2-Energia no MHS

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Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
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Física
para Universitários
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Área do Professor: No site do Grupo A (www.grupoa.com.br), estão 
disponíveis materiais exclusivos para professores: manual de soluções 
(em inglês) e apresentações em PowerPoint® (em português). 
Física para Universitários utiliza discussões de pesquisas contemporâneas 
e de vários tópicos de energia para apresentar a física como uma ciência 
dinâmica e instigante, com um enorme impacto em todas as outras áreas 
da ciência. Além de mostrar o empolgante mundo da física, Bauer, Westfall 
& Dias utilizam um método inédito de resolução de problemas com sete 
passos para propiciar aos estudantes uma das grandes habilidades que 
eles devem desenvolver em um curso de física: a capacidade de resolver 
problemas e pensar logicamente sobre uma situação.
O terceiro livro de Bauer, Westfall & Dias descreve e explica cuidadosamente inúmeros tópicos, 
entre eles: uma visão geral das características físicas de sólidos, líquidos e gases, a natureza do 
movimento oscilatório, propriedades e o comportamento de ondas, ondas sonoras, conceitos 
de temperatura, calor e entropia. Discute-se também a natureza do calor e os mecanismos de 
transferência de energia térmica, a física dos gases, máquinas térmicas e a teoria de relatividade 
especial. Os autores apresentam o conteúdo conectando-o intimamente com os maiores avanços 
da física atual. O texto é acompanhado de inúmeras imagens, exercícios e exemplos que envolvem o 
estudante universitário com as maravilhas da ciência, da tecnologia e da inovação.
A Bookman Editora é parte do Grupo A, uma empresa 
que engloba diversos selos editoriais e várias 
plataformas de distribuição de conteúdo técnico, 
científico e profissional, disponibilizando-o como, 
onde e quando você precisar. O Grupo A publica com 
exclusividade obras com o selo McGraw-Hill em 
língua portuguesa.
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FÍSICA 
BAUER, WESTFALL & DIAS
Física para Universitários: Mecânica
Física para Universitários: Relatividade, 
Oscilações, Ondas e Calor
Física para Universitários: Eletricidade 
e Magnetismo
Física para Universitários: Ótica e 
Física Moderna
 
COMINS & KAUFMANN III
Descobrindo o Universo, 8.ed.
 
FEYNMAN, LEIGHTON & SANDS
Lições de Física de Feynman: A Edição 
definitiva
 
HEWITT, P.G.
Física Conceitual, 11.ed.
HEWITT, P.G.
Fundamentos de Física Conceitual
 
KNIGHT, R.D.
Física: Uma Abordagem Estratégica, 
2.ed.
Vol. 1 – Mecânica Newtoniana, 
Gravitação, Oscilações e Ondas
Vol. 2 – Termodinâmica e Óptica
Vol. 3 – Eletricidade e Magnetismo
Vol. 4 – Relatividade e Física Quântica
 
PRESS, TEUKOLSKY & COLS.
Métodos Numéricos Aplicados: 
Rotinas em C++, 3.ed.
 
