capitulo-6-Transformacoes-Linears-e-Matrizes

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CAPÍTULO 6 : TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MA-
TRIZES
1 Exemplos básicos de matriz de uma transformação linear
Exemplo 1.1. Sejam o espaço vetorial R2 com a base canônica B1 = {e1 = (1, 0), e2 =
(0, 1)} e o espaço vetorial R3 com a base canônica B2 = {v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 =
(0, 0, 1)}. Seja a transformação linear
T (x, y) = (x− 3y, 3x+ 5y,−x+ y). (1)
Aos vetores u = (x, y) e v = (x − 3y, 3x + 5y,−x + y) vamos associar duas matrizes
colunas, denotada por [u] e [v], :
[u] =
[
x
y
]
e [v] =
 x− 3y3x− 5y
−x+ y
 .
Assim, a transformação T pode tomar aseguinte forma matricial: x− 3y3x− 5y
−x+ y
 =
 1 −33 5
−1 1
 . [ x
y
]
= M3×2.
[
x
y
]
.
A matriz M3×2 =
 1 −33 5
−1 1
 é chamada de matriz que representa T em relação
às bases canônicas B1 = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} e B2 = {v1 = (1, 0, 0), v2 =
(0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1)} ou matriz de T em relação às bases B1 e B2.
Como as bases B1 = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} e B2 = {v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 =
(0, 0, 1)} tem um papel importante para conseguir a representação matricial da transfor-
mação T , podemos esclarecer essa relação como o seguinte. Como todo vetor qualquer
u = (x, y) de R2 pode ser escrito sobre a forma matricial [u] =
[
x
y
]
, deduzimos, das
propriedades das matrizes, a seguinte combinação linear:[
x
y
]
= x
[
1
0
]
+ y
[
0
1
]
ou seja [u] = x[e1] + y[e2]. (2)
Logo, utilizando a propriedade de a transformação ser linear, temos que
T (u) = T
(
xe1 + ye2
)
= xT (e1) + yT (e2).
Calculamos T (e1) e T (e2) pela fórmula dada da transformação linear T , e duduzimos
as matrizes colunas [T (e1)] e [T (e2)]:
[T (e1)] =
 13
−1
 e [T (e2)] =
 −35
1
 . (3)
1
Concluimos que
x
 13
−1
+ y
 −35
1
 =
 1 −33 5
−1 1
[ x
y
]
= M3×2.
[
x
y
]
= M3×2[u]. (4)
Assim, deduzimos que as colunas da matriz M3×2, associada a T , são as matrizes colunas
[T (e1)], [T (e2)] associados aos vetores T (e1), T (e2) ∈ R3 (e portanto 2 colunas com 3
componentes cada, ou seja, 2 colunas com 3 linhas).
Desta forma, associamos uma matriz de ordem 3× 2 à transformação linear T : R2 →
R3. O procedimento que aplicamos acima não é particular do exemplo que analisamos,
de modo que é sempre posśıvel associar a uma transformação linear T : Rn → Rm uma
matriz MT de ordem m× n, chamada matriz canônica associada à transformação linear
T ou apenas matriz associada a T , cujas colunas são as matrizes colunas [T (e1)], [T (e2)],
...,[T (e1)], [T (en)] dos vetores T (e1), T (e2), . . . , T (en) ∈ Rm (e portanto n colunas com m
componentes cada, ou seja, n colunas com m linhas).
Exemplo 1.2. Seja o espaço vetorial R3 com a base canônica B = {e1 = (1, 0, 0), e2 =
(0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}. Seja transformação linear T : R3 → R3, T (u) = 5u, então temos:
[T (e1)] = [5e1] =
 50
0
 , [T (e2)]B = [5e2] =
 05
0
 e [T (e3)]B = [5e3] =
 00
5
 .
