C3-3

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Campos Vetoriais 
Vetores velocidade de um 
escoamento ao redor de um 
aerofólio em um túnel de 
vento. 
Linhas de fluxo em um canal que 
se estreita. A agua corre mais 
rápido a medida que o canal se 
estreita e os vetores velocidade 
crescem em comprimento. 
Vetores em um campo 
gravitacional apontam na 
direção do centro de 
massa que proporciona a 
fonte do campo. 
Campo Gravitacional 
Lei da Gravitação de Newton afirma que a intensidade da força gravitacional 
entre dois objetos com massas m e M , que se encontram a uma distancia r, é: 
G é a constante gravitacional universal: 6,6726 × 10–11 N m2 kg–2. 
Vamos supor que o objeto com massa M esteja localizado 
na origem em ℝ3. Por exemplo, M pode ser a massa da 
Terra e a origem estaria em seu centro. Seja o vetor 
posição do objeto com massa m: x = (x,y,z). Então r = 𝐱 , 
logo, r2 = 𝒙 2. A força gravitacional exercida nesse 
segundo objeto age em direção à origem e o vetor unitário 
em sua direção é 
Portanto, a força gravitacional agindo no objeto em x = (x,y,z): 
Campos Vetoriais 
Um campo vetorial é uma função que designa um vetor a cada ponto em seu domínio. 
F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j. Campo de vetores 2D 
Campo vetorial em um domínio 3D F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k 
v(t) = ƒ(t)i + g(t)j + h(t)k. 
Exemplos 
Campo vetorial transiente 
Campos Gradiente 
O vetor gradiente de uma função escalar fornece a direção e sentido de maior 
crescimento da função. 
O campo gradiente de uma função derivável ƒ(x, y, z), ou campo de vetores gradiente: 
 
Exemplo. Suponha que a temperatura T em cada ponto (x, y, z) em uma região do espaço 
seja fornecida por T = 100 – x2 – y2 – z2, e que F(x, y, z) seja definido pelo gradiente de T. 
Encontre o campo vetorial F. 
Solução. O campo gradiente F e o campo F = 𝛁T = –2xi – 2yj – 2zk. 
Em cada ponto no espaço, o campo vetorial F fornece a direção para qual o crescimento 
na temperatura e maior. 
Exemplo. 
Dada a função potencial do campo gravitacional 
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 
Calcule o campo gradiente gravitacional 
Integrais de linha de campos vetoriais 
Suponha que o campo vetorial F = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k 
tenha componentes continuas e que a curva C, descrita por r(t), tenha 
uma parametrização lisa. r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k , a ≤ t ≤ b. 
Em cada ponto ao longo da trajetória C, o vetor tangente 𝐓 é um 
vetor unitário tangente a trajetória e apontando nessa direção de 
avanço. 
O vetor v = dr/dt é o vetor velocidade tangente a C num ponto 
∆𝑊 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∆s 𝑑𝑊 = 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 𝑑𝑠 𝑑𝑊 = 𝐅 ∙ 𝐓𝑑𝑠 𝐓 = 𝑑𝐫𝑑𝑠 = 𝐯𝐯 
Integrais de linha de campos vetoriais 
 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑠𝐶 
𝐓 = 𝑑𝐫𝑑𝑠 = 𝐯𝐯 
Integral de linha do Campo vetorial F ao longo de C 
Integral de linha do campo escalar 
ƒ = F ∙ T sobre C 
 𝐅 ∙ 𝐓𝑑𝑠 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫𝑑𝑠 𝑑𝑠 =𝐶 𝐅 ∙ 𝒅𝐫 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫𝑑𝑡 𝑑𝑡𝐶𝐶𝐶 𝐓 = 𝑑𝐫𝑑𝑠 𝑑𝑠 = 𝑑𝐫 
∆𝑊 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∆s 𝑑𝑊 = 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 𝑑𝑠 𝑑𝑊 = 𝐅 ∙ 𝐓𝑑𝑠 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 = 𝑊 = 𝐅 ∙ 𝐓𝑑𝑠𝐶 
 𝐅 ∙ 𝐓𝑑𝑠 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫𝑑𝑠 𝑑𝑠 =𝐶 𝐅 ∙ 𝒅𝐫 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫𝑑𝑡 𝑑𝑡𝐶𝐶𝐶 
𝑥 = 𝑡2 𝑦 = 𝑡 𝑧 = 𝑡 
 
