Progressão aritmética

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SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Uma sequência numérica é um grupo de números 
dispostos em uma ordem definida. Por exemplo, podemos 
considerar a sequência dos números naturais ímpares, dada 
por (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Observe que o exemplo refere-se 
a uma sequência infinita. Já o conjunto dos números primos 
naturais menores do que 10 é dado por (2, 3, 5, 7), ou seja, 
é um exemplo de uma sequência finita. 
Assim, uma sequência infinita pode ser representada da 
seguinte forma:
(a1, a2, a3, ..., an – 1, an, ...)
Nessa sequência,
• a1 indica o elemento da posição 1;
• a2 indica o elemento da posição 2;
• a3 indica o elemento da posição 3;
	 	 	 						
• an indica o elemento da posição n.
Lei de formação
Uma sequência numérica pode ser definida por uma fórmula 
ou lei de formação. Considere os seguintes exemplos:
1º) Escrever os 4 primeiros termos da sequência definida 
por an = 4n + 1, n ∈ *.
Para n = 1 ⇒ a1 = 4 . 1 + 1 = 5
Para n = 2 ⇒ a2 = 4 . 2 + 1 = 9
Para n = 3 ⇒ a3 = 4 . 3 + 1 = 13
Para n = 4 ⇒ a4 = 4 . 4 + 1 = 17
 Os quatro primeiros termos da sequência são 
representados pelo conjunto ordenado (5, 9, 13, 17).
2º) Escrever a sequência numérica definida por:
a
a
a a a para n
n n n
1
2
1 2
1
1
2
=
=
= + >





 − − ,
 Nesse caso, observe que os dois termos iniciais são 
dados. Os seguintes são obtidos através de uma 
regra, chamada fórmula de recorrência, que utiliza 
os valores anteriores.
Assim, temos:
a3 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2
a4 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3
a5 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5
a6 = a5 + a4 = 5 + 3 = 8
	 
 A sequência é dada por (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)
e é conhecida como Sequência de Fibonacci.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
Chamamos de progressão aritmética (P.A.) a toda 
sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido 
pela soma do termo anterior com uma constante dada, 
denominada razão da P.A. e indicada por r.
Exemplos
1º) (2, 5, 8, 11, 14, 17, ...) é uma P.A. crescente, 
em que r = 3.
2º) (10, 8, 6, 4, 2, 0, ...) é uma P.A. decrescente, 
em que r = –2.
3º) (5, 5, 5, 5, ...) é uma P.A. constante, em que 
r = 0.
Termo geral da P.A.
Considere a P.A. de razão r representada a seguir:
(a1, a2, a3, ..., an – 1, an, ...)
Sabemos que:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a4 = a3 + r
	 
an = an – 1 + r
Progressão aritmética
MÓDULO
10
FRENTE
A
9
MATEMÁTICA
Bernoulli Sistema de Ensino
M4V03A10.indd 9 31/03/17 14:30
Me
u Lei de formação
Me
u Lei de formaçãoUma sequência numérica pode ser definida por uma fórmula 
Me
u Uma sequência numérica pode ser definida por uma fórmula ou lei de formação. Considere os seguintes exemplos:
Me
u ou lei de formação. Considere os seguintes exemplos:Escrever 
Me
u Escrever os 4 primeiros termos da sequência definida 
Me
u os 4 primeiros termos da sequência definida por a
Me
u por an
Me
u n = 4n + 1, n 
Me
u = 4n + 1, n ∈
Me
u ∈ 
Me
u *
Me
u *.
Me
u .
Para n = 1 
Me
u 
Para n = 1 ⇒
Me
u 
⇒ a
Me
u 
 a1
Me
u 
1 = 4 . 1 + 1 = 5
Me
u 
 = 4 . 1 + 1 = 5
Para n = 2 
Me
u 
Para n = 2 ⇒
Me
u 
⇒ a
Me
u 
 a2
Me
u 
2 = 4 . 2 + 1 = 9
Me
u 
 = 4 . 2 + 1 = 9
Para n = 3 Me
u 
Para n = 3 ⇒Me
u 
⇒ aMe
u 
 a
Para n = 4 Me
u 
Para n = 4 
Os quaMe
u 
Os qua
representados pelo conjunto ordenado (5, 9, 13, 17).Me
u 
representados pelo conjunto ordenado (5, 9, 13, 17).
Be
rno
ull
i
 indica o elemento da posição 3;
Be
rno
ull
i
 indica o elemento da posição 3;
, observe que os dois termos iniciais são 
Be
rno
ull
i
, observe que os dois termos iniciais são 
dados. Os seguintes são obtidos através de uma 
Be
rno
ull
i
dados. Os seguintes são obtidos através de uma 
regra, chamada fórmula de recorrência, que utiliza 
Be
rno
ull
i
regra, chamada fórmula de recorrência, que utiliza 
os valores anteriores.
Be
rno
ull
i
os valores anteriores.