(5)
Assim, para todo vetor u = (x1, x2, x3), podemos escrever
[T (u)]B =
 5 0 00 5 0
0 0 5
 .C (6)
Exemplo 1.3. O método acima pode também ser aplicado para conseguirmos uma fórmula
para transformações lineares da geometria. Vamos considerar a transformação geometrica
do plano definida por
T (~x) = rotação no sentido anti-horário de ~x por um ângulo θ ∈ (0, 2π). (7)
A essa transformação geometrica associamos a transformação linear T : R2 → R2, onde
o espaço vetorial R2 é munido da base canônica. A matriz da transformação linear T tem
por colunas a imagem por T dos vetores ~e1 e ~e2. Observamos que:
[T (~e1)] =
[
cos θ
sin θ
]
, [T (~e2)] =
[
− sin θ
cos θ
]
. (8)
Logo, concluimos que para todo vetor ~u = xe1 + ye2, temos:
[T (~u)] =
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
] [
x
y
]
. (9)
2
2 Matriz de uma transformação linear
Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre R de dimensões finitas n e m. Sejam A =
{v1, v2, ..., vn} uma base de V e B = {w1, w2, ..., wm} uma base de W . Seja T : U −→ V ,
uma transformação linear. Como B é uma base de W , podemos determinar de modo único
números reais aij, com 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m, tais que:
T (vi) = a1iw1 + a2iw2 + ...+ amiwm.
Assim, para todo v = k1v1 + k2v2 + ...+ knvn, temos:
T (v) = k1T (v1) + k2T (v2) + ...+ knT (vn),
Logo, temos:
T (v) = k1(a11w1 + a21w2 + ...+ am1wm) + ...+ kn(a1nw1 + a2nw2 + ...+ amnwm)
ou seja,
T (v) = (a11k1 + ...+ a1nkn)w1 + ...+ (am1k1 + ...+ amnkn)wm.
Logo, temos a seguinte forma vetorial da transformação linear T :
[T (v)]B =
 a11k1 + ...+ a1nkn...
am1k1 + ...+ amnkn
 =
 a11 ... a1n... ... ...
am1 ... amn
 .
 k1...
kn

Notação:
[T ]AB = M
A
B =
 a11 ... a1n... ... ...
am1 ... amn
 .
Em resumo, temos a seguinte proposição.
Proposição 2.1. Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre R de dimensões finitas n e
m. Sejam A = {v1, v2, ..., vn} uma base de V e B = {w1, w2, ..., wm} uma base de W .
Seja T : V −→ W , uma transformação linear. Então, associamos a T a matriz [T ]AB ou
MAB , de ordem m × n, cuja j-ésima coluna é a matriz coluna [T (ej)]B é formada pelas
coordenadas do vetor T (ej), que tem a seguinte propriedade: para tudo v ∈ V ,temos:
[T (v)]B = [T ]
A
B.[v]A,
onde [v]A e [T (v)]B são as matrizes colunas associadas aos vetores v e T (v), respectiva-
mente, às bases A e B. Além disso, [T ]AB é a única matriz com essa propriedade.
Definição 2.2. A matriz [T ]AB que representa T em relação às bases A e B, é chamada de
matriz de T nas bases A e B.
Assim, a representação matricial da transformação linear T , é dada pela expressão:
[T (v)]B = M
A
B .[v]A ou [T (v)]B = [T ]
A
B.[v]A para todo v ∈ V.
3
Observamos que a matriz [T ]AB (ou M
A
B ) é de ordem m× n.
Se T é um operador linear e considerarmos as duas bases são mesmas A = B, então
diremos apenas matriz de T em relação à base B para indicar a matriz acima definida e
usaremos a notação [T ]B a matriz que representá o operador linear T .
Quando não haja dúvidas quanto aos bases A e B que estamos considerando escreve-
remos apenas [T ] para indicar a matriz da transformação linear T em relação a esse duas
bases.
Procedimento: O procedimento para calcular a matriz de uma transformação linear T :
V −→ W , em relação às bases A = {v1, v2, ..., vn} e B = {w1, w2, ..., wm} para V e W ,
respectivamente.
Etapa 1. Calcule T (vj), j = 1, 2, ..., n.
Etapa 2. Encontrar as coordenanas do vetor T (ej) em ralação a base B, isto é, expressar T (vj)
como combinação linear dos vetores da base B. Deduzir a matriz coluna [T (vj)]B,
em relação a base B.
