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1 APOSTILA DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I 2 PARTE I TEORIA 3 CAPITULO I NOÇÕES DE CINEMÁTICA ESCALAR MOVIMENTO UNIFORME A cinemática é a parte da física que estuda o movimento dos corpos. Denominamos por partícula , um corpo cujas dimensões são consideradas desprezíveis. Para estudarmos o movimento de uma partícula precisamos definir primeiramente a trajetória da partícula (caminho a ser percorrido pela partícula) na qual estabelecemos um sentido de percurso (sentido positivo) e fixamos uma origem O como referência. A posição de uma partícula P, num certo instante t, é definida, em relação a origem O, pela abscissa s, ou seja, comprimento do arco da trajetória compreendido entre a origem e a posição da partícula: s = OP Se o arco é medido no sentido positivo da trajetória temos s > 0 e se medido no sentido oposto tem-se s < 0. 4 Se a partícula caminha no sentido positivo da trajetória o movimento é dito progressivo, e se caminha no sentido oposto, o movimento é dito regressivo. No movimento progressivo a velocidade da partícula é positiva e no movimento regressivo ela é negativa. 5 Define-se como deslocamento ( s ) de uma partícula entre dois instantes t1 e t2, ou seja no intervalo de tempo t = t2 - t1, a diferença entre as abscissas que definem a sua posição nesses instantes: s = s2 - s1 Define-se como velocidade escalar média da partícula entre dois instantes t1 e t2 à relação: Em uma primeira etapa analisaremos apenas o caso em que a velocidade média da partícula se mantém constante, ou seja, o movimento é dito uniforme. Neste caso Vm = V = Cte Suponhamos que no instante to = 0 a partícula ocupa a posição definida pela abscissa so (abscissa inicial) e no instante t a sua posição é definida pela abscissa s. 6 V.(t – to) = s - so Ou ainda: s = so + V.(t – to) Quando to = 0 temos: s = so + V.t Esta última expressão define a posição do móvel em função do tempo. Denomina-se equações dos espaços ou abscissas. Em um diagrama cartesiano é representada por uma reta, onde o coeficiente angular representa a velocidade da partícula. 7 8 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Um corpo em movimento uniforme, no instante t 1 = 2s está no ponto A e no instante t 2 = 6s está no ponto B. Determine: a) a velocidade do corpo; b)a posição do corpo em to = 0; c) a equação dos espaços. Resolução: a) s/m10V 4 40 26 1050 V s6tes2t m50Sem10S tt SS t s VV 21 21 12 12 m b) m10S S10S1020 S1020S1010.2 2 S10 10 02 S10 10 0tes2t s/m10Vem10S tt SS t s VV 0 00 00 00 01 1 01 01 m c) .)I.S(t.1010S )0t(1010S :temosdoSubstituin 0t s/m10V m10S )tt.(VSS 0 0 00 O termo S.I. indica que as unidades desta equação pertencem ao Sistema Internacional de Unidades. 9 2) Um móvel percorre uma trajetória retilínea e sua posição é dada pelo gráfico abaixo. Pede-se: a) a equação dos espaços em função do tempo; b) o gráfico da velocidade do móvel em função do tempo. Resolução: 0 < t < 2 (s) V = 6/2 = 3m/s S = 0 + 3t 2 < t < 4 (s) V = - 2/2 = -1m/s S = 6 - 1(t - 2) S = 6 - t + 2 4 < t < 5 (s) V = -4/1 = -4m/s S = 4 - 4( t - 4 ) S = 4 - 4t + 16 5 < t < 6 (s) V = 0 10 3) Um móvel A parte da origem O, em t = 0, e percorre o eixo ox co velocidade constante VA. Um segundo móvel B também parte da origem O dois segundos após a partida do móvel A e percorre o eixo oy com velocidade VB = 2VA. Sabe-se que no instante t = 5s a distância entre os móveis é d = 2 61 m. Pede-se: a)as velocidades VA e VB; b)o instante t onde a distância entre os dois móveis é 50m. Resolução: d 2 = SA 2 + SB 2 SA = VA.t SB = 0 + VB(t - 2) VB = 2.VA SB = 2.VA(t - 2) d 2 = (VA.t) 2 + [ 2.VA(t - 2)] 2 Substituindo-se um instante t = 5s e uma distância d = 612 m temos: (2 61 ) = (V .5) + [ 2V (5 - 2)]2 A 2 A 2 244 = 25VA 2 + 36VA 2 VA 2 = 244 / 61 VB = 2.2 Substituindo VA e VB na equação da distância temos: d 2 = (2.t) 2 + [ 4.(t - 2)] 2 Para uma distância d = 50m temos: 50 2 = 4.t 2 + 16.( t - 2 ) 2 11 2500 = 4.t 2 + 16(t 2 – 4.t + 4) 20t 2 – 64.t - 2436 = 0 Resolvendo a equação temos: t1 = 12,7517s t2 = - 9,5517s 4) A velocidade de um móvel que percorre uma reta,varia com o tempo conforme o gráfico abaixo. Determine o gráfico das posições em função do tempo, sabendo que no instante t = 4s o móvel está na posição S = -12m. Resolução: V = s / t 4 < t < 8 (s) S8 = -20m 8 < t < 10 (s) S10 = -32m 10 < t < 12 (s) V = 0 S12 = -32m 12 12 < t < 14 (s) S14 = -24m 2 < t < 4 (s) S2 = -20m 0 < t < 2 (s) S0 = -32m 13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) A velocidade de um móvel que percorre uma reta, varia com o tempo conforme o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 0 o móvel está na posição S = -10m. Pede-se: a) qual as equações dos espaços deste móvel; b) traçar o gráfico dos espaços em função do tempo. Respostas: a) S = -10 + 15t (S.I.) e S = 30 – 5t (S.I.) ; b) 14 2) Um móvel percorre uma trajetória retilínea e suas posições variam com o tempo conforme o gráfico abaixo. Determinar: a) as equações dos espaços em função do tempo. b) o gráfico da velocidade em função do tempo. Respostas: a) S = 10 - 5t (S.I.) e S = -10 + 5t (S.I.) b) 15 3) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea e sua posição varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Pede-se: a)as equações do espaço em função do tempo; b)o gráfico da velocidade em função do tempo. Respostas: a) s = 10t (S.I.) ; s = 20 (cte) ; s = -5t + 40 (S.I.) b) 16 4) A velocidade de uma partícula que se movimenta sobre uma trajetória retilínea, varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 0 a posição do móvel é S0 =-10m. Pede-se: a) o gráfico do espaço em função do tempo; b) a posição do móvel em t = 3s e t = 6s Respostas: a) b) para t = 3s ==> S = 5m para t = 6s ==> S = 10m 17 5) A velocidade de um móvel que percorre uma reta, varia com o tempo conforme o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 6s o móvel está na posição S = 20m. Pede-se: a) a posição do móvel no instante t = 0; b) traçar o gráfico dos espaços em função do tempo. Respostas a) S0 = -20m b) 18 6) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniformeobedece no seu movimento o diagrama abaixo. Pede-se: a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho d) A classificação do movimento em cada trecho. e) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo. f) O espaço percorrido entre 0 e 7 segundos. g) A equação horária dos espaços em cada trecho. h) A posição do móvel para t = 4 segundos. 19 7) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniforme obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Pede-se: a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho d) A classificação do movimento em cada trecho. e) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo. f) O espaço percorrido entre 0 e 10 segundos. g) A equação horária dos espaços em cada trecho. h) A posição do móvel para t = 7 segundos. 20 8) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniforme obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Quando t = 2 segundos, sabe-se que o móvel encontra-se na posição de 20 metros em sua trajetória. Pede-se: a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho d) A classificação do movimento em cada trecho. e) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo. f) O espaço percorrido entre 0 e 5 segundos. g) A equação horária dos espaços em cada trecho. h) A posição do móvel para t = 4 segundos. 21 9) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniforme obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 5 segundos ele está na posição de 20 metros na sua trajetória. Pede-se: a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho d) A classificação do movimento em cada trecho. e) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo. f) O espaço percorrido entre 0 e 7 segundos. g) A equação horária dos espaços em cada trecho. h) A posição do móvel para t = 4 segundos. 22 10) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniforme obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Pede-se: a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho d) A classificação do movimento em cada trecho. e) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo. f) O espaço percorrido entre 0 e 8 segundos. g) A equação horária dos espaços em cada trecho. h) A posição do móvel para t = 4 segundos. 