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Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap3

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==+1C
1
0
22
3
1dttxydydxx 
∫ ∫ ==+2C
1
0
2
2
1tdtxydydxx 
∫ ∫
−
−=−=+
3C
0
1
22
3
1dttxydydxx 
∫ ∫
−
==+
4C
0
1
2 0dt0xydydxx 
 Logo, 
 ∫ =+−+=+C 2 210312131xydydxx 
 
3.5. 
Aplicações das Integrais de Linha 
 
As integrais de linha possuem vasta utilização em diversas áreas, sobretudo na física para 
ajudar a descrever alguns fenômenos e calculá-los. 
Apresenta-se algumas aplicações das integrais citadas na física, além de alguns exemplos 
resolvidos. 
a) Cálculo da Massa e Centro de Massa de um Fio 
Admitamos o seguinte problema descrito no exemplo abaixo onde os dados são os 
seguintes: 
Um fio extremamente delgado está identificado com as duas primeiras voltas do traço da 
hélice C em ℜ3 dada por →C (t) = [cos(t), sen(t), t], com t percorrendo o intervalo [0,4π]. A 
densidade linear em qualquer ponto (x, y, z) da curva é φ( x, y, z ) = 5x + z. 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
36
36
Com o uso de integrais de linha de campos escalares podemos calcular o centro de massa 
do fio. Primeiramente aproximamos a massa do fio por pequenos elementos de massa mi, 
concentrados nos pontos ( xi, yi, zi ). 
 Massa ≅ iiiin
1i
n
1i
i s)z,y,x(densm Δ∑∑
==
= (3.29) 
Logo, uma aproximação do momento de massa em relação ao plano "xy" do fio é dado 
por ∑
=
=
n
1i
iiiixy s)z,y,x(densM Δ (3.30) 
Define-se então: 
 ∫∑ ==
=
∞→ ds)z,y,x(zdenss)z,y,x(denslimM
n
1i
iiiinxy Δ (3.31) 
De maneira análoga definem-se os outros momentos de massa. Se M denota a massa 
total do fio então as coordenadas do centro de massa são dadas por: 
 centro de massa = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
M
Mxy,
M
Mxz,
M
Myz (3.32) 
b) Momento de Inércia 
Seja L uma linha reta e designemos por dL(x) a distância do ponto x pertencente a ℜn a 
linha L. O momento de inércia da linha Γ relativo a reta L é a integral de linha da função 
φ(x) = α(x)d2L(x), ou seja, 
 dt)t(g))t(g(Ld 2))t(g(I '
b
a
L ∫= α (3.33) 
 
c) Campo gravitacional 
Seja M uma massa pontual e situada na origem de IR3. O campo gravitacional gerado 
pela massa M é dado por 
 ( ) rz,y,x 33 rGM),z,y,x(GM)z,y,x(F r
r
−=−= (3.34) 
Onde r = (x; y; z) e G é a constante universal da gravitação. 
Facilmente se verifica que o campo gravitacional é um gradiente e o seu potencial é a 
função 
 
zyx)z,y,x( 2
22
GM
r
1GM),z,y,x(GM)z,y,x(
++
=== rφ (3.35 (3.35) 
 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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37
 A integral de linha de um campo gradiente não depende do caminho. Depende apenas 
do ponto inicial A e do ponto final B. Podemos aplicar então o teorema fundamental do cálculo 
para o cálculo da integral de linha: 
 )()(.. abdgdgF φφφ −=∇=∫ ∫
Γ Γ
 (3.36) 
 
 
 
d) Campo Magnético Através da Lei de Ampère 
Em 1819, Oersted descobriu que uma corrente elétrica produz um campo magnético, e 
que para o caso de um fio retilíneo, as linhas de campo são círculos em planos perpendiculares 
ao fio, como ilustra a Figura (3.1). O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: com o 
polegar no sentido da corrente, os outros dedos dão o sentido de B. 
 Logo após a apresentação do trabalho de Oersted, em 1820, Ampère realizou outras 
experiências e formalizou a relação entre corrente elétrica e campo magnético. Ele mostrou 
que o campo produzido pela corrente, i, é dado pela lei que recebeu seu nome. 
 
→→→ =∫ ild.B 0μ (3.37) 
 
Onde μo é a permeabilidade magnética do vácuo. 
 Em (3.37), a integral é realizada ao longo de uma linha fechada arbitrária, que alguns 
autores denominam linha amperiana, pela sua correspondência com a superfície gaussiana no 
caso da eletrostática, e através desta lei é possível calcular o campo magnético numa integral 
de linha. 
 
 
Figura 3.1- Ilustração para a dedução da lei de Ampère 
 
 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
38
38
Exercícios: 
 
1) Seja Γ um fio de um material cuja densidade de massa é dada por 
yx
2
21
1)y,x(
++
=α e tem a configuração de uma espiral descrita pelo 
caminho g(t) = (t cos t; t sen t) ; 4π ≥ t ≥ 0 (vide figura abaixo). 
 
 
Então 1)t())t(g( g' =α e, portanto, a massa de Γ é dada por: 
 πα ππ 41
1
1)())(( 2
4
0 2
4
0
' =+
+
== ∫∫ dtdtttgM t
t
g . 
A coordenada y do centro de massa é dada por: 
1
4
4sen
4
1),(1
4
0
−=−=== ∫∫
Γ
π
π
π
πα tdttyxyMy 
 
2) Seja Γ pertencente ao IR3 um fio de um material com densidade de massa α(x; y; z) = z e 
cuja configuração é a de uma hélice cilíndrica descrita pelo caminho g(t) = (cos t; sen t; t) ; 4π 
≥ t ≥ 0 da figura abaixo: 
 
 
Então 2)(' =tg e o momento de inércia de Γ relativo ao eixo z é dado pela integral de linha 
∫∫ ==+=Γ
Γ
π π4
0
222 282)()( tdtdsyxzIz 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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