*SAKURAI & NAPOLITANO
Mecânica Quântica Moderna
 *Livros em produção no momento de impressão desta obra, mas que muito em breve estarão à disposição dos leitores em língua portuguesa.
RELATIVIDADE,
OSCILAÇÕES, 
ONDAS 
E CALOR
FÍSICA
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38964_Fisica_Universitarios_Relatividade.indd 1 09/08/12 11:39
B344f Bauer, Wolfgang
 Física para universitários [recurso eletrônico] :
 relatividade, oscilações, ondas e calor / Wolfgang Bauer,
 Gary D. Westfall, Helio Dias ; tradução: Manuel Almeida
 Andrade Neto, Trieste dos Santos Freire Ricci, Iuri Duquia
 Abreu ; revisão técnica: Helio Dias. – Dados eletrônicos. –
 Porto Alegre : AMGH, 2013.
 Editado também como livro impresso em 2013.
 ISBN 978-85-8055-160-0
 1. Física. 2. Princípios da física. 3. Relatividade. 4. Oscila-
 ções. 5. Ondas. 6. Calor. I. Westfall, Gary D. II. Dias, Helio.
 III. Título. 
CDU 530.1
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
56 Física para Universitários – Relatividade, Oscilações, Ondas e Calor
Assim, a solução da equação de movimento de um pêndulo resulta em movimento har-
mônico simples, exatamente como no caso de uma massa presa a uma mola. Todavia, no caso 
do pêndulo – e diferentemente da mola – a frequência independe da massa do objeto oscilante. 
Isso significa que dois pêndulos de massas diferentes, mas iguais no restante, terão o mesmo 
período. A única maneira de alterar o período de um pêndulo – a não ser que o levássemos 
a outro planeta ou para a Lua, onde a aceleração gravitacional é diferente – é por meio da va-
riação de seu comprimento. (De fato, a aceleração gravitacional também apresenta pequenas 
variações na Terra, por exemplo, dependendo da altitude; portanto, o período de um pêndulo 
não é exatamente o mesmo em todo lugar na Terra.)
Para diminuir o período de um pêndulo por um fator 2 é necessário diminuir o compri-
mento do fio a um fator 4. Esse efeito é ilustrado na Figura 2.12, que mostra o movimento dos 
dois pêndulos, sendo um deles quatro vezes maior. Nessa sequência, o pêndulo menor comple-
ta duas oscilações ao mesmo tempo em que o maior completa uma oscilação.
EXEMPLO 2.3 Pêndulo restrito
Um pêndulo de comprimento igual a 45,3 cm está pendurado em um teto. Seu movimento está 
restrito por um pino fixado em uma parede 26,6 cm diretamente abaixo do pivô (Figura 2.13). 
Qual é o período de oscilação? (Note que a especificação da massa é desnecessária.)
SOLUÇÃO
Devemos resolver o problema separadamente para o movimento do lado esquerdo e do lado direi-
to do pino. Para o lado esquerdo, o pêndulo oscila com seu comprimento total, �1 = 45,3 cm. Para 
o lado direito, ele oscila com um comprimento reduzido, �2 = 45,3 cm – 26,6 cm = 18,7 cm. Em 
ambos os lados, ele efetua exatamente de oscilação total. Assim, o período total do pêndulo é a 
metade da soma dos dois períodos determinados com os diferentes comprimentos:
2.3 Trabalho e energia em oscilações harmônicas
Nesta seção, analisaremos as energias associadas ao movimento de uma massa presa a uma 
mola. Depois, veremos que quase todos os resultados são aplicáveis a um pêndulo também, 
mas precisamos corrigir o erro introduzido pela aproximação de pequenos ângulos que usa-
mos para resolver a equação diferencial do movimento pendular.
Figura 2.12 Sequência de vídeo da oscilação de dois pêndulos cujos comprimentos estão em uma razão 4:1.
Você dispõe de um pêndulo que 
oscila com período T na Terra. 
Você o leva para a Lua. Qual será 
o período do pêndulo na Lua em 
função de seu período na Terra?
2.3 Pausa para teste
26,6 cm
45,3 cm
Figura 2.13 Pêndulo restrito.
Um relógio de pêndulo marca 
o tempo usando um pêndulo 
formado por uma haste ligada a 
uma massa pequena e pesada. 
Qual deveria ser o comprimento 
da haste para que o período das 
oscilações fosse de 1,00 s?
a) 0,0150 m. d) 0,439 m.
b) 0,145 m. e) 0,750 m.
c) 0,248 m.
2.3 Exercícios
de sala de aula
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Capítulo 2 Oscilações 57
Massa presa a uma mola
Sabemos que a energia armazenada em uma mola, Um é dada por
Um = kx
2,
onde k é a constante elástica da mola e x é o seu deslocamento em relação à posição de equi-
líbrio. Também sabemos que a energia mecânica total de uma massa presa a uma mola que 
oscila com amplitude A é dada por
E = kA2.
A conservação da energia mecânica total significa que essa expressão fornece o valor da ener-
gia em qualquer ponto da oscilação. Usando o princípio de conservação da energia, podemos 
escrever
 kA2 = mv2 + kx2.
Depois, isolamos a velocidade em função da posição:
 
