Aula 01

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Disciplina: Modelagem e análise de sistemas dinâmicos
Aula 1: Revisão dos conceitos necessários de Transformada de Laplace
Apresentação
Você talvez esteja se perguntando “Começar uma disciplina já com revisão?!”, ou também pode
provavelmente questionar ... “E eu tinha pensado que estava livre de cálculo!”
Veremos que esta disciplina, Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos, precisará muito dos
seus conhecimentos adquiridos ao longo de sua graduação em Cálculo.
Existem muitas aplicações para o cálculo, como veremos a partir de agora. Mas, antes de
entrarmos realmente nos tópicos listados nos Objetivos da disciplina, precisamos reforçar e
salientar pontos importantes da Transformada de Laplace, alvo desta aula, para o bom
andamento do estudo. Vamos lá?!
Objetivos
Reconhecer a importância do uso da Transformada de Laplace para a disciplina;
Compreender propriedades e teoremas, e a Função Inversa da Transformada;
Empregar a ferramenta matemática com exercícios práticos de fixação.
Transformada de Laplace
Dentre as abordagens para resolver as equações dinâmicas, um método rápido é uma análise
usando técnicas de sistemas lineares. Os resultados nos permitem compreender as
características de certas soluções e como o sistema poderá ser alterado para modificar a
resposta buscando atender a uma deseja especificação.
Veremos tudo isso a partir da Aula 2, mas é necessário afirmar aqui que existem três domínios
nos quais estudamos as respostas de sistemas dinâmicos:
1
Plano-s
2
Resposta em frequência
3
Espaço de estados
Um bom engenheiro precisa conhecer bem esses domínios, e, por
isso, justi�ca-se esta breve revisão de algumas ferramentas
fundamentais para o nosso estudo.
Como foi dito na apresentação, a forma na qual um sistema dinâmico responde a uma entrada,
expresso como uma função de tempo, é chamada tempo de resposta. A avaliação teórica dessa
resposta é ser realizada no domínio do tempo, e é referida como análise no domínio do tempo.
Para isso, faz-se uso da Transformada de Laplace, usada para transformar equações do domínio
do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Segundo Ogata (2003), a Transformada de
Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar
equações diferenciais lineares.
 Pierre-Simon Laplace (Fonte: Shutterstock)
Por meio da Transformada de Laplace, pode-se converter muitas funções comuns, como
funções senoidais, funções senoidais amortecidas e funções exponenciais, em funções
algébricas de uma variável complexa “s”; também operações como diferenciação e integração
podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo.
Quando uma solução adequada é alcançada, é transformada
inversamente de volta para o domínio do tempo.
Com base principalmente em Ogata (2003), Franklin et al. (2013), Nise (2004), dentre outros,
segue a definição da Transformada de Laplace:
f(t)
Uma função de tempo em que f(t) = 0 para t < 0.
s
Uma variável complexa.
L
Um símbolo operacional indicando que a grandeza a qual ele antecede vai ser transformada por
meio da integral de Laplace ∫ ∞0 e
- st dt
F(s)
Transformada de Laplace de f(t).
Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:
L f t = F s = ∫ ∞0 e
- st dt f t = ∫ ∞0 f t e
- st dt
A Transformada Inversa de Laplace, processo inverso de determinação da função de tempo f(t) a
partir da transformada de Laplace F(s), é dada por ℒ - 1 com o auxílio da seguinte integral de
inversão:
[ ( )] ( ) [ ( )] ( )
L
- 1 F(s) = f(t) = 
1
2πj ∫
c+ j∞
c - j∞ F(s)e
st ds, para t > 0

Atenção
As resoluções de Equações Diferenciais Ordinárias podem ser resolvidas pela
Transformada de Laplace, pois a Transformada respeita os Princípios da Superposição e
Linearidade, trabalhando assim com Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo.
Propriedades da Transformada
Princípio da Superposição
Esse princípio diz que se um sistema possui uma entrada que pode ser expressa como a
soma de diferentes sinais, então a resposta do sistema pode ser expressa como a soma
das respostas individuais a cada um dos diferentes sinais que compõem o sinal de
entrada.
Veja um exemplo:
Um sistema possui entrada u e saída y. Com o sistema em repouso, é aplicada uma
entrada u (t) e é observada uma saída y (t). Após o sistema entrar em repouso de novo,
aplica-se uma nova entrada u (t) e é observada uma saída y (t).