Etapa 3. A matrize [T ]AB de T em relação a A e B, é obtida tomando-se [T (vj)]B como j-ésima
coluna da matriz [T ]AB.
Exemplo 2.3. Seja a transformação linear T : R3 −→ R2 definida por T (x, y, z) = (x +
y, y − z).
Sejam A = {v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1)} e B = {w1 = (1, 0), w2 =
(0, 1)} as bases canônicas de R3 e R2. Assim, como a base canônica B é a base padrão,
temos:
T (v1) = (1, 0), T (v2) = (1, 1), T (v3) = (0,−1).
Logo, temos as matrizes colunas:
[T (v1)]B =
[
1
0
]
, [T (v2)]B =
[
1
1
]
, [T (v3)]B =
[
0
−1
]
.
Portanto, a matriz de T em relação às bases A e B é dada por:
[T ]AB =
[
1 1 0
0 1 −1
]
.
Exerćıcio 2.4. Seja a transformação linear T : R2 −→ R3 definida por T (x, y) = (x +
y, 2x − y,−x + y). Sejam A = {v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)} e B = {w1 = (1, 0, 0), w2 =
(0, 1, 0), w3 = (0, 0, 1)} e as bases canônicas de R2 e R3.
Determine a matriz da transformação linear T em relação às bases A e B.
Exemplo 2.5. Determine a matriz da transformação linear T : R3 −→ R2 dada por
T (x, y, z) = (x + y, y + z), em relação às bases A = {v1 = (1, 0, 0); v2 = (0, 1, 0); v3 =
0, 0, 1)} e B = {w1 = (1, 0);w2 = (1, 1)}.
Temos:
T (v1) = (1, 0) = 1.w1+0.w2, T (v2) = (1, 1) = 0.w1+1.w2, T (v3) = (0, 1) = −1.w1+w2.
4
Para T (v3), podemos verificar que T (v3) = (0, 1) = (−1 + 1, 1) == (−1, 0) +(1, 1) =
−1.w1 + w2. Logo, obtemos as matrizes colunas:
[T (v1)]B =
[
1
0
]
, [T (v2)]B =
[
0
1
]
, [T (v3)]B =
[
−1
1
]
.
Portanto, a matriz de T em relação às bases A e B é dada por:
[T ]AB =
[
1 0 −1
0 1 1
]
.
Exerćıcio 2.6. Determine a matriz da transformação linear T : R3 −→ R2 dada por
T (x, y, z) = (z, x+y), em relação às bases A = {v1 = (1, 1, 1); v2 = (1, 1, 0); v3 = (1, 0, 0)}
de R3 e a base canômica B = {w1 = (1, 0);w2 = (0, 1)} de R2.
Resposta: [T ]AB =
[
1 0 0
2 2 1
]
.
Exerćıcio 2.7. Determine a matriz da transformação linear T : R3 −→ R2 dada por
T (x, y, z) = (z, x+y), em relação às bases A = {v1 = (1, 1, 1); v2 = (1, 1, 0); v3 = (1, 0, 0)}
de R3 e a base B = {w1 = (1, 3);w2 = (2, 5)} de R2.
Resposta: [T ]AB =
[
−1 4 2
1 −2 −1
]
.
Exerćıcio 2.8. Determine a matriz do operador linear T : R2 −→ R2 dada por T (x, y) =
(2x,−x + 3y), em relação às bases canônicas A = {v1 = (1, 0); v2 = (0, 1)} e B = {w1 =
(1, 0);w2 = (0, 1)} de R2.
Resposta: [T ]AB =
[
2 0
−1 3
]
.
Exerćıcio 2.9. Determine a matriz do operador linear T : R2 −→ R2 dada por T (x, y) =
(3x− 4y, x+ 5y), em relação a base canônica A = {v1 = (1, 0); v2 = (0, 1)} de R2 e a base
B = {w1 = (1, 2);w2 = (2, 3)} de R2.
Resposta: [T ]AB =
[
−7 22
5 −13
]
.
