinar os zeros da função y = x2 \u2013 4x 
\u2013 5 
4) Seja a função f(x) = x2 \u2013 2x + 3k. 
Sabendo que essa função possui dois zeros 
reais iguais, determine o valor real de k. 
5) A função f(x) = x2 + kx + 36 possui duas 
raízes reais, m e n, de modo que 
12
511 =+
nm
. Determine o valor de f(-1) 
nessa função 
6) Determinar as coordenadas do vértice V 
da parábola que representa a função f(x) = - 
5x2 + 3x \u2013 1. 
7) Determinar a e b de modo que o gráfico 
da função definida por y = ax2 + bx \u2013 9 tenha 
o vértice no ponto (4, - 25) 
8) Determinar o conjunto imagem da função 
f(x) = x2 \u2013 3x + 2 
9) A função f(x) = x2 \u2013 x \u2013 6 admite valor 
máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor? 
10) Considerar todos os possíveis retângulos 
que possuem perímetro igual a 80 cm. Dentre 
esses retângulos, determinar aquele que terá 
área máxima. Qual será essa área? 
11) Determinar p de modo que a função 
f(x)= px2 + (2p \u2013 1)x + p assuma valores 
positivos para todo x real. 
12) Resolver a inequação \u2013x2 + 1 \u22640 
13) Determinar o conjunto solução da 
inequação x2 \u2013 10x + 25 \u2265 0 
14) Resolver a inequação x \u2013 4 <x2 \u2013 4 \u2264 
x + 2 
15) Resolver a inequação 1
3
12 <+
+
x
x
 
 
 
Respostas 
1) f(x) = - 3x2 + x + 5 
 f(5) = - 65 
2) 4 
3) 5 e -1 
4) 1/3 
5) 52 
6) \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212
20
11,
10
3V 
7) a = 1 e b = - 8 
8) \u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 \u2212\u2265\u2208=
4
1/Im yRy 
9) O valor mínimo da função é y = - 25/4 
10) O retângulo que terá a maior área será o 
de lados 20 cm e 20cm, e a área máxima 
será de 400 cm2. 
11) \u23ad\u23ac
\u23ab
\u23a9\u23a8
\u23a7 >\u2208
4
1/ pRp 
12) { }1,,1| \u2265\u2212\u2264\u2208= xouxRxS 
13) S = R 
14) { 02| <\u2264\u2212\u2208= xRxS ou }31 \u2264< x 
15) S = {x \u2208 R| x < - 3 ou -1< x <2} 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 26
AULA 04 
 
3 \u2013 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
3.1 \u2013 Revisão de Potenciação 
3.1.1 - Potências com expoente natural 
Sendo a um número real e n um número
Anderson
Anderson fez um comentário
Excelente material, obrigado pela ajuda
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