Questão resolvida - Dada a equação x²+xy³=(x+y)², encontre a equação da reta tangente no ponto (1,2) - Cálculo I - UEM

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dada a equação , encontre a equação da reta tangente no ponto x² + xy³ = x + y ²( )
(1,2).
 
Resolução:
 
A reta tangente a uma curva é dada por: y = f' x x + b( )
 é o coeficiente angular da reta tangente à curva , a função é dada implicitamente, f' x( ) f x( )
fazendo a derivada, temos:
 
x² + xy³ = x + y ² 2x + y + 3xy ⋅ y' = 2 x + y ⋅ 1 + y'( ) → 3 2 ( ) ( )
 
3xy ⋅ y' - 2 x + xy' + y + yy' = - 2x - y 3xy ⋅ y' - 2x - 2xy' - 2y - 2yy' = - 2x - y2 ( ) 3 → 2 3
 
3xy ⋅ y' - 2xy' - 2yy' = 2x - 2x + 2y - y y' ⋅ 3xy - 2x - 2y = 2y - y2 3 → 2 3
 
y' x, y =( )
2y - y
3xy - 2x - 2y
3
2
Substituindo o ponto 1, 2 em f' x, y = y' x, y teremos o coeficiente angular da reta( ) ( ) ( )
tangente à curva;
 
y' 1, 2 = = = = =( )
2 ⋅ 2 - 1
3 ⋅ 1 ⋅ 2 - 2 ⋅ 1 - 2 ⋅ 2
( )3
( )2
4 - 1
3 ⋅ 4 - 2 - 4
3
12 - 6
3
6
1
2
 
 
y = x + b, para encontrar o valor de b substituimos o ponto 1, 2 ;
1
2
( )
 
2 = ⋅ 1 + b 1 = + b b = 1 - b = b =
1
2
→
1
2
→
1
2
→
2 - 1
2
→
1
2
 
Finalmente a reta tangente fica :
 
y = x+
1
2
1
2
 
 
(Resposta )