23 11) Um móvel com trajetória retilínea obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Pede-se: a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho d) A classificação do movimento em cada trecho. e) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo. f) O espaço percorrido entre 0 e 16 segundos. g) A equação horária dos espaços em cada trecho. h) A posição do móvel para t = 14 segundos. 24 12) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniforme obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 6 segundos ele está na posição de 40 metros na sua trajetória. Pede-se: a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho d) A classificação do movimento em cada trecho. e) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo. f) O espaço percorrido entre 0 e 10 segundos. g) A equação horária dos espaços em cada trecho. h) A posição do móvel para t = 8 segundos. 25 EXERCÍCOS COMPLEMENTARES 1) Um corpo em movimento uniforme, no instante t1 = 2s está no ponto A e no instante t 2 = 6s está no ponto B. Determine: a) a velocidade do corpo; b) a equação dos espaços; c) a posição do corpo em to = 0. 2) Dois móveis A e B partem do mesmo ponto Po e percorrem o eixo ox. O móvel A tem velocidade constante VA = 12 m/s e inicia seu movimento em t = 0, e nquanto o móvel B parte 4 segundos depois e tem velocidade constante VB. Os móveis se encontram em um ponto P 10 segundos após a partida do móvel A . Pede-se: a) a velocidade de B; b) a posição do ponto P. 3) Dois móveis A e B partem da origem O e percorrem os eixos ox e oy respectivamente. O móvel A tem velocidade constante VA = 2m/s e parte em t = 0, enquanto o móvel B parte 2 segundos depois e tem velocidade constante VB. Sabendo- se que 5 segundos após a partida do móvel A a distância entre A e B é d 2 61m Pede-se: a) a velocidade VB do móvel B; b) o instante em que a distância entre os móveis é de 30m. 26 4) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea e sua abscissa varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Pede-se: a) as equações do espaço em função do tempo nos intervalos 0 t 2 ; 2 t 4 e 4 t 8 b)o gráfico da velocidade em função do tempo. 5) A posição de um móvel sobre o eixo ox varia com o tempo de acordo com o gráfico abaixo. Pede-se: a) a posição do móvel nos seguintes instantes: t = 1s ; t = 4s ; t = 5s ; t = 7s. b) o gráfico da velocidade em função do tempo. 27 6) A velocidade de uma partícula que se movimenta sobre o eixo ox, varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 0 a abscissa do móvel é So = -10m. Pede-se: a) o gráfico do espaço em função do tempo; b) a posição do móvel em t = 3s e t = 6s 7) Dois móveis A e B partem simultaneamente da origem em t = 0. O móvel A passa a a percorrer o eixo ox enquanto o móvel B percorre o eixo oy. Suas velocidades variam com o tempo segundo os gráficos abaixo. Determine a distância entre A e B no instante t = 3s. 28 8) A velocidade de um móvel varia com o tempo de acordo com o gráfico abaixo. Sabe- se que em t = 4s a abscissa do móvel é S = 40m. Faça o gráfico da abscissa S em função do tempo t. 9) Dois móveis A e B percorrem pistas paralelas e partem simultaneamente, em t = 0, da mesma origem. Suas velocidades variam com o tempo segundo os gráficos abaixo representados. Determine analiticamente e graficamente as posições em que os dois móveis se cruzam. 29 10) No exercícioanterior, entende-se por velocidade relativa do móvel A em relação ao móvel B a diferença VA - VB entre os valores de suas velocidades escalares. Determine no referido exercício as velocidades relativas de A em relação a B nos instantes em que esses móveis se cruzam. 11) Dois móveis A e B percorrem trajetórias paralelas partindo da origem em t = 0. As velocidades desses móveis obedecem os gráficos abaixo representados. Determine as posições em que os móveis se cruzam. 30 Respostas dos exercícios 1 até 11 1) a) V = 12,5m/s b) s = -15 + 12,5t (S.I.) c) So = -15m 2) a) VB = 20m/s b) Sp = 130m 3) a) VB = ± 4m/s b) t = 41,3s 4) a) s = 10t ; s = 20 (cte) ; s = -5t + 40 b) 5) a) para t = 1s ==> x = 20m para t = 4s ==> x = -40m para t = 5s ==> x = -20m para t = 7s ==> x = 20m b) 31 6) a) b) para t = 3s ==> x = 5m para t = 6s ==> x = 10m 7) d = 50m 8) 9) Os móveis se cruzam em t = 3,2s e t = 8s 10) Em t = 3,2s ==> VA/B = -12,5m/s em t = 8s ==> VA/B = 10m/s 11) Os móveis não se cruzam 32 12) Um móvel percorre uma reta e sua velocidade varia com o tempo de acordo com o gráfico abaixo. Determine: a) o gráfico que fornece a posição do móvel em função do tempo, sabendo que em t = 3s o móvel tem abscissa x = 20m; b) a lei horária do movimento em cada intervalo de tempo. 13) a abscissa de um móvel varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Determine: a) as equações que relacionam a posição do móvel em função do tempo; x = x(t), em cada intervalo; b) o gráfico da velocidade do móvel em função do tempo; 33 14) Um móvel A parte da origem em t = 0 e percorre o eixo ox, sentido positivo, com velocidade VA = 20m/s constante. Um segundo móvel B parte do ponto P( 0;110 ) (em metros), em t = 0, e percorre o eixo oy com velocidade constante VB = -10m/s (movimento regressivo). Determinar: a) as equações horárias dos movimentos A e B; b) a distância entre os móveis no instante t = 20s; c) o instante em que a distância entre os móveis A e B é 100m. 15) Dois móveis A e B partem da mesma origem em t = 0 e percorrem retas paralelas. Suas abscissas variam com o tempo segundo os gráficos abaixo. Pede- se: a) a distância entre os dois móveis em t = 2s; b) a posição e o instante em que os móveis se cruzam; c) os gráficos das velocidades dos móveis A e B em função do tempo; d) o gráfico da velocidade relativa do móvel B em relação ao móvel A. 34 16) O movimento de uma partícula, em trajetória retilinea, é caracterizado pelas equações: s = 15t (S.I.) , para 0 t 2s s = -10t + 50 (S.I.) , para 2 t 7s s = 4t - 48 (S.I.) , para 7 t 12s Pede-se: a) o gráfico da abscissa s em função do tempo; b) o gráfico da velocidade do móvel em função do tempo. 17) Um móvel percorre uma reta e sua velocidade obedece o gráfico abaixo. Sabe-se que em t = 0 temos s = -20m. Pede-se: a) o gráfico da abscissa s em função do tempo; b) as equações dos espaços em função do tempo. 35 18) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea e sua abscissa varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Pede-se: a) as equações do espaço em função do tempo; b) o gráfico da velocidade em função do tempo. 19) Dois móveis A e B partem simultaneamente da origem em t = 0. O móvel A passa a percorrer o eixo ox enquanto o móvel B percorre o eixo oy. Suas velocidades variam com o tempo segundo os gráficos abaixo. Determine a distância entre A e B no instante t = 5s 36 CAPITULO II MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 1) VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTÂNTANEA Seja um móvel percorrendo uma trajetória qualquer O. No instante t1 o móvel se encontra na posição P1 de abscissa s1 e no instante t2 ele está na posição P2 de abscissa s2. A diferença de abscissass = s2 - s1 é o deslocamento do móvel no intervalo de tempo t = t2 - t1. Define-se como velocidade escalar média do móvel nesse intervalo de tempo a relação: Entende-se por velocidade escalar instantânea do móvel o limite ao qual tende sua velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero, ou seja: 2) ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA. Seja V1 a velocidade instantânea do móvel no instante t1 e V2 a sua velocidade instantânea no instante t2. A variação da velocidade do móvel no intervalo de tempo 12 ttt é 12 VVV . Define-se como aceleração escalar média do móvel no respectivo intervalo de tempo t considerado, a relação: 37 A aceleração escalar instantânea do móvel é o limite da aceleração média quando o intervalo de tempot tende a zero, isto é: Entende-se por movimento uniformemente variado todo aquele no qual a aceleração escalar é constante. Se a velocidade e a aceleração são de mesmo sinal (.V > 0) o movimento é dito acelerado e se elas forem de sinais opostos (.V < 0) o movimento é dito retardado. Se a aceleração escalar é constante então a aceleração escalar média é igual à aceleração escalar instantânea ( limite de uma constante é a própria constante). Dessa forma podemos escrever: Sendo V0 a velocidade do móvel no instante t0 e V a sua velocidade num instante t, podemos escrever: Se em particular t0 = 0 , a velocidade V0 é denominada velocidade inicial do móvel e podemos escrever: A expressão XVII é conhecida como equação da velocidade ou lei da velocidade no movimento uniformemente variado. 