Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap4

4. 
Teorema de Green 
4.1. 
Introdução 
George Green foi um pioneiro na aplicação de matemática para problemas físicos. Ele 
era um moleiro que viveu em Nottingham toda sua vida e teve muito pouca educação formal 
até ter completado a maior parte de seu melhor trabalho. Como resultado das suas 
circunstâncias, ele recebeu pequeno reconhecimento público na vida, e foi William Thomson 
(Lord Kelvin) que primeiro reconheceu o valor do seu trabalho e tornou-o de larga 
publicidade. Uma extensão do teorema de Green, o teorema de Stokes, foi também descoberto 
a partir de William Thomson. Stokes soube desse teorema por uma carta de Thomson em 
1850 e pediu a seus estudantes para prová-lo num exame em Cambridge em 1854. Não se 
sabe se algum de seus estudantes foi capaz de fazê-lo. 
O trabalho de Green teve grande influência e hoje em dia é lembrado principalmente 
pelo teorema de Green em análises de vetor, tensor de Green (ou o tensor Cauchy-Green) na 
teoria de elasticidade e acima de tudo as funções de Green para resolver equações 
diferenciais. A técnica da função de Green tem sido muito extensamente aplicada a equações 
que surgem em física clássica e engenharia e recentemente foi adaptada a problemas de 
mecânica quântica em áreas tão diversas como física nuclear, eletrodinâmica quântica e 
supercondutividade. 
 
