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a maioria dos Auditores não possui conhecimento sobre ela e também por não existir literatura brasileira que a exponha (os poucos trabalhos que se tem publicado nessa área foi escrito por Santos et al, fazendo um estudo de caso nos estados de Pernambuco, Paraíba e Rio Grande do Norte). Como se percebe essa lei é de grande importância, pois permite que através de métodos quantitativos os auditores possam dar seu parecer com bases mais seguras. Demonstração da lei de Newcomb-Benford Supondo que exista uma distribuição de probabilidade P(x), onde esse seria o espaço amostral, ou seja , o conjunto de dígitos possíveis de acontecer. Define-se que uma função F é invariante escalar se e somente se F(λ(x) = λ(k)p(x) . P (x) = λ(k) p(x) Como se pode supor que ƒp(x)dx=1 (hipótese de normalização). E usando a técnica de integração por substituição para resolver o cálculo diferencial tem-se: ƒ p(kx) = ƒ λ(k)p(x)dx u(x) = kx du(x) = k 1/k ƒ pudu = λ(k)ƒ p(x)dx 1/k.1 = λ(k).1 λ(k) = 1/k Derivando a equação (1) em função de k, ou seja, na variável k, temos: (1) p(kx) = λ(k)p(x) p(kx)’.x + p(kx).x’ = p(x)λ’(k). p’(kx).x = p(x) λ’(k). e para k=1, resulta na equação diferencial: p’(1.x).x = p(x). λ(k) λ(k)= 1/k p’(x).x = p(x).(1/k)’ p’(x).x = p(x). (-k’/k2) p’(x).x = p(x). (-1) (2) p’(x).x = - p(x) Integrando (2), temos: x.p’(x) dx= –p(x) dx p’(x)/p(x) = -1/x x=t 1ƒx p’(t)/p(t) = 1ƒx -1/t Ln p(x) = -Ln x Ln p(x) = Ln x-1 Pela injetividade logarítmica p(x) = 1/x A distribuição p(x) = 1/x não representa uma distribuição de probabilidade própria, mas como os fenômenos reais impõem um ponto de corte na distribuição, podendo-se, assim, ser considerada esta distribuição para efeito dos cálculos das probabilidades a ocorrência do primeiro dígito. Então Utilizando o teorema Fundamental do Cálculo, temos: P (primeiro dígito significativo = d) = dƒ d+1 p(x) dx Ln(d+1) – Ln(d) = 1ƒ10 p(x)dx Ln(10) – Ln(1) = Ln (d+1/d) =log10 (d+1/d) Ln 10 Portanto, fica demonstrado que a probabilidade de um dígito como por exemplo o dígito 1 é de log10 (1+1/d) = log10 2 = 0,30103. Além disso, está deduzida, de forma simplificada, a Lei de Newcomb-Benford, demonstrando a importância do Teorema Fundamental do Cálculo, uma vez que esse é utilizado na demonstração dessa lei. Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo na Obtenção de um Modelo da Reserva Matemática para Fundo de pensão Municipal. As entidades fechadas de previdência privada, usualmente conhecida como Fundos de Pensão, surgiram como uma resposta às limitações da Previdência Social em garantir maior segurança aos trabalhadores e seus familiares em situações adversas como doença, invalidez e morte, e em assegurar um futuro mais tranqüilo na aposentadoria. Ela se destina a administrar planos específicos de previdência complementar, vinculado ou não ao regime de Previdência Oficial, e são mantidos por empresa ou conjunto de empresas denominadas Patrocinadoras. Seus planos previdenciários são direcionados aos empregados das Patrocinadoras que, uma vez filiados, passam a ser denominados, Participantes. A instituição do sistema previdenciário no Brasil aconteceu em 1977, com a promulgação da Lei 6435, em 15 de julho daquele ano, disciplinando o funcionamento das entidades de previdência privada. A idéia socializante da constituição de um fundo de pensão é essencialmente a reunião da empresa e de seus empregados que, através de contribuições mensais, formam um fundo a ser aplicado no mercado financeiro, para garantir os benefícios aos seus participantes. No entanto, a função social destas entidades ultrapassa as fronteiras deste grupo de empresas e empregados, já que, com a formação dessa grande poupança interna, investe-se em diversos segmentos produtivos da economia do país, gerando milhares de novos empregos e estimulando o desenvolvimento nacional. Os fundos de pensão brasileiros começaram a ser criados na década de 70. Naquela época, as empresas estatais garantiam a aposentadoria integral a seus trabalhadores. Por decisão política, o governo acabou com a aposentadoria integral e obrigou os trabalhadores a contribuir, em conjunto com as empresas, para a criação de fundos de pensão que garantiriam o pagamento de complementação de aposentadoria, além do teto de benefícios garantido pelo INSS. Várias empresas privadas também criaram fundos de pensão para garantir melhor benefício aos seus executivos, após a aposentadoria. Outro objetivo governamental ao criar os fundos de previdência foi incentivar o mercado de capitais, e as reservas acumuladas pelos fundos tiveram importante papel de alavancar as bolsas de valores brasileiras A importância dos Fundos de Pensão está presente, portanto, não apenas no contexto social mas, também, no econômico, um dos segmentos fundamentais para viabilizar o desenvolvimento do país. Com um montante aproximado de R$ 172 bilhões, estes fundos são hoje o maior mecanismo de poupança interna nacional. Se bem aplicados, estes recursos podem atender plenamente ao seu objetivo principal e ainda render dividendos sociais de valor inestimável, como geração de emprego e garantir investimentos que viabilizem o crescimento da economia. No contexto das ciências Contábeis e Atuariais, o estudo de modelos contabilométricos, advindos dos Métodos Quantitativos, são entre outros utilizados para se fazer projeções e previsões comportamentais das variáveis, como por exemplo: Reserva R(t), Contribuição C(t), Benefício B(t), tomando como certo que existirá um fluxo de renda para o infinito, essas variáveis que são responsáveis pelo funcionamento do Sistema Previdenciário, sem as quais esse sistema não se sustentaria. Na visão contábil, esses métodos dão fidedignidade à gestão de ativos e passivos previdenciários , prezando por uma contabilidade preditiva e pró-ativa, quebrando toda e qualquer retrocessão as tradições de uma contabilidade que só se preocupa com o presente e não é capaz de olhar para o futuro. Reservas Matemáticas para Fundos de Pensão Reservas Matemáticas- É o valor determinado pelo processo matemático,que equilibra as responsabilidades futuras,num contrato,entre a “entidade” e “participante”,ou seja, é a diferença entre os encargos da entidade e do participante,avaliados pela mesma tábua de mortalidade,taxa de juros e á mesma época. Reserva Terminal Pura: Método Prospectivo- É a diferença entre o valor atual das futuras obrigações da entidade e do participante,ambos na época do cálculo. Reserva= (Valor Presente dos Benefícios Futuros)-(Valor Presente dos Prêmios Futuros) Assim, a visão prospectiva olha o futuro e estabelece a equação acima. Método Retrospectivo-É a diferença entre o montante das obrigações passadas da entidade e do participante,avaliados á mesma época e ás mesmas taxas de juros e de mortalidade. Reserva= (Valor Presente dos Prêmios Passados)-(Valor Presente dos Benefícios Passados)(2) Nesta ótica, a visão retrospectiva olha para o passado que no mesmo momento estabelece a equação(2) acima. Modelos Contabilométricos para Financiamento do Regime Próprio de Previdência Social. O processo dinâmico futuro de um SPSS é determinado, em primeiro lugar,pelas características demográficas e econômicas-financeiras da população inicial coberta. Além disso, é influenciado ainda por uma série de fatores demográficos e econômicos-financeiros que ocorrerão ao longo de toda a existência do sistema. Em geral, estes parâmetros