38 Representando-se a equação XVII em um gráfico cartesiano teremos uma reta: A área A da figura destacada no gráfico, (fig - 1), representa o deslocamento S = S - So do móvel no intervalo de tempo t = t – t0. Assim; para to = 0, vem: De XVII tem-se: V = V0 + t . Substituindo em XVIII obtem-se: Se o instante inicial (t0) for diferente de zero, temos: A expressão XIX representa a equação horária dos espaços do movimento uniformemente variado, onde So é o espaço ou abscissa inicial do móvel, ou seja, indica a posição do móvel no instante t = 0 . A representação gráfica de S em função do tempo t em um diagrama cartesiano, é uma parábola. 39 Isolando-se o tempo t na equação XVII e substituindo em XIX vem: A expressão XX é conhecida como equação de TORRICELLI, relaciona a velocidade com o espaço no movimento uniformemente variado ( = cte ). 40 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) A velocidade de uma partícula que se movimenta sobre uma trajetória retilínea, varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 0 a posição do móvel é S = 30m. Pede-se: a) as equações das velocidades; b) as equações dos espaços; c)o gráfico da aceleração em função do tempo. RESOLUÇÃO: 0 < t < 2(s) to = 0 Vo = 0 = 02 020 10m/s 2 V = Vo + ( t - to ) V = 0 + 10( t - 0) V = 10.t (S.I.) 2 < t < 6(s) to = 2s Vo = V2 = 20m/s = 26 200 -5m/s 2 V = 20 - 5( t - 2) V = 20 –5.t +10 V = 30 – 5.t (S.I.) 0 < t < 2(s) So = 30m S = 30 - 0( t - 0 ) + (10 / 2 )( t - 0 )2 S = 30 + 5t 2 p/t = 2s S2 = 30 + 5.2 2 = 50m 2 < t < 4(s) So = S2 = 50m S = 50 + 20( t - 2 ) - (5 / 2 )( t - 2 ) 2 S = 50 + 20t – 40 – 2,5( t 2 - 4t + 4) S = 10 + 20t – 2,5t2 +10t – 10 S = 30t – 2,5t2 (S.I.) 41 2) Um móvel percorre uma reta e sua aceleração obedece ao gráfico abaixo. Sabe-se que para t = 0 a velocidade do móvel é -2m/s . Pede-se:a)as equações das velocidades b)o gráfico da velocidade em função do tempo; c)a equação horária dos espaços sabendo que para t = 0 a é S0 = 10m. RESOLUÇÃO: 0 < t < 2(s) to = 0 Vo = -2m/s = 4m/s2 V = Vo + ( t - to ) V = -2 + 4( t - 0) V = -2 + 4t (S.I.) p/ t = 2s V2 = -2 + 4.2 = 6m/s 2 < t < 4(s) to = 2s Vo = V2 = 6m/s = 2m/s2 V = 6 + 2( t - 2) V = 6 + 2t - 4 V = 2 + 2t (S.I.) p/t = 4s V4 = 2 + 2.4 = 10m/s 0 < t < 2(s) So = 10m S = 10 - 2( t - 0 ) + (4 / 2 )( t - 0 )2 S = 10 - 2t + 2t2 p/t = 2s S2 = 10 - 4 + 2.22 = 14m 2 < t < 4(s) So = S2 = 14m S = 14 - 6( t - 2 ) + (2 / 2 )( t - 2 )2 S = 14 + 6t - 12 + t2 - 4t + 4 S = 6 + 2t + t2 (S.I.) 42 3) Um móvel percorre uma reta e sua aceleração obedece o gráfico abaixo. Sabe-se que para t = 0 a velocidade do móvel é -2m/s . Pede-se: a)as equações das velocidades b)o gráfico da velocidade em função do tempo; c)a equação horária dos espaços sabendo que para t = 0 a é S0 = 10m. RESOLUÇÃO: 0 < t < 2(s) t0 = 0 V0 = -2m/s = 4m/s2 V = V0 + ( t – t0 ) V = -2 + 4( t - 0) V = -2 + 4t (S.I.) p/ t = 2s V2 = -2 + 4.2 = 6m/s 2 < t < 4(s) t0 = 2s V0 = V2 = 6m/s = 2m/s2 V = 6 + 2( t - 2) V = 6 + 2t - 4 V = 2 + 2t (S.I.) p/t = 4s V4 = 2 + 2.4 = 10m/s 43 4 < t < 6(s) Como a aceleração neste trecho é nula, podemos concluir que se trata de um trecho movimento uniforme, logo a velocidade permanece constante. V = 10m/s Cte 6 < t < 10(s) t0 = 6s V0 = V6 = 10m/s = -2m/s2 V = 10 - 2( t - 6) V = 10 – 2.t + 12 V = 22 – 2.t (S.I.) p/ t = 10 V10 = 22 - 2.10 = 2m/s b) 0 < t < 2(s) S0 = 10m S = 10 - 2( t - 0 ) + (4 / 2 )( t - 0 ) 2 S = 10 - 2t + 2t 2 p/t = 2s 44 S2 = 10 - 4 + 2.22 = 14m 2 < t < 4(s) S0 = S2 = 14m S = 14 - 6( t - 2 ) + (2 / 2 )( t - 2 ) 2 S = 14 + 6.t - 12 + t 2 - 4t + 4 S = 6 + 2.t + t 2 (S.I.) p/ t = 4s S4 = 6 + 2.4 + 4 2 = 30m 4 < t < 6(s) M.U. ==> S = So + V( t - to ) S0 = S4 = 30m S = 30 + 10( t - 4 ) S = -10 + 10t (S.I.) p/ t = 6s S6 = -10 + 10.6 = 50m 6 < t < 10(s) S0 = S6= 50m S = 50 - 10( t - 6 ) + (-2 / 2 )( t - 6 ) 2 S = 50 + 10.t - 60 - t 2 + 12.t - 36 S = - 46 + 22t - t 2 (S.I.) 45 4) Um móvel percorre uma reta e sua velocidade varia com o tempo conforme o gráfico abaixo. Sabe-se que em t = 0 o móvel está na origem dos espaços e que sua velocidade média no intervalo 0 < t < 8(s) é Vm = 20m/s. Pede-se: a) qual a sua velocidade máxima Vmax; b) o gráfico da aceleração em função do tempo. RESOLUÇÃO: a) Vmax Vm = S / t O s no intervalo de 0 a 8 segundos corresponde a área entre o gráfico das velocidades e o eixos dos tempos, conforme ilustra a figura a seguir. logo: S = Vmax.(8 + 2) / 2 S = 5.Vmax t = 8s Vm = 5.Vmax / 8 20 = 5.Vmax /8 Vmax = 32m/s 46 b) = v / t 0 < t < 2 = ( 32 - 0 ) / ( 2 - 0) = 16m/s2 2 < t < 4(s) = 0 (movimento uniforme) 4 < t < 8(s) = ( 0 - 32 ) / ( 8 - 4 ) = -8m/s2 47 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) A aceleração de uma partícula, em movimento retilíneo, vária com o tempo de acordo com o gráfico abaixo. Sabe-se que para t = 0 tem-se Vo = 0 e So = 10m. Determinar: a) o gráfico da velocidade em função do tempo; c) as equações dos espaços. Respostas: a) b) S = 10 + 2t2 (S.I.) e S = -2 + 12t – t2 (S.I.) 48 2) A velocidade de uma partícula que se movimenta sobre uma trajetória retilínea, varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 0 a posição do móvel é S = -20m. Pede-se: d) as equações das velocidades; e) as equações dos espaços; f) o gráfico da aceleração em função do tempo. Respostas: a) V = 10t (S.I.) e V = 30 – 5t (S.I.); b) S = -20 + 5t2 (S.I.) e S = -50 + 30t – 2,5t2 (S.I.) ; c) 49 3) A velocidade de uma partícula varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Determine a equação da velocidade e a lei horária dos espaços em cada intervalo de tempo. Faça o gráfico de = (t). Sabe-se que para t = 0, So=0. Respostas: Para 0 ≤ t ≤ 2s ; S = 2,5t2 (S.I.) ; V = 5t (S.I.) e = 5m/s2 (cte.) Para 2 ≤ t ≤ 4s ; S = 10t - 10 (S.I.) ; V = 10m/s (cte.) e = 0 Para 4 ≤ t ≤ 8s ; S = -1,25t2 + 20t - 30 (S.I.) ; V = -2,5t + 20 (S.I.) e = -2,5m/s2 (cte.) 50 4) A aceleração de uma partícula obedece ao gráfico abaixo. Sabendo que para t = 0 sua velocidade é Vo = 10m/s, determine a equação da velocidade em cada intervalo de tempo e faça o gráfico de V = V(t). Respostas: Para 0 ≤ t ≤ 2s ==> V = 10 - 10t (S.I.) Para 2 ≤ t ≤ 4s ==> V = -10m/s (cte.) Para 4 ≤ t ≤ 6s ==> V = 20t - 90 (S.I.) Para 6 ≤ t ≤ 8s ==> V = 10t - 30 (S.I.) 51 5) Uma partícula move-se sobre uma reta e a sua velocidade obedece o gráfico abaixo. Sabe-se que o deslocamento do móvel no intervalo 0 ≤ t ≤ 6s é s = 60m. Determinar: a) a velocidade máxima Vmax; b) as equações das velocidades nos intervalos 0 ≤ t ≤ 2 (s) e 2 ≤ t ≤ 6 (s) c) o gráfico da aceleração em função do tempo. Respostas: a) Vmax = 20m/s; b) V = 10t (S.I.) e V = 30 – 5t (S.I.) ; c) 52 6) A velocidade de uma partícula que se movimenta sobre uma trajetória retilínea, varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 6s a posição do móvel é S = 40m. Pede-se: a) a posição no instante t = 0; b) as equações dos espaços; c) o gráfico da aceleração em função do tempo. Respostas: a) S0 = -20m b) S = -20 + 10t + 2,5t2 (S.I.) S = -50 + 40t – 5t2 (S.I.) S = 70 –20t + 2,5t2 (S.I.) c) 53 7) A aceleração de uma partícula obedece ao gráfico abaixo. Sabendo que no instante t = 4s tem-se V = 10m/s, determine a equação da velocidade em cada intervalo de tempo e faça o gráfico de V = V(t). Respostas: V = -10 – 10t (S.I.) ; V = -70 + 20t (S.I.) ; 54 8) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniformemente Variado obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 2 segundos, ele está na posição de 40 metros em sua trajetória. Pede-se: a) Instante em que a velocidade é máxima. b) Instante em que ele pára. c) A classificação do movimento em cada trecho. d) Esboçar o gráfico da aceleração em função do tempo. e) A equação horária da velocidade em cada trecho. f) A equação horária dos espaços em cada trecho. g) Esboçar o gráfico dos espaços. h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento 55 9) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniformemente Variado obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 6 segundos, ele está na posição de 50 metros em sua trajetória e com velocidade de 20 m/s. Pede-se: a) Instante em que a velocidade é máxima. b) Instante em que