Podemos compor a entrada desse sistema com:
u(t) = α1 u1 (t) + α2u2 (t)
Se a propriedade de superposição se aplica ao sistema, a saída resultante dessa entrada
será:
y(t) = α1 y1 (t) + α2y2 (t)
Esta propriedade só pode ser aplicada se o sistema for linear.
L αf1 (t) + βf1 (t) = αF1 (s) + βF2(s)
1 1
2 2
{ }
O escalonamento da amplitude é um caso particular na linearidade:
L{αf(t)} = αF(s)
Retardo no tempo
Suponha que a função f(t) é atrasada por λ > 0 unidades de tempo. Então, a Transformada
de Laplace será:
F1(s) = ∫
∞
0 (t - λ)e
- stdt = e - sλF(s)
Esta relação nos mostra que um retardo no tempo λ corresponde a multiplicar a
transformada por e - sλ.
Diferenciação
A Transformada de Laplace da derivada temporal do sinal é relacionada com a
Transformada de Laplace e sua condição inicial:
ℒ
df
dt = ∫
∞
0 -
df
dt e
- stdt = sF(s) - f 0 -
ℒ
. .
f = s2F(s) − sf (0 − )−
.
f 0 − , Para a segunda derivada
L fm(t) = smF(s) - sfm - 1 0 - - sfm - 2
.
f 0 - - … - fm - 1 0 - -----> fm é a m-ésima derivada
temporal de f(t).
Integração
{ } ( ) ( )
{ } ( )
{ } ( ) ( ) ( )
Quer-se determinar a Transformada de Laplace da integral de uma função f(t), então:
F1(s) = L ∫
t
0(ξ)dξ =
1
sF(s)
Convolução
Será visto posteriormente, nas aulas que irão abordar Diagrama de Blocos e Função de
Transferência, que a resposta de um sistema é determinada pela convolução da entrada
com a resposta ao impulso do sistema; ou pelo produto da função de transferência do
sistema pela Transformada de Laplace da entrada.
Nesta aula precisamos saber o conceito sobre isso, afirmando-se que a Convolução no
domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio da frequência:
L f1(t) * f2(t) = ∫
∞
0 f1(t) * f2(t) e
- stdt = F1(s)F2(s)
L
- 1 F1(s)F2(s) = f1(t) * f2(t)

Atenção
Teorema de Euler: Vale relembrar também as igualdades que transformam de funções
trigonométricas para funções exponenciais e vice-versa:
cos𝜃 + 𝑗 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑒 𝑗 𝜃
Utilizando-se o Teorema de Euler é possível expressar as funções seno e cosseno em
termos de funções exponenciais.
Note que 𝑒 - 𝑗 𝜃 é o conjugado complexo de 𝑒 𝑗 𝜃 e que podemos chegar em 
cosθ =
1
2 e
jθ + e - jθ e senθ =
1
2j e
jθ + e - jθ
{ }
{ } ( )
{ }
( ) ( )
Atividade
1. Encontre a Transformada de Laplace da função f(t) cujo domínio é exposto a seguir:
f(t) = 0, para t < 0;
f(t) = sen(ωt + θ), para t ≥ 0. Onde θ é uma constante.
Adaptado de Ogata (2003).
2. O estudo de sistemas lineares é importante em Engenharia pelo fato de que boa parte
dos fenômenos físicos pode ser aproximadamente descrita por comportamentos lineares,
ao menos em torno dos pontos de operação. A teoria de sistemas lineares é muito útil
também no estudo do comportamento local de sistemas não lineares.
É importante salientar que os sistemas físicos podem ser representados por equações
algébricas e equações diferenciais, lineares e não lineares, e o estudo de tais sistemas
envolve a modelagem e a solução dessas equações.
No caso específico da equação abaixo, para uma entrada x(t), y(t) é a saída de um sistema
dada por y(t) = (x(t))a + bx(t) + c.
Para algumas combinações dos valores das constantes a, b e c, o sistema poderá ser
linear ou não linear. O sistema resultante será linear quando:
 a) a = 0, b = 1, c = 0
 b) a = 1, b = 1, c = 0
 c) a = 1, b = 0, c = 1
 d) a = 2, b= 0, c = 1
 e) a = 2, b = 0, c = 0
Adaptado ENADE 2014, Engenharia Elétrica.
Transformada inversa por expansão em frações
parciais
A maneira mais simples de se encontrar f(t) a partir de F(s), se esta é racional, é expandir F(s) em
soma de termos simplesque podem ser encontrados em tabelas.
