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Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - Funçoes

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π ( k ∈Z ). 
5.2.2 - Função tangente 
Função tangente é a função que associa a cada arco x ∈R , com x ≠
2
π + k π ( k ∈Z ), o 
número tan x ∈R , ou y = tan x . 
5.2.3 - Gráfico da função tangente 
Para estudar a função tangente ( y = tan x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. 
AO O π2π3π4π6 π π23
π2
1
1
y
x
0,58
1,73
1,73
0,58
 
[Fig. 4]: Gráfico da função tangente. 
5.2.4 - Conclusões 
• O domínio da função y = tan x é o conjunto dos números reais x ∈R , com x ≠
2
π + k π ( k ∈Z ), 
isto é, D ={ x ∈R / x ≠
2
π + k π, k ∈Z }. 
• A imagem da função y = tan x é o conjunto dos números reais. 
 
• Toda vez que somamos k π a um determinado valor de x , a função tangente assume o mesmo 
valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função 
y = tan x é p =π. 
(Eq.18) tan ( x + k π)= tan x , k ∈Z . 
5.2.5 - Tangente é uma função ímpar 
Como tan (− x )=− tan x , para todo x real, com x ≠
2
π + k π ( k ∈Z ), podemos afirmar que a 
função tangente é ímpar. 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 43
5.3 - Cotangente de um arco 
Tome o arco α dado na figura abaixo: 
A
P
O
α
N
M
C
eixo das
cotangentes
B
 
[Fig. 5]: Arco α para o conceito de cotangente. 
 
Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC). 
(Eq.19) cot α= BC . 
5.3.1 - Conseqüências 
• O eixo horizontal, suporte de BC , é chamado eixo das cotangentes. 
• Podemos dizer que cot α só é definida se α∈R e α≠ k π ( k ∈Z ). 
5.3.2 - Função cotangente 
Função cotangente é a função que associa a cada arco x ∈R , com x ≠ k π ( k ∈Z ), o número 
cot x ∈R , ou y =cot x . 
5.3.3 - Gráfico da função cotangente 
Para estudar a função cotangente ( y =cot x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. 
AO O π2π3π4π6 π π23 π2
1
1
y
x
0,58
1,73
1,73
0,58
 
[Fig. 6]: Gráfico da função cotangente. 
5.3.4 - Conclusões 
• O domínio da função y =cot x é o conjunto dos números reais x ∈R , com x ≠ k π ( k ∈Z ), isto 
é, D ={ x ∈R / x ≠ k π, k ∈Z }. 
• A imagem da função y =cot x é o conjunto dos números reais. 
• Toda vez que somamos k π a um determinado valor de x , a função cotangente assume o 
mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da 
função y =cot x é p =π. 
 cot ( x + k π)=cot x , k ∈Z . 
Cálculo Diferencial e Integral 
 44
 
5.3.5 - Cotangente é uma função ímpar 
Como cot (− x )=−cot x , para todo x real, com x ≠ k π ( k ∈Z ), podemos afirmar que a função 
cotangente é ímpar. 
5.4 - Secante e cossecante de um arco 
Tome o arco α dado na figura abaixo: 
A
P
O
α
N
M S
D
 
[Fig. 7]: Arco α para o conceito de secante e cossecante. 
 
Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das 
abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D. 
(Eq.20) sec α=OS . 
(Eq.21) seccos α=OD . 
 
5.4.1 - Função secante e cossecante 
Função secante é a função que associa a cada arco x ∈R , com x ≠
2
π + k π ( k ∈Z ), o 
número sec x ∈R , ou y = sec x 
Função cossecante é a função que associa a cada arco x ∈R , com x ≠ k π ( k ∈Z ), o 
número seccos x ∈R , ou y = seccos x . 
5.4.2 - Gráfico da função secante 
Para estudar a função secante ( y = sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. 
AO O
π
2π
3
π
4
π
6
π π23 π2
1
1
y
x
1,15
1,41
2
1,15
1,41
2
 
[Fig. 8]: Gráfico da função secante. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 45
 