Integrais de linhas com relação as coordenadas xyz 𝑑𝐫𝑑𝑡 = 𝐫′ 𝑑𝐫 = 𝐫′ 𝒅𝑡 
𝑑𝑥𝑑𝑡 𝑑𝑦𝑑𝑡 𝑑𝑧𝑑𝑡 
Expressamos tudo em termos do parâmetro t, 
x = cos t, y =sen t, z = t 
dx = –sen t dt, dy = cos t dt, dz = dt. 
Formas de escrever a integral de Trabalho 
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 
F = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k 
𝐓 = 𝑑𝐫𝑑𝑠 = 𝐯𝐯 𝐯 = 𝐫′ = 𝑑𝐫𝑑𝑡 𝑑𝐫 = 𝐓𝑑𝑠 
 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑠 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫𝐶𝑪 
r´ (t) = x (́t)i + y (́t)j + z (́t)k 
𝐅 ∙ 𝐓 
Encontre o trabalho realizado pelo campo de forca F = (y – x2)i +(z – y2)j + (x – z2)k 
ao longo da curva r(t) = ti + t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1, de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) 
Encontre o trabalho realizado pelo campo de forca F = (y – x2)i +(z – y2)j + (x – z2)k 
ao longo da curva r(t) = ti + t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1, de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) 
𝐓 = 𝑑𝐫𝑑𝑠 = 𝐯𝐯 𝐫′ = 𝑑𝐫𝑑𝑡 𝑑𝐫 = 𝐓𝑑𝑠 
Encontre o trabalho realizado pelo campo de forca F = (y – x2)i +(z – y2)j + (x – z2)k 
ao longo da curva r(t) = ti + t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1, de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) 
Encontre o trabalho realizado pelo campo de forca F = xi + yj + zk na movimentação de um 
objeto ao longo da curva C parametrizada por r(t) = cos (𝜋 t) i + t2j + sen (𝜋 t) k, 0 ≤ t ≤ 1. 
Encontre o trabalho realizado pelo campo de forca F = xi + yj + zk na movimentação de um 
objeto ao longo da curva C parametrizada por r(t) = cos (𝜋 t) i + t2j + sen (𝜋 t) k, 0 ≤ t ≤ 1. 
Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y) = x2 i - xy j ao se mover uma 
partícula ao longo de um quarto de círculo r(t) = cos t i + sen t j, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2 . 
Determine o trabalho feito pelo campo de força 
F(x, y) = x2 i - xy j ao se mover uma partícula ao longo de um 
quarto de círculo r(t) = cos t i + sen t j, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2 . 
Calcule 𝑭 ∙ 𝑑𝐫𝑪 , onde F(x, y, z) = xy i + yz j + zx k e C é a cúbica retorcida 
dada por x = t , y = t2, z = t3, 0 ≤ t ≤ 1 
Calcule 𝑭 ∙ 𝑑𝐫𝑪 , onde F(x, y, z) = xy i + yz j + zx k e C é a cúbica retorcida 
dada por x = t , y = t2, z = t3, 0 ≤ t ≤ 1 
O sistema de avaliação das disciplinas presenciais dos cursos presenciais da UVA 
•Nota 1 (N1) – total: 4,5 pontos - Primeira Avaliação do Semestre a ser elaborada a partir do 
conteúdo parcial. 
 
•Nota 2 (N2) – total de 2,5 pontos - Avaliação em grupo a ser definida entre uma das opções 
a seguir, de acordo om o âmbito da disciplina: 
– Avaliação Integradora (avaliação integrada de competências e conteúdos cursados pelos 
discentes até o semestre vigente); 
– Trabalho referente a algum tema abordado na disciplina. 
 