ele pára. c) A classificação do movimento em cada trecho. d) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo. e) A equação horária da velocidade em cada trecho. f) A equação horária dos espaços em cada trecho. g) Esboçar o gráfico dos espaços. h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento 56 10) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniformemente Variado obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 2 segundos, ele está na posição de 30 metros em sua trajetória. Pede-se: a) Instante em que a velocidadeé máxima. b) Instante em que ele pára. c) A classificação do movimento em cada trecho. d) Esboçar o gráfico da aceleração em função do tempo. e) A equação horária da velocidade em cada trecho. f) A equação horária dos espaços em cada trecho. g) Esboçar o gráfico dos espaços. h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento 57 11) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniformemente Variado obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 4 segundos, ele está na posição de 10 metros em sua trajetória. Pede-se a) Instante em que a velocidade é máxima. b) Instante em que ele pára. c) A classificação do movimento em cada trecho. d) Esboçar o gráfico da aceleração em função do tempo. e) A equação horária da velocidade em cada trecho. f) A equação horária dos espaços em cada trecho. g) Esboçar o gráfico dos espaços. h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento 58 12) Um móvel com trajetória retilínea e em MUV obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Quando t = 4 segundos, sabe-se que o móvel encontra-se na posição de 10 metros em sua trajetória e sua velocidade nesse mesmo instante é de 40 m/s. Pede-se: a) Instante em que a velocidade é máxima. b) Instante em que ele pára. c) A classificação do movimento em cada trecho. d) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo. e) A equação horária da velocidade em cada trecho. f) A equação horária dos espaços em cada trecho. g) Esboçar o gráfico dos espaços. h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento. 59 13) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniformemente Variado obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 6 segundos, ele está na posição de 50 metros em sua trajetória e com velocidade de 20 m/s. Pede-se: a) Instante em que a velocidade é máxima. b) Instante em que ele pára. c) A classificação do movimento em cada trecho. d) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo. e) A equação horária da velocidade em cada trecho. f) A equação horária dos espaços em cada trecho. g) Esboçar o gráfico dos espaços. h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento. 60 14) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 4 segundos, ele está na posição de 100 metros em sua trajetória e com velocidade de 50 m/s. Pede-se: a) Instante em que a velocidade é máxima. b) Instante em que ele pára. c) A classificação do movimento em cada trecho. d) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo. e) A equação horária da velocidade em cada trecho. f) A equação horária dos espaços em cada trecho. g) Esboçar o gráfico dos espaços. h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento. 61 3 7 V t V (m/s) Respostas dos exercícios de Cinemática Escalar de Física I 6) página 18 a) t = 3 s b) t = 5,4 s c) Δs03 = 3 m; Δs37 = -10 m; Δs07 = -7 m; d) de 0 a 3s = progressivo; de 3 a 7s = regressivo; e) f) e03 = 3 m ; e37 = 10 m ; e07 = 13 m ; g) s = 1.t + 3 (SI) de 0 a 3 s ; s = -2,5.t + 13,5 (SI) de 3 a 7 s h) s4 = 3,5 m 7) página 19 a)t = 2 s e t = 5 s b) t = 4 s c) Δs02 = 5 m; Δs25 = -15 m; Δs5a10 = 5 m; Δs0a10 = -5 m; d) de 0 a 2s = progressivo; de 2 a 5s = regressivo; de 5 a 10s = progressivo e) f) e02 = 5 m ; e25 = 15 m ; e5a10 = 5 m ; e0a10 = 25 m ; g) s = 2,5.t + 5 (SI) de 0 a 2 s ; s = -5.t + 20 (SI) de 2 a 5 s ; s = 1.t - 10 (SI) de 5 a 10 s h) s7 = -3 m 8) página 20 a) t = 2 s b) t = 3 s c) Δs02 = 20 m; Δs25 = -60 m; Δs05 = -40 m; d) de 0 a 2s = progressivo; de 2 a 5s = regressivo; e) 1 0 -2,5 2,5 1 t (s) 0 2 5 10 -5 S (m) 20 0 t (s) 2 5 -40 62 f) e02 = 20 m ; e25 = 60 m ; e05 = 80 m ; g) s = 10.t (SI) de 0 a 2 s ; s = -20.t + 60 (SI) de 2 a 5 s ; h) s4 = -20 m 9) página 21 a) t = 5 s b) não passa pela origem; c) Δs05 = 10 m; Δs57 = -8 m; Δs07 = 2 m; d) de 0 a 5s = progressivo; de 5 a 7s = regressivo; e) f) e05 = 10 m ; e57 = 8 m ; e07 = 18 m ; g) s = 2.t + 10 (SI) de 0 a 5 s ; s = -4.t + 40 (SI) de 5 a 7 s ; h) s4 = 18 m 10) página 22 a) t = 3 s b) não passa pela origem c) Δs03 = -6 m; Δs38 = 2 m; Δs08 = -4 m; d) de 0 a 3s = regressivo; de 3 a 8s = progressivo; e) f) e03 = 6 m ; e38 = 2 m ; e08 = 8 m ; g) s = -2.t + 10 (SI) de 0 a 3 s ; s = 0,4.t + 2,8 (SI) de 3 a 8 s h) s4 = 4,4 m 11) página 23 a) t = 12 s b) t = 16 s c) Δs05 = 5 m; Δs5a12 = 0 m; Δs12a6 = -10 m; Δs0a16 = -5 m; d) de 0 a 5s = progressivo; de 5 a 12s = parado; de 12 a 16s = regressivo V (m/s) 0,4 3 8 t (s) 0 -2 63 e) f) e05 = 5 m ; e5a12 = 0 m ; e12a16 = 10 m ; e0a16 = 15 m ; g) s = 1.t + 5 (SI) de 0 a 5 s ; s = 10 (SI) de 5 a 12 s ; s = -2,5.t + 40 (SI) de 12 a 16 s h) s14 = 5 m 8) página 54 a) t = 2 s b) t = 6 s c) de 0 a 2 s = progressivo acelerado de 2 a 6 s = progressivo retardado d) e) V = 10 + 5.t (SI) (de 0 a 2 s) V = 30 - 5.t (SI) (de 2 a 6 s) f) s = 10 + 10.t + 2,5.t2 (SI) (de 0 a 2 s) s = -10 + 30.t - 2,5.t2 (SI) (de 2 a 6 s) g) h) não inverte o movimento. 9) página 55 a) t = 6 s b) não pára c) de 0 a 4 s = progressivo acelerado de 4 a 6 s = progressivo acelerado d) V (m/s) 1 12 16 t (s) 0 5 -2,5 64 e) V = 4 + 2.t (SI) (de 0 a 4 s) V = - 4 + 4.t (SI) (de 4 a 6 s) f) s = -14 + 4.t + t2 (SI) (de 0 a 4 s) s = 2 - 4.t + 2.t2 (SI) (de 4 a 6 s) g) h) não inverte o movimento. 10) página 56 a) entre 2 e 8 s b) t = 10 s c) de 0 a 2 s = progressivo acelerado de 2 a 8 s = progressivo de 8 a 10 s = progressivo retardado d) e) V = 4 + 2.t (SI) (de 0 a 2 s) V = 8 (SI) (de 2 a 8 s) V = 40 - 4.t (SI) (de 8 a 10 s) f) s = 18 + 4.t + t2 (SI) (de 0 a 2 s) s = 14 + 8.t (SI) (de 2 a 8 s) s = - 114 + 40.t - 2.t2 (SI) (de 8 a 10 s) g) 65 h) não inverte o movimento. 11) página 57 a) t = 8 s b) não pára c) de 0 a 4 s = progressivo retardado de 4 a 8 s = progressivo acelerado d) e) V = 4 – 0,5.t (SI) (de 0 a 4 s) V = - 2 + t (SI) (de 4 a 8 s) f) s = - 2 + 4.t – 0,25.t2 (SI) (de 0 a 4 s) s = 10 - 2.t + 0,5.t2 (SI) (de 4 a 8 s) g) h) não inverte o movimento. 12) página 58 a) t = 4 s b) não pára c) de 0 a 4 s = progressivo acelerado de 4 a 10 s = progressivo retardado de 10 a 12 s = progressivo acelerado d) e) V = 28 + 3.t (SI) (de 0 a 4 s) V = 60 – 5.t (SI) (de 4 a 10 s) V = - 40 + 5.t (SI) (de 10 a 12 s) f) s = - 126 + 28.t + 1,5.t2 (SI) (de 0 a 4 s) s = - 190 + 60.t – 2,5.t2 (SI) (de 4 a 10 s) s = 310 - 40.t + 2,5.t2 (SI) (de 10 a 12 s) 66 g) h) não inverte o movimento. 13) página 59 a) t = 10 s b) não pára c) de 0 a 4 s = progressivoacelerado de 4 a 6 s = progressivo de 6 a 10 s = progressivo acelerado d) e) V = 8 + 3.t (SI) (de 0 a 4 s) V = 20 (SI) (de 4 a 6 s) V = - 22 + 5.t (SI) (de 6 a 10 s) f) s = - 46 + 8.t + 1,5.t2 (SI) (de 0 a 4 s) s = - 70 + 20.t (SI) (de 4 a 6 s) s = 20 - 10.t + 2,5.t2 (SI) (de 6 a 10 s) g) h) não inverte o movimento. 67 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) A velocidade uma partícula que se desloca sobre o eixo ox, varia com o tempo de acordo com o gráfico abaixo. Sabe-se que a abscissa em t = 0 é x = 10m. Determinar a equação dos espaços e a aceleração da partícula. Resp: = -5m/s2 x = 10 + 20t - 2,5t2 (S.I.) 2) Demonstre que em um movimento uniformemente variado a velocidade média entre dois instantes t1 e t 2 é igual à média das velocidades instantâneas nesses mesmos instantes, ou seja: Vm V V 2 1 2 3) Uma partícula se desloca sobre uma reta com movimento uniformemente variado. No instante t1 = 2s sua velocidade é V1 = 10m/s e no instante t2 = 6s sua velocidade é V2 = -30m/s e a partícula encontra-se na abscissa S2 = 50m. Determinar: a) a velocidade média da partícula entre os instantes t1 e t2; b) a aceleração da partícula; c) a equação dos espaços; d) as características do movimento. Resp: a) Vm = -10m/s b) = - 10 m/s2 c) s = 50 + 30t - 5t 2 (S.I.) d) para 0 < t < 3s o movimento é progressivo e retardado para t > 3 o movimento é regressivo e acelerado. 