(2.16)
As funções v(t) e x(t) dadas pelas equações 2.16 descrevem a oscilação como função do tempo 
de uma massa presa a uma mola.Podemos usar essas funções para verificar a relação entre a 
posição e a velocidade expressa pela equação 2.16, que havíamos obtido a partir da conserva-
ção da energia. Desse modo, podemos verificar diretamente se esse novo resultado é consisten-
te com o que obtivemos antes. Primeiro, calculamos A2 – x2:
Multiplicando ambos os lados por �0
2 = k/m, obtemos
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados dessa equação, obtemos a mesma equação para a 
velocidade que havíamos encontrado usando argumentos de energia, a equação 2.16.
A Figura 2.14 ilustra as oscilações da energia cinética e da energia potencial em função do 
tempo para uma massa que oscila presa a uma mola. Como é possível ver, 
mesmo que a energia cinética e a potencial oscilem com o tempo, sua soma 
– a energia mecânica total – mantém-se constante. A energia cinética sem-
pre atinge seu máximo quando o deslocamento é nulo, enquanto a energia 
potencial atinge seu mínimo para a elongação máxima da mola em relação 
ao seu ponto de equilíbrio.
Os vetores posição, a velocidade e a aceleração de uma massa presa a 
uma mola que descreve um movimento harmônico simples são mostrados 
na Figura 2.5. A Figura 2.15 reproduz essas figuras, mas mostra também 
as energias potencial e cinética (U e K) correspondentes a cada posição. 
Na Figura 2.15a, o bloco é solto a partir do repouso da posição x = A. Nes-
se ponto, toda a energia do sistema está armazenada na forma de energia 
potencial da mola, e o bloco não possui energia cinética. Ele então acelera 
para a esquerda. Em x = A/ , mostrado na Figura 2.15b, a energia poten-
cial armazenada na mola e a energia cinética do bloco são iguais. Na Figu-
ra 2.15c, o bloco atinge a posição de equilíbrio da mola, x = 0, ponto para o 
qual a energia potencial da mola é nula e o bloco tem sua máxima energia 
cinética. Ele continua se movendo, passa pela posição de equilíbrio e, na 
Figura 2.15d, encontra-se em x = –A/ . Novamente, a energia potencial 
da mola e a energia cinética do bloco têm o mesmo valor. Na Figura 2.15e, 
o bloco encontra-se em x = –A, onde a energia potencial armazenada na 
(a)
(b)
t
E
E � U(t) � K(t)
t
x
Figura 2.14 Oscilação harmônica de uma massa presa a 
uma mola: (a) deslocamento em função do tempo (o mesmo 
da Figura 2.2); energia potencial e energia cinética em fun-
ção do tempo, em uma mesma escala.
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58 Física para Universitários – Relatividade, Oscilações, Ondas e Calor
mola atinge seu máximo valor e a energia cinética do bloco é nula. O bloco retorna a x = –A/ 
na Figura 2.15f e, novamente, a energia potencial da mola é igual à energia cinética do bloco. 
Na Figura 2.15g, o bloco encontra-se em x = 0, onde a energia potencial da mola é nula e a 
energia cinética do bloco está em seu máximo. Ele prossegue e passa pela posição de equilíbrio 
e atinge x = A/ na Figura 2.15h, e, novamente, a energia potencial da mola se iguala à energia 
cinética do bloco. E ele volta à posição original na Figura 2.15a.
Energia de um pêndulo
Na Seção 2.2, a dependência do ângulo de inclinação de um pêndulo com o tempo é 
, se as condições iniciais de inclinação máxima e velocidade nula no ins-
tante zero, �(t = 0) = �0, forem conhecidas. Podemos, então, obter a velocidade linear em cada 