Exerćıcio 2.10. Seja A = {v1; v2; v3; v4} uma base de um espaço vetorial V Encontre a
matriz [T ]AA do operador linear T : V −→ V , definido por:
T (v1) = v2; T (v2) = v3; T (v3) = v4; T (v4) = v1.
Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre R de dimensões finitas n e m, respectiva-
mente. Seja L(V,W ) o conjunto das transformações lineares de V em W . Sabemos que
com as operações da soma T + S e do produto por um scalar kT definem uma adição e
uma multiplicação por um escalar o conjunto L(V,W ) tormna-se um espaço vetorial sobre
R. Seja Mm×n(R) o espaço vetorial das matrizes m× n.
Proposição 2.11. Sejam V e W espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m, respecti-
vamente. Então, fixadas as bases A = {v1, .., vn} e B = {w1..., wm} de V e W , respecti-
vamente. A aplicação T 7→ [T ]AB que a cada T ∈ L(V,W ) associa a matriz de [T ]AB que
pertence a Mm×n(R), em relação às bases A e B, é uma aplicação bijetora.
5
Sejam T , H em L(V,W ) tais que [T ]AB = [H]AB, então então as respectivas colunas
de [T ]AB e [H]
A
B são iguais e dáı [T (vj)]
A
B = [H(vj]
A
B (j = 1, ... , n). Dáı, para todo
u = k1v1 + ...+ knvn, temos:
T (u) = k1T (v1) + ...+ knT (vn) = k1H(v1) + ...+ knH(vn) = H(u).
Logo, temos T = H.
Conclusão. A aplicação T 7→ [T ]AB, é sobrejetora é conseqüência direta da definição de
matriz de uma transformação linear.�
Exemplo 2.12. Dada a matriz
M =
[
1 2 3
0 1 0
]
.
Determine a transformação linear T : R2 −→ R2 de maneira que, sendo A = {(1, 0, 0), (O, 1, 0), (0, 1, 2)}
e B = {(1, 0), (1, 1)}, temos M = [T ]AB.
Pela definição da matriz M de T , temos:
T (1, 0, 0) = 1.(1, 0) + 0.(0, 1) = (1, 0), T (0, 1, 0) = 2.(1, 0) + 1.(1, 1) = (3, 1),
e
T (0, 0, 1) = 3.(1, 0) + 0.(0, 1) = (3, 0).
Seja (a, b, c) e suponho que
(a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 1, 2),
então, temos: x = a, y = b− c
2
e z = c
2
. Logo, obtemos que:
T (a, b, c) = T (a(1, 0, 0) + (b− c
2
).(0, 1, 0) +
c
2
.(0, 1, 2)) = a(1, 0) + (b− c
2
).(3, 1) +
c
2
.(3, 0).
Portantant , a expressão de T é dada por;
T (a, b, c) = (a+ 3b, b− c
2
).
Exerćıcio 2.13. Qual a matriz de T : R3 −→ R2 dada por T (x, y, z) = (x + y, y + z), em
relação às bases A = {u1 = (1, 0, 0);u2 = (0, 1, 0);u3 = (0, 0, 1)} e B = {v1 = (1, 0); v2 =
(1, 1)}?
Solução. Temos:
� T (u1) = (1, 0) = 1.v1 + 0.v2
� T (u2) = (1, 1) = 0.v1 + 1.v2
� T (u3) = (0, 1) = −v1 + v2
Logo, a matriz de T em relação às bases A e B é dada por;
[T ]AB =
[
1 0 −1
0 1 1
]
.
6
Exerćıcio 2.14. Seja V um espaço vetorial sobre R e seja I : V −→ V o operador idêntico
de V . Dadas as bases A e B de V , o que é a matriz [I]AB?
Solução. Sajam A = {u1;u2; ...;un} e B = {v1; v2; ...; vn}. Temos:
� I(u1) = u1 = a11.v1 + ...+ an1vn
� I(u2) = u2 = a12.v1 + ...+ an2vn
� ................................
� I(un) = un = a1n.v1 + ...+ annvn
Logo, temos:
[I]AB =
 a11 ... a1n... · · · ...
an1 ... ann
 .
Assim, [I]AB é a matriz de mudança da base B para a base A.