Para entender melhor esse método veremos um exemplo:
Expansão em frações parciais com polos distintos.
Seja Y(s) =
( s+ 2 ) ( s+ 4 )
s ( s+ 1 ) ( s+ 3 ) , vamos encontrar sua função inversa y(t).
Usando a expansão em frações parciais, podemos reescrever Y(s) como:
Y(s) =
A
s +
B
s+ 1 +
C
s+ 3
Com isso, podemos fazer:
A
A = s.
( s+ 2 ) ( s+ 4 )
s ( s+ 1 ) ( s+ 3 ) |s= 0 =
8
0
B
B = (s + 1).
( s+ 2 ) ( s+ 4 )
s ( s+ 1 ) ( s+ 3 ) |s= - 1 =
- 3
2
C
C = (s + 3).
( s+ 2 ) ( s+ 4 )
s ( s+ 1 ) ( s+ 3 ) |s= - 3 =
- 1
6
Adaptado de Franklin et al (2013).
Se você adicionar as frações parciais retornará à função original.
Após utilizar as tabelas com as propriedades e funções, chega-se a
resposta: 
Y(t) =
8
31(t) -
3
2 e
- t1(t)
1
6 e
- 3t1(t)

Saiba mais
Para quase todos os cálculos dentro da disciplina, você pode utilizar como ferramenta
computacional o MatLab, ou o SciLab (gratuito), para efetuar seus cálculos. Você notará
várias vezes que faremos menção ao MatLab, ela é uma poderosa ferramenta matemática
para engenheiros. Seu uso é largamente abordado na literatura acadêmica, inclusive com
pesquisa entre alunos graduandos em Engenharia, como pode ser visto em Duarte Filho et
al. (2018). Fica aqui a resolução desta atividade pelo MatLab, utilizando a função residue:
num = conv([1 2],[1 4]); % forma do polinômio do numerador
den = conv([1 1 0],[1 3]); % forma do polinômio do denominador
[r,p,k] = residue(num,den); % cálculo dos resíduos
Obtendo o resultado:
r = [-0.1667 -1.5000 2.6667]’;
p = [-3 -1 0]’;
k = [ ];
Note que a função conv, no MatLab, é usada para multiplicar dois polinômios; os
argumentos da função são os coeficientes do polinômio.
Atividade
3. Expansão em frações parciais com raízes repetidas.
Encontre f(t) para a qual a Transformada de Laplace é F(s) =
s+ 3
( s+ 1 ) ( s+ 2 ) 2
Adaptado de Franklin et al (2013).
Teoremas da Transformada de Laplace
Teorema do Valor Inicial
Este é um teorema que determina o valor inicial da função no tempo f(t) a partir de sua
Transformada. Assim, para qualquer par de Transformada de Laplace:
lims→ ∞ sF(s) = f 0 +
Teorema do Valor Final
Este teorema é de grande utilidade em controle de processos (tanto o clássico quanto o digital;
estes são assuntos que você verá em disciplinas posteriores), pois permite calcular o valor
constante de estado estacionário, ou regime permanente, de uma função no domínio do tempo
através de sua Transformada em Laplace.
Também é muito utilizado para cálculos de erros em regime permanente, outra parte importante
no estudo de controle, para análise de estabilidade e desempenho dos sistemas.
Este teorema só é aplicável se, e somente se, existe limt→ ∞ f(t)
signi�cando que a função tende a um valor constante quanto t tende
ao in�nito.
Se todos os polos (raízes) de sF(s) estiverem situados no semiplano esquerdo do plano-s, o 
limt→ ∞ f(t) existe. Porém, se possuir polos sobre o eixo imaginário ou no semiplano direito, f(t)
possuirá funções temporais com oscilação ou com crescimento exponencial, respectivamente, e
o limt→ ∞ f(t) não existe.
Então, se o limt→ ∞ f(t) existir (todos os polos de sF(s) estarão no semiplano esquerdo do plano-
s):
limt→ ∞ f(t) = lims→ 0sF(s)
Antes de prosseguir com a aula, que tal fazer uma atividade que envolve esse
conhecimento?
( )
Atividade
4. Encontre o valor final do sistema que corresponde à função F(s) =
3 ( s+ 2 )
s s2 + 2s+ 10
.
 a) 0
 b) 1
 c) 0,9
 d) 0,6
 e) 0,3
Adaptado de Franklin et al (2013).
