C3-8

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Resolva a equação diferencial 
Resolva a equação diferencial 
𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 y = 𝑄(𝑥) 
(𝜙 𝑦)′ = 𝜙 𝑄 𝜙 = 𝑒 𝑃𝑑𝑥 𝑦 = 1𝜙 𝜙 𝑄 𝑑𝑥 + 𝑐 
 
Resumo 
Resolva a equação diferencial 
𝑦 = 2 + 𝐶 𝑒−𝑥3 
Resolva a equação diferencial 
A equação dada e linear e tem a forma 
com P(x) = 3x2 e Q(x) = 6x2. 
Fator integrante 
Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por 
Aplicações 
TRAJETÓRIAS ORTOGONAIS 
Uma trajetória ortogonal de uma família de curvas é uma curva que intercepta cada 
curva da família ortogonalmente, isto é, com angulo reto. 
A família y = mx de retas que passa pela origem é 
uma trajetória ortogonal da família x2 + y2 = r2 de 
círculos concêntricos com o centro na origem 
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas x = ky2, onde k e uma 
constante arbitraria. 
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas x = ky2, onde k e uma 
constante arbitraria. 
As curvas x = ky2 formam uma família de parábolas cujo eixo de simetria e o eixo 
x. A primeira etapa e encontrar uma equação diferencial única que seja satisfeita 
por todos os membros da família. Se derivarmos x = ky2, obteremos 
as trajetórias ortogonais devem satisfazer a equação diferencial 
onde C é uma constante arbitraria positiva. 
As trajetórias ortogonais são família de elipses 
Determine as trajetórias ortogonais à família de curvas 𝑥𝑦 = 𝑎, onde 𝑎 é uma 
constante arbitraria diferente de zero. 
As trajetórias ortogonais 
tem de satisfazer 
Determine as trajetórias ortogonais à família de curvas 𝑥𝑦 = 𝑎, onde 𝑎 é uma 
constante arbitraria diferente de zero. 
Oscilações 
Uma mola, de massa desprezível, está presa 
verticalmente por uma extremidade. Uma certa 
massa m, suportada pela outra extremidade, 
está com velocidade v0 quando a mola está sem 
deformação alguma. Calcule a velocidade v em 
função da deformação, x, da mola. 
Oscilações 
Uma mola, de massa desprezível, está presa verticalmente por uma extremidade. Uma certa 
massa m, suportada pela outra extremidade, está com velocidade v0 quando a mola está sem 
deformação alguma. Calcule a velocidade v em função da deformação, x, da mola. 
Força que atua no corpo = Peso do corpo – Força da mola 𝑚 𝑑𝑣𝑑𝑡 = 𝑚 𝑔 − 𝑘 𝑥 𝑣 = 𝑑𝑥𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥𝑣 𝑚 𝑣 𝑑𝑣𝑑𝑥 = 𝑚 𝑔 − 𝑘 𝑥 𝑚 𝑣 𝑑𝑣 = ( 𝑚 𝑔 − 𝑘 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑚 𝑣 𝑑𝑣𝑣𝑣0 = ( 𝑚 𝑔 − 𝑘 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑥0 𝑚 𝑣22 𝑣0𝑣 = 𝑚 𝑔 𝑥 − 𝑘 𝑥22 0𝑥 𝑚 (𝑣22 − 𝑣022 ) = 𝑚 𝑔 𝑥 − 𝑘 𝑥22 
𝑣 𝑥 = 0 = 𝑣0 
Uma mola, de massa desprezível, está presa verticalmente por uma extremidade. Uma certa 
massa m, suportada pela outra extremidade, está com velocidade v0 quando a mola está sem 
deformação alguma. Calcule a velocidade v em função da deformação, x, da mola. 
Força que atua no corpo= Peso do corpo – Força da mola 𝑚 𝑑𝑣𝑑𝑡 = 𝑚 𝑔 − 𝑘 𝑥 𝑣 = 𝑑𝑥𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥𝑣 𝑚 𝑣 𝑑𝑣𝑑𝑥 = 𝑚 𝑔 − 𝑘 𝑥 𝑚 𝑣 𝑑𝑣 = ( 𝑚 𝑔 − 𝑘 𝑥 ) 𝑑𝑥 
 𝑚 𝑣 𝑑𝑣 = ( 𝑚 𝑔 − 𝑘 𝑥 ) 𝑑𝑥 
𝑚 𝑣22 = 𝑚 𝑔 𝑥 − 𝑘 𝑥22 + 𝐶 Agora, quando 𝑥 = 0, 𝑣 = 𝑣0 𝐶 = 𝑚 𝑣022 𝑚 𝑣22 = 𝑚 𝑔 𝑥 − 𝑘 𝑥22 + 𝑚 𝑣022 
𝑣 𝑥 = 0 = 𝑣0 
APLICAÇÃO A CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Uma forca eletromotriz (geralmente uma pilha ou gerador) 
produz uma voltagem de E(t) volts (V) e uma corrente de 
I(t) amperes (A) em um instante t. O circuito também 
contem um resistor com uma resistência de R ohms (Ω) e 
um indutor com uma indutância de L henries (H). 