68 4) Uma partícula move-se sobre uma reta com movimento uniformemente variado. Sabe- se que para t1 = 1s sua velocidade é V1 = 20m/s e sua abscissa é s1 = 30m. No intervalo entre os instantes t1 = 1s e t2 = 4s a velocidade média do móvel é 35m/s. Pede-se: a) a velocidade inicial Vo e a abscissa inicial So; b) a equação da velocidade da partícula; c) a equação dos espaços. Resp: a) V0 = 10m/s e S0 = 15m b) V = 10 + 10t (S.I.) c) s = 15 + 10t + 5t2 (S.I.) 5) A velocidade de uma partícula varia com o tempo conforme o gráfico abaixo. Sabe-se que no intervalo 0 < t < 10s o espaço percorrido pela partícula é igual a 100m e que a aceleração 1 para 0 < t < tm e a aceleração 2 para tm < 0 < 10s obedecem à relação 1/2 = -3/2. Pede-se: a) a velocidade máxima Vm atingida pela partícula no intervalo 0 < t < 10s; b) o instante tm quando a velocidade é máxima. c) as acelerações 1 e 2 ; d) as equações da velocidade para 0 < t < tm e tm < t < 10s. Resp: a) Vmax = 20 m/s b) tm = 4s c) 1 = 5m/s2 e 2 = -10/3 m/s2 d) V = 5t (S.I.) ; V = -(10/3)t + 100/3 (S.I.) 69 6) A velocidade de uma partícula varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Determine a equação da velocidade e a lei horária dos espaços em cada intervalo de tempo. Faça os gráficos de x = x(t) e = (t). Sabe-se que para t = 0, S = So=0. Resp: Para 0 < t < 2s ; x = 2,5t2 (S.I.) ; V = 5t (S.I.) e = 5m/s2 (cte.) Para 2 < t < 4s ; x = 10t - 10 (S.I.) ; V = 10m/s (cte.) e = 0 Para 4 < t < 8s ; x = -1,25t2 + 20t - 30 (S.I.) ; V = -2,5t + 20 (S.I.) e = -2,5m/s2 (cte.) 70 7) Uma partícula move-se sobre uma reta, partindo da origem em t = 0 e adquirindo em cada intervalo de tempo uma aceleração constante. Sabe-se que para 0 < t < 4s a sua velocidade média é Vm = 20m/s; para 4 < t < 8s sua aceleração é -5m/s 2 ; para 8 < t < 12s sua aceleração é nula e finalmente para 12 < t < 16s sua velocidade média é nula. Esboçar os gráficos de V = V(t) e (t). Resp: 71 8)Um móvel percorre uma reta e sua abscissa vária em função do tempo segundo o gráfico abaixo, representado por trechos de parábolas nos intervalos 0 < t < 2s e 4 < t < 6s e por uma reta no trecho 2 < t < 4s, sendo a reta concordante com as duas parábolas. Pede-se: a) a equação da velocidade do móvel em cada trecho; b) o gráfico da velocidade em função do tempo; c) o gráfico da aceleração em função do tempo. Resp: a) Para 0 < t < 2s ==> V = 10 - 15t ( S.I.) Para 2 < t < 4s ==> V = -20 m/s Cte Para 4 < t < 6s ==> V = -80 + 15t 72 TESTE DE FIXAÇÃO 1) Duas partículas A e B se movimentam sobre uma mesma trajetória retilínea segundo o gráfico ao lado. Podemos afirmar que suas equações horárias são: a) sA = 90 + 20 t e sB = 40 + 10 t b) sA = 20 + 90 t e sB = 10 + 40 t c) sA = 40 + 20 t e sB = 90 + 10 t d) sA = 40 + 20 t e sB = 10 + 90 t e) sA = 20 + 40 t e sB = 90 + 10 t 2) Um objeto se desloca em movimento retilíneo uniforme durante 30 seg. A figura ao lado representa o gráfico do espaço em função do tempo. O espaço do objeto no instantes 30 seg. em metros será: a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50 3) O gráfico representa a posição de uma partícula em movimento retilíneo em função do tempo. Assinale a alternativa correta: a) entre 0 seg e 10 seg a aceleração vale 0,1 m/s2 b) entre 10 seg e 20 seg a velocidade é de 0,3 m/s c) No instante t = 15 seg a velocidade é 0,2 m/s d) entre 0 seg e 20 seg a velocidade média é de 0,05 m/s e) entre 0 seg e 30 seg a velocidade média é de 0,1 m/s O gráfico ao lado refere-se aos testes de números: 4 , 5 e 6. O gráfico do espaço em função do tempo a partir da origem O, sobre uma reta, é representado ao lado. 73 4) A velocidade escalar média do móvel entre 0 seg e 30 seg é: a) nula b) 1 m/s c) – 1/3 m/s d) 1/3 m/s e) 3/2 m/s 5) O móvel em velocidade escalar negativa entre: a) 20 seg e 30 seg b) 10 seg e 20 seg c) 10 seg e 40 seg d) 0 seg e 10 seg e) nunca 6) O móvel em aceleração escalar nula : a) nunca b) só entre 10 seg e 20 seg c) em todo o percurso representado no gráfico d) só entre 0 seg e 10 seg e) nenhuma das afirmativas anteriores é correta 7) Um móvel desloca-se em movimento uniforme cujo gráfico ( V x t ) está representado na figura ao lado. Determine a variação de espaço do móvel entre os instantes t = 2 ,0 seg e t’ = 3,0 seg a) zero d) 30 m b) 10 m e) 40 m c) 20 m 8) Um automóvel faz uma viagem em 6 horas e sua velocidade escalar varia em função do tempo como mostra o gráfico ao lado. A velocidade escalar média do automóvel na viagem é: a) 35 km/h d) 48 km/h b) 40 km/h e) 50 km/h c) 45 km/h 9) Para um móvel que parte do repouso, temos ao lado o gráfico de sua posição em função do tempo. A função horária que melhor representa o movimento do móvel é: a) s = 16 + 6 t – 2 t2 b) s = 6 + 16 t – 5 t2 c) s = 16 t + 6 t2 d) s = 6 + 3 t2 e) s = 6 + 2,5 t2 74 Esta explicação refere-se as questões 10 e 11 Um ponto material se desloca com aceleração escalar constante e igual 1,0 m/s2 em uma trajetória retilínea. No instante t = 1,0 seg a velocidade do ponto material é nula. No início da contagem dos tempos, o ponto material estava a 0,70 m da origem dos espaços. 10) O gráfico da posição do ponto material em função do tempo é dado por: e) nenhum dos anteriores 11) O gráfico da velocidade do ponto material em função do tempo é dado por: e) nenhum dos anteriores 75 12) Um móvel é animado de movimento uniformemente variado segundo a função horária S = - 2 t + t2 (SI). A velocidade (V) e a aceleração () do movimento em função do tempo decorrido a partir do instante t0 = 0 , são representados graficamente por: Instruções para as questões 13 e 14 Essas questõesdevem ser resolvidas com base no gráfico ao lado, onde se representa a velocidade escalar (V) em função do tempo (t). 13) Qual foi a aceleração escalar média do corpo entre os instantes t = 0 seg e t’ = 8 seg , em cm/s2 ? a) 0,75 b) 1,1 c) 1,5 d) 2 e) 3,2 14) Qual foi a distância percorrida pelo corpo entre os instantes t = 0 seg e t’ = 8 seg , em cm ? a) 8 b) 12 c) 24 d) 48 e) 96 15) Um móvel parte do repouso e desloca-se em movimento retilíneo sobre um plano horizontal. O gráfico ao lado representa a aceleração () do móvel em função do tempo (t). A velocidade do móvel no instante t = 5 seg será: a) 36 m/s d) 15 m/s b) 6 m/s e) 30 m/s c) 24 m/s 76 16) Um móvel em movimento retilíneo tem velocidade escalar (V) variando com o tempo (t) de acordo com o gráfico ao lado. Podemos afirmar que entre os instantes : a) 0 e t1 o movimento é regressivo acelerado b) t1 e t2 o movimento é progressivo acelerado c) t2 e t3 o movimento é regressivo acelerado d) t3 e t4 o móvel está parado e) t4 e t5 o movimento é progressivo retardado 17) Um móvel está em movimento sobre um eixo orientado. No instante t = 0 o móvel está na origem. A velocidade escalar V do móvel está representada no gráfico ao lado em função do tempo t. No instante t = 5 seg o móvel estará num ponto cuja distância à origem, em metros, é igual a: a) 75 d) 65 b) 50 e) 80 c) 60 18) Três carros percorrem uma estrada plana e reta, com a velocidades variando em função do tempo de acordo com o gráfico ao lado. No instante t = 0 seg os três carros passam por um semáforo. A 140 metros desse semáforo há outro sinal de trânsito. Qual dos carros ultrapassarão este segundo sinal? a) nenhum dos três b) 2 e 3 c) 1 e 3 d) 1 e 2 e) 1, 2 e 3 19) Um móvel em uma trajetória retilínea, parte do repouso e percorre 36 metros em 6 seg com velocidade que varia conforme o gráfico ao lado. A máxima velocidade atingida pelo móvel foi de: a) 15 m/s 77 b) 12 m/ c) 9 m/s d) 6 m/s e) 3 m/s 20 O gráfico ao lado mostra a velocidade em função do tempo de dois automóveis A e B. Pelo gráfico podemos afirmar que: a) para t = 10 seg as velocidades de A e B são iguais b) de 0 a 10 seg o espaço percorrido por B foi maior que o de A c) ambos partiram do repouso d) a aceleração de B é maior que de A e) o espaço percorrido por B foi de 200 metros entre 0 e 10 seg 21) O gráfico representa a variação da velocidade com o tempo de um móvel em trajetória retilínea. Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) nas alternativas abaixo: a) ( ) No trecho OA o movimento é uniformemente acelerado e com velocidade inicial nula. b) ( ) A aceleração no trecho AB é igual a do trecho CD. c) ( ) A aceleração no trecho OA é igual a do trecho BC. d) ( ) A aceleração no trecho DE é o dobro da existente no trecho BC. e) ( ) O espaço percorrido no trecho BC é a metade da que é percorrida no trecho DE. f) ( ) A distância total percorrida nos 10 primeiros segundos é inferior a 30 metros. 