GEOMETRIA ANALÍTICA ATIVIDADE 1 MATEMATICA Unicesumar 2021

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Atividade 1: GEOMETRIA ANALÍTICA - Unicesumar 
 
Prezado aluno, suponhamos você foi incumbido de resolver uma situação 
problema que consiste em determinar as coordenadas do ponto P que divide 
um fio de alta tensão ao meio, vamos que considerar que o fio é um segmento 
de reta com extremidades nos pontos A e B, cujas coordenadas são 
conhecidas e coincidem com os algarismos do seu registro acadêmico (RA). 
Por exemplo, para um aluno que tem RA=181605, então, seus pontos têm 
coordenadas A(1,8,1) e B(6,0,5). É importante lembrar que o ponto médio entre 
dois pontos é obtido pela média aritmética entre suas respectivas coordenadas. 
Assim, seja P(x,y,z) o ponto procurado, isto é, P é o ponto médio do segmento 
AB. Com base nessas informações: 
 
a) Determine as coordenadas do ponto P. 
b) Mostre que d(A,P)=d(P,B). 
c) Verifique que a área do triângulo ABP é igual a zero. 
d) Verifique se os vetores AP e AB tem a mesma direção. 
 
Respostas: 
 
Meu RA é 191110, sendo assim vamos pegar os seis primeiros números para 
determinar as coordenadas. A (191) B (1,1,0) fazendo os cálculos para 
encontrar o ponto médio de AB, para a coordenada x, temos 
𝑥 =
𝑋𝐴 + 𝑋𝐵
2
 
 
𝑥 =
1 + 1
2
≫≫ 𝑥 =
2
2
≫≫ 𝑥 = 1 
 
 
Acadêmico: RODOLFO SILVA DATA 2021 
Curso: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
𝑦 =
𝑌𝐴 + 𝑌𝐵
2
 
 
 
𝑦 =
9 + 1
2
≫≫ 𝑦 =
10
2
≫≫ 𝑦 = 5 
 
𝑧 =
𝑍𝐴 + 𝑍𝐵
2
 
 
𝑧 =
1 + 0
2
≫≫ 𝑧 =
1
2
≫≫ 𝑧 =
1
2
 
 
encontramos que P (1,5, 
1
2
). Sendo P o ponto médio. 
A resposta da letra a é P (1,5, 
1
2
). 
 
Para responder a letra b temos que mostrar que d(A,P)=d(P,B). 
 
d(A,P) = √𝑋𝑝 − 𝑋𝑎)2 + (𝑌𝑝 − 𝑌𝑎)2 + (𝑍𝑝 − 𝑍𝑎)2 
 
d(A,P) = √(1 − 1)2 + (5 − 9)2 + (
1
2
− 1)2 
 
d(A,P) = √02 + (−4)2 + (−
1
2
)2 
 
d(A,P) = √0 + 16 + (−
1
2
)2 
 
 
 
d(A,P) = √0 + 16 +
1
4
 
 
d(A,P) = √16 +
1
4
 >>> d(A,P) = √
65
4
 >>> d(A,P) = 
√65
√4
 
 
d(A,P) = 
√65
2
 
 
Agora vamos verificar d(P,B). 
 
 d(P,B) = √(𝑋𝑏 − 𝑋𝑝)2 + (𝑌𝑏 − 𝑌𝑝) + (𝑍𝑏 − 𝑍𝑝)2 
 
d(P,B) = √(1 − 1)2 + (1 − 5)2 + (0 −
1
2
)2 
 
d(P,B) = √02 + (−4)2 + (−
1
2
)2 
 
d(P,B) = √0 + (−4)2 + (−
1
2
)2 
 
 d(P,B) = √0 + 16 + (−
1
2
)2 
 
 
 
d(P,B) = √0 + 16 +
1
4
 
 
d(P,B) = √16 +
1
4
 >>> d(P,B) =√
16
1
 + 1
4
 
 
>>> d(P,B) =√65
4
 >>> d(P,B) = 
√65
2
 
 
Como vimos acima d(A,P) = d(P,B). Pois d(A,P) = 
√65
2
 é igual a 
d(P,B) = 
√65
2
 . 
 
Agora vamos verificar se a área do triângulo ABP é igual a zero, pois é o que 
se pede na letra C. 
Primeiro vamos achar as coordenadas do vetor 𝐴𝑃 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑒 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 
A (1,9,1), B (1,1,0), P (1,5,
1
2
). 
Vetor 𝐴𝑃 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (𝑋𝑝 − 𝑋𝑎, 𝑌𝑝 − 𝑌𝑎, 𝑍𝑝 − 𝑍𝑎). >>> 𝐴𝑃 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (1 − 1, 5 − 9,
1
2
− 1). 
 
>>> 𝐴𝑃 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0, −4,− 
1
2
). 
Vetor 𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (𝑋𝑏 − 𝑋𝑎, 𝑌𝑏 − 𝑌𝑎, 𝑍𝑏 − 𝑍𝑎). 
>>> 𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (1 − 1, 1 − 9, 0 − 1). >>> 𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0, −8,−1). 
 
Depois disso vamos encontrar o produto vetorial 𝐴𝑃 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑥 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
𝑖 𝑗 𝑘
0 −4 −
1
2
0 −8 −1
 
 
 
 
Depois de calcular o produto vetorial encontramos i = 0, j = 0, k = 0 
Vamos encontrar a Norma... ‖𝐴𝑃 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑥 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √𝑎2 + 𝑏 + 𝑐2 
 
√02 + 02 + 02 
 
√0 + 02 + 02 >>> √0 + 0 + 0 >>> √0 + 0 
 
√0 >>> 0 
 
De fato, a área do triangulo é igual a zero. 
 
 
 
Verifique se os vetores AP e AB tem a mesma direção, isso é o que se pede na 
letra D. Para fazer isso vamos mostrar que {𝐴𝑃 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗}, é 𝐿𝐷 
 
Isto é, exibir k ∈ ℝ tal que 𝐴𝑃 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑘 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐴𝑃 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0,−4, − 
1
2
 ) 
 
𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0,−8,− 1) 
 
(0, −4,− 
1
2
 ) = k (0, −8,− 1) >>>> (0,−4,− 
1
2
 ) = 0𝑘,−8𝑘,− 1𝑘) 
 
0 = 0𝑘 ≫≫ 𝑘 = 0 
 
 
 
 −4 = −8𝑘 ≫≫ 𝑘 = 
−4
−8
 
𝑘 = 
1
2
 
 
−
1
2
= −1𝑘 
𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟 −
1
2
 𝑝𝑜𝑟 − 0,5 𝑞𝑢𝑒 é 𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑖𝑠𝑎 
 
𝑘 = 
−0,5
 −1
= 𝑘 = 
1
 2
 
 
 
Ao tirarmos a prova (0,−4,− 
1
2
 ) = 
1
2
∗ (0, −8, − 1) = (0,−4,− 
1
2
 ). 
 
Concluímos que 𝑘 = 
1
 2
 portanto ele é LD. Eles têm a mesma direção. 
 
 
 
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