A Lei de Ohm: 
 A queda na voltagem por causa do resistor e RI. 
 A queda de voltagem por causa do indutor e L(dI/dt). 
Equação diferencial linear 
de primeira ordem. A 
solução fornece a corrente 
I no instante t. 
Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das 
quedas de voltagem é igual a voltagem fornecida E(t). 
Suponha que no circuito simples da Figura a resistência 
seja 12 ohms e a indutância seja 4 H. Se uma pilha 
fornecer uma voltagem constante de 60 V e o interruptor 
for fechado quando t = 0, então a corrente começa com 
I(0) = 0. Encontre (a) I(t), (b) a corrente depois de 1 s e 
(c) o valor-limite da corrente. 
Suponha que no circuito simples da Figura a resistência seja 12 ohms e a 
indutância seja 4 H. Se uma pilha fornecer uma voltagem constante de 60 V e 
o interruptor for fechado quando t = 0, então a corrente começa com I(0) = 0. 
Encontre (a) I(t), (b) a corrente depois de 1 s e (c) o valor-limite da corrente. 
L = 4, R = 12 e E(t) = 60 
Fator integrante: 
Como I(0) = 0, temos 5 + C = 0, assim C= ‒5 
(a) 
𝑒 3𝑑𝑡 = 𝑒3 𝑡 
(b) Depois de um segundo a corrente é 
(c) O valor-limite da corrente e dado por 
Suponha que a resistência e a indutância permaneçam as mesmas que 
no Exemplo anterior, mas, em vez de uma pilha, usaremos um gerador que produz 
uma voltagem variável de E(t) = 60 sen (30t) volts. Encontre I(t). 
Suponha que a resistência e a indutância permaneçam as mesmas que no Exemplo anterior, mas, em vez de 
uma pilha, usaremos um gerador que produz uma voltagem variável de E(t) = 60 sen (30t) volts. Encontre I(t). 
Fator integrante: 𝑒 3𝑑𝑡 = 𝑒3 𝑡 
I(0) = 0 
I(0) = 0 
PROBLEMAS DE MISTURAS 
Um tanque contem 20 kg de sal dissolvido em 5.000 L de agua. Agua salgada com 0,03 kg 
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 L/min. A solução e misturada 
completamente e sai do tanque a mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no 
tanque depois de meia hora? 
PROBLEMAS DE MISTURAS 
Um tanque contem 20 kg de sal dissolvido em 5.000 L de água. Água salgada com 0,03 kg 
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 L/min. A solução e misturada 
completamente e sai do tanque a mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no 
tanque depois de meia hora? 
Seja y(t) a quantidade de sal no tanque (em quilogramas) depois de t 
minutos. Foi-nos dado que y(0) = 20 e queremos encontrar y(30). 
SOLUÇÃO 
dy/dt e a taxa de variação da 
quantidade de sal no tanque, 
taxa de entrada: é a taxa na qual o sal entra no tanque 
taxa de saída: é a taxa na qual o sal deixa o tanque 
Sal que fica no tanque = Sal que entrou no tanque – Sal que saiu do tanque 
O tanque sempre contem 5.000 L de liquido, então a concentração no tempo t é y(t)/5000 
(medida em quilogramas por litro). Como a água salgada sai a uma taxa de 25 L/min, 
Em uma refinaria de petróleo, um tanque de estocagem contem 10000 L de gasolina 
que tem, inicialmente 50 kg de um aditivo dissolvido. No preparo para o tempo de 
inverno, a gasolina contendo 0,2 kg de aditivo por litro é bombeada dentro do 
tanque a uma taxa de 200 L/min. A solução bem misturada é bombeada para fora a 
uma taxa de 220 L/min. Quanto há de aditivo no tanque 20 minutos após o início do 
processo de bombeamento? 
