Coordenadas e Mudanca de Base

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Coordenadas
Definição: Diz-se que uma base é ordenada se a ordem dos vetores é fixada. 
Proposição: Dada uma base ordenada para o espaço vetorial, cada vetor dele é escrito de maneira única como combinação linear dos elementos dessa base. 
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Coordenadas
Definição: Dados uma base ordenada para um subespaço vetorial real e um vetor do subespaço, chamamos de coordenadas do vetor com relação à base, aos escalares únicos da combinação linear. 
Notação:
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Exercícios
Exercício 05: Dados os vetores abaixo, determine as coordenadas de cada um deles em relação às bases dadas em cada caso:
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Mudança de Base
Sejam e 
duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial . 
Dado um vetor , ele pode ser escrito das seguintes formas:
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Mudança de Base
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Mudança de Base
Como B é base, cada vetor da base D pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base B, ou seja: 
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Substituindo (3) em (2) temos: 
Bases
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Reagrupando (4) de modo a compará-lo com (1) temos: 
Bases
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Comparando os vetores de (1) e (4) temos: 
Bases
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Assim de (6) temos:
Coordenadas do vetor na Base B
Coordenadas do vetor na Base D
Matriz Mudança de Base de D para B
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Exercício
01: Considere as bases ordenadas B e C, determine as três matrizes abaixo:
e
Bases Ordenadas
Base Canônica do Plano Cartesiano
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Proposição: Se a matriz de mudança da base para a base ordenada é a matriz dada por e a matriz de mudança da base para a base 
 é a matriz dada por 
Então temos: 
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Observações
1)
2) 
3)
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Exercício
Exerc. 02: Determine a matriz mudança da base B para a base canônica C do espaço vetorial dado, e sua inversa, em cada caso:
A) 
B)
C)