4.1.1. 
A Vida de George Green 
George Green nasceu em Nottingham em 13 de julho de 1793. Por várias gerações seus 
antepassados foram fazendeiros na aldeia de Saxondale, a algumas milhas de Nottingham, 
mas o pai dele, o mais jovem de três filhos, tinha sido enviado para lá em 1774 para ser 
aprendiz de um padeiro em Nottingham. Com o tempo ele comprou a própria padaria e 
prosperou, adquirindo terra e propriedades, as quais ele alugou, como também um armazém 
nas margens do rio Lean, onde ele armazenava grãos antes de enviar para que fossem moídos 
para a padaria. Quando George tinha oito anos, enviaram-no para a Robert Goodacre’s 
Academy. A instrução dele durou só quatro períodos, e começou ajudar na padaria. Ele teve 
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sorte de que seu pai o enviou para aquela escola particular, Robert Goodacre era um professor 
de ciência entusiástico. Goodacre se tornou um locutor popular em astronomia e dissertou ao 
longo das Ilhas britânicas e América. Assim, George Green teria adquirido um gosto para 
ciência, embora seja duvidoso que o professor Goodacre poderia tê-lo incentivado muito em 
matemática; Goodacre não tinha tido nenhum treinamento formal e tinha sido aprendiz de 
alfaiate antes de se tornar um professor. 
 Assim à idade de nove anos, George Green havia recebido toda a educação formal que 
ele adquirira até os quarenta anos. Havia livrarias em Nottingham onde ele poderia comprar 
livros de ensino e enciclopédias, mas não havia ainda nenhuma biblioteca. É possível que ele 
possa ter recebido algum aconselhamento para leitura de um dos matemáticos diplomados que 
viveram em Nottingham. 
Quando Green tinha 14 anos, seu pai construiu um moinho de vento em Sneinton, uma 
aldeia separada uma milha ou mais de Nottingham. Era torre de moinho de cinco pavimentos 
com estábulos para oito cavalos e armazenamento para feno e milho. Moer era um comércio 
qualificado e ele empregou um capataz-gerente, William Smith que morava em uma cabana 
ao lado do moinho. O moinho não podia ser facilmente trabalhado por uma só pessoa; George 
ajudou William Smith, e então aprendeu a operar o moinho. Esta deve ter sido uma mudança 
excitante da padaria para um menino de 14 anos, e teria sido uma vida difícil, principalmente 
ao ar livre. Quando havia vento o bastante, ele trabalhava longas horas, até à noite. Como os 
Green ainda estavam vivendo em Nottingham, parece provável que George ficava durante a 
noite com os Smith ou talvez dormiu no moinho ao invés de voltar caminhando pela escuridão 
e ruas provavelmente perigosas de Nottingham. Parece provável também que durante este 
tempo ele teria gasto alguns dos dias tranqüilos estudando matemática enquanto esperava o 
vento vir. Certamente sua filha mais jovem, Clara, que viveu até 1919, contou ao Professor 
Granger da University College, Nottingham, que o pai dela usou o chão do moinho como um 
local de estudo. 
Quando Green tinha 24 anos, ele e os pais mudaram-se para uma casa com cinco 
quartos que eles construíram próximo ao moinho e alguns anos depois ela se juntou à 
Biblioteca de Nottingham, recentemente aberta. Esta logo se tornou o centro de vida 
intelectual em Nottingham. Continha uma coleção modesta de livros de ensino matemáticos e 
científicos, e, de grande importância, tinha os jornais científicos britânicos importantes. Estes 
normalmente também incluíram os títulos e resumos de documentos de jornais estrangeiros, 
de forma que Green poderia seguir o que estava sendo feito em outro lugar. Em princípio, ele 
poderia ter escrito aos autores pedindo cópias dos documentos deles. 
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George Green publicou o seu primeiro documento "Um Ensaio na Aplicação de Análise 
Matemática para as Teorias de Eletricidade e Magnetismo" em 1828, à idade de 35 anos. Era 
um grande trabalho de originalidade notável. Ele inventou técnicas matemáticas 
completamente novas para resolver os problemas que surgiram na análise e teria tido um 
efeito imediato e profundo se tivesse sido lido por outros trabalhadores na área. Infelizmente, 
não teve este efeito até alguns anos depois de sua morte. Ele foi aconselhado que como não 
tinha tido nenhum treinamento formal e a posição social dele era modesta, não deveria enviar 
o documento a um jornal científico. Então, ao invés disso, ele teve seu trabalho impresso 
reservadamente em Nottingham e distribuiu algumas cópias para outros matemáticos e físicos 
que trabalhavam na Inglaterra. Não teve nenhum impacto; dificilmente alguém na Inglaterra 
teria trabalhado nesta área. Matemáticos britânicos estavam interessados em mecânica, ótica, 
astronomia, movimento planetário e hidrodinâmica; a inspiração de Green veio da França, de 
Laplace e Poisson, mas ninguém parece ter visto seu trabalho lá. Esta falta de resposta deve 
ter deprimido Green, mas ele começou a trabalhar logo em um segundo documento. Ele 
recebeu valioso encorajamento de Senhor Edward Bromhead, um matemático de Cambridge 
diplomado e influente que viveu em Lincolnshire e claramente percebeu habilidade 
excepcional em Green. 
Green procurou áreas de muito mais interesse a físicos matemáticos britânicos e, com a 
influência de Bromhead, ele começou a publicar documentos nos jornais científicos. A vida 
familiar dele também mudou consideravelmente aproximadamente neste tempo, quando o seu 
pai morreu. Sua mãe havia morrido alguns anos antes, então Green se tornou um homem 
bastante rico. Ele deixou de moer e arrendou o moinho em 1833, à idade de 40. Com a ajuda 
de Bromhead ele entrou em Cambridge como um estudante universitário para conseguir um 
diploma em matemática. Ele conseguiu seu diploma em 1837 e logo depois foi eleito por 
companheirismo à faculdade Gonville e Caius. 
Green manteve o posto por somente dois anos quando ficou doente e voltou a 
Nottingham, onde ele morreu em 1841, deixando a esposa, Jane Smith, e sete filhos. 
Tristemente, o inteiro valor do seu trabalho não foi apreciado até sua morte. 
 
4.1.2. 
A Matemática de Green 
A matemática de Green era quase toda desenvolvida para resolver problemas físicos 
muito gerais. O primeiro interesse dele estava em eletrostática. A lei do quadrado-inverso 
tinha sido recentemente estabelecida experimentalmente, e ele quis calcular como isto 
determinou a distribuição de carga nas superfícies de condutores. Ele fez grande uso do 
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potencial elétrico (e deu este nome) e um dos teoremas que ele provou neste trabalho ficou 
famoso com o teorema de Green. Relaciona as propriedades de