200 L/min contendo 0.2 kg/L 
220 L/min contendo 
𝑦𝑉 kg/L 
200 L/min contendo 0.2 kg/L 
220 L/min contendo 
Taxa de saída = 
𝑦(𝑡)𝑉(𝑡) ∙ (taxa de escoamento) 
Taxa de entrada = 
y (0) = 50 
y: quantidade (kg) de aditivo no 
tanque no instante t 
𝑦𝑉 kg/L 
Volume de líquido dentro do tanque no tempo t: 
y (0) = 50 
y (0) = 50 
y (20) = ? 
Um tanque na forma de um cilindro circular reto de raio 5 pés e altura 16 pés, que 
estava inicialmente cheio de agua, está sendo drenado a uma taxa de 0,5 𝑥 pés3/min. 
Determine uma fórmula para a profundidade para a quantidade de água no instante 𝑡. 
Quanto tempo é necessário para o tanque ser esvaziado? 
Fluxo através de um orifício 
Um tanque na forma de um cilindro circular reto de raio 5 pés e altura 16 pés, que 
estava inicialmente cheio de agua, está sendo drenado a uma taxa de 0,5 𝑥 pés3/min. 
Determine uma fórmula para a profundidade para a quantidade de água no instante 𝑡. 
Quanto tempo é necessário para o tanque ser esvaziado? 
O tanque se esvaziará quando V=0 t = 400𝜋 minutos 
Lei de Resfriamento de Newton 
Troca de calor de um corpo com o meio ambiente (ou meio externo) 
1. A temperatura T = T(t) depende apenas do tempo t. 
2. A temperatura do meio 𝑇0 éconstante. 
3. A lei de resfriamento de Newton: a taxa de variação temporal da temperatura T = T(t) de um 
corpo é proporcional à diferença entre T e a temperatura 𝑇0 (constante) do ambiente em volta. 𝑑𝑇𝑑𝑡 = 𝑘 𝑇 − 𝑇0 , 𝑘 < 0 
De acordo com a lei de resfriamento de Newton, a taxa de resfriamento de uma 
substancia numa corrente de ar é proporcional à diferença entre a temperatura da 
substancia e a do ar. Sendo a temperatura do ar 30 oC e resfriando a substancia de 100 oC 
para 70 oC em 15 minutos, calcular o tempo para que a temperatura seja de 40 oC . 
𝑇(0) = 100 𝑇(15) = 70 
De acordo com a lei de resfriamento de Newton, a taxa de resfriamento de uma 
substancia numa corrente de ar é proporcional à diferença entre a temperatura da 
substancia e a do ar. Sendo a temperatura do ar 30 oC e resfriando a substancia de 100 oC 
para 70 oC em 15 minutos, calcular o tempo para que a temperatura seja de 40 oC . 𝑑𝑇𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇 − 30) 𝑑𝑇 (𝑇 − 30) = 𝑘𝑑𝑡 ln 𝑇 − 30 − ln 70 = 𝑘 𝑡 
𝑘 = 115 ln 4070 = −0.03773077 
 𝑑𝑇 (𝑇 − 30)𝑇100 = 𝑘𝑑𝑡 𝑡0 ln T − 30 𝑇100 = 𝑘 𝑡 𝑡0 ln 𝑇 − 3070 = 𝑘 𝑡 𝑇 − 3070 = 𝑒𝑘 𝑡 𝑇 = 70 𝑒𝑘 𝑡 + 30 70 = 70 𝑒𝑘(15) + 30 𝑇(15) = 70 40 = 70 𝑒𝑘(𝑡) + 30 𝑇(𝑡) = 40 t = 52.1584 min 
O café está a 90 oC logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 85 oC, em 
uma cozinha a 25 oC. Vamos determinar a temperatura do café em função do tempo e 
o tempo que levará para o café chegar a 60 oC. 
Resolva considerando a lei de resfriamento de Newton: a taxa de variação temporal 
da temperatura T = T(t) de um corpo é proporcional à diferença entre T e a 
temperatura 𝑇0 (constante) do ambiente em volta. 
 
 
O café está a 90 oC logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 85 oC, em 
uma cozinha a 25 oC. Vamos determinar a temperatura do café em função do tempo e 
o tempo que levará para o café chegar a 60 oC. 
Resolva considerando a lei de resfriamento de Newton: a taxa de variação temporal 
da temperatura T = T(t) de um corpo é proporcional à diferença entre T e a 
temperatura 𝑇0 (constante) do ambiente em volta 
= −0.0800427 
90 = 25 + 𝐶 𝑒𝑘(0) 𝐶 =65