5.4.3 - Conclusões 
• O domínio da função y = sec x é o conjunto dos números reais x ∈R , com x ≠
2
π + k π ( k ∈Z ), 
isto é, D ={ x ∈R / x ≠
2
π + k π, k ∈Z }. 
• A imagem da função y = sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou 
menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈R / y ≥1 ou y ≤−1}. 
• Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função secante assume o mesmo 
valor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função 
y = sec x é p =2π. 
(Eq.22) sec ( x +2 k π)=sec x , k ∈Z . 
5.4.4 - Gráfico da função cossecante 
Para estudar a função cossecante ( y = seccos x ) vamos variar x no intervalo [0,2π]. 
O π2π3π4π6 π
π
2
3 π2
1
1
y
x
1,15
1,41
2
1,15
1,41
2
AO
 
[Fig. 9]: Gráfico da função cossecante. 
5.4.5 - Conclusões 
• O domínio da função y = seccos x é o conjunto dos números reais x ∈R , com x ≠ k π ( k ∈Z ), 
isto é, D ={ x ∈R / x ≠ k π, k ∈Z }. 
• A imagem da função y = seccos x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou 
menores ou iguais a −1, isto é, Im ={ y ∈R / y ≥1 ou y ≤−1}. 
• Toda vez que somamos 2 k π a um determinado valor de x , a função cossecante assume o 
mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da 
função y = seccos x é p =2π. 
(Eq.23) seccos ( x +2 k π)= seccos x , k ∈Z . 
5.5 - Relações trigonométricas 
Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas têm 
muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como 
base o ciclo trigonométrico e um ângulo α dado. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 46
 
A
P
O
α
N
M S
D
C
eixo das
cotangentesB
T
eixo das tangentes
 
[Fig. 10]: Funções trigonométricas no ciclo. 
 
Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo α: 
sen α=ON ; cosα=OM ; tanα= AT ; cot α= BC ; sec α=OS e seccos α=OD . 
 
Analisando as funções no ciclo e fixando inicialmente o ângulo α, podemos fazer as seguintes 
mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas: 
 
C
B
O
α
A E
F
D
cosα
cotα
tanαsenα
sec
α
cos
sec
α
1
unidade 
[Fig. 11]: Funções adaptadas no ciclo. 
 
Com as novas adaptações, temos as seguintes funções: 
sen α= AB ; cosα=OA ; tanα=CD ; cot α=OE ; sec α=OD e seccos α=OF . 
 
Daí tiram-se três triângulos semelhantes: 
ΔOAB ≡ΔOCD ≡ΔOEF . 
CO
α
D
tanαsecα
B
O
α
Acosα
senα1
1 O
α
E
F
cotα
cos
sec
α
1
21 3 
[Fig. 12]: Triângulos semelhantes. 
5.5.1 - Usando o teorema de Pitágoras 
• sen 2α+cos 2α=1; 
• tan 2α+1= sec 2α; 
• cot 2α+1= seccos 2α. 
5.5.2 - Usando semelhança entre triângulos 
Cálculo Diferencial e Integral 
 47
 
Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os triângulos: 
Razões do triângulo 2 para 1 : 
1
αsec = αcos
1
 ⇒ sec α= αcos
1
; 
 
1
αtan = α
α
cos
sen
 ⇒ tanα= α
α
cos
sen
. 
Razões do triângulo 3 para 1 : 
1
αseccos = αsen
1
 ⇒ seccos α= αsen
1
; 
 
1
αcot = α
α
sen
cos
 ⇒ cot α= α
α
sen
cos
. 
Razões do triângulo 3 para 2 : 
1
αseccos = α
α
tan
sec
 ⇒ seccos α= α
α
tan
sec
; 
 
1
αcot = αtan
1
 ⇒ cot α= αtan
1
. 
 
Exemplos: 
Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os exercícios que seguem 
abaixo: 
1) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo 1 para 2 . 
 
sen α= α
α
sec
tan
; 
cosα= αsec
1
. 
2) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo 1 para 3 . 
 
sen α= αseccos
1
; 
cosα= α
α
seccos
cot
. 
3) Determine as razões que se pede abaixo,