22) O gráfico mostra a variação da velocidade com o tempo de um móvel em trajetória retilínea. A variação de espaço e a aceleração escalar média entre 0 e 10 seg foram respectivamente: a) 110 m e – 3 m/s2 b) 110 m e 2 m/s2 c) 140 m e – 1,5 m/s2 d) 140 m e 2 m/s2 e) 110 m e – 1,5 m/s2 78 23) Dois carros A e B deslocam-se em uma mesma estrada reta, com a velocidade variando de acordo com o gráfico ao lado. Em t = 0 seg ambos se encontram no quilômetro zero. Considere as afirmações: I – B desloca-se com movimento uniformemente acelerado. II – Entre t = 0 h e t = 2 h, o carro A percorreu 120 km e o carro B percorreu 240 km. III – O carro A alcança B no instante t = 2h. IV – A velocidade de A cresce de 60 km em cada hora. São corretas as afirmações: a) III d) III e IV b) I e III e) II, III e IV c) II e IV 24) Dois móveis, A e B, separados no instante t = 0 por uma distância de 600 metros, trafegam em sentido contrário ao longo da reta que os une. Suas velocidades variam conforme o gráfico ao lado. No instante t = 50 seg pode-se afirmar que: a) a distância entre A e B é de 875 m. b) a distância entre A e B é de 575 m. c) os móveis vão inverter o sentido do seu movimento d) os móveis se cruzam na trajetória e) a distância entre A e B é de 175 m 79 25) A velocidade escalar de uma partícula em movimento retilíneo que parte da origem, varia com o tempo conforme o diagrama ao lado. O diagrama que melhor representa o espaço percorrido pela partícula em função do tempo é: 80 CAPITULO III GRANDEZAS VETORIAIS - ESTÁTICA 1 - DEFINIÇÕES Existem certas grandezas em Física que para ficarem caracterizadas necessitam de três elementos: um módulo, uma direção e um sentido. Denominam-se Grandezas Vetoriais e são representadas por um ente geométrico denominado vetor. O módulo ou intensidade indica o valor escalar dessa grandeza. São grandezas vetoriais as forças, as velocidades, as acelerações, os campos elétrico e magnético, o campo gravitacional e outros. Um vetor V ou AB é representado por um segmento orientado. r é a reta suporte do vetor e define sua direção; seu sentido é de A para B. O módulo ou intensidade do vetor é representado por: Reta Orientada ou eixo é uma reta na qual se estabelece um sentido e uma origem O de referência. A uma reta orientada costuma-se associar um vetor unitário ou versor u, cujo módulo é a unidade, que tem a mesma direção e sentido que a reta. 81 Um vetor V que tem a mesma direção e sentido que reta orientada pode ser representado pelo produto do seu módulo pelo versor da reta: Dado um vetor podemos determinar o versor de sua direção: 2)COMPONENTES OU PROJEÇÃO DE UM VETOR SEGUNDO UMA DIREÇÃO (EIXO). A componente do vetor V segundo a reta orientada ou eixo r é o segmento orientado A'B' , ou seja: 82 Se o vetor tiver sentido oposto ao eixo a sua componente segundo esse eixo é negativa. Como 90o < < 180o temos cos < 0; Mas, = 180o - ', logo cos = cos(180o - ') = - cos' portanto: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Sendo | V | = 10 determine a projeção V segundo o eixo e nos seguintes casos: a) RESOLUÇÃO: 83 b) RESOLUÇÃO: c) RESOLUÇÃO: d) RESOLUÇÃO: 84 e) RESOLUÇÃO: 3 - COMPONENTES CARTESIANAS DE UM VETOR Seja um sistema plano de eixos cartesianos ox e oy. O versor do eixo ox é representado por i e o do eixo oy por j . Um vetor V terá uma componente Vx segundo o eixo oy e Vy segundo o eixo oy. Assim: Vx = projox V = A'B' = AC = | V | cos Ou Vx= projoxV = | V | cos = V cos Vy = projoyV = A"B" = AD = | V | cos ou Vy = projoyV = | V | cos = V cos 85 Lembrar que = 90 - portanto: cos = cos(90o - ) = sen , ou seja, cos = sen Por outro lado podemos determinar o módulo do vetor V: O vetor poderá ser representado na forma cartesiana: EXERCÍCIO: Sabendo que | V1 | = 10 e | V2 | = 20 determinar: a) as componentes de V1 e V2 nos eixos ox e oy; b) as expressões cartesianas de V1 e V2 ; c) a expressão cartesiana da soma S = V1 + V2 d) o módulo dasoma S. 86 Resolução: cos = 4/5 = 0,8 sen = 3/5 = 0,6 cos = 3/5 = 0,6 sen = 4/5 = 0,8 a) Para o vetor V1 temos: V1x = projoxV1 = V1cos = 10 . 0,8 = 8 V1y= projoyV1 = V1cos = V1 sen = 10 . 0,6 = 6 Para o vetor V2 temos: V2x = projoxV2 = - V2cos = - 20 . 0,6 = - 12 V2y = projoyV2 = V2cos = V2sen = 20 . 0,8 = 16 b) V1 = V1x i + V1y j ou V1 = 8 i + 6 j V2 = V2x i + V2y j ou V2 = - 12 i + 16 j c) S = V1 + V2 = 8 i + 6 j + ( -12 i + 16 j ) ou S = -4 i + 22 j d) Em um caso mais geral poderemos representar um vetor segundo um sistema cartesiano de tres eixos ox, oy e oz, cujos versores são, respectivamente: i , j e k. 87 Neste caso o vetor terá três componentes cartesianas: Vx , Vy e Vz . Vx = projoxV = OA = | V | cos = Vcos Vy = projoyV = OB = | V | cos = Vcos Vz = projozV = OC = | V | cos = Vcos A expressão cartesiana do vetor neste caso será: 4 - FORÇAS CONCORRENTES As forças são grandezas vetoriais, isto é são representadas por vetores, portanto aceitam o mesmo tipo de tratamento que dispensamos aos vetores. Um conjunto de forças se dizem concorrentes quando as suas retas suportes ou linhas de ação passam todas por um mesmo ponto. Na figura temos um conjunto de forças concorrentes no ponto O. 88 Define-se como resultante de um sistema de forças concorrentes, uma única força que produz o mesmo efeito que o conjunto, ou seja, uma força cuja linha de ação passa pelo ponto de concorrência e substitui todas as demais forças. Vetorialmente falando a resultante de um sistema de n forças concorrentes será: R = F1 + F2 + . . . . . + Fn 5 - DETERMINAÇÃO DA RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇA. 1o caso: duas forças de mesma direção e sentido. | R | = | F1 | + | F2 | 2o caso: duas forças de mesma direção e sentidos opostos. Sendo | F1 | > | F2 | temos | R | = | F1 | - | F2 | 3o caso: duas forças ortogonais. 89 4o caso: duas forças quaisquer ( regra do paralelogramo). Aplicando-se a lei dos cossenos no triangulo OAC vem: OC2 = OA2 + AC2 - 2. OA . AC. cos(180o - ) | R |2 = | F1|2 + | F2|2 - 2.| F1|.| F2|.(-cos) Aplicando-se a lei dos senos no triangulo OAC vem: 90 Dessa relação podemos determinar 1 e 2 . 5o caso: o sistema é composto por três ou mais forças (teorema das projeções). Neste caso poderemos aplicar a regra do paralelogramo de duas em duas forças até chegarmos na resultante ou então aplicarmos o teorema das projeções como veremos a seguir. Esta segunda opção é muito mais prática que a primeira. O teorema das projeções nos afirma que a projeção da resultante de um sistema de força em um eixo é igual a soma algébrica das projeções nesse mesmo eixo, de todas as forças que participam do sistema. Assim: projoxR = projoxF1 + projoxF2 + + projoxFn projoyR = projoyF1 + projoyF2 + + projoyFn Rx = F1x + F2x + . . . . . + Fnx Ry = F1y + F2y + . . . . . + Fny 91 Exercício Resolvido: Sendo | F1 | = 10N; | F2 | = 20N; | F3 | = 10N e | F4 | = 30N, determine a resultante do sistema de forças concorrentes abaixo esquematizado. RESOLUÇÃO: Rx = F1x + F2x + F3x + F4x Rx = F1cos90 o + F2cos30 o - F3cos0 o + F4cos60 o Rx = 10 . 0 + 20 . 0,87 - 10 . 1 + 30 . 0,5 Rx = 22,4N Ry = F1y + F2y + F3y + F4y Ry = F1cos0 o + F2cos60 o + F3cos90 o - F4cos30 o Ry = 10 . 1 + 20 . 0,5 + 10 . 0 - 30 . 0,87 Ry = - 6,1N Para determinar a inclinação da resultante: tg = | Ry | / | Rx | = 6,1 / 22,4 ou tg = 0,272 = arctan(0,272) = 15,22o = 15o 13' Obs: A função “arctan” muitas vezes está representada nas calculadoras por: “tan-1” ou “atan”. A resposta também poderá ser dada na forma cartesiana: 92 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: 1) Duas forças concorrentes F1 e F2 são perpendiculares entre si, sua resultante tem intensidade R = 50N e sabe-se que F1 = 0,75F2. Determine as intensidades dessas forças e o angulo que F1 faz com R. RESPOSTAS: F1 = 30N F2 = 40N = 53o 8' 2) Sabendo que R = 12N e que F1 = (3/5)F2; determine as intensidades de F1 , F2 e o ângulo ? RESPOSTAS: F1 = 9N F2= 15N = 36o 52' 93 3) Sendo F1= 60N e F2 = 80N determine F3 e o ângulo de modo que a resultante dessas forças seja nula. RESPOSTAS: F3 = 100N = 53o 8' 94 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Com base no esquema abaixo representado, determine a força resultante e o angulo que ela forma com a força F1. RESPOSTAS: R = 23,78N α = 172,31o 95 2) Determine a força resultante, no esquema a seguir, utilizando o método das projeções. RESPOSTAS: R = 57,11N α = 56,28o ( com a horizontal) 96 3) Determine a força resultante, no esquema a seguir, utilizando o método das projeções. RESPOSTAS: R = 20,81N α = 39,76o ( com a horizontal) 97 4) Determine a força resultante, no esquema a seguir, utilizando o método das projeções. 