Assim, temos:
Be
rno
ull
i
Assim, temos:
3
Be
rno
ull
i
3 = a
Be
rno
ull
i
 = a2
Be
rno
ull
i
2 + a
Be
rno
ull
i
 + a1
Be
rno
ull
i
1 = 1 + 1 = 2
Be
rno
ull
i
 = 1 + 1 = 2
a
Be
rno
ull
i
a4
Be
rno
ull
i
4 = a
Be
rno
ull
i
 = a3
Be
rno
ull
i
3 + a
Be
rno
ull
i
 + a2
Be
rno
ull
i
2 = 2 + 1 = 3
Be
rno
ull
i
 = 2 + 1 = 3
a
Be
rno
ull
i
a5
Be
rno
ull
i
5 = a
Be
rno
ull
i
 = a4
Be
rno
ull
i
4 + a
Be
rno
ull
i
 + a3
Be
rno
ull
i
3 = 3 + 2 = 5
Be
rno
ull
i
 = 3 + 2 = 5
a
Be
rno
ull
i
a6
Be
rno
ull
i
6 = a
Be
rno
ull
i
 = a5
Be
rno
ull
i
5 + a
Be
rno
ull
i
 + a4
Be
rno
ull
i
4 = 5 + 3 = 8
Be
rno
ull
i
 = 5 + 3 = 8
	 
Be
rno
ull
i
	 
A sequência
Be
rno
ull
i
A sequência é dada por (1,
Be
rno
ull
i
 é dada por (1,
e é conhecida como Sequência de Fibonacci.
Be
rno
ull
i
e é conhecida como Sequência de Fibonacci.
PROGRE
Be
rno
ull
i
PROGRE
Chamamos de progressão aritmética (P.A.) a toda 
Be
rno
ull
i
Chamamos de progressão aritmética (P.A.) a toda 
sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido Be
rno
ull
i
sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido 
somando essas igualdades membro a membro, obtemos:
a1 + a2 + a3 + ... + an – 1 + an = a1 + a1 + a2 + a3 + ... + an – 1 + � ���� ����+ + + +r r r ... r
(n –1) vezes
Após efetuar as simplificações, obtemos a expressão:
an = a1 + (n – 1)r
Essa expressão é chamada fórmula do termo geral da P.a.
Exemplo
Calcular o trigésimo segundo termo da P.a. (1, 4, 7, 10, ...).
Temos que a1 = 1 e r = 3. Logo:
an = a1 + (n – 1)r ⇒ a32 = 1 + (32 – 1)3 ⇒
a32 = 1 + 31.3 ⇒ a32 = 94
Propriedades da P.A.
i) Cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética 
dos termos antecessor e sucessor. Em outras palavras, 
sendo uma P.a. (a, b, c, ...), temos:
b = a c+
2
 Por exemplo, na P.a. (7, 12, 17, 22, ...), podemos 
observar que 12 = 7 17
2
+ , 17 = 12 22
2
+ , etc.
ii) a soma de dois termos equidistantes dos extremos 
de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos.
ObsErvaçõEs
• Dois termos são chamados equidistantes dos 
extremos se o número de termos que precede um 
deles for igual ao número de termos que sucede 
o outro.
(a1, a2, a3, ..., an – 2, an – 1, an)
a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = ...
 Por exemplo, considere a P.a. (5, 10, 15, 20, 25, 30).
 Temos que ��� ��� �� ��� ��+ = + = + =5 30 10 25 15 20 35
Soma dos
extremos
Equidistantes dos
extremos
Equidistantes dos
extremos
• Em vários problemas nos quais procuramos obter 
uma P.a. com 3 termos, é extremamente prática a 
seguinte notação:
(a – r, a, a + r)
Exemplo
A soma dos três primeiros termos de uma P.A. crescente é 
igual a 30. sabendo que o produto desses termos é igual 
a 990, determinar a razão da P.a. 
vamos representar a P.a. do seguinte modo:
(a – r, a, a + r, ...)
sabemos que:
a – r + a + a + r = 30 ⇒ 3a = 30 ⇒ a = 10 
Logo, a P.a. é dada por (10 – r, 10, 10 + r).
assim, temos:
(10 – r).10.(10 + r) = 990 ⇒ 102 – r2 = 99 ⇒ 
r2 = 100 – 99 ⇒ r2 = 1 ⇒ r = ±1
Como a P.a. é crescente, r = 1.
Soma dos n termos de uma P.A.
Considere a P.a. (a1, a2, a3, ..., an – 1, an, ...).
seja sn o valor da soma dos seus n primeiros termos. 
assim, temos:
sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an – 1 + an
Escrevendo sn em ordem inversa, temos:
sn = an + an – 1 + an – 2 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro as duas expressões, 
obtemos:
2sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + ... + (an + a1)
sabemos que a soma dos termos equidistantes dos 
extremos é igual à soma dos extremos, ou seja, podemos 
substituir (a2 + an – 1), (a3 + an – 2), ... por (a1 + an).
Logo:
2sn = ( ) ( ) ... ( )
( )
a a a a a a
n n n
n vezes
1 1 1
+ + + + + +
� ��������� ��������
 (*)
sn = 
( )a a n
n1
2
+
 
Essa expressão é a fórmula da soma dos n termos de 
uma P.a.
(*) se o número de termos de uma P.a. for ímpar, observe 
que teremos o seguinte:
2sn = + + + + + + +
−
+
(a a ) (a a ) ... (a a ) 2.a
1 n 1 n 1 n
(n 1) vezes
n 1
2
Termo
central
� �������� ��������
�
 ⇒
2sn = ( )( ) .n a a an n− + + +1 21 1
2
 (I)
Frente A Módulo 10
10 Coleção Estudo4V
4VPRV3_MAT_BOOK.indb 10 30/03/17 10:31
Me
u 
de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos.
