C3-10

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 
Uma equação diferencial linear de 
segunda ordem tem a forma 
Equações lineares homogêneas: 
quando G (x) = 0 
Equação é não homogênea: quando G(x) ≠ 0 
Se y1(x) e y2(x) forem ambas soluções da equação linear homogênea e se c1 e c2 forem 
constantes quaisquer, então a solução da Equação será 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑦1(𝑥) + 𝑐2 𝑦2(𝑥) 
A solução geral e uma combinação linear de duas soluções linearmente independentes 
y1(x) e y2(x) . Isso significa que nem y1(x) nem y2(x) são múltiplos um do outro. 
Equações lineares homogêneas com coeficientes constantes 
Solução da equação: y = erx , onde r é uma raiz da equação: 
CASO I b2 ‒ 4ac > 0 
Se as raízes r1 e r2 da equação auxiliar 𝒂𝒓𝟐 + 𝒃𝒓 + 𝒄 = 𝟎 forem reais 
e distintas, então a solução geral de 𝒂 𝒚´´ + 𝒃 𝒚´ + 𝒄 𝒚 = 𝟎 é 
equação característica (ou equação auxiliar) 
Resolva a equação 
Resolva a equação 
Equação auxiliar 
SOLUÇÃO 
r2 + r ‒ 6 = 0 
CASO I b2 ‒ 4ac > 0 
Equação auxiliar 
Uma vez que as raízes são reais e distintas, a solução geral é 
CASO I b2 ‒ 4ac > 0 
𝑟 = 𝑟1 = 𝑟2 
𝑟1 = 𝛼 + 𝑖 𝛽 𝑟2 = 𝛼 − 𝑖 𝛽 𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 
𝑢1 = 𝑒𝑟1𝑥 = 𝑒 𝛼+𝑖 𝛽 𝑥 = 𝑒𝛼𝑥+𝑖𝛽𝑥 = 𝑒𝛼𝑥(cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥) 𝑢2 = 𝑒𝑟2𝑥 = 𝑒 𝛼−𝑖 𝛽 𝑥 = 𝑒𝛼𝑥−𝑖𝛽𝑥 = 𝑒𝛼𝑥(cos 𝛽𝑥 − 𝑖 sin 𝛽𝑥) 𝑢1 + 𝑢2 = 2𝑒𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑢1 − 𝑢2 = 2𝑖 𝑒𝛼𝑥 sin 𝛽𝑥 
Soluções linearmente 
independentes 
Soluções linearmente 
independentes 
𝑦1 = 𝑒𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑦2 = 𝑒𝛼𝑥 sin 𝛽𝑥 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥) 
𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥) 𝑟1 = 𝛼 + 𝑖 𝛽 𝑟2 = 𝛼 − 𝑖 𝛽 
𝑅𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝒂𝒓𝟐 + 𝒃𝒓 + 𝒄 = 𝟎 𝑺𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝑮𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑟1 , 𝑟2 reais e distintas 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥 + 𝑐2𝑒𝑟2𝑥 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟 𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒𝑟 𝑥 𝑟1 , 𝑟2 complexas: 𝛼 ± 𝛽𝑖 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥) 
Soluções de 𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 0 
PROBLEMAS DE VALORES INICIAIS E DE CONTORNO 
Um problema de valor inicial para a Equação de segunda ordem consiste em 
determinar uma solução y da equação diferencial que satisfaça as condições 
iniciais da forma 
onde y0 e y1 são constantes 
𝑅𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝒂𝒓𝟐 + 𝒃𝒓 + 𝒄 = 𝟎 𝑺𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝑮𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑟1 , 𝑟2 reais e distintas 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥 + 𝑐2𝑒𝑟2𝑥 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟 𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒𝑟 𝑥 𝑟1 , 𝑟2 complexas: 𝛼 ± 𝛽𝑖 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥) 
𝑅𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝒂𝒓𝟐+ 𝒃𝒓 + 𝒄 = 𝟎 𝑺𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝑮𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑟1 , 𝑟2 reais e distintas 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥 + 𝑐2𝑒𝑟2𝑥 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟 𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒𝑟 𝑥 𝑟1 , 𝑟2 complexas: 𝛼 ± 𝛽𝑖 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin𝛽𝑥) 
Um problema de contorno consiste em determinar uma solução y da equação 
diferencial que também satisfaça as condições de contorno da forma 
𝑅𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝒂𝒓𝟐+ 𝒃𝒓 + 𝒄 = 𝟎 𝑺𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝑮𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑟1 , 𝑟2 reais e distintas 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥 + 𝑐2𝑒𝑟2𝑥 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟 𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒𝑟 𝑥 𝑟1 , 𝑟2 complexas: 𝛼 ± 𝛽𝑖 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin𝛽𝑥) 
EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS 
Uma solução geral da EDO não-homogênea 
é da forma 
Onde, yh = c1y1 + c2y2 é uma solução geral da correspondente EDO homogênea e 
yp é uma solução particular 
Solução por Variação de Parâmetros 
Solução yh = c1y1 + c2y2 Equação homogênea 
Solução 
Solução particular 
𝑊 = 𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2′ W é o wronskiano de y1, y2 
Uma vez que u e v são funções arbitrarias, podemos impor 
𝑊 = 𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2′ 
𝑊 = 𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2′ 𝑊 = sin 𝑥 cos 𝑥cos 𝑥 −sin 𝑥 
𝑊 = 𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2′ 𝑊 = cos 𝑥 sen𝑥−sen 𝑥 cos 𝑥 
𝑅𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝒂𝒓𝟐 + 𝒃𝒓 + 𝒄 = 𝟎 𝑺𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝑮𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑟1 , 𝑟2 reais e distintas 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥 + 𝑐2𝑒𝑟2𝑥 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟 𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒𝑟 𝑥 𝑟1 , 𝑟2 complexas: 𝛼 ± 𝛽𝑖 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥) 
Soluções de 𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 0 
Resolver o problema de condição de contorno 
Resolver o problema de condição de contorno 
Solução por Variação de Parâmetros 
Solução yh = c1y1 + c2y2 Equação homogênea 
Solução 
Solução particular 
𝑊 = 𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2′ W é o wronskiano de y1, y2 
Resolver 
Resolver 
yc = c1y1 + c2y2 
𝑊 = 𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2′ 𝑊 = 
yc = c1y1 + c2y2 
𝑢 = − (𝑒𝑥)(𝑥 𝑒𝑥)3𝑒−𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = (𝑒−2𝑥)(𝑥 𝑒𝑥)3𝑒−𝑥 𝑑𝑥