instante de tempo tomando a derivada, d�/dt = �, e multiplicando-a pelo raio do círculo, �:
Uma vez que , podemos inserir a expressão para o ângulo de inclinação em 
função do tempo nessa relação para a velocidade e obter a velocidade do pêndulo em função 
do ângulo:
 (2.17)
U K
U K U K
U K
U K
U K
U KU K
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
a
x
A0�A
v
a
x
A0�A
v
a
x
A0�A
a
x
A0�A
v
a
x
A0�A
v
a
x
A0�A
v
x
A0�A
v
x
A0�A
Figura 2.15 Vetores posição, veloci-
dade e aceleração de uma massa pre-
sa a uma mola (como na Figura 2.5), 
com a energia potencial e a cinética 
indicadas para cada posição.
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Capítulo 2 Oscilações 59
Qual é a energia do pêndulo? No instante zero, o pêndulo possui apenas energia potencial 
gravitacional. Podemos atribuir o valor nulo para a energia potencial no ponto mais baixo do 
arco. Conforme a Figura 2.16, a energia potencial correspondente à inclinação máxima, �0, é
E = K + U = 0 + U = mg�(1 – cos �0).
Isso também fornece o valor da energia mecânica total, porque por definição o pêndulo tem 
energia cinética nula no ponto de máxima inclinação, da mesma forma como uma mola faz. 
Para qualquer outra inclinação, a energia será a soma das energias cinética e potencial:
E = mg� (1 – cos �) + mv2.
Combinando as duas equações anteriores para E (porque a energia total é conservada), chega-
mos a
Isolando o módulo da velocidade, obtemos
 (2.18)
A equação 2.18 é uma expressão exata para a velocidade do pêndulo em qualquer ângulo 
�, que obtivemos quase que diretamente e sem a necessidade de resolver uma equação dife-
rencial. Essa equação, entretanto, não coincide com a equação 2.17, que foi obtida resolvendo 
uma equação diferencial. Para ângulos pequenos, podemos aproximar cos � ≈ 1 – �2 + . . . , 
de modo que a equação 2.17 é um caso especial da equação 2.18. Nossa derivação da equa-
ção 2.18 usando considerações de energia não fez uso da aproximação para pequenos ângu-
los e, portanto, ela é válida para todos os valores de ângulo. Entretanto, as diferenças entre 
os valores obtidos com as duas equações são muito pequenas, como você pode verificar na 
Figura 2.17.
EXEMPLO 2.4 Velocidade de uma trapezista
PROBLEMA
Uma trapezista de circo inicia seu movimento partindo do repouso com a corda formando um 
ângulo de 45° com a vertical. A corda tem 5,00 m de comprimento. Qual será a velocidade da 
trapezista no ponto mais baixo da trajetória?
SOLUÇÃO
A condição inicial é �0 = 45° = �/4. Estamos interessados em obter v(� = 0). Aplicando a conser-
vação da energia, usamos a equação 2.18:
Inserindo os valores numéricos, temos
Com a aproximação de pequenos ângulos, obtemos Esse valor está 
próximo do resultado exato, mas para muitas aplicações ele não é suficientemente preciso.
v
� � cos �
� sen �
� (1�cos �)
�
Figura 2.16 A geometria de um pên-
dulo.
�
v(�)(m/s)
3
2
1
Cálculo para 
ângulo pequeno
Cálculo exato
�
4
�
4
�
6
�
6
�
12
�
12� � �
Figura 2.17 Comparação entre os 
valores de velocidade de um pêndulo 
(com comprimento de 1 m) em função 
do ângulo de inclinação, calculados 
com a aproximação de pequenos ân-
gulos (curvas vermelhas) e a fórmu-
la exata baseada na conservação da 
energia (curvas azuis). Os três con-
juntos de curvas correspondem a ân-
gulos iniciais de 15°, 30° e 45° (da 
mais interna para a mais externa).
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