Me
u 
de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos.
s termos são chamados equidistantes dos 
Me
u s termos são chamados equidistantes dos extremos se o número de termos que precede um 
Me
u extremos se o número de termos que precede um deles for igual ao número de termos que sucede 
Me
u deles for igual ao número de termos que sucede o outro.
Me
u o outro.(a
Me
u (a1
Me
u 1, a
Me
u , a2
Me
u 2, a
Me
u , a3
Me
u 3, ..., a
Me
u , ..., an – 2
Me
u n – 2, a
Me
u , a
Me
u 
Me
u 
Me
u 
Me
u 
Me
u 
Me
u 
Me
u 
Me
u 
Me
u 
Me
u 
Me
u 
a
Me
u 
a1Me
u 
1 + aMe
u 
 + anMe
u 
n = aMe
u 
 = a2Me
u 
2 + aMe
u 
 + a
PMe
u 
Por exemplo, considere a P.Me
u 
or exemplo, considere a P.
TMe
u 
Temos que Me
u 
emos que Temos que TMe
u 
Temos que T
Em vários problemas nos quaMe
u 
Em vários problemas nos qua
Be
rno
ull
i 3a = 30 
Be
rno
ull
i 3a = 30 ⇒
Be
rno
ull
i⇒ a = 10 
Be
rno
ull
i a = 10 
. é dada por (10 – r, 10, 10 + r).
Be
rno
ull
i
. é dada por (10 – r, 10, 10 + r).
(10 – r).10.(10 + r) = 990 
Be
rno
ull
i
(10 – r).10.(10 + r) = 990 ⇒
Be
rno
ull
i
⇒ 10
Be
rno
ull
i
 102
Be
rno
ull
i
2 – r
Be
rno
ull
i
 – r2
Be
rno
ull
i
2 = 99 
Be
rno
ull
i
 = 99 ⇒
Be
rno
ull
i
⇒
 r
Be
rno
ull
i
 r2
Be
rno
ull
i
2
Be
rno
ull
i
. (7, 12, 17, 22, ...), podemos 
Be
rno
ull
i
. (7, 12, 17, 22, ...), podemos 
Be
rno
ull
i
22 Be
rno
ull
i
22
2 Be
rno
ull
i
2
, etc. Be
rno
ull
i
, etc.
 soma de dois termos equidistantes dos extremos Be
rno
ull
i
 soma de dois termos equidistantes dos extremos 
de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos.Be
rno
ull
i
de uma P.A. finita é igual à soma dos extremos.
 = 1 
Be
rno
ull
i
 = 1 ⇒
Be
rno
ull
i
⇒ r = 
Be
rno
ull
i
 r = ±
Be
rno
ull
i
±1
Be
rno
ull
i
1
. é crescente, r = 1.
Be
rno
ull
i
. é crescente, r = 1.
oma dos n termos de uma 
Be
rno
ull
i
oma dos n termos de uma 
Considere a P.
Be
rno
ull
i
Considere a P.a
Be
rno
ull
i
a. (a
Be
rno
ull
i
. (a1
Be
rno
ull
i
1, a
Be
rno
ull
i
, a2
Be
rno
ull
i
2, a
Be
rno
ull
i
, a3
Be
rno
ull
i
3, ..., a
Be
rno
ull
i
, ..., a
s
Be
rno
ull
i
seja 
Be
rno
ull
i
eja s
Be
rno
ull
i
sn
Be
rno
ull
i
n o valor da soma dos seus 
Be
rno
ull
i
 o valor da soma dos seus 
a
Be
rno
ull
i
assim, temos:
Be
rno
ull
i
ssim, temos:
s
Be
rno
ull
i
sn
Be
rno
ull
i
n = a
Be
rno
ull
i
 = a1
Be
rno
ull
i
1 + a
Be
rno
ull
i
 + a2
Be
rno
ull
i
2 + a
Be
rno
ull
i
 + a + ... + a
Be
rno
ull
i
 + ... + a
Escrevendo 
Be
rno
ull
i
Escrevendo s
Be
rno
ull
i
s
sBe
rno
ull
i
snBe
rno
ull
i
n = aBe
rno
ull
i
 = anBe
rno
ull
i
n + aBe
rno
ull
i
 + a
Somando membro a membro as duas expressões, Be
rno
ull
i
Somando membro a membro as duas expressões, 
obtemos:Be
rno
ull
i
obtemos:
Porém, o termo a
n + 1
2
 é igual à média aritmética dos termos 
antecessor e sucessor. Como a soma dos termos equidistantes 
dos extremos é igual à soma dos extremos, então:
=
+
=
+
+
− +
a
a a
2
a a
2n 1
2
n 1
2
n 3
2
Equidistantes
dos extremos
1 n
Soma dos
extremos
� ��� ���
��� ��
Portanto, de (I), temos:
2sn = ( )( ) .
 
n a a
a a
n
n− + +
+
1 2
21
1 ⇒
2sn = (n – 1)(a1 + an) + (a1 + an) ⇒
2sn = (a1 + an)(n – 1 + 1) ⇒
2sn = (a1 + an)n ⇒
sn = 
(a + a )n
1 n
2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Calcular a soma dos 10 primeiros termos da P.a. 
(1, 5, 9, 13, ...).
Resolução:
Inicialmente, vamos calcular a10.
an = a1 + (n – 1)r ⇒ a10 = 1 + (10 – 1)4 ⇒ 
a10 = 1 + 36 ⇒ a10 = 37
sabemos que sn = 
(a + a )n
2
1 n ⇒ s10 = 
(1 37)10+
2
 ⇒ 
s10 = 38.5 ⇒ s10 = 190
02. (vUNEsP) Uma P.a. de 51 termos tem o vigésimo sexto 
termo igual a –38. Então, a soma dos termos dessa 
progressão é:
a) –900 
b) –1 938 
C) 969
D) 0
E) –969
Resolução:
sabemos que o vigésimo sexto termo é o termo central 
dessa P.a. Portanto, temos:
a26 = 
a a
1 51
+
2
 ⇒ –38 = 
+a a
2
1 51 ⇒ a1 + a51 = –76
a soma dos termos dessa progressão é dada por:
sn = 
(a + a )
1 n
n
2
 ⇒ s51 = 
( )a a
1 51
+ 51
2
 ⇒ 
s51 = 
( )−76 51
2
 ⇒ s51 = –1 938
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (PUC Minas) a soma dos números pares compreendidos 
entre 0 e 61 é igual a:
a) 810
b) 870
C) 930
D) 990
02. (UFU-MG) sabe-se que a soma dos dez primeiros termos 
de uma progressão aritmética é igual a 500. a soma do 
terceiro e do oitavo termos dessa progressão é igual a:
a) 50 
b) 100
C) 25 
D) 125
E) 87
03. (UFJF-MG) Os números log10 x, log10 10x e 2 formam, 
nessa ordem, uma progressão aritmética, em que x é um 
número real positivo. sobre os termos dessa progressão, 
é CORRETO afirmar que
a) são 3 números reais positivos.
b) o menor deles é um número real negativo.
C) a soma deles é igual a 2.
D) são 3 números inteiros.
E) o produto entre eles é igual a 2.
04. (EEar–2017) Considere esses quatro valores x, y, 3x, 2y 
em Pa crescente. se a soma dos extremos é 20, então o 
terceiro termo é:
a) 9
b) 12
C) 15
D) 18
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (PUC Minas) Uma empresa deve instalar telefones de 
emergência a cada 42 quilômetros, ao longo da rodovia de 
2 184 km, que liga Maceió ao rio de Janeiro. Considere que 
o primeiro desses telefones é instalado no quilômetro 42 
e o último, no quilômetro 2 142. assim, a quantidade de 
telefones instalados é igual a:
a) 50
b) 51
C) 52
D) 53
PPPQ
Progressão aritmética
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
11Bernoulli Sistema de Ensino
4VPRV3_MAT_BOOK.indb 11 30/03/17 10:31
Me
u 
2
Me
u 
2
 = 190
Me
u 
 = 190
P) Uma P.
Me
u P) Uma P.a
Me
u a. de 51 termos tem o vigésimo sexto 
Me
u . de 51 termos tem o vigésimo sexto termo igual a –38. Então, a soma dos termos dessa 
Me
u termo igual a –38. Então, a soma dos termos dessa progressão é:
Me
u progressão é:)
Me
u ) –900
Me
u –900 
Me
u b
Me
u b)
Me
u ) –1 
Me
u –1 938
Me
u 938 
Me
u 
C)
Me
u 
C) 969
Me
u 
969
D)
Me
u 
D) 0
Me
u 
0
E)Me
u 
E) –969Me
u 
–969
Resolução:Me
u 
Resolução:
sMe
u 
sabemos que o vigésimo sexto termo é o termo central Me
u 
abemos que o vigésimo sexto termo é o termo central 
dessa P.Me
u 
dessa P.aMe
u 
a
aMe
u 
a26Me
u 
26 = Me
u 
 = 
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
a soma dos 10 primeiros termos da P.
Be
rno
ull
i
a soma dos 10 primeiros termos da P.a
Be
rno
ull
i
a. 
Be
rno
ull
i
. 
 = 1 + (10 – 1)4 Be
rno
ull
i
 = 1 + (10 – 1)4 ⇒Be
rno
ull
i
⇒
 = Be
rno
ull
i
 = Be
rno
ull
i
(1 Be
rno
ull
i
(1 37)10Be
rno
ull
i
37)10+Be
rno
ull
i
+
2Be
rno
ull
i
2
⇒Be
rno
ull
i
⇒
abe-se que a soma dos dez primeiros termos 
Be
rno
ull
i
abe-se que a soma dos dez primeiros termos 
de uma progressão aritmética é igual a 500. 
Be
rno
ull
i
de uma progressão aritmética é igual a 500. a
Be
rno
ull
i
a soma do 
Be
rno
ull
i
 soma do a soma do a
Be
rno
ull
i
a soma do a
terceiro e do oitavo termos dessa progressão é igual a:
Be
rno
ull
i
terceiro e do oitavo termos dessa progressão é igual a:
100
Be
rno
ull
i
100
25
Be
rno
ull
i
25
D)
Be
rno
ull
i
D) 125
Be
rno
ull
i
125
E)
Be
rno
ull
i
E) 87
Be
rno
ull
i
87
03.
Be
rno
ull
i
03. (UFJF-MG) 
Be
rno
ull
i
(UFJF-MG) Os números log
Be
rno
ull
i
Os números log
nessa ordem, uma progressão aritmética, em que 
Be
rno
ull
i
nessa ordem, uma progressão aritmética, em que 
número real positivo. 
Be
rno
ull
i
número real positivo. 
é 
Be
rno
ull
i
é CORRETO
Be
rno
ull
i
CORRETO
a
Be
rno
ull
i
a)
Be
rno
ull
i
) são 3 número
Be
rno
ull
i
são 3 número
b
Be
rno
ull
i
b)
Be
rno
ull
i
) o menor deles
Be
rno
ull
i
o menor deles
C)
Be
rno
ull
i
C)
02. (PUC-Campinas-SP–2016) Um jogo de boliche é jogado 
com 10 pinos dispostos em quatro linhas, como mostra 
a figura a seguir.
Se fosse inventado um outro jogo, semelhante ao boliche, 
no qual houvesse um número maiorde pinos, dispostos 
da mesma forma, e ao todo com 50 linhas, o número de 
pinos necessários seria igual a:
A) 1 125
B) 2 525
C) 2 550
D) 1 625
E) 1 275
03. (UEG-GO–2016) No primeiro semestre de 2015, 
a empresa “Aço Firme” fabricou 28 000 chapas metálicas 
em janeiro; em fevereiro sua produção começou a cair 
como uma progressão aritmética decrescente, de forma 
que em julho a sua produção foi de 8 800 chapas. Nessas 
condições, a produção da empresa nos meses de maio 
e junho totalizou
A) 33 600 chapas. 
B) 32 400 chapas. 
C) 27 200 chapas. 
D) 24 400 chapas. 
E) 22 600 chapas. 
04. (UECE–2016) Atente à seguinte disposição de números 
inteiros positivos:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 . . . .
. . . . .
Ao dispormos os números inteiros positivos nessa forma, 
chamaremos de linha os números dispostos na horizontal. 
Por exemplo, a terceira linha é formada pelos números 
11, 12, 13, 14 e 15. Nessa condição, a soma dos números 
que estão na linha que contém o número 374 é:
A) 1 840
B) 1 865
C) 1 885
D) 1 890
MDNV
05. (CEFEt-RJ) Os lados de um triângulo retângulo estão em 
progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro mede 
57 cm, podemos afirmar que o maior cateto mede
A) 17 cm. 
B) 19 cm. 
C) 20 cm. 
D) 23 cm. 
E) 27 cm.
06. (UFRN) Em uma progressão aritmética de termo geral an, 
tem-se:
a3 – a1 = –8
a4 + a2 = –12
O 1º termo dessa progressão é: 
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
07. (UFU-MG) Seja f uma função real de variável real tal que 
f(x + y) = f(x) + f(y) para todos x e y reais. Se a, b, c, 
d e e formam, nessa ordem, uma P.A. de razão r, então 
f(a), f(b), f(c), f(d), f(e) formam, nessa ordem,
A) uma P.G. de razão f(r). 
B) uma P.G. de razão r. 
C) uma P.A. de razão f(a).
D) uma P.G. de razão f(a).
E) uma P.A. de razão f(r). 
08. (UERJ–2017) Um fisioterapeuta elaborou o seguinte 
plano de treinos diários para o condicionamento de um 
maratonista que se recupera de uma contusão:
• primeiro dia – corrida de 6 km;
• dias subsequentes – acréscimo de 2 km à corrida de 
cada dia imediatamente anterior.
O último dia de treino será aquele em que o atleta correr 
42 km.
O total percorrido pelo atleta nesse treinamento, do 
primeiro ao último dia, em quilômetros, corresponde a:
A) 414 
B) 438 
C) 456 
D) 484
09. (UFU-MG) No quadro a seguir, em cada linha e em 
cada coluna, os elementos formam uma progressão 
aritmética.
a1 2 a3
b1 b2 6
3 c2 c3
Sabendo-se que as razões das progressões da segunda 
linha e da segunda coluna são iguais, então a1 + c3 
é igual a:
A) 12
B) 11
C) 10
D) 13
Ø83R
YL4J
8KAE
Frente A Módulo 10
12 Coleção Estudo 4V
M4V03A10.indd 12 31/03/17 14:31
Me
u 
Me
u 22 600 chapas. 
Me
u 22 600 chapas. (UECE–2016) Atente à seguinte disposição de números 
Me
u (UECE–2016) Atente à seguinte disposição de números inteiros positivos:
Me
u inteiros positivos: 1 2
Me
u 1 2 3 4
Me
u 3 4 5
Me
u 5
6 7 8 9
Me
u 
6 7 8 9
11 12 13 14 15
Me
u 
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
Me
u 
16 17 18 19 20
21Me
u 
21 . . .Me
u 
. . .
.Me
u 
.
Ao dispormos os números inteiros positivos nessa forma, Me
u 
Ao dispormos os números inteiros positivos nessa forma, 
chamaremos de linha os números dispostos na horizontal. Me
u 
chamaremos de linha os números dispostos na horizontal. 
Por exemplo, a terceira linha é formada pelos números Me
u 
Por exemplo, a terceira linha é formada pelos números 
11, 12, 13, 14 e 15. Nessa condição, a soma dos números Me
u 
11, 12, 13, 14 e 15. Nessa condição, a soma dos números 
que estão na linha que contém o número 374 é:Me
u 
que estão na linha que contém o número 374 é:
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i(UFRN) Em uma progressão aritmética de termo geral a
Be
rno
ull
i(UFRN) Em uma progressão aritmética de termo geral an
Be
rno
ull
in, 
Be
rno
ull
i, 
O 1º termo dessa progressão é: 
Be
rno
ull
i
O 1º termo dessa progressão é: 
D)
Be
rno
ull
i
D) 3
Be
rno
ull
i
3
E)
Be
rno
ull
i
E) 2
Be
rno
ull
i
2
Be
rno
ull
i
(UEG-GO–2016) No primeiro semestre de 2015, 
Be
rno
ull
i
(UEG-GO–2016) No primeiro semestre de 2015, 
a empresa “Aço Firme” fabricou 28 000 chapas metálicas 
Be
rno
ull
i
a empresa “Aço Firme” fabricou 28 000 chapas metálicas 
em janeiro; em fevereiro sua produção começou a cair 
Be
rno
ull
i
em janeiro; em fevereiro sua produção começou a cair 
como uma progressão aritmética decrescente, de forma 
Be
rno
ull
i
como uma progressão aritmética decrescente, de forma 
que em julho a sua produção foi de 8 800 chapas. Nessas Be
rno
ull
i
que em julho a sua produção foi de 8 800 chapas. Nessas 
condições, a produção da empresa nos meses de maio Be
rno
ull
i
condições, a produção da empresa nos meses de maio 
(UFU-MG) Seja 
Be
rno
ull
i
(UFU-MG) Seja f
Be
rno
ull
i
f uma 
Be
rno
ull
i
 uma f uma f
Be
rno
ull
i
f uma f função real de variável real tal que 
Be
rno
ull
i
função real de variável real tal que 
f(x + y) = f(x) + f(y) para todos 
Be
rno
ull
i
f(x + y) = f(x) + f(y) para todos x
Be
rno
ull
i
x
d
Be
rno
ull
i
d e 
Be
rno
ull
i
 e e
Be
rno
ull
i
e formam, nessa ordem, uma P.A. de razão 
Be
rno
ull
i
 formam, nessa ordem, uma P.A. de razão 
f(a), f(b), f(c), f(d), f(e) formam, nessa ordem,
Be
rno
ull
i
f(a), f(b), f(c), f(d), f(e) formam, nessa ordem,
A)
Be
rno
ull
i
A) uma P.G. de r
Be
rno
ull
i
uma P.G. de razão f(r). 
Be
rno
ull
i
azão f(r). 
B)
Be
rno
ull
i
B) uma P.G. de r
Be
rno
ull
i
uma P.G. de razão 
Be
rno
ull
i
azão 
C)
Be
rno
ull
i
C) uma P.A. de r
Be
rno
ull
i
uma P.A. de razão f(a).
Be
rno
ull
i
azão f(a).
D)
Be
rno
ull
i
D) uma P.G. de r
Be
rno
ull
i
uma P.G. de r
E)
Be
rno
ull
i
E) uma P.A. de r
Be
rno
ull
i
uma P.A. de r
08.Be
rno
ull
i
08. (UERJ–2017) Um fisioterapeuta elaborou o seguinte Be
rno
ull
i
(UERJ–2017) Um fisioterapeuta elaborou o seguinte 
plano de treinos diários para o condicionamento de um Be
rno
ull
i
plano de treinos diários para o condicionamento de um 
10. (UFG-GO) A fi gura a seguir representa uma sequência 
de cinco retângulos e um quadrado, todos de 
mesmo perímetro, sendo que a base e a altura do 
primeiro retângulo da esquerda medem 1 cm e 9 cm, 
respectivamente. Da esquerda para a direita, as medidas 
das bases desses quadriláteros crescem, e as das alturas 
diminuem, formando progressões aritméticas de razões 
a e b, respectivamente. CALCULE as razões dessas 
progressões aritméticas.
9
1
11. (UERJ–2016) Admita a seguinte sequência numérica para 
o número natural n:
=a 1
31
 e = +a a 3n n –1
Sendo 2 ≤ n ≤ 10, os dez elementos dessa sequência, 
em que =a
1
31
 e =a
82
310
, são:
1
3
, 10
3
, 19
3
, 28
3
, 37
3
, a , a , a , a , 82
36 7 8 9






A média aritmética dos quatro últimos elementos da 
sequência é igual a:
A) 
238
12
B) 
137
6
C) 
219
4
D) 
657
9
12. (Albert Einstein–2016) Suponha que, em certo país, 
observou-se que o número de exames por imagem, 
em milhões por ano, havia crescido segundo os termos 
de uma progressão aritmética de razão 6, chegando a 
94 milhões / ano ao fi nal de 10 anos. Nessas condições, 
o aumento percentual do número de tais exames, desde 
o ano da observação até ao fi nal do período considerado, 
foi de
A) 130%.
B) 135%.
C) 136%.
D) 138%.
13. (UFRGS-RS–2016) Considere a sequência de 
números binários 101, 1010101, 10101010101, 
101010101010101...
A soma de todos os algarismos dos 20 primeiros termos 
dessa sequência é:
A) 52
B) 105
C) 21
D) 420
E) 840
SEK5
TM4T
14. (EEAR–2016) A progressão aritmética, cuja fórmula do 
termo geral é dada por an = 5n – 18, tem razão igual a 
A) –5 B) –8 C) 5 D) 2
15. (UEMA–2016) As equipes A e B de uma gincana escolar 
devem recolher livros na vizinhança para montar uma 
biblioteca comunitária. O juiz da competição começou 
a fazer anotações das quantidades de livros trazidos a 
cada rodada pelas duas equipes e verifi cou um padrão de 
crescimento, conforme a tabela 1. A cada rodada,o juiz 
também avalia o total de livros colocados nas estantes 
de cada equipe, como mostrado na tabela 2, a seguir.
Tabela 1 Tabela 2
Arrecadação Total na estante
Rodada
Equipe 
A
Equipe 
B
Equipe A Equipe B
1 06 16 06 16
2 10 18 16 34
3 14 20 30 54
4
...
...
...
...
...
O número de rodadas necessárias para que as duas 
equipes disponham da mesma quantidade total de livros 
nas estantes é:
A) 05
B) 06
C) 09
D) 10
E) 11
16. (Unesp–2017) A fi gura indica o empilhamento de três 
cadeiras idênticas e perfeitamente encaixadas umas nas 
outras, sendo h a altura da pilha em relação ao chão.
44 cm
48 cm
3 cm3 cm3 cm3 cm
h
Disponível em: <http://www.habto.com> (Adaptação).
A altura, em relação ao chão, de uma pilha de n cadeiras 
perfeitamente encaixadas umas nas outras, será igual a 
1,4 m se n for igual a:
A) 14
B) 17
C) 13
D) 15
E) 18
X211
Progressão aritmética
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
13Bernoulli Sistema de Ensino
M4V03A10.indd 13 28/04/17 09:36
Me
u 
Me
u (Albert Einstein–2016) Suponha que, em certo país, 
Me
u (Albert Einstein–2016) Suponha que, em certo país, observou-se que o número de exames por imagem, 
Me
u observou-se que o número de exames por imagem, em milhões por ano, havia crescido segundo os termos 
Me
u em milhões por ano, havia crescido segundo os termos de uma progressão aritmética de razão 6, chegando a 
Me
u de uma progressão aritmética de razão 6, chegando a 94 milhões / ano ao fi nal de 10 anos. Nessas condições, 
Me
u 94 milhões / ano ao fi nal de 10 anos. Nessas condições, o aumento percentual do número de tais exames, desde 
Me
u o aumento percentual do número de tais exames, desde o ano da observação até ao fi nal do período considerado, 
Me
u o ano da observação até ao fi nal do período considerado, 
foi de
Me
u 
foi de
A) 130%.
Me
u 
A) 130%.
B) 135%.Me
u 
B) 135%.
13. Me
u 
13. (UFRGS-RS–2016) Considere a sequência de Me
u 
(UFRGS-RS–2016) Considere a sequência de 
números binários 101, 1010101, 10101010101, Me
u 
números binários 101, 1010101, 10101010101, 
101010101010101...Me
u 
101010101010101...
A soma de todos os algarismos dos 20 primeiros termos Me
u 
A soma de todos os algarismos dos 20 primeiros termos 
TM4TMe
u 
TM4T
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
A média aritmética dos quatro últimos elementos da 
Be
rno
ull
i
A média aritmética dos quatro últimos elementos da 
C) Be
rno
ull
i
C) Be
rno
ull
i
219 Be
rno
ull
i
219
4 Be
rno
ull
i
4 Be
rno
ull
i
657 Be
rno
ull
i
657
(Albert Einstein–2016) Suponha que, em certo país, Be
rno
ull
i
(Albert Einstein–2016) Suponha que, em certo país, 
(UEMA–2016) As equipes A e B de uma gincana escolar 
Be
rno
ull
i(UEMA–2016) As equipes A e B de uma gincana escolar devem recolher livros na vizinhança para montar uma 
Be
rno
ull
idevem recolher livros na vizinhança para montar uma biblioteca comunitária. O juiz da competição começou 
Be
rno
ull
ibiblioteca comunitária. O juiz da competição começou a fazer anotações das quantidades de livros trazidos a 
Be
rno
ull
ia fazer anotações das quantidades de livros trazidos a cada rodada pelas duas equipes e verifi cou um padrão de 
Be
rno
ull
icada rodada pelas duas equipes e verifi cou um padrão de crescimento, conforme a tabela 1. A cada rodada, o juiz 
Be
rno
ull
icrescimento, conforme a tabela 1. A cada rodada, o juiz 
também avalia o total de livros colocados nas estantes 
Be
rno
ull
i
também avalia o total de livros colocados nas estantes 
de cada equipe, como mostrado na tabela 2, a seguir.
Be
rno
ull
i
de cada equipe, como mostrado na tabela 2, a seguir.
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
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ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Be
rno
ull
i
Tabela 1
Be
rno
ull
i
Tabela 1 Tabela 2
Be
rno
ull
i
Tabela 2
Arrecadação
Be
rno
ull
i
Arrecadação Total na estante
Be
rno
ull
i
Total na estante
Rodada
Be
rno
ull
i
Rodada
Equipe 
Be
rno
ull
i
Equipe 
A
Be
rno
ull
i
A
Equipe 
Be
rno
ull
i
Equipe 
B
Be
rno
ull
i
B
Equipe A Equipe B
Be
rno
ull
i
Equipe A Equipe B
1 06 16
Be
rno
ull
i
1 06 161 06 16
Be
rno
ull
i
1 06 161 06 16
Be
rno
ull
i
1 06 16
2
Be
rno
ull
i
2 10 18
Be
rno
ull
i
10 1810 18
Be
rno
ull
i
10 18
3 14
Be
rno
ull
i
3 143 14
Be
rno
ull
i
3 14 20
Be
rno
ull
i
20
4
Be
rno
ull
i
4
.
Be
rno
ull
i
..
Be
rno
ull
i
..