98 5) Determine a força resultante, no esquema a seguir, utilizando o método das projeções. 99 6 - EQUILíBRIO DO PONTO MATERIAL Entende-se como ponto material um corpo cujas dimensões são desprezíveis. É representado por um ponto ao qual associamos uma massa. Um ponto material em repouso estará em equilíbrio quando é nula a resultante do sistema de forças que nele atuam. Assim, se R = 0, então: Rx = 0 e Ry = 0 ou Rx = F1x + F2x + . . . . . + Fnx = 0 Ry = F1y + F2y + . . . . . + Fny = 0 Concluímos que se um ponto material está em equilíbrio, será nula a soma algébrica das projeções das forças que nele agem, tomadas em relação a um eixo qualquer. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) Um corpo de peso P = 60N está em equilíbrio suspenso por dois fios AB e AC. Determine a intensidade da força de tração em cada fio. RESOLUÇÃO: Adotando o sistema de eixos indicados na figura abaixo e projetando as forças nesses eixos obtém-se: 100 Rx = - T1 . cos0 o + T2 . cos60 o + P. cos90o = 0 -T1 + T2 . 0,5 = 0 ou T1 = 0,5T2 ( EQ. 1) Ry = - T2 . cos30 o + T1 . cos90 o - P. cos0o = 0 Substituindo o valor T2 na equação 1 temos: 2) Uma esfera de peso P = 120N está apoiada em duas superfícies lisas que formam entre si um ângulo reto. Determine as reações de apoio exercidas sobre a esfera. 101 RESOLUÇÃO: Como não há atrito da esfera com as superfícies as reações de apoio são normais aos apoios e conseqüentemente suas linhas de ação passam pelo centro da esfera conforme mostra a figura abaixo. Projetando-se as forças nos eixos obtém-se: Rx = N1cos30 o - N2cos60 o + Pcos90o = 0 Ry = N1cos60 o + N2cos30 o - Pcos0o = 0 Substituindo 1 em 2 vem: 4N1 = 240 102 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) O sistema abaixo representado, encontra-se em equilíbrio na posição indicada. Sabe-se que o corpo 3 tem peso P3 = 500N. Determine o valor dos pesos dos corpos 1 e 2. RESPOSTAS: P1 = 673,4N P2 = 765,82N 103 2) Determine o peso P2 . Sabe-se que o corpo P1 de peso P1 = 150Nestá em equilíbrio na posição indicada. Desprezar os pesos dos fios e das polias. RESPOSTAS: P2 = 113,06N 104 3) No sistema , em equilíbrio, representado na figura o corpo 2 tem peso P2 = 100N. Sabe- se que as superfícies de apoio são perfeitamente lisas. Determine o peso do corpo 1 e a reação que o plano exerce sobre o corpo 2. RESPOSTAS: P1 = 64,28N P2 = 86,6N 105 4) Determine o valor do Peso do corpo B para o sistema permanecer em equilíbrio. Pede-se ainda a reação da superfície do plano inclinado sobre o corpo A, sabendo-se que a superfície do plano inclinado é perfeitamente lisa. Dado: PA = 100 N e PC = 30 N. Resp.: PB = 80 N e NA = 103,62 N 106 5) Na figura abaixo, qual deve ser o Peso do corpo A, o Peso do corpo B e as forças tensoras, para o sistema permanecer em equilíbrio ? Dado: PC = 400 N Resp.: PA = 433,34 N ; PB = 772,72 N ; T1 = 363,61 N e T2 = 565,68 N 107 6) Determine o valor do Peso do corpo B para o sistema permanecer em equilíbrio. Pede-se ainda a reação da superfície do plano inclinado sobre o corpo A, sabendo-se que a superfície do plano inclinado é perfeitamente lisa. Dados: PA = 30 N e PC = 10 N. Resp.: PB = 46,61 N e NA = 11,55 N 108 7) Determine o valor do Peso do corpo B para que o sistema permaneça em equilíbrio. Pede-se ainda a reação da superfície do plano inclinado sobre o corpo A, sabendo-se que a superfície do plano inclinado é perfeitamente lisa. Dado: PA = 400 N Resp.: PB = 199,98 N e NA = 356,41 N 109 8) Determine o valor do Peso do corpo C para que o sistema permaneça em equilíbrio. Pede-se ainda a reação da superfície do plano inclinado sobre o corpo B, sabendo-se que a superfície do plano inclinado é perfeitamente lisa. Dado: PA = 100 N e PB = 300 N. Resp.: PC = 153,20 N e NA = 235,72 N 110 9) Na figura abaixo, qual deve ser o Peso do corpo A, as reações das superfícies sobre os corpos e as forças tensoras para o sistema manter-se em equilíbrio ? Sabe-se que as superfícies são perfeitamente lisas. Dado: PB = 300 N e PC = 200 N Resp.: PA = 115,47 N ; NA = 57,74 N ; NC = 173,20 e T1 = T2 = 100 N 111 10) Determine o valor do Peso do corpo B para o sistema permanecer em equilíbrio. Pede-se ainda a reação da superfície do plano inclinado sobre o corpo A, sabendo-se que a superfície do plano inclinado é perfeitamente lisa. Dado: PA = 300 N e PC = 100 N. Resp.: PB = 455,52 N e NA = 125,13 N 112 11) Determine o valor das Trações nos fios MO e NO para que o sistema permaneça em equilíbrio. Lembre-se que todas as polias são ideais. Dado: PA = 100 N , PB = 200 N e PC = 100 N. 113 12) Uma barcaça se desloca por um canal puxada por cabos presos a dois rebocadores. Determine o valor da Força Resultante exercida na barcaça sob a ação das forças produzidas nos cabos pelos dois rebocadores A e B, conforme a figura abaixo, e o ângulo que ela forma com o cabo do rebocador A. Desconsidere qualquer tipo de atrito. Dados: FA = 100 N e FB = 150 N 114 13) Determine as tensões nos fios, sabendo que o sistema abaixo está em equilíbrio. RESPOSTAS: TAC = 173,2051N TAB = 100N 115 14) Na figura abaixo, qual deve ser o peso do corpo A para que o sistema mantenha-se em equilíbrio? Dados : PB = 100N RESPOSTAS: PA = 70,7107N 116 15) Determine o peso P2 e a força tensora no fio OA sabendo que o corpo de peso P1 = 80N está em equilíbrio na posição indicada. Desprezar os pesos dos fios e das polias. RESPOSTAS: TOA= 40,00N P2 = 138,56N 117 16) Determinar as forças tensoras nos fios, sabendo que o sistema abaixo está em equilíbrio. RESPOSTAS: TEC = 50,00N TED = 86,60N TCA = 57,74N TCB = 28,87N 118 17) No sistema em equilíbrio representado na figura, o bloco A tem peso P1 = 100N; o bloco B peso P2 e a intensidade do peso do bloco C é P3 = 200N. Determine a intensidade da normal que o plano exerce sobre o bloco C e o peso do bloco B. RESPOSTAS: P2 = 230,94N NC = 142,26N 119 18) No sistema abaixo, em equilíbrio, determine: a) o peso do corpo A; b) a reação normal no corpo B. Dado: PB = 300N RESPOSTAS: PA = 212,1320N NB = 212,1320N 120 19) Um corpo de peso P = 20N está apoiado em um plano inclinado sem atrito. Determinar a reação normal que o plano exerce sobre o corpo e o peso P1 necessário para manter o corpo em equilíbrio na posição indicada. RESPOSTAS: N = 23,09N P1= 11,55N 121 20) No sistema abaixo, qual deverá ser o angulo , para que o mesmo se mantenha em equilíbrio? RESPOSTAS: = 51o 44' 17" 122 CAPITULO IV EQUILÍBRIO DE CORPOS EXTENSOS Você já deve ter notado que a maçaneta de uma porta sempre fica na extremidade oposta à das dobradiças, o que torna mais fácil abri-la e fecha-la. Se a maçaneta estivesse perto da dobradiça, teríamos de aplicar uma força muito maior para mover a porta. De modo análogo, é mais fácil soltar um parafuso com uma chave inglesa de cabo longo do que uma de cabo curto. O efeito de rotação de uma força em relação a um ponto depende da intensidade da força e de sua distância ao ponto onde ocorre a rotação, é caracterizado por uma grandeza chamada momento de uma força em relação a um ponto, que é medida multiplicando-se a intensidade da força F pela distância d do ponto à linha de ação da força. d.FM 0/F Por convenção, o momento é positivo quando a força F tende a provocar rotação em torno do ponto O no sentido anti-horário, e é negativo quando tende a provocar rotação no sentido horário. No SI de Unidades, o momento de uma força é medido em Newton x metro (N.m). Equilíbrio Estático De Corpos Extensos Vimos que um ponto material está em equilíbrio estático se a resultante das forças nele agentes é nula. No caso de um corpo extenso, além da condição 0F , devemos impor, a fim de que o corpo não tenha rotação, a lei dos momentos: Quando um corpo extenso pode girar em torno de um ponto O, ele se encontra em equilíbrio se a soma algébrica dos momentos das forças, agindo no corpo em relação a O, é nula: 0M 0/F 123 Portanto, dado um corpo extenso em equilíbrio, deve-se fazer um inventário completo das forças nele agentes e escolher um ponto O qualquer desse corpo. As condições para equilíbrio estático em relação ao ponto O são: 0F 0M 0/F Centro De Gravidade Um corpo se comporta como