Ajuste de Funções: Método dos Mínimos Quadrados

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Ajuste de Funções. 
 
 
 Em geral se aplica a um conjunto de dados experimentais: 
{( x 0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ... , (xn , yn )}, e deseja-se obter a lei y = f(x) 
que relaciona x com y e a partir dela, calcular y para um certo x que 
não dos dados experimentais. O ajustamento traduz um 
comportamento médio (extrapolação com certa margem de 
segurança). 
 Para um conjunto de vários elementos a seleção da 
aproximação dos dados por interpolação pode ocupar muita memória 
e tempo de processamento. 
 Embora não conheçamos a função que originou os 
dados, pela origem do problema podemos saber o tipo da função que 
estabelece a relação entre x e y. 
 
Critérios para a medida da qualidade de Ajuste. Método dos 
mínimos quadrados- Outros Nomes: Análise de Regressão, 
Suavização Dados, Otimização Linear. 
 
 No caso do ajuste de dados, o técnica dos mínimos 
quadrados é utilizada no cálculo de um conjunto de constantes c j de 
uma função f * que aplicada a uma função f, desconhecida, da forma: 
f * (x) = c c1 1 nf f( ) ( )x xn+ +K 
observe que as constantes desconhecidas c j aparecem linearmente, 
embora as funções básicas f 1 , ... , f n possam ser funções não 
lineares em x. 
 
 
 
 A escolha de f 1 , ... , f n é de acordo com a natureza do 
problema (dados experimentais e pode não ser fácil escolhe-las de 
modo a ter uma solução razoável). Então 
 
R = 
j
m
=
å
1
 [ y i - f *( xi ) ]2 
onde R seja mínima. 
 R = R (c1 , ... , cm ) e portanto passarão por um mínimo 
quando as m derivadas parciais se anularem simultaneamente, ou seja, 
teremos: 
 
¶
¶
¶
¶
R
c
f x y
f x
cj
i i
i
m
i
j
= - º
=
å2 0
1
[ ( ) ]
( )*
*
 
para j =1, ... ,n (são mínimos pois a função [f * ( xi ) - yi ] 2 é uma 
grandeza sempre positiva), com 
 
¶
¶
f
f x
c
xi
j
j i
* ( )
( )= 
 
j = 1, ... ,n ; i = 0,1, ... , m ; m £ n. 
 
 Note que temos um sistema de n equações algébricas 
lineares e n incógnitas c1 , ... , cm ; são denominadas de equações 
normais, portanto 
 
 
 
A C A C A C B
A C A C A C B
A C A C A C B
n n
n n
n n mn n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =
+ + + =
+ + + =
ì
í
ïï
î
ï
ï
K
K
M
K
 
 
\ A Akj jk= 
A x xkj j k i k
k
m
=
=
åf f( ). ( )
1
 
C = ( C C Cn
T
1 2, , , )K ; 
 
B = (B B B1 2 n, , , )K
T
 
 
B i =
=
å f x xk i k
k
m
( ). ( )f
1
 
 
 Demonstra-se que se as funções escolhidas, 
f f f1 2( ), ( ), , ( )x x xnK , forem linearmente independentes, o 
determinante da matriz A é diferente de zero e, portanto, o sistema 
linear admite solução única: c c cn1 2, , ,K . Ainda mais, 
demonstra-se também que esta solução c c cn1 2, , ,K é o 
ponto em que a função f( c c cn1 2, , ,K ) atinge seu valor mínimo. 
 
 
 
 
Exemplo 1: Considere a tabela 
 
x -1.0 -1.75 -0.6 -0.5 -0.3 0.0 0.2 0.4 0.5 0.7 1 
f(x) 2.05 -1.153 0.45 0.4 0.5 0.0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05 
 
feito o diagrama de dispersão, deve ser ajustada por uma parábola 
passando pela origem, ou seja, f(x) » j(x) = a x 2 (neste caso 
temos apenas uma função f(x) = x 2 ). 
 
 Temos pois de resolver apenas a equação 
 
f f( ). ( )x xk k
k =
å
1
11
 a = f x xk k
k
( ). ( )f
=
å
1
11
 
f ( )xk
k
2
1
11
=
å a = f x xk k
k
( ). ( )f
=
å
1
11
 
( )xk
k
2 2
1
11
=
å a = x f xk k
k
2
1
11
. ( )
=
å 
 
Usando a tabela com )()()()( kkkk xfxgxgxg : temos 
 
06442.2
8464.2
8756.5 ==a 
 
 Logo f(x) » 2.0642 2x sendo esta párabola a que 
melhor se aproxima no sentido dos minimos quadrados a função 
tabelada. 
 
Se tratar-se de caso não-linear 
xey 21
aa -= tem-ser 
aplicando log dos dois lados que 
BXaY += 
onde yY ln= 1lna=a , 22 a=a 
daí o metodo pode sr aplicado na resoluçãso do problema 
linearizado.