Funções Singulares
Algumas funções em Laplace serão largamente utilizadas no estudo de Modelagem, geralmente
como entradas do sistema em questão. As funções pulso, impulso e impulso unitário; função
degrau e degrau unitário; função rampa; função exponencial; funções senoidais e cossenoidais.
A seguir serão expostas essas funções no tempo e na frequência (variável “s”) para relembrança
nos seus estudos. Note que se exige que você tenha familiaridade com essas funções e suas
demonstrações, porque são “bagagens” adquiridas nos estudos dos Cálculos.
Função Exponencial
f(t) = 0, para t < 0;
F(t) = Ae -αt, para t ≥ 0.
Então, F(s) =
A
s+α
Função Degrau
( )
f(t) = 0, para t < 0;
f(t) = A, para t > 0.
Note que é um caso especial da função exponencial onde α = 0. Então F(s) =
A
s . A função
degrau com amplitude unitária é dita degrau unitário.
1(t) = 0, para t < 0;
1(t) = 1, para t > 0; ;
Então F(s) =
1
s
Função Rampa
f(t) = 0, para t < 0;
f(t) = At, para t ≥ 0.
Então, F(s) =
A
s2
Note que se A = 1 teremos uma rampa unitária.
Função senoidal
f(t) = 0, para t < 0;
f(t) = A sen t, para t ≥ 0.
Lembre-se que sen ωt =
1
2j e
ωjt - e -ωjt
Então, F(s) =
Aω
s2 +ω2
A função cossenoidal pode, analogamente, ser descrita como F(s) =
As
s2 +ω2
( )
Função Impulso unitário ou Delta de Dirac
δ t - t0 = 0,para t ≠ t0;
δ t - t0 = ∞, para t = t0;
Então, F(s) = 1
Atividade
5. Encontre a solução da equação diferencial ẍ(t) + x(t) = 0, onde x(0) = α, e ẋ(t) = β.
6. Um sistema industrial possui sua função de transferência modelada pela seguinte
equação diferencia ẍ(t) + 3
.
x(t) + 2x(t) = 0, onde x(0) = 2, 
.
x(0) = - 1.
Qual a solução x(t) dessa função?
Adaptado de Ogata (2003).
Conclusão
Pode até parecer um pouco “estressante”, mas é necessário ter esse retorno aos algebrismos
aprendidos nas aulas de Cálculo. O engenheiro não sobrevive sem ele. Então a ferramenta
apresentada e revista nesta aula, a Transformada de Laplace, será utilizada em toda a disciplina,
pelas justificativas que já foram expostas.
Esperamos que você tenha relembrado e feito todas as atividades e questões. Para
aprofundamento, busque mais exercícios nas Referências.
Até a próxima aula!
( )
( )
Referências
AGUIRRE, L. A. Enciclopédia de automática: controle & automação. v. II. São Paulo: Blücher. 2007
DUARTE FILHO, Moisés et al. Technological tools in the electrical engineering to approach
students to professional routine. In: Journal of Educational and Instructional Studies in the
World. v. 8 - Issue: 1. ISSN: 2146-7463. Fevereiro de 2018. Disponível em:
http://www.wjeis.org/FileUpload/ds217232/File/02.suzana_da_hora_macedo.pdf
<http://www.wjeis.org/FileUpload/ds217232/File/02.suzana_da_hora_macedo.pdf> . Acesso em:
04 abr. 2018.
FRANKLIN, G. F. et al. Sistemas de controle para engenharia. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.
cap. 3, p. 63-81.
NERES, F.; NOBRE, F. de S. (Orgs.). Questões do ENADE comentadas. Goiânia: PUC Goiás, 2014.
Disponível em: http://www.pucgoias.edu.br/ArquivisWordpress/enade/engenharia-eletrica.pdf
<http://www.pucgoias.edu.br/ArquivisWordpress/enade/engenharia-eletrica.pdf> . Acesso em:
25 jul. 2018
NISE, Norman, S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 4. ed., 3ª reimp. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2007. cap 2, p. 3-37.
Próximos Passos
Terminologias dos processos industriais e sistemas;
Uso do Diagrama de Blocos para análise dos sistemas;
Uso do Fluxo de Sinais para entendimento dos sistemas.
Explore mais
Assista vídeos sobre as Transformadas <https://www.youtube.com/watch?v=GrRWAOqF2p0> .
http://www.wjeis.org/FileUpload/ds217232/File/02.suzana_da_hora_macedo.pdf
http://www.pucgoias.edu.br/ArquivisWordpress/enade/engenharia-eletrica.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=GrRWAOqF2p0