Aula 24 - Isomorfismo

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Isomorfismo
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). 
Notação: 
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Automorfismo
Definição: Dizemos que um isomorfismo entre espaços vetoriais reais é um automorfismo se os espaços são iguais, ou seja, T é um isomorfismo de um espaço nele mesmo.
Proposição: Dado um isomorfismo sua transformação inversa é também um isomorfismo. 
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Resultados Importantes
Proposição: Dados dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão, então a transformação linear dada a seguir é um isomorfismo entre eles. 
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Resultados Importantes
Teorema: Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se e somente se 
Exercícios: Transformações Lineares II
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Operações com Transformações Lineares 
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais, definimos o conjunto das trans-formações lineares entre eles por:
Observação: Se os espaços vetoriais reais são iguais então
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Operações com Transformações Lineares 
Adição: Dados dois elementos do conjunto das transformações lineares entre espaços vetoriais reais, definimos:
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Propriedades da Adição 
P1) Associativa 
P2) Comutativa 
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Propriedades da Adição 
P3) Elemento Neutro 
P4) Elemento Oposto 
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Operações com Transformações Lineares 
Multiplicação por escalar:
 Denominamos de produto escalar de uma transformação linear à seguinte função: 
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Propriedades da Multiplicação por escalar 
P1) 
P2)
P3)
P4)
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Novo Espaço Vetorial 
Das considerações anteriores temos um novo espaço vetorial real, com as operações de adição e multiplicação por escalar como definidas:
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Operações com Transformações Lineares 
Composição: Dados dois elementos do conjunto dos operadores lineares, definimos a composição como sendo:
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Propriedades da Composição 
P1) Associativa 
P2) Distributiva 
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Propriedades da Composição 
P3) Elemento Neutro
Obs: Em geral, a composição não é comutativa. 
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Operações com Transformações Lineares 
Potenciação: definimos a Potenciação por recorrência do seguinte modo:
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Operadores Especiais
Operador Idempotente:
 
Operador Nilpotente:
 
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Matriz de uma Transformação Linear
Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles temos:
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Assim
É dita Matriz da Transformação Linear T em relação às bases B e G
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Isomorfismo Especial
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais, com dimensões n e m. 
Existe um isomorfismo tal que: