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a maioria dos Auditores não possui conhecimento sobre ela e 
também por não existir literatura brasileira que a exponha (os poucos trabalhos que se tem 
publicado nessa área foi escrito por Santos et al, fazendo um estudo de caso nos estados de 
Pernambuco, Paraíba e Rio Grande do Norte). 
Como se percebe essa lei é de grande importância, pois permite que através de 
métodos quantitativos os auditores possam dar seu parecer com bases mais seguras. 
Demonstração da lei de Newcomb-Benford 
Supondo que exista uma distribuição de probabilidade P(x), onde esse seria o espaço 
amostral, ou seja , o conjunto de dígitos possíveis de acontecer. Define-se que uma função F é 
invariante escalar se e somente se F(λ(x) = λ(k)p(x) . 
P (x) = λ(k) p(x) 
Como se pode supor que ƒp(x)dx=1 (hipótese de normalização). E usando a técnica 
de integração por substituição para resolver o cálculo diferencial tem-se: 
ƒ p(kx) = ƒ λ(k)p(x)dx 
 u(x) = kx 
 du(x) = k 
1/k ƒ pudu = λ(k)ƒ p(x)dx 
1/k.1 = λ(k).1 
λ(k) = 1/k 
Derivando a equação (1) em função de k, ou seja, na variável k, temos: 
(1) p(kx) = λ(k)p(x) 
p(kx)’.x + p(kx).x’ = p(x)λ’(k). 
 p’(kx).x = p(x) λ’(k). 
e para k=1, resulta na equação diferencial: 
 p’(1.x).x = p(x). λ(k) 
 
 
 
 λ(k)= 1/k 
 
 p’(x).x = p(x).(1/k)’ 
 p’(x).x = p(x). (-k’/k2) 
 p’(x).x = p(x). (-1) 
(2) p’(x).x = - p(x) 
 
Integrando (2), temos: 
 
 x.p’(x) dx= –p(x) dx 
 p’(x)/p(x) = -1/x x=t 
 1ƒx p’(t)/p(t) = 1ƒx -1/t 
 
 Ln p(x) = -Ln x 
 Ln p(x) = Ln x-1 
 
Pela injetividade logarítmica 
 p(x) = 1/x 
A distribuição p(x) = 1/x não representa uma distribuição de probabilidade própria, 
mas como os fenômenos reais impõem um ponto de corte na distribuição, podendo-se, assim, 
ser considerada esta distribuição para efeito dos cálculos das probabilidades a ocorrência do 
primeiro dígito. Então Utilizando o teorema Fundamental do Cálculo, temos: 
 
P (primeiro dígito significativo = d) = dƒ d+1 p(x) dx Ln(d+1) – Ln(d) 
 = 
 1ƒ10 p(x)dx Ln(10) – Ln(1) 
 
 = Ln (d+1/d) 
 =log10 (d+1/d) 
 Ln 10 
Portanto, fica demonstrado que a probabilidade de um dígito como por exemplo o 
dígito 1 é de log10 (1+1/d) = log10 2 = 0,30103. Além disso, está deduzida, de forma 
simplificada, a Lei de Newcomb-Benford, demonstrando a importância do Teorema 
Fundamental do Cálculo, uma vez que esse é utilizado na demonstração dessa lei. 
 
Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo na Obtenção de um Modelo da 
Reserva Matemática para Fundo de pensão Municipal. 
 
As entidades fechadas de previdência privada, usualmente conhecida como Fundos de 
Pensão, surgiram como uma resposta às limitações da Previdência Social em garantir maior 
segurança aos trabalhadores e seus familiares em situações adversas como doença, invalidez e 
morte, e em assegurar um futuro mais tranqüilo na aposentadoria. Ela se destina a administrar 
planos específicos de previdência complementar, vinculado ou não ao regime de Previdência 
Oficial, e são mantidos por empresa ou conjunto de empresas denominadas Patrocinadoras. 
Seus planos previdenciários são direcionados aos empregados das Patrocinadoras que, uma 
vez filiados, passam a ser denominados, Participantes. 
A instituição do sistema previdenciário no Brasil aconteceu em 1977, com a promulgação da 
Lei 6435, em 15 de julho daquele ano, disciplinando o funcionamento das entidades de 
previdência privada. 
A idéia socializante da constituição de um fundo de pensão é essencialmente a 
reunião da empresa e de seus empregados que, através de contribuições mensais, formam um 
fundo a ser aplicado no mercado financeiro, para garantir os benefícios aos seus 
participantes. No entanto, a função social destas entidades ultrapassa as fronteiras deste 
grupo de empresas e empregados, já que, com a formação dessa grande poupança interna, 
investe-se em diversos segmentos produtivos da economia do país, gerando milhares de 
novos empregos e estimulando o desenvolvimento nacional. 
Os fundos de pensão brasileiros começaram a ser criados na década de 70. Naquela 
época, as empresas estatais garantiam a aposentadoria integral a seus trabalhadores. Por 
decisão política, o governo acabou com a aposentadoria integral e obrigou os trabalhadores a 
contribuir, em conjunto com as empresas, para a criação de fundos de pensão que 
garantiriam o pagamento de complementação de aposentadoria, além do teto de benefícios 
garantido pelo INSS. Várias empresas privadas também criaram fundos de pensão para 
garantir melhor benefício aos seus executivos, após a aposentadoria. Outro objetivo 
governamental ao criar os fundos de previdência foi incentivar o mercado de capitais, e as 
reservas acumuladas pelos fundos tiveram importante papel de alavancar as bolsas de valores 
brasileiras A importância dos Fundos de Pensão está presente, portanto, não apenas no 
contexto social mas, também, no econômico, um dos segmentos fundamentais para viabilizar 
o desenvolvimento do país. Com um montante aproximado de R$ 172 bilhões, estes fundos 
são hoje o maior mecanismo de poupança interna nacional. Se bem aplicados, estes recursos 
podem atender plenamente ao seu objetivo principal e ainda render dividendos sociais de 
valor inestimável, como geração de emprego e garantir investimentos que viabilizem o 
crescimento da economia. 
No contexto das ciências Contábeis e Atuariais, o estudo de modelos 
contabilométricos, advindos dos Métodos Quantitativos, são entre outros utilizados para se 
fazer projeções e previsões comportamentais das variáveis, como por exemplo: Reserva R(t), 
Contribuição C(t), Benefício B(t), tomando como certo que existirá um fluxo de renda para o 
infinito, essas variáveis que são responsáveis pelo funcionamento do Sistema 
Previdenciário, sem as quais esse sistema não se sustentaria. Na visão contábil, esses 
métodos dão fidedignidade à gestão de ativos e passivos previdenciários , prezando por uma 
contabilidade preditiva e pró-ativa, quebrando toda e qualquer retrocessão as tradições de 
uma contabilidade que só se preocupa com o presente e não é capaz de olhar para o futuro. 
Reservas Matemáticas para Fundos de Pensão 
 Reservas Matemáticas- É o valor determinado pelo processo matemático,que 
equilibra as responsabilidades futuras,num contrato,entre a “entidade” e “participante”,ou 
seja, é a diferença entre os encargos da entidade e do participante,avaliados pela mesma tábua 
de mortalidade,taxa de juros e á mesma época. 
Reserva Terminal Pura: 
Método Prospectivo- É a diferença entre o valor atual das futuras obrigações da 
entidade e do participante,ambos na época do cálculo. 
Reserva= (Valor Presente dos Benefícios Futuros)-(Valor Presente dos Prêmios 
Futuros) 
Assim, a visão prospectiva olha o futuro e estabelece a equação acima. 
Método Retrospectivo-É a diferença entre o montante das obrigações passadas da 
entidade e do participante,avaliados á mesma época e ás mesmas taxas de juros e de 
mortalidade. 
Reserva= (Valor Presente dos Prêmios Passados)-(Valor Presente dos Benefícios 
Passados)(2) 
Nesta ótica, a visão retrospectiva olha para o passado que no mesmo momento 
estabelece a equação(2) acima. 
Modelos Contabilométricos para Financiamento do Regime Próprio de Previdência 
Social. 
O processo dinâmico futuro de um SPSS é determinado, em primeiro lugar,pelas 
características demográficas e econômicas-financeiras da população inicial coberta. Além 
disso, é influenciado ainda por uma série de fatores demográficos e econômicos-financeiros 
que ocorrerão ao longo de toda a existência do sistema. Em geral, estes parâmetros