Exerćıcio 2.15. Consideremos o isomorfismo T : R2 −→ P1(R) dado por:
T (x, y) = x+ (x+ y)t.
Considerando as bases canônicas A = {(1, 0), (0, 1)} e B = {1, t} desses espaços, deter-
minemos a matriz [T ]AB.
Solução. Como
T (1, 0) = 1 + 1.t e T (0, 1) = 1.t,
temos:
[T ]AB =
[
1 0
1 1
]
.
3 Operações com Transformações lineares e matrizes
Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre R de dimensões finitas n e m, respectivamente.
Seja L(V,W ) o conjunto das transformações lineares de V em W . Sabemos que com as
operações da soma T + S e do produto por um scalar kT definem uma adição e uma
multiplicação por um escalar o conjunto L(V,W ) tormna-se um espaço vetorial sobre R.
Seja Mm×n(R) o espaço vetorial das matrizes m× n.
Proposição 3.1. Sejam V e W espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m, respecti-
vamente. Então, fixadas as bases A = {v1, .., vn} e B = {w1..., wm} de V e W , respec-
tivamente. Sejam duas transformações lineares T : V −→ W e S : V −→ W . Então,
temos:
[T + S]AB = [T ]
A
B + [S]
A
B, e [k.T ]
A
B = k.[T ]
A
B, aa todo número real k
7
Assim, a matriz da soma de duas transformações lineares é a soma das matrizes de cada
uma, em relação ao mesmo par de bases. E a matriz do produto de uma transformação
linear por um número é igual a esse número multiplicado pela matriz da transformação
linear dada.
Exemplo 3.2. Seja os operadores lineares T : R2 −→ R2 e S : R2 −→ R2 dafinidos por
T (x, y) = (2x,−x+ 3y) e S(x, y) = (x+ y,−x+−2y).
1. Determine a matriz de T e S, em relação às bases canônicas A e B de R2.
2. Determine a matriz do operador linear T +S, em relação às bases canônicas A e B
de R2.
3. Determine as matrizes dos operador lineares 3T e −2S, em relação às bases canô-
nicas A e B de R2.
4. Deduzir a matriz do operador linear 3T − 2S, em relação às bases canônicas A e B
de R2.
Solução. 1. Temos:
T (1, 0) = (2,−1), T (0, 1) = (0, 3) e S(1, 0) = (1,−1), S(0, 1) = (1, 2).
Logo, as matrizes dos operadores lineares T e S, em relação às bases canônicas A e B de
R2 são:
[T ]AB =
[
2 0
−1 3
]
e [S]AB =
[
1 1
−1 2
]
.
2. A matriz do operador linear T +S, em relação às bases canônicas A e B de R2 é dada
por:
[T + S]AB = [T ]
A
B + [S]
A
B =
[
2 0
−1 3
]
+
[
1 1
−1 2
]
=
[
3 1
−2 5
]
.
3. As matrizes dos operadores lineares 3T e −2S, em relação às bases canônicas A e B
de R2 são:
[3T ]AB = 3[T ]
A
B =
[
6 0
−3 9
]
e [−2S]AB = −2[S]AB =
[
−2 −2
2 −4
]
.
4. A matriz do operador linear 3T − 2S, em relação às bases canônicas A e B de R2 é
dada por:
[3T−2S]AB = [3T ]AB+[−2S]AB = 3[T ]AB−2[S]AB =
[
6 0
−3 9
]
+
[
−2 −2
2 −4
]
=
[
4 −2
−1 5
]
.
Exerćıcio 3.3. Sejam as transformações lineares T : R3 −→ R2 e S : R3 −→ R2 dafinidos
por T (x, y, z) = (x+ y, x− y + z) e S(x, y, z) = (x, y).
1. Determine a matriz de T e S, em relação às bases canônicas A de R3 e B de R2.
8
2. Determine a matriz da transformação linear T + S, em relação às bases canônicas
A de R3 e B de R2.
3. Determine a matriz da transformação linear 3T , em relação às bases canônicas A
de R3 e B de R2.
4. Determine a matriz da transformação linear 2T−5S, em relação às bases canônicas
A de R3 e B de R2.
Exerćıcio 3.4. Sejam os operadores lineares T, S : R2 −→ R2 dafinidos por T (x, y) =
(2x+ y, x− 2y) we S(x, y) = (x− y, x+ y).
1. Determine a matriz de T em relação às bases canônicas de R2.
2. Determine a matriz de S em relação às bases canônicas de R2.
3. Determine a matriz da transformação T + 2S em relação às bases canônicas de R2.
4. Determine a matriz de 5T − 2S em relaçãoàs bases canônicas de R2.
Proposição 3.5. Sejam V , W e U três espaços vetoriais sobre R de dimensões finitas.
Sejam A = {v1, .., vn}, B = {w1..., wm} e C = {u1, .., un}, as bases respetivas de V ,
W e U . Sejam duas transformações lineares T : V −→ W e S : W −→ U . Então, a
composição das duas transformações T e S, denotada por SoT , temos:
[SoT ]AC = [S]
B
C .[T ]
A
B.
Dizemos que a matriz de SoT é igual ao produto da matriz de [S]BC pela matriz de [T ]
A
B.
Exemplo 3.6. Seja os operadores lineares T : R2 −→ R2 e S : R2 −→ R2 dafinidos por
T (x, y) = (2x,−x+ 3y) e S(x, y) = (x+ y,−x+ 2y).
1. Determine a matriz de T e S, em relação às bases canônicas A e B de R2.
2. Determine a matriz do operador linear SoT , em relação às bases canônicas A e B
de R2.
3. Determine as matrize do operador lineare ToS, em relação às bases canônicas A e
B de R2.
Solução. 1. Temos:
T (1, 0) = (2,−1), T (0, 1) = (0, 3) e S(1, 0) = (1,−1), S(0, 1) = (1, 2).
Logo, as matrizes dos operador lineares T e S, em relação às bases canônicas A, B e C
de R2 são:
[T ]AB =
[
2 0
−1 3
]
e [S]BC =
[
1 1
−1 2
]
.
2. A matriz do operador linear SoT , em relação às bases canônicas A e B de R2 é dada
por:
[SoT ]AB = [S]
B
C .[T ]
A
B =
[
1 1
−1 2
]
.
[
2 0
−1 3
]
=
[
1 3
−4 6
]
.
9
3. A matriz do operador linear ToT , em relação às bases canônicas A e B de R2 é dada
por:
[ToS]AB = [T ]
A
B.[S]
B
CS =
[
2 0
−1 3
]
.
[
1 1
−1 2
]
=
[
2 2
−4 5
]
.
Observação: Mais uma vez a relação entre a composição das transformações lineares
e o produto das matrizes, mostre que a composição das transformações lineares não é
comutativa.
Exerćıcio 3.7. Seja o operador linear T : R2 −→ R2 dafinido por T (x, y) = (2x+y, x−2y).
1. Determine a matriz de T em relação à base canônica de R2.
2. Determine a matriz de T 2 = ToT em relação à base canônica de R2.
3. Determine a matriz de T 3 = ToToT em relação à base canônica de R2.
Exerćıcio 3.8. Sejam os operador linear T, S : R2 −→ R2 definidos por T (x, y) = (2x +
y, x− 2y) we S(x, y) = (x− y, x+ y).
1. Determine a matriz de T em relação às bases canônicas de R2.
2. Determine a matriz de S em relação às bases canônicas de R2.
3. Determine a matriz de ToS em relação às bases canônicas de R2.
4. Determine a matriz de SoT em relação às bases canônicas de R2.
Exerćıcio 3.9. Sejam as transformações lineares T : R3 −→ R2 e S : R2 −→ R3 dadas por
T (x, y, z) = (x+y, y+z) e S(x, y) = (x+y, x−y, 2x+y) , em relação às bases canônicas
A = {u1 = (1, 0, 0);u2 = (0, 1, 0);u3 = (0, 0, 1)} e B = {v1 = (1, 0; v2 = (0, 1)}.
1. Determine a matriz da transformação SoT , em relação às bases canônicas.
2. Determine a matriz da transformação ToS, em relação às bases canônicas.
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