esferas, superfícies, volume e área

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Esfera, Superfícies esféricas e Sólidos Esféricos 
Geometria Euclidiana 
2021
I. Definição;
II. Demonstrações das fórmulas de área e volume; 
III. Aplicações.
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Definições Iniciais 
Esfera
Consideremos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja menor ou igual a r.
A esfera é também o sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.
Superfície
Chama-­se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual a r.
A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo.
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Seção
Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo máximo da esfera. Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e s o raio da seção, vale a relação:
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Polos: são as interseções da superfície com o eixo.
Equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície.
Paralelo: é uma seção (circunferência) perpendicular ao eixo. É "paralela" ao equador.
Meridiano: é uma seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.
E L E M E N T O S 
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Distância Polar 
Distância polar é a distância de um ponto qualquer de um paralelo ao polo.
P.S: em alguns casos é possível usar o teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias  visto que as distâncias aos polos formam com o diâmetro da esfera um triângulo equilátero.
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ÁREA DA ESFERA
Dedução da formula da área da Esfera 
Com essa expressões das áreas deduzimos: lateral do cilindro,
superfície esférica, lateral do cone.
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ÁREA DA ESFERA
ÁREA DA ESFERA 
E dada por A = 4 
Demonstração da Área da Esfera
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Uma secção feita numa esfera por um plano alfa é um círculo de perímetro 2 π cm. A distância do centro da esfera ao plano alfa é 2 cm. Calcule a medida r do raio da esfera.
Se o comprimento (ou perímetro do circulo) é igual a 2 . π, então:
Raio( r ) 2 . π . r =
2 . π
r = 1cm
Calculamos o raio da secção. Agora para calcular o raio ( R ) da esfera,
devemos usar o teorema de Pitágoras relacionando o raio da secção, raio 
da esfera e a distância entre o centro da esfera e o plano alfa que secciona a esfera.
R² = 1² + (2)²
R² = 1 + 4
 = 
R = 3 cm
Questão 1 - R E S O L U Ç Ã O 
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Questão 2 - R E S O L U Ç Ã O 
Determinar a área do círculo da esfera cujas distâncias polares são de 5 cm e 3 cm. 
Na figura observamos que o triângulo P'SP está inscrito em uma semicircunferência e sua hipotenusa é igual ao diâmetro, logo ele é retângulo.
D²=3²+5²
D²=9+25
D²=34
D=√34
r= altura
3= cateto menor
5= cateto maior
D= hipotenusa
Das relações métricas (ah=bc) em 
um triângulo retângulo (PSP’) :
D.R = 3.5
√34.r = 15
r= 15/√34
Continuação 
S=π . r²
S=π . (15/√34)²
S =225 π /34 cm²
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VOLUME DA ESFERA
Consideremos um cilindro equilátero de raio da base r (a altura é 2r) e seja So ponto médio do eixo do cilindro. Tomemos dois cones tendo como bases as do cilindro e S como vértice comum (a reunião desses dois cones é um sólido chamado clépsidra).Ao sólido que está dentro do cilindro e fora dos dois cones vamos chamar de sólido X (este sólido X é chamado anticlépsidra).
Continua...
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Consideremos agora uma esfera de raio r e o sólido X
Suponhamos que a esfera seja tangente a um plano alfa que o cilindro (que originou o sólido X) tenha base em a e que os dois sólidos, esfera e sólido X, estejam num
mesmo semi espaço dos determinados por alfa. Qualquer plano secante beta paralelo a alfa, distando d do centro da esfera (e do
vértice do sólido X), também secciona o sólido X. Temos:
Continua...
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Área da seção na esfera= – Círculo 
Área da seção no sólido X = - coroa circular;
As área das seções na esfera e no solido X são iguais; então, pelo princípio de Cavalieri, a esfera e o sólido X tem volumes iguais:
.
Concluímos que o volume de uma esfera de raio r é 
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Questão 2 - (Quadrix) Em um centro gastronômico da cidade de Corumbá, a massa para a preparação de um delicioso brigadeiro é feita em panelas cilíndricas, com 16 cm de altura e 20 cm de diâmetro, e não há nenhum desperdício de material. Todos os brigadeiros produzidos são perfeitamente esféricos, com raio igual a 2 cm.
Nesse caso hipotético, com uma panela completamente cheia de massa para brigadeiro, será possível produzir:
A) 150 doces.
B) 140 doces.
C) 130 doces.
D) 120 doces.
E) 110 doces.
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Primeiro é necessário calcular o volume do cilindro e o volume de cada brigadeiro, que possui formato de esfera. Depois, basta calcular a divisão entre eles.
ATENÇÃO : o diâmetro é 20 cm, logo o raio é 10 cm.
Vcilíndro = πr² · h
Vcilíndro = π · 10² · 16
Vcilíndro = π · 100 · 16
Vcilíndro = 1600π
Agora calculando a divisão entre o volume do cilindro e o volume da esfera, encontramos a quantidade de doces que podem ser produzidos:
R E S O L U Ç Ã O – Questão 3 
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Questão 3 -(UEG GO/2018) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico circular reto com 8 metros de diâmetro e teto no formato de hemisfério. Sabendo-se que a empresa responsável por construir o teto cobra R$ 300,00 por m2, o valor para construir esse teto esférico será de:
Use PI = 3,1
a) R$ 22.150,00
b) R$ 32.190,00
c) R$ 38.600,00
d) R$ 40.100,00
e) R$ 29.760,00
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R E S O L U Ç Ã O – Questão 4
Calculando a área A do teto do reservatório, temos:
A = 4.π.R2/2 = 
A= 4.π.42/2 = 32.π 
 A= 32 . 3,1 ≈ 99,2 m2
Portanto, o valor pedido para a construção deste teto será:
99,2 . R$ 300,00 = R$ 29.760,00 
Teto
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FUSO E CUNHA
Fuso Esférico
É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O ângulo a, medida do diedro, medido na seção equatorial, é o que caracteriza o fuso.
Área do Fuso 
Sendo alfa a medida do diedro, temos: 
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É a interseção de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja aresta contém o diâmetro
da esfera. A cunha é caracterizada pelo raio da esfera e pela medida do diedro.
Volume da cunha 
Sendo a alfa medida do diedro, temos:
CUNHA ESFÉRICA 
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QUESTÃO 5 - De uma esfera de raio 10 cm retira-se uma cunha de 30°. Pretende-se colorir a superfície dessa cunha. Calcule o volume de tinta necessário, em litros, sabendo que se gasta 1 cm³ por cm² da superfície. Considere π = 3.
Percebam que a cunha esférica é composta de uma "casca" (que é o fuso), 
parte em azul claro e duas faces, em azul escuro.
A área superficial da cunha será:
 