se seu peso estivesse concentrado num único ponto G, denominado centro de gravidade. O centro de gravidade G de qualquer corpo simétrico, de composição uniforme, coincide com seu centro geométrico. Exemplos: 1) Para o sistema de força abaixo. Determinar: a) o momento de cada uma das forças em relação ao ponto O; b) o momento resultante em relação ao ponto O. 124 Resolução: Neste exercício adotaremos os momentos no sentido anti-horário como sendo positivos e no sentido horário como sendo negativos. Força F1 : Em relação ao ponto O, a força F1 tende a girar o corpo no sentido horário portanto temos: m.N505.10d.FM 110/F1 Força F2 : Em relação ao ponto O, a força F2 tende a girar o corpo no sentido anti-horário portanto temos: m.N20010.20d.FM 220/F2 Força F3 : Em relação ao ponto O, a força F3 tende a girar o corpo no sentido horário portanto temos: m.N1505.30d.FM 330/F3 Força F4 : A linha de ação da força F4 passa pelo ponto O, neste caso podemos afirmarque o momento de F4 em relação ao ponto O é nulo. 0M 0/F4 Força F5 : Em relação ao ponto O, a força F5 tende a girar o corpo no sentido horário portanto temos: m.N50010.50d.FM 550/F5 O momento resultante no ponto O corresponde a somatória dos momentos provocados por cada uma das forças, então temos: m.N500M 500015020050M MMMMMM 0/R 0/R 0/F0/F0/F0/F0/F0/R 54321 Como a somtória dos momentos resultou em um valor negativo, podemos afirmar que o momento resultante em relação ao ponto O é de 500N.m no sentido horário. 125 2) A barra abaixo esquematizada é homogênea, tem seção constante e tem peso próprio P = 200N. Determine o valor das reações nos apoios. Resolução: Primeiramente vamos esquematizar todas as forças que estão atuando na barra. Obs: Inicialmente não se conhece os sentidos das reações dos apoios (VA, HA e VB) então, adota-se um sentido qualquer, se o mesmo estiver incorreto obteremos um valor negativo no calculo da força, indicando assim, que o sentido correto é o oposto ao adotado. Como temos esforços na horizontal e na vertical é necessário aplicar a primeira condição de equilíbrio ( 0F ) nas duas direções, temos então: 0FH N50FH 0FH 2A 2A )1.eq(N150VV 0150V200V100 0FVPVF 0F BA BA 3BA1 V 126 Para aplicar a segunda condição ( 0M 0/F ) de equilíbrio é necessário escolher um ponto qualquer da barra. Neste exercício vamos utilizar o ponto A. N110V 1050V56001000 7.15005.V3.200001.100M MMMMMMMM 0M B B BA/F A/FA/FA/VA/PA/VA/HA/FA/F A/F 32BAA1 Substituindo VB na equação 1 temos: N260V 150110V N150VV A A BA O fato do calculo do valor de VB resultar em um valor negativo indica que o sentido de VB é para baixo ( contrário ao que foi adotado). 127 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Para o sistema de força abaixo. Determinar: a) o momento de cada uma das forças em relação ao ponto O; b) o momento resultante em relação ao ponto O. 128 2) Para o sistema de força abaixo. Determinar: a) o momento resultante em relação ao ponto A; b) o momento resultante em relação ao ponto B; c) o momento resultante em relação ao ponto B. Dados: AC = 5m ; CB = 3m 129 3) Para o sistema de força indicado determinar o momento resultante em relação ao ponto O. DADOS : OA = 2m , OB = 1m , OC = 3m , OD = 2m e OE = 4m 130 4) Para o sistema de força abaixo. Determinar: a) o momento resultante em relação ao ponto A; b) o momento resultante em relação ao ponto B . Dados: AC = 4m ; CB = 6m 131 5) Para o sistema de força abaixo. Determinar: a) o momento resultante em relação ao ponto A; b) o momento resultante em relação ao ponto B; c) o momento resultante em relação ao ponto C; d) o momento resultante em relação ao ponto D. Dados: AB = CD = 2 m ; BC = 3 m 132 6) Para o sistema de força abaixo. Determinar: a) o momento resultante em relação ao ponto C; b) o momento resultante em relação ao ponto A . Dados: AC = BC = 4m ; CD = 5m 133 7) No esquema abaixo, o peso da barra homogênea é de 50N. Sabendo que o sistema está em equilíbrio, determine a intensidade da força de tração no fio AB e o peso do corpo A. Dado: PB = 40N. 134 8) No esquema abaixo, o peso da barra homogênea é de 50N e seu comprimento é de 4m. Determine a que distancia do corpo A devemos prender o fio fazendo com que a barra fique suspensa na horizontal. Dados: PA = 100N e PB = 50N. 135 9) A barra abaixo esquematizada é homogênea, tem seção constante e tem peso próprio P = 200N. Determine o valor das reações nos apoios. 136 10) A barra abaixo esquematizada é homogênea, tem seção constante, seu comprimento é L = 6m e tem peso próprio P = 50kN. Determine o valor das reações nos apoios. 137 11) A barra abaixo esquematizada é homogênea, de comprimento L = 8 m, tem seção constante e seu peso próprio é P = 100N. Determine o valor das reações nos apoios. 138 12) A barra abaixo esquematizada é homogênea, tem seção constante, seu comprimento é L = 6m e tem peso próprio P = 100N. Determine o valor das reações nos apoios. 139 13) No sistema abaixo em equilíbrio a barra AB, de comprimento L = 8m é homogênea, tem secção constante e peso P = 150N. Determinar a força tensora no fio BC e a reação exercida pelo pino, sobre a barra em A. DADO: P1 = 100N 140 14) No sistema abaixo em equilíbrio a barra AB, de comprimento L = 3m é homogênea, tem secção constante e peso P = 100N, está apoiada na extremidade B sobre uma parede vertical perfeitamente lisa. Determinar a reação exercida pela parede e a reação exercida pelo pino, sobre a barra em A. DADOS: P1 = 50N ; AC = 2m 141 15) No sistema abaixo em equilíbrio a barra AB, de comprimento L = 10m é homogênea, tem secção constante e peso P = 500N, está apoiada na extremidade B sobre uma parede vertical perfeitamente lisa. Determinar a reação exercida pela parede e a reação exercida pelo pino, sobre a barra em A. DADOS: P1 = 200N ; P2 = 300N ; AC = 6m 142 16) No sistema abaixo em equilíbrio a barra AB, de comprimento L = 5m é homogênea, tem secção constante e peso P = 300N. Determinar a força tensora no fio CD e a reação exercida pelo pino, sobre a barra em A. DADOS: P1 = 100N ; AC = 4m 143 PARTE II LABORATÓRIO 144 BARICENTRO OU CENTRO DE GRAVIDADE Se analisarmos um corpo qualquer sob a ação da atração da gravidade , podemos subdividir este corpo em infinitas partes, de maneira que cada parte tenha um infinitesimal de peso. A soma dos pesos infinitesimais de todas essas partes, ou seja, a resultante desses pesos, é o peso total do corpo e o seu ponto de aplicação denomina-se centro de gravidade ou baricentro desse corpo. Pode-se admitir que o corpo se comporta como se seu peso estivesse concentrado num único ponto, o baricentro. O Baricentro de qualquer corpo simétrico, de composição homogênea, coincide com seu centro geométrico. Quando um corpo é apoiado ou suspenso pelo seu baricentro, fica em equilíbrio em qualquer posição em que for abandonado, é o chamado equilíbrio indiferente. PROPRIEDADES DO BARICENTRO 1) Em todo corpo homogêneo que admite um eixo de simetria, o Baricentro obrigatoriamente se situa sobre este eixo. No caso de o corpo admitir dois ou mais eixos de simetria, o Baricentro estará localizado no cruzamento destes eixos. 2) O Baricentro pode corresponder a um ponto localizado fora da massa do corpo. 3) Qualquer que seja a posição ocupada pelo corpo, a linha de ação de seu peso passará pelo Baricentro. 4) Supondo o corpo situado em um campo gravitacional uniforme, o baricentro situa-se sempre na região do corpo aonde se concentra a maior parte de sua massa. 145 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Ao apresentarmos o resultado final de uma medição, só deverão constar nele os algarismos que apresentam um significado nessa medição. Na apresentação de um resultado serão significativos todos os algarismos contados da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero. Por exemplo: O número 37,4372 tem seis algarismos significativos; O número 3,042 tem quatro algarismos significativos; O número 0,00372 tem três algarismos significativos; O número 0,00070 tem dois algarismos significativos; O número 3,4 x 10-8 tem dois algarismos significativos; O número 0,304 tem três algarismos significativos; CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Acabamos de ver que na apresentação de um resultado é comum termos que abandonar alguns algarismos que não mais apresentam significado físico nessa medição. Na eliminação desses algarismos
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