Be
rno
ull
i
.
.
Be
rno
ull
i
..
Be
rno
ull
i
..
Be
rno
ull
i
.
O número de rodadas necessárias para que as duas 
Be
rno
ull
i
O número de rodadas necessárias para que as duas 
equipes disponham da mesma quantidade total de livros 
Be
rno
ull
i
equipes disponham da mesma quantidade total de livros 
nas estantes é:
Be
rno
ull
i
nas estantes é:
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2016) sob a orientação de um mestre de obras, 
João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. 
João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 
1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois 
andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 
1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três 
andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos 
no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de 
obras informou, em seu relatório, o número de andares 
do edifício. sabe-se que, ao longo da execução da obra, 
em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas 
partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.
Qual é o número de andares desse edifício?
a) 40
b) 60
C) 100
D) 115
E) 120
02. (Enem–2011) O número mensal de passagens de uma 
determinada empresa aérea aumentou no ano passado 
nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 
33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 
36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os 
meses subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em 
julho do ano passado?
a) 38 000
b) 40 500
C) 41 000
D) 42 000
E) 48 000
03. (Enem–2010) O trabalho em empresas de festas exige 
dos profi ssionais conhecimentos de diferentes áreas. 
Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas 
empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a 
quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção 
de um painel de Natal. Um dos funcionários apresentou 
um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, 
no total, 150 linhas. 
...
1a 2a 3a 4a 5a 150a
após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou 
sua resposta: 
Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas. 
Funcionário II: aproximadamente 6 000 estrelas. 
Funcionário III: aproximadamente 12 000 estrelas. 
Funcionário Iv: aproximadamente 22 500 estrelas. 
Funcionário v: aproximadamente 22 800 estrelas. 
Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo 
da quantidade de estrelas necessária? 
a) I
b) II
C) III
D) Iv
E) v
GABARITO
Fixação
01. C 
02. b 
03. D 
04. b
Propostos
01. b
02. E
03. C
04. b
05. b
06. E
07. E
08. C
09. C
10. a = 0,8 e b = –0,8
11. b
12. b
13. D
14. C
15. E
16. b
Seção Enem
01. D 
02. D 
03. C 
04. D
04. (Enem–2010) ronaldo é um garoto que adora brincar 
com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou 
caixas numeradas de acordo com a sequência, conforme 
mostrada no esquema a seguir:
1
1 2 1
1 2 3 2 1
1 2 3 4 3 2 1
…
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha 
tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, 
era possível prever a soma de qualquer linhaposterior 
às já construídas. a partir dessa propriedade, qual será 
a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas 
por ronaldo?
a) 9
b) 45 
C) 64 
D) 81 
E) 285
Frente A Módulo 10
14 Coleção Estudo 4V
4VPRV3_MAT_BOOK.indb 14 30/03/17 10:31
Me
u 
Me
u 
 (Enem–2010) O trabalho em empresas de festas exige 
Me
u 
 (Enem–2010) O trabalho em empresas de festas exige 
dos profi ssionais conhecimentos de diferentes áreas. 
Me
u 
dos profi ssionais conhecimentos de diferentes áreas. 
Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas 
Me
u Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a 
Me
u empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção 
Me
u quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal. Um dos funcionários apresentou 
Me
u de um painel de Natal. Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, 
Me
u um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas. 
Me
u no total, 150 linhas. 
Me
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2
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2a
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3a
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u 
4a
Me
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a
após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou 
Me
u 
após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou 
sua resposta: Me
u 
sua resposta: Me
u 
Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas. Me
u 
Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas. 
Funcionário II: aproximadamente 6 000 estrelas. Me
u 
Funcionário II: aproximadamente 6 000 estrelas. 
Funcionário III: aproximadamente 12 000 estrelas. Me
u 
Funcionário III: aproximadamente 12 000 estrelas. 
Funcionário Iv: aproximadamente 22 500 estrelas. Me
u 
Funcionário Iv: aproximadamente 22 500 estrelas. 
Funcionário v: aproximadamente 22 800 estrelas. Me
u 
Funcionário v: aproximadamente 22 800 estrelas. 
Be
rno
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i
Be
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ull
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Be
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ull
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Be
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Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em 
Be
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Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em 
D) 42 000
Be
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D) 42 000
E) 48 000 Be
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E) 48 000
 (Enem–2010) O trabalho em empresas de festas exige Be
rno
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 (Enem–2010) O trabalho em empresas de festas exige 
dos profi ssionais conhecimentos de diferentes áreas. Be
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dos profi ssionais conhecimentos de diferentes áreas. 
Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas Be
rno
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Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas Be
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GABARITO
Be
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GABARITO
FixaçãoBe
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Fixação
1 2 3 2 1
Be
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i1 2 3 2 11 2 3 4 3 2 1
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i1 2 3 4 3 2 1
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha 
Be
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Ele percebeu que a soma dos números em cada linha 
tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, 
Be
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tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, 
era possível prever a soma de qualquer linha posterior 
Be
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era possível prever a soma de qualquer linha posterior 
às já construídas. a partir dessa propriedade, qual será 
Be
rno
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às já construídas. a partir dessa propriedade, qual será 
a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas 
Be
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a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas 
por ronaldo?
Be
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por ronaldo?
a) 9
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a) 9
b) 45 
Be
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C) 64 
Be
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C) 64 
D) 81 
Be
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D) 81 
E) 285
Be
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i
E) 285