Lembremos que a área superficial da esfera é dada por:
 
Como o ângulo da cunha é 30° , a área em azul escuro será: 
A face, em azul claro, é uma semi circunferência de raio 10 cm e como há duas faces em azul claro, sua área será a mesma de uma circunferência de raio 10 cm.
A = 3.10² = 300 cm² 
Portanto, a área da cunha será: 100 + 300 = 400 cm².
Necessito, então de 400 cm³ de tinta ou 0,4 litros para sua pintura.
Questão 5 - R E S O L U Ç Ã O 
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Referências 
DOLCE, Osvaldo. Fundamentos de matemática elementar, 10 : geometria espacial, posição emétrica / Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo. — 7. ed. — São Paulo : Atual, 2013. p. 241-257. 
Esfera: elementos, inscrição e circunscrição -. Disponível em: https://descomplica.com.br/artigo/esfera-elementos-inscricao-e-circunscricao/4Kz/. Acesso em 16 de set. de 2021. 
Esferas – Questão 4. Disponível em: https://cursoenemgratuito.com.br/esfera/. Acesso em 16 de set. de 2021. 
 Esferas - Cunha Esférica- Questão 5. Disponível em: https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=49751. Acesso em 20 de set. de 2021.
Geometria Espacial – Esferas- Questão 3 Disponível em: https://www.proenem.com.br/enem/matematica/geometria-espacial-esferas/. Acesso em 16 de set. de 2021. 
 
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