•Nota 3 (N3) – total: 2,5 pontos - Avaliação Prática ou outro modelo de avaliação mais 
adequado ao formato da disciplina conforme livre escolha do docente, de caráter individual. 
A1 –é calculada da seguinte forma: A1 = N1+N2+N3+AA. 
A2 – Segunda avaliação, ênfase no conteúdo ministrado após a data da primeira avaliação (N1). 
A3 – Prova Final, conteúdo completo. É permitida para atender a somente uma das funções abaixo: 
 
•Autoavaliação do aluno (AA) – total: 0,5 pontos - será habilitada quando o aluno propor a 
realização de, no mínimo, 2 atividades (relacionadas ao curso em que o aluno se encontra 
matriculado) durante o semestre vigente. Estas atividades devem estar enquadradas dentro das 
opções abaixo: 
– Realizar um Curso de Certificação oferecido pela UVA ou por outras instituições regulamentadas 
(Atualização, Aperfeiçoamento, Complementação, Aprofundamento de Estudos) 
– Participar de palestras; 
– Participar de projeto de iniciação científica institucional ou voluntária; 
– Participar das atividades ENADE, conforme calendário avaliativo. 
A1 –é calculada da seguinte forma: A1 = N1+N2+N3+AA. 
1- Se o Aluno não fez a N1 (prova agendada de acordo com o calendário acadêmico) - 
os trabalhos (N2,N3 e AA) serão zerados, ou seja, aluno que não fez prova não tem 
nota alguma de trabalho; 
 
2- Se o Aluno não fez algum trabalho – nota zero no trabalho. Não será realizada 
reposição de trabalho em outro dia. A nota da A1 em este caso será: (N1 + N3 +AA). 
 
3- AA (autoavaliação) – serão aceitos documentos que estejam relacionados com 
Engenharia e não somente com nossas disciplinas, por exemplo, palestra na 
Engenharia Ambiental, Civil, Elétrica... 
Aprovação 
O aluno será aprovado na(s) disciplina(s) se atender a TODOS os critérios a seguir: 
•Alcançar o mínimo de frequência igual a 75% (setenta e cinco por cento) das aulas previstas, 
no regime presencial; 
•Obtiver grau numérico igual ou superior a 6 (seis) na média aritmética entre o primeiro grau de 
qualificação (A1) e o segundo grau de qualificação (A2); essa média (M) será calculada por 
meio da seguinte fórmula: 𝑴 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐𝟐•Caso o aluno realize a A3, esta nota irá substituir a nota de menor valor: A1 ou A2. 
•O aluno poderá substituir apenas uma avaliação pela A3 (seja por causa de nota ou por falta). 
•O aluno que prestar avaliação A3 em conformidade com o item 3 será considerado aprovado 
se obtiver grau numérico igual ou superior a 6 (seis) na média entre A3 e (A1 ou A2). 
•É exigida a nota mínima de 5,0 em cada grau de qualificação (A1, A2 ou A3) considerada na 
média da nota da disciplina. 
Abril Conteúdo 
10 Feriado - Sexta-feira Santa 
17 Prova referente à nota N1 
24 Vista e entrega da N1. Avaliação N2, N3 e AA 
Trabalho para a N2 
1. Explicar o conceito de integral de linha de campos escalares, incluindo cinco exemplos de 
aplicação. 
2. Explicar o conceito de integral de linha de campos vetoriais, incluindo cinco exemplos de aplicação. 
3. Explicar como identificar se um campo é conservativo e como determinar o potencial associado a 
um campo conservativo. Incluir dois exemplos de identificação de campo e outros dois para a 
determinação do potencial associado. 
4. Defina o teorema de Green e aplique, em três exemplos, para o cálculo de uma circulação. 
5. Defina o teorema de Green e aplique, em três exemplos, para o cálculo de um fluxo. 
6. Defina o teorema de Green e aplique, em três exemplos, para o cálculo do trabalho.