G4 2008-1-sol

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P4 2008.1 questão 1.  é dada a elipse de equação x^2 +xy+y^2+3x+2y=1.
a) fazer uma figura com a elipse e a reta y=x.
b) escrever uma fórmula com integrais que de aárea da região interior a elipse e abaixo da reta .
c)calcular a área do item b.
	> 
	with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined 
	> 
	implicitplot([ x^2 +x*y+y^2+3*x+2*y=1,y=x], x=-4..4,y=-4..4);
	> 
	
obs: a escolha da janela -4<x<4, -4<y<4, foi ao acaso. Conforme o resultado, a gente ajusta a janela.  por exemplo, x=-4..2,y=-3..3 dá uma figura melhor.
	> 
	implicitplot([ x^2 +x*y+y^2+3*x+2*y=1,y=x], x=-4..2,y=-3..3);
a região cuja área se quer calcular é limitada abaixo por um arco de elipse, e acima por um segmento de reta e por uma arco de elipse. Para achar as funções y(x), que vamos chamar de fcima e fbaixo, definidas pela elipse, é só resolver a equação em y.A integral vai ser de x-fbaixo do 1o ponto de interseção ao sefundo, somada com a integral de fcima-fbaixo, do 2o ponto de interseção ao ponto de tangente vertical.
	> 
	solve( x^2 +x*y+y^2+3*x+2*y=1,y);
	> 
	# a 1a sol é o arco de cima (fcima) e a 2a é o arco de baixo (fbaixo) ( veja os sinais +e- antes da raiz). vamos achar os pontos de interseção.
	> 
	solve({ x^2 +x*y+y^2+3*x+2*y=1,y=x},{x,y});
resposta ruim. vamos tentar fsolve.
	> 
	fsolve({ x^2 +x*y+y^2+3*x+2*y=1,y=x},{x,y});
só aparece o ponto da esquerda.
	> 
	fsolve({ x^2 +x*y+y^2+3*x+2*y=1,y=x},{x=0..1,y=0..1});
agora apareceu o ponto da direita. Falta achar o ponto de tangente vertical  (o da direita) que vai ser o limite da integral. É só resolver o radicando e pegar a maior solução.
	> 
	fsolve(8-8*x-3*x^2=0);
para escrever a fórmula, fica mais fácil definir fcima e fbaixo;
	> 
	fcima:=-1-1/2*x+1/2*(8-8*x-3*x^2)^(1/2);
	> 
	fbaixo:=-1-1/2*x-1/2*(8-8*x-3*x^2)^(1/2);
	> 
	Area:= Int(x-fbaixo,x=-1.847127088..0.1804604217)+Int(fcima-fbaixo,x=0.1804604217..0.7748517734);
	> 
	evalf(Area);
	> 
	
	
	
	
	
 Questão 2: Um tanque de agua na forma de um cone circular reto invertido mede 20 m de diâmetro em sua parte superior e 15 m de profundidade. Se a superfície da agua está 5 m abaixo da parte superior do tanque, encontre o trabalho realizado para bombear a agua até a parte superior do tanque.
Considere a “camadinha” de água que esta a y metros da superfície, com espessura deltay. 
Por semelhança de triângulos, o comprimento desta “camadinha” é de 2x metros:
logo 
O volume aproximado desta camada é :
Pi*x^2*deltay= Pi*(10-2*y/3)^2*deltay
 A massa é 1000 V = 1000* Pi*(10-2*y/3)^2*deltay
O peso (força) é 9.8*1000* Pi*(10-2*y/3)^2*deltay
O trabalho para levar esta camadinha até o alto é 
y*9.8*1000* Pi*(10-2*y/3)^2*deltay (força x deslocamento)
Logo o trabalho total é a soma dos trabalhos para levar todas as camadas, o que passando ao limite dá a integral de 0 a 15, ou seja, em notação maple:
int(y*9.8*1000* Pi*(10-2*y/3)^2,y=0..15).
Lembre que o limite de uma soma f(y)deltay é a integral de f(y)dy e que em notação maple não se põe o dy. 
Fazendo a conta dá : 57726765.02 *10^7 J.
Questão 3. Um móvel desloca-se em um circuito fechado formado por:
Trecho 1 gráfico y=(2/3)(x-1)2/3 x indo de 1 a 2.
Trecho 2: gráfico y=-(2/3)(x-1) x indo de 0 a 1.
Trecho 3 gráfico de y=2/3 x indo de 0 a 2.
Fazer a figura, escrever a fórmula da distância percorrida e calcular a distância.
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> f1:=2/3*(x-1)^(2/3);
f2:=-2/3*(x-1);
f3:=2/3;
> plot([f1,f2,f3],x=0..2,color=[black,blue,red],view=[0..2,0..2.1/3],thickness=3);
> d1:=diff(f1,x);
d2:=diff(f2,x);
d3:=diff(f3,x);
> s1:=evalf(int(sqrt(1+d1^2),x=1..2));
s2:=int(sqrt(1+d2^2),x=0..1);
s3:=int(sqrt(1+d3^2),x=0..2);
> evalf(s1+s2+s3);
Questão 4 Dada 
, explicar porque f é crescente em (3,100), escrever a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (3,10)
Como 
, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, 
 e, em particular, 
. 
Obs: Note que a função é diferenciável para todo x > 3 e todo x < 3, e diferenciável à direita e à esquerda em x = 3.
Como 
 para qualquer x no intervalo 3 < x < 100 (de fato para todo x > 3), a função é crescente neste intervalo, donde no intervalo 3 ( x ( 100.
Como 
 (pois a integral de 3 a 3 é nula), queremos a reta passando pelo ponto (3;10) com inclinação 
, isto é: 
, ou: 
– 5a questão – Calcular 4 das 6 as integrais.
a)
Por substituição: u = senx 
b) 
Por partes: u =x2 e dv = ex dx ( v = ex
Por partes novamente: u = x e dv = ex dx
= ex ( x2 -2x + 2) + C
c) 
 = 
Por substituição : x = 5 sen u e cos2 u = (1 + cos2u )/2
d) 
Por substituição: cos2 x = (1 + cos2x )/2
e) 
Por partes: u = arctgx ( du = dx / ( 1 + x2 ) e d v = x dx
substituição : 1+ tg2u = sec2 u
ou x2/(1+x2)= (1+x2-1)/(1+x2)=1-1/(1+x2), cuja integral é x- arctgx+C
 
f)
 
�� EMBED Equation.3 
Substituição: x = 2 tgu e w = secu + tgu
Questão 6..
Figura1. y’=0 em x=0 e em y=1, é positivo em x>o e y>1 e vai trocando de sinal cada vez que atravessa uma das duas retas. A única equação da lista que satisfaz isso é y’=x(y-1)
Figura 2. y’ se anula em y=x, é negativa se y>x e positiva se x>y. . A única equação da lista que satisfaz isso é y’=x-y.
Figura 3. y’ é sempre positivo e não depende de x. A única equação da lista possível é y´= 1+y2.
Figura 4. y´não depende de y e tem o sinal de x., logo é y´= x.
Solução de y´=x(y-1), com c.i. (0,2)
A equação é de variáveis separáveis. Usando a notação 
 x(y-1) e separando as variáveis, fica: xdx= 
. Integrando os dois lados , dá x2/2 = ln|y-1| +C.
Fazendo x=0 e y=2, vem 0=ln(1) +C. Logo C=0 , e a solução é x2/2 = ln(y-1).
Tiramos o módulo porque a figura mostra que a solução em questão tem sempre y>1. Logo temos y=1+
. Outra maneira de tirar o módulo é ver que teríamos 2 possibilidades: y=1+
 e y=1-
, e esta segunda não passa em (0,2).
_1276603462.unknown
_1276607021.unknown
_1276609161.unknown
_1279113677.unknown
_1279113792.unknown
_1279114151.unknown
_1276610561.unknown
_1276607407.unknown
_1276608369.unknown
_1276607189.unknown
_1276603902.unknown
_1276604747.unknown
_1276605095.unknown
_1276604715.unknown
_1276603601.unknown
_1276603651.unknown
_1276603499.unknown
_1276603060.unknown
_1276603291.unknown
_1276603399.unknown
_1276603386.unknown
_1276603128.unknown
_99804784.unknown
_1276602926.unknown
